«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики."

Транскрипт

1 Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц.дуниной Е.Б.

2 4. Определение вектора. Линейные операции над векторами. Определение: Вектором называют направленный отрезок. A Т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. AB B Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной (или модулем). Длина вектора обозначается AB

3 Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны, и компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4 и Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число. 4

5 Пусть и - два произвольных вектора. OB Вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : OB Сложение векторов определяют или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. А О О В 5

6 О с - Под разностью векторов понимается вектор такой, что - и О с - В параллелограмме, построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью. 6

7 Вычитание векторов можно заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору. ( ) Произведением вектора называют новый вектор на вещественное число α, который удовлетворяет следующим условиям: а) вектор имеет модуль равный модулю вектора умноженному на абсолютное значение числа α 7

8 α б) вектор коллинеарен вектору в) вектора и направлены одинаково, если α > 0, и направленв противоположную сторону, если α < 0. 8

9 Пример: - 9

10 Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:. Сложение векторов коммутативно. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трех векторов выполняется условие ( ) ( ) A B C O C 0

11 . Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего: 4. Вектор вектору O называется противоположным вектором, и обозначается 5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора 6. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. ( α β ) α ( β)

12 7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел, т.е ( α β ) α β 8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е. α ( ) α α

13 4. Линейная зависимость векторов. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой любой ненулевой вектор на прямой.

14 Определение: Векторы,..., k называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α α..., α k не все равные нулю, что выполняетя условие... α k k α Если равенство (4.) выполняется только в случае 0 (4.) α α α... α k 0 система векторов называется линейно независимой. 4

15 Из определения линейной зависимости векторов вытекают следующие утверждения:. Если среди векторов,,..., хотя бы один нулевой, то эти вектора линейно зависимы. Доказательство Пусть, например, k 0, тогда α k Т.е. равенство (4.) выполнено, при условии, что не все числа α i будут равны нулю. А значит вектора линейно зависимы.. Если к линейно зависимой системе векторов,,..., k добавить один или несколько векторов,..., i, то полученная система линейно зависима. 5

16 . Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных. Доказательство,,..., Пусть вектора k линейно зависимы, т.е. существуют такие коэффициенты α α..., α k не все равные нулю, что Пусть k α α k 0. v α α... α α k α Тогда k Что и требовалось доказать. 6

17 Обратно, пусть один из векторов, например, разложен в линейную комбинацию остальных векторов... β β k k β... βk k 0 Из выражения видно, что вектора,,..., k Что и требовалось доказать. линейно зависимы 7

18 4. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, любые два линейно зависимых вектора коллинеарны. 5. Любые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, если три вектора линейно зависимы, то вектора компланарны. 8

19 4. Ось. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Осью называется всякая прямая, на которой указано направление. Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось. М М X 9

20 Определение: Проекцией вектора AB на ось О называется длина отрезка CD этой оси заключенная между проекциями его начальной и конечной точек, взятая со знаком "", если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекций и со знаком "-", если эти направления противоположны. В В А В. В А О С Рис. D X Записывают О Пр o AB D Рис. С 0 X

21 Углом вектора AB или равного ему вектора CB сосьюo называется угол α, на который нужно повернуть кратчайшим образом полуось С, до совмещения ее с вектором CB Область изменения угла α :. 0 α π

22 Теорема : Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором иосью. Доказательство:. Пусть α - острый угол (рис. ). Из треугольника CB D находим. Пусть α Пр o AB CD CB osα AB osα - тупой угол (рис. ). Опустив перпендикуляры AC и BD на ось О и перенеся вектор из треугольника DCB AB вположение CB o Пр o AB CD CB os(80 α ) AB osα Что и требовалось доказать.

