Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37"

Транскрипт

1 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) / 37

2 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) пространства: ρ(m 1, M 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Координаты (x, y, z) точки M, являющейся серединой отрезка с концами M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 2, z = z 1 + z 2. 2 Линейная алгебра (лекция 11) / 37

3 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) пространства: ρ(m 1, M 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Координаты (x, y, z) точки M, являющейся серединой отрезка с концами M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 2, z = z 1 + z 2. 2 Линейная алгебра (лекция 11) / 37

4 Прямая линия и плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D = 0, A 2 +B 2 +C 2 0. (1) Вектор n = (A, B, C) нормальный вектор (нормаль) плоскости (1). Линейная алгебра (лекция 11) / 37

5 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнение плоскости в отрезках: x a + y b + z c = 1, где a, b и c отрезки, отсекаемые на осях Ox, Oy и Oz соответственно. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

6 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнение плоскости, перпендикулярной заданному вектору n = (A, B, C) и проходящей через заданную точку M(x 0, y 0, z 0 ): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

7 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и M 3 (x 3, y 3, z 3 ), не лежащие на одной прямой: x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

8 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние от точки M(x 0, y 0, z 0 ) до плоскости π : Ax + By + Cz + D = 0: ρ(m, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

9 Прямая линия и плоскость в пространстве Пусть две плоскости заданы общими уравнениями π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Один из углов ϕ между этими плоскостями находится по формуле: cos ϕ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B1 2 + C 1 2 A B2 2 + C. 2 2 Линейная алгебра (лекция 11) / 37

10 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности плоскостей π 1 и π 2 : A 1 = B 1 = C 1. A 2 B 2 C 2 Условие перпендикулярности плоскостей π 1 и π 2 : A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

11 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности плоскостей π 1 и π 2 : A 1 = B 1 = C 1. A 2 B 2 C 2 Условие перпендикулярности плоскостей π 1 и π 2 : A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

12 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнения прямой, проходящей через заданную точку M(x 0, y 0, z 0 ) и имеющей заданный направляющий вектор m = (p, q, r): x x 0 p = y y 0 q = z z 0. (2) r Линейная алгебра (лекция 11) / 37

13 Прямая линия и плоскость в пространстве Обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

14 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнения прямой, проходящей через заданную точку M(x 0, y 0, z 0 ) и имеющей заданный направляющий вектор m = (p, q, r): x = x 0 + pt, y = y 0 + qt, (3) z = z 0 + rt, t R. Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

15 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнения прямой, проходящей через заданные точки M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): x x 1 = y y 1 = z z 1. x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 Линейная алгебра (лекция 11) / 37

16 Прямая линия и плоскость в пространстве Уравнения прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

17 Прямая линия и плоскость в пространстве Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями x x 1 l 1 : = y y 1 = z z 1 и p 1 q 1 r 1 x x 2 l 2 : = y y 2 = z z 2 p 2 q 2 r 2 (или параметрическими уравнениями: l 1 : x = x 1 + p 1 t, y = y 1 + q 1 t, z = z 1 + r 1 t, t R и l 2 : x = x 2 + p 2 t, y = y 2 + q 2 t, z = z 2 + r 2 t, t R). Линейная алгебра (лекция 11) / 37

18 Прямая линия и плоскость в пространстве Один из углов ϕ между этими прямыми находится по формуле: p 1 p 2 + q 1 q 2 + r 1 r 2 cos ϕ = p q1 2 + r 1 2 p q2 2 + r. 2 2 Линейная алгебра (лекция 11) / 37

19 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности прямых l 1 и l 2 : p 1 = q 1 = r 1. p 2 q 2 r 2 Условие перпендикулярности прямых l 1 и l 2 : p 1 p 2 + q 1 q 2 + r 1 r 2 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

20 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности прямых l 1 и l 2 : p 1 = q 1 = r 1. p 2 q 2 r 2 Условие перпендикулярности прямых l 1 и l 2 : p 1 p 2 + q 1 q 2 + r 1 r 2 = 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

21 Прямая линия и плоскость в пространстве Пусть плоскость π и прямая l заданы уравнениями: π : Ax + By + Cz + D = 0 и x x 0 l : = y y 0 = z z 0. p q r Угол ϕ между плоскостью π и прямой l находится по формуле: sin ϕ = Ap + Bq + Cr A2 + B 2 + C 2 p 2 + q 2 + r 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

22 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности плоскости π и прямой l: Ap + Bq + Cr = 0. Условие перпендикулярности плоскости π и прямой l: A p = B q = C r. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

23 Прямая линия и плоскость в пространстве Условие параллельности плоскости π и прямой l: Ap + Bq + Cr = 0. Условие перпендикулярности плоскости π и прямой l: A p = B q = C r. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

24 Линии второго порядка Линейная алгебра (лекция 11) / 37

25 Линии второго порядка Окружностью называется геометрическое множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

26 Линии второго порядка Линейная алгебра (лекция 11) / 37

27 Линии второго порядка Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точке C(x 0, y 0 ): (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

28 Линии второго порядка Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

29 Линии второго порядка Линейная алгебра (лекция 11) / 37

30 Линии второго порядка Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса): x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, здесь a большая полуось эллипса, b малая полуось эллипса, c 2 = a 2 b 2, F 1 ( c; 0) и F 2 (c; 0) фокусы эллипса. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