23 Теорема : При умножении вектора AB на число m, его проекция на ось умножается на тоже число. Доказательство. В А В mab О С D X -mab

24 Пусть вектор AB составляет с осью О угол α, и пусть m>0. Тогда вектор m AB m AB - угол o. Согласно теореме : 80 α составляет с осью О тот же угол, а вектор. Пр o m AB mab osα mпр AB o. Пр o m AB mab o os(80 α ) mab osα mпр o AB Что и требовалось доказать. Теорема : Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов на эту ось. 4

25 4.4 Декартова прямоугольная система координат. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат. Прямые проходящие через начало координат в направлении базисных векторов называются осями координат, первая из них осю абсцисс (О), вторая осью ординат (Оу), третья осью аппликат (О). Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат. 5

26 Пусть M произвольная точка пространства. Проведем через нее три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Числа M, M, называются координатами точки иобозначаются Z M ( M, M, M ) М Z М M О М Y Y М X X 6

27 Радиусом-вектором точки M называется вектор OM точка приложения которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке М. Декартовыми прямоугольными координатами А k О i Z С j М В Y вектора X, Y, называются его проекции на координатные оси X Z Y Пр o Пр Пр o o Z 7

28 Каждая из записей означает, что вектор ( X, Y, Z), Z имеет координаты { X, Y, Z}, ( X, Y, ) X, Y, Z Координаты радиуса-вектора OM равны координатам точки М Пусть i j, k X M, Y M, Z M, - единичные векторы координатных осей (орты). По определению суммы Xi Yj OM Zk OA OB OC (4.) Формула (4.) выражает разложение вектора по базисным векторам i, j, k. поэтому 8

29 Длина вектора через его координаты записывается в виде X Y Z (4.) Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α,β,γ образуемых им с координатными осями. X Учитывая теорему, получаем os α, Y os β, Z os γ (4.4) 9

30 Из (4.4) находим формулы для направляющих косинусов вектора osα X X Y Z os β X Y Y Z osγ X Z Y Z (4.5) Возводя в квадрат обе части каждого равенства (4.5) и почленно складывая, имеем os α os β os γ 0

31 Пример: Дан вектор (,,). Найти его длину, единичный вектор 0 и направляющие косинусы. Решение. Учитывая формулу (4.) находим длину вектора ( ) По формулам (4.5) находим его направляющие косинусы: osα osγ X X X Y Z Y Z Z os β 0 X Y Y, Z,

32 4.5 Переход от векторных соотношений к координатным. Пусть e, e e, можно записать как базис в пространстве, тогда вектор e e e Отметим, что:. два вектора равны, если равны соответствующие компоненты.. для того, чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую компоненту умножить на это число. λ λ( λ e λ e λ e e e e ) λ ( λ, λ, λ )

33 . Для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты. Пусть есть вектор e e e ивектор e e e Найдем сумму векторов ) ( ) ( ) ( e e e e e e e e e ( ), то Так как ) ( ) ( ) ( e e e

34 4. Чтобы получить координаты вектора, необходимо из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала. Пусть начало вектора конец в точке M,, ). Z MM находится в точке M (,, ) ( М Введем радиусы-векторы точек M и M : OM, М О Y M M OM. X 4

35 Координаты радиуса-вектора равны координатам точки, поэтому (,, ) и (,, ) M M (,, ) 5

36 4.6 Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве M (,, ) M (,, ). Z М Найти координаты точки М, делящей отрезок М и M M вотношении λ. М О Y X 6

37 M По определению. MM M λ Можно записать OM, M M λmm OM, OM Поскольку M M, то M M. MM 7

38 8 ) ( λ т.е. то λ λ MM, M M λ ) ( λ λ Откуда ) ( λ λ или (4.6) λ λ

39 9 В координатах выражение (4.6) можно записать, λ λ, λ λ (4.7) λ λ Здесь,,- координаты точки М. В частности, координаты середины отрезка определяются формулами, (4.8)

40 4.7 Скалярное произведение Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол АОВ между этими векторами, приведенными к общему началу. Угол между векторами О α В С и и (, ) символически записывают А Угол между векторами может изменяться в пределах 0 α π 40

41 Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними osα Скалярное произведение векторов принято обозначать символами или или ( ) 4

42 Спроектировав вектор на вектор получим Пр OC osα Поэтому ( osα) Пр Пр Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый. В результате скалярного произведения двух векторов получается число. 4

43 Пример: Вычислить работу А силы F, если точка на которую действовала сила, совершила перемещение OD Решение. Если точка движется по направлению силы, то A F OD Если же точка движется под углом α к направлению силы, то работает лишь горизонтальная составляющая силы, перпендикулярная составляющая уравновешивается сопротивлением 4

44 О F α В С D Следовательно, работа в этом случае Пр F Fosα OD A Пр OD F OD F OD osα F OD 44

45 45 Свойства скалярного произведения: ) Переместительное свойство Доказательство этого свойства следует из определения. ) ( ) Доказательство Пр Пр Пр Пр Пр ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) λ λ )

46 4) Если векторы коллинеарны, то α0 или 80 о os α ± ±. Поэтому Вчастности os Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля 5) Если один из векторов скалярного произведения равен нулю, то скалярное произведение будет равно нулю 6) Если отличные от нуля векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Доказательство 0 o os

47 7) Если скалярное произведение двух векторов отличных от нуля, равно нулю, то векторы перпендикулярны. Действительно, если аэтозначит, что α и. Т.к. 0, но 0, 0, то osα ) Вычислим скалярное произведение ортов i, j, k. i, j, k единичные векторы, то согласно свойству 4 i, j, k 0, Ат.к. они попарно перпендикулярны, то по свойству 6 i j 0, i k 0, jk 0 47

48 Для скалярного произведения ортов можно составить таблицу i j k i j k

49 49 Рассмотрим скалярное произведение векторов заданных своими координатами ( ),,, ( ),, Тогда, k j i k j i ( )( ) k j i k j i

50 i i i j i k ji jj jk ki kj kk, Учитывая i, j, k Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат. 50

51 Пример: Вычислить скалярное произведение векторов и i j 5k, если i j 5k Решение ( ) Векторное произведение двух векторов Векторное произведение векторов обозначается символом и или [, ] 5

52 Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор, который: sinϕ ) имеет модуль равный где φ угол между векторами и ) вектор перпендикулярен к плоскости векторов и ) направлен так, чтобы тройка векторов,, была правой 5

53 с О В А D с 5

54 Замечание: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов,, образуют правую тройку, если из конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае векторы Z,, образуют левую тройку. Z k i j Y j k i X X Y Правая система координат Левая система координат 54

55 Результатом векторного произведения будет вектор. В Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма построенного на векторах и. sinϕ D О h С А Действительно, из треугольника h OBC видно, что BC sinϕ и sinϕ h S OBA SOADB 55

56 Свойства векторного произведения: ) От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т.е. ) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т.е. ( ) ) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения. ( λ ) λ или ( λ) λ 56

57 ( ) 4) 5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. 6) Если отличные от нуля векторы и параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Действительно, если вектора параллельны, то угол φ равеннулюили но, π следовательно sin 0 sinπ 0 7) Если векторное произведение двух отличных от нуля векторов равно нулю, то вектора параллельны. 0 57

58 i 8) Рассмотрим векторное произведение ортов: i i i sin 0 0 j j 0 k k 0 Рассмотрим произведение i j Z k О j В Y i А D X 58

59 Параллелограмм, построенный на есть квадрат ОАDB, Вектор i и площадь которого равна единице. i j перпендикулярен векторам i и j иобразуетснимиправуютройку. Следовательно, произведение есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.е. Аналогично находим, что i j j i Переставив множители, получим j i k k k j i, k k j i j j i i k j 59

60 Для векторного произведения ортов можно составить таблицу: i j k j i 0 k j k 0 i k j 0 i 60

61 6 Пусть векторы и заданны своими координатами ( ),,, ( ),,, Тогда, k j i k j i Перемножим эти два вектора: ( ) ( ) k j i k j i

62 6 k k j k i k k j j j i j k i j i i i ( ) ( ) ( )k j i i j i k j k

63 6 Полученную формулу можно представить в виде определителя: k j i k j i. ) ( ) ( ) ( k j i 4.9 Приложение векторного произведения к геометрии и механики.. Площадь параллелограмма построенного на векторах и равна модулю векторного произведения. S парал

64 . Площадь треугольника построенного на векторах. Момент силы. равна S и Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а вточкев А приложена сила F. В F 64

65 При этом возникает вращающий момент численно равный AB F sinϕ - площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и F В механике его принято называть моментом силы и обозначать M AB F Пример: Найти площадь параллелограмма построенного на векторах i j k, i j 5k 65