31 Линии второго порядка Эксцентриситет эллипса ε = c a, 0 ε < 1. Случай c = 0 (ε = 0) соответствует окружности. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: r 1 = a + εx, r 2 = a εx. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

32 Линии второго порядка Эксцентриситет эллипса ε = c a, 0 ε < 1. Случай c = 0 (ε = 0) соответствует окружности. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: r 1 = a + εx, r 2 = a εx. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

33 Линии второго порядка Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

34 Линии второго порядка Линейная алгебра (лекция 11) / 37

35 Линии второго порядка Каноническое уравнение гиперболы (координатные оси совпадают с осями гиперболы): x 2 a 2 y 2 b 2 = 1, здесь a действительная полуось гиперболы, b мнимая полуось гиперболы, c 2 = a 2 + b 2, F 1 ( c; 0) и F 2 (c; 0) фокусы гиперболы. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

36 Линии второго порядка Эксцентриситет гиперболы ε = c a, ε > 1. Расстояния от точки M(x, y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: r 1 = a + εx, r 2 = a εx. Уравнения асимптот гиперболы: y = ± b a x. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

37 Линии второго порядка Эксцентриситет гиперболы ε = c a, ε > 1. Расстояния от точки M(x, y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: r 1 = a + εx, r 2 = a εx. Уравнения асимптот гиперболы: y = ± b a x. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

38 Линии второго порядка Эксцентриситет гиперболы ε = c a, ε > 1. Расстояния от точки M(x, y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: r 1 = a + εx, r 2 = a εx. Уравнения асимптот гиперболы: y = ± b a x. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

39 Линии второго порядка Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

40 Линии второго порядка Линейная алгебра (лекция 11) / 37

41 Линии второго порядка Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат (если она симметрична относительно оси Ox): y 2 = 2px, здесь параметр параболы, F ( p ; 0) фокус параболы. 2 Расстояние от точки M(x, y) параболы до ее фокуса (фокальный радиус) находится по формуле: r = x + p 2. Уравнение директрисы параболы: x = p 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

42 Линии второго порядка Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат (если она симметрична относительно оси Ox): y 2 = 2px, здесь параметр параболы, F ( p ; 0) фокус параболы. 2 Расстояние от точки M(x, y) параболы до ее фокуса (фокальный радиус) находится по формуле: r = x + p 2. Уравнение директрисы параболы: x = p 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

43 Линии второго порядка Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат (если она симметрична относительно оси Ox): y 2 = 2px, здесь параметр параболы, F ( p ; 0) фокус параболы. 2 Расстояние от точки M(x, y) параболы до ее фокуса (фокальный радиус) находится по формуле: r = x + p 2. Уравнение директрисы параболы: x = p 2. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

44 Линии второго порядка Общее уравнение кривых второго порядка: Ax 2 +Bxy +Cy 2 +Dx+Ey +F = 0, (4) A 2 + B 2 + C 2 0. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

45 Линии второго порядка Вид геометрического места точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), определяется инвариантом этого уравнения 4AC B 2, неизменным при параллельном переносе и повороте осей координат. Если 4AC B 2 > 0, то это геометрическое место точек представляет собой эллипс, точку или пустое множество, если 4AC B 2 = 0, то параболу, прямую, две параллельные прямые или пустое множество, если 4AC B 2 < 0, то гиперболу или две пересекающиеся прямые. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

46 Линии второго порядка Вид геометрического места точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), определяется инвариантом этого уравнения 4AC B 2, неизменным при параллельном переносе и повороте осей координат. Если 4AC B 2 > 0, то это геометрическое место точек представляет собой эллипс, точку или пустое множество, если 4AC B 2 = 0, то параболу, прямую, две параллельные прямые или пустое множество, если 4AC B 2 < 0, то гиперболу или две пересекающиеся прямые. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Линии второго порядка

Линии второго порядка Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 9. Элементы аналитической геометрии 1 Что изучает аналитическая геометрия? Аналитическая геометрия изучает свойства

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка (продолжение)

Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка (продолжение) Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 4. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые a m называются дирек-

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

x = a cos t, y = b sin t x = a ch t = a et + e t y = b sh t = b et e t

x = a cos t, y = b sin t x = a ch t = a et + e t y = b sh t = b et e t Глава 1 Кривые и поверхности второго порядка Во всех разделах, кроме 1.9, система координат прямоугольная. 1.1. Составление уравнений кривых второго порядка и других кривых 1. р) Доказать, что множество

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Поверхности второго порядка. Поверхность в трехмерном пространстве описывается уравнением. или

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Поверхности второго порядка. Поверхность в трехмерном пространстве описывается уравнением. или Поверхности второго порядка. Поверхность в трехмерном пространстве описывается уравнением вида F(x; y; z) = 0 или z = f(x; y). Пересечение двух поверхностей задает линию в пространстве, т.е. линия в пространстве

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Плоскость. Вариант 6

Плоскость. Вариант 6 Плоскость Вариант 1 1.) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;2;-1) и параллельной плоскости XOY. 2.) На оси ОZ найти точку, удаленную от плоскости 3 x + 7 = 0 на расстояние d = 1. 14 Вариант

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2. 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2. 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл. 1, заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы

Подробнее