66 66 Решение: S п ( ) ( ) ( ) k j i k j i k j i ( ) S п

67 Пример: Точка (,,4) A твердого тела закреплена. Кточке B(0,,4) приложена сила F (0,5, ). Решение: Вектор Найти момент силы относительно точки А. Момент силы AB имеет координаты (-,0,0). M AB i ( 0 0 5) j( 0 0) k ( F j 0k i 0 j 0 5 k ) 67

68 Величина момента M M ( 0) Смешанное произведение трёх векторов Пусть даны три вектора, и с. Составим векторное произведение двух векторов иполученныйвектор и умножим скалярно на вектор 68

69 Произведение [, ] называется смешанным произведением (или скалярно - векторным произведением) трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов дает следующая теорема. Смешанное произведение Теорема : [, ] трех некомпланарных векторов, равно объему параллелепипеда, построенного на векторах взятому со знаком плюс, если тройка,,,, правая исознакомминус, если тройка левая. Докозательство 69

70 Пусть векторы OA, OB, OC некомпланарны и составляют правую тройку. Определим объем параллелепипеда, построенного на векторах,, h u Е с С В D О А 70

71 V S OADB h Площадь параллелограмма можно найти по формуле Т.к. тройка векторов u, S OADB, правая, то вектор u будет направлен в ту же сторону от плоскости OADB, что и вектор Из рисунка видно, что h OE Пр u Поэтому V S OADB h u Пр u 7

72 Учитывая, что Пр Пр, получим Если векторы [, ], V, образуют левую тройку, то все рассуждения останутся теми же, но будет отрицательной. Поэтому V [, ] Пр u что и требовалось доказать. 7

73 7 Теорема : Смешанное произведение трех векторов ( ),,, ( ),,, ( ),, определяется формулой (4.9) ], [ Доказательство Пусть ).,, ( ], [ Z Y X u. Найдем координаты векторного произведения ], [ k j i k j i u

74 74,, Z Y X Т.е. [ ] Z Y X u Найдем Правая часть последнего равенства является разложением определителя третьего порядка (4.9) по элементам третьей строки. Поэтому ], [ что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что результатом смешанного произведения будет число.

75 75 Свойства смешанного произведения. ) Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно менять местами, то есть ], [ ], [ Доказательство: [ ] [ ] [ ] В силу этого свойства смешанное произведение обозначают, где опущены знаки действий и скобки, поскольку безразлично, какие два из рядом стоящих векторов перемножаются векторно.

76 76 ) От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, то есть Это свойство следует из свойства определителей менять знак при перестановке двух строк или столбцов. ) Круговая перестановка (циклическая) трёх множителей не меняет величину смешанного произведения, то есть 4) Векторы,, когда равно нулю их смешанное произведение, то есть компланарны тогда и только тогда, 0 или 0

77 5) Двойным векторным произведением трёх векторов,, называется векторное произведение вектора на векторное произведение двух векторов, т.е. [, ] Из определения следует, что двойное векторное произведение есть вектор. Двойное векторное произведение раскрывается по правилу: [, ] ( ) ( ) 77

78 4. Условие коллинеарности двух векторов. Условие компланарности трёх векторов. Теорема: Чтобы вектора и были коллинеарными, необходимо и достаточно выполнения следующего равенства l m 0 (4.0) где l и m - числа, среди которых по крайней мере одно отлично от нуля. Доказательство: Необходимость. Пусть. Если один из векторов отличен от нуля, например 0 то можно записать λ, где λ - некоторое число. 78

79 Последнее равенство можно переписать в виде λ 0 получим выражение аналогичное (4.0). Достаточность. Пусть имеет место выражение (4.0). По условию не равны нулю одновременно. Пусть например m 0, тогда из (4.0) l или λ. m Следовательно что и требовалось доказать. l и m 79

80 Если векторы то векторное равенство и заданы своими координатами, т.е. (,, ) и (,, ), λ равносильно следующим: λ, λ, λ откуда Для параллельности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы координаты одного вектора были пропорциональны соответствующим координатам другого. 80

81 Теорема: Необходимым и достаточным условиям копланарности трёх векторов,, из которых никакие два не коллинеарны, является выполнение равенства m n p 0 (4.) где m, n, p числа, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. 8

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее