Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич."

Транскрипт

1 МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия» (М Стройиздат 003 и последующие переиздания) Для удобства пользования электронными и бумажными вариантами сохранена нумерация разделов и задач 11 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ При изучении различных разделов естествознания и технических дисциплин встречаются величины которые полностью определяются заданием их числовых значений Такие величины называются скалярными Примерами могут служить: время температура масса площадь и т д Однако развитие науки особенно физики потребовало введения величин которые кроме численного значения характеризуются также направлением в пространстве Такие величины будем называть векторными Примерами служат силы скорости и ускорения точек движущегося тела и т д Основы векторного исчисления были заложены в середине XIX века УР Гамильтоном а настоящий свой вид оно приобрело благодаря работам ДУ Гиббса - американского физика и математика Векторную величину (в дальнейшем для краткости будем говорить вектор) принято изображать в пространстве отрезком если условиться о единице масштаба у которого одна точка например А принимается за начало (рис11) а вторая - В - за конец Такой отрезок будем называть ориентированным или направленным и обозначать AB или Длина вектора AB называется его модулем и обозначается AB B A Рис 11 Рис 1 Если начало и конец вектора совпадают то он называется нулевым и обозначается 0 Модуль нулевого вектора равен 0 то есть 0 0 а его направление не определено Последним мы иногда будем пользоваться считая что 0 имеет любое (нужное нам в данном случае) направление Два вектора и называются коллинеарными если они расположены на одной или параллельных прямых (рис 1) В этом случае будем использовать запись

2 Следствие: нулевой вектор 0 коллинеарен любому вектору Перейдём к определению операций над векторами Два вектора называются равными если они имеют равные модули коллинеарны и направлены в одну сторону Из этого определения следует что вектор можно переносить параллельно самому себе помещая его начало в любую точку пространства Такие векторы принято называть свободными В курсе теоретической механики показано что свободным вектором является момент пары сил действующих на абсолютно твёрдое тело Если два вектора имеют равные модули коллинеарны но направлены в разные стороны то они называются противоположными Вектор противоположный обозначим Пример 11 Рассмотрим квадрат (рис 13) стороны которого - векторы d Согласно введённым определениям d M 1 r О M 3 Рис 13 Рис 14 Пример 1 Рассмотрим диск радиусом r вращающийся с угловой скоростью вокруг оси проходящей через точку О Скорости точек М 1 М М 3 (рис 14) V1 V V3 хотя модули этих векторов равны r Если несколько векторов параллельны некоторой плоскости они называются компланарными Очевидно любые два вектора компланарны поскольку всегда найдётся плоскость Q параллельная прямым на которых расположены рассматриваемые векторы (рис 15) M Q Рис 15

3 Рассмотрим два произвольных вектора и и из произвольной точки пространства О как из начала построим вектор OA а затем из точки А как из начала построим вектор AB (рис 16) 3 А В О Рис 16 Рис 17 Вектор OB соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго называется суммой этих векторов и обозначается Нетрудно заметить что вектор можно построить другим способом воспользовавшись правилом параллелограмма (рис 17) Отсюда в частности следует что сумма двух векторов обладает переместительным свойс-твом: Определение суммы можно обобщить на любое число слагаемых Найдём например сумму трёх векторов (рис 18) A B O C Рис 18 Из очевидных построений вытекает справедливость сочетательного свойства для операции сложения векторов: ( ) ( ) Построенная фигура ОАВС называется векторным многоугольником Если начало первого слагаемого вектора совпадает с концом последнего то векторный многоугольник называется замкнутым Сумма векторов в этом случае равна нуль-вектору Рассмотрим два произвольных вектора и из некоторой точки О построим векторы OA и OB (рис 19) Соединив концы векторов и получим вектор BA Очевидно что OB BA OA Естественно назвать вектор BA разностью векторов и Итак разностью векторов и называется вектор сумма которого с вектором даёт вектор

4 Нетрудно заметить что если из общей точки построить параллелограмм на векторах и как на сторонах то одна из диагоналей равна сумме векторов а вторая - их разности (рис 110) А 4 О Рис 19 В Рис 110 Рассмотрим произвольный вектор и любое число R Произведением вектора на число называется вектор коллинеарный равный по модулю и направленный в ту же сторону что и вектор если 0 и в противоположную если 0 Пример 13 На рис 111 изображены векторы 0 5 и Вектор 0 5 направлен в ту же сторону что и а по модулю в два раза меньше Вектор противоположный можно рассматривать как результат умножения на -1 : 1 Из определения операции умножения вектора на число следует что если то векторы и коллинеарны Верно и обратное: из коллинеарности векторов и следует что где - число равное отношению модулей векторов к (если 0 ) 0 если векторы направлены в одну сторону и 0 - в противоположном случае Таким образом для коллинеарности двух векторов ( 0 ) и необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие Рис 111 Рис 11 Легко убедиться что операция умножения вектора на число обладает распределительным свойством по отношению к векторному и скалярному множи-

5 телям а также сочетательным свойством по отношению к скалярному множителю: (11) Так например первое свойство (11) для 0 следует из того что при изменении сторон параллелограмма в раз его диагональ также меняется в раз (рис 11) Введём несколько необходимых в дальнейшем понятий Единичным назовём вектор модуль которого равен единице и обозначим его индексом 0 вверху (рис 113) Если дан ненулевой вектор то единичный вектор того же направления равен (1) 0 1 Действительно вектор 0 коллинеарен вектору направлен в ту же сторону поскольку 0 и по модулю равен 1 Из (1) следует что любой вектор равен произведению единичного 0 вектора того же направления на модуль рассматриваемого вектора Рис 113 Рис 114 Углом между векторами и называется наименьший угол на который надо повернуть один из векторов до его совпадения по направлению со вторым Очевидно 0 Под углом между вектором и осью l будем понимать угол между вектором и единичным вектором l 0 (его назовём ортом оси) совпадающим по направлению с осью l (рис 114)

6 6 1 ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ВЕКТОРА ПО ОСИ Пусть l - некоторая ось AB - произвольно расположенный в пространстве вектор Обозначим А 1 и В 1 соответственно проекции точек А и В на ось l и пусть 1 и - их координаты (рис 115) Проекцией вектора на ось l называется разность координат конца и начала вектора AB на эту ось: Пр l 1 Если вектор образует с осью острый угол то > 1 и следовательно проекция положительна если угол тупой - отрицательна Если вектор перпендикулярен оси l то = 1 и его проекция на ось равна нулю А В 0 А 1 В 1 1 Рис 115 Свойства проекций 1 Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью Действительно ( - 1 ) - проекция вектора на ось не изменится при его параллельном переносе поэтому можно считать что начало вектора совпадает с точкой отсчёта 0 Тогда 1 = 0 а = и Прl 1 0 где - координата проекции конца вектора на ось l (рис 116) Так как os то Прl os В (13) В 1 С А А А 1 В 1 С 1 Рис 116 Рис 117 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось Пусть где AB BC и AC

7 а А 1 В 1 С 1 - проекции точек А В С на ось l и их координаты (рис 117) Тогда Прl AC Прl AB Пр l BC то есть Пр l ( ) Прl Пр l (14) Это свойство проекций легко обобщить на любое конечное число слагаемых: Пр Пр l n n i i1 i1 3 При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число : Пр ( ) Пр (15) l Действительно если вектор составляет с осью l угол и 0 то вектор имеет то же направление что и и составляет с осью такой же угол поэтому Пр ( ) os os os Пр l При 0 вектор направлен в сторону противоположную и образует с осью l угол поэтому Пр ( ) os( ) os( ) ( os ) Пр l Следствия: 1 Проекция разности векторов на ось равна разности проекций Пр l( ) Прl Пр l Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации проекций на эту же ось n Пр Пр n l i i i 1 i 1 l l i i l i Составляющей вектора по оси l назовём вектор равный произведению проекции вектора на ось l и единичного вектора l o оси : o Cост Пр l (16) l l Легко заметить (рис 118) что составляющая вектора по оси l есть вектор соединяющий проекцию начала вектора с проекцией его конца на эту ось Рассмотрим теперь два неколлинеарных вектора и и произвольный вектор причём будем считать что эти три вектора компланарны Из произ- l l 7

8 В А 8 А 0 А 1 В 1 В Рис 118 Рис 119 вольной точки 0 как из начала построим векторы и Проведём оси l 1 и l направления которых определяются векторами и и построим параллелограмм ОАВС так чтобы его диагональю служил вектор (рис119) Это возможно поскольку векторы и неколлинеарны Так как векторы OA и OB коллинеарны соответственно векторам и то OA 1 и OB отсюда 1 Полученное соотношение будем называть разложением вектора по двум неколлинеарным векторам и Покажем что это разложение единственно Для этого предположим противное: ' ' ' ' где 1 и одновременно не равны 1 и соответственно 1 ' ' или ' ' В результате получим где хотя бы один из скалярных множителей не равен нулю например ' ' 0 Отсюда следует что 1 1 ' но это означает коллинеарность векторов и что противоречит условию Полученное противоречие и доказывает единственность разложения Аналогичный факт имеет место и в пространственном случае: любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам и такое разложение единственно Нетрудно догадаться что в этом случае вместо параллелограмма строится параллелепипед Рассмотрим частный но важный для дальнейшего случай разложения произвольного вектора по трём некомпланарным векторам Пусть i j k - единичные векторы направления которых совпадают с направлениями координатных осей декартовой системы координат ОXYZ Эти три взаимно перпендикулярных вектора называют ортами координатных осей

9 Рассмотрим произвольный вектор и поместим его начало в точку О а конец обозначим точкой М В результате построен вектор OM Проведя через точку М плоскости параллельные координатным плоскостям получим прямоугольный параллелепипед одной из диагоналей которого M 1 M 3 является вектор OM Очевидно OM1 M1 P PM Заменив M P 1 и PM равными им OM и OM 3 получим OM1 OM OM 3 где OM 1 OM и OM 3 являются составляющими вектора P по координатным осям OX OY Рис10 и OZ На основании (16) OM i OM j OM k 1 3 где для краткости проекции вектора на координатные оси (рис 10) обозначены и В результате получена важная формула дающая разложение вектора на составляющие по координатным осям: i j k Рассмотрим точку М с координатами Вектор OM соединяющий начало координат с данной точкой М называется радиусом-вектором точки М Очевидно OM i j k Пусть проекции вектора на координатные оси равны и Назовём числа и координатами вектора и будем использовать запись Например запись 1 3 1i j 3 k 0 M M означает что Если векторы заданы в координатной форме то операции над векторами приводят согласно доказанным свойствам проекций к соответствующим операциям над их координатами 9

10 Пример 14 Даны векторы и 3 Найти и Решение Пользуясь свойствами суммы разности векторов и произведения вектора на число получаем: 1 i j 31 k 3i 4 k 1 i j 31 k i 4 j k 31i 3 j 33 k 3i 6 j 9 k 13 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ Модуль вектора Пусть вектор задан в координатной форме Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис 10) то как известно OM OM OM OM Учитывая что OM OM OM получаем: 1 3 (17) Таким образом модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат (проекций) Расстояние между двумя точками Рассмотрим вектор AB началом и концом которого являются соответственно точки A( ) и B( ) В этом случае расстояние между точками А и В равно модулю - длине вектора AB Поскольку координаты этого вектора равны соответственно то подставив их в (17) получим : AB Направляющие косинусы вектора Пусть вектор задан в координатной форме Направление вектора в пространстве можно определить углами которые вектор образует с координатными осями (рис 11) Эти углы и их косинусы называются направляющими Для их определения воспользуемся ранее полученной формулой (13) : os os os Отсюда предполагая что 0 получаем выражения для направляющих косинусов: 1 3

11 os ; os ; os Воспользовавшись формулой (17) перепишем (18) в виде (18) os ; os ; os (19) Возведя в квадрат левые и правые части формул (19) и сложив их получим важное соотношение связывающее направляющие косинусы любого вектора: os os os 1 Для вектора 0 учитывая что его модуль равен 1 получаем: os ; os ; os ; os i os j os k Пример 15 Найти направляющие косинусы вектора AB если координаты точек известны: A(1 3) и B( 4 5) Решение Вектор AB равен AB i j k отсюда os 1 1 os os M M M 1 11 Рис 11 Рис 1 Деление отрезка в заданном отношении Даны точки М 1 ( ) и М ( ) Требуется найти координаты точки М ( ) делящей отрезок М 1 М в заданном отношении ( -1) Построим радиусы-векторы r 1 r и r точек М 1 М и М (рис 1) Очевидно векторы M M 1 и MM коллинеарны Примем что точка М делит отрезок М 1 М в отношении если M M 1 MM 0 0 и при > 0 векторы M M 1 и MM направлены в одну сторону а при < 0 - в разные ( в этом случае точка М лежит вне отрезка

12 М 1 М ) Это условие кратко можно записать в виде M M Выразив M M 1 и MM через r 1 r и r получим MM 1 1 r r1 r r (110) Рассмотрев (110) как уравнение для r найдём r r r 1 1 (111) Учитывая что r r r и переходя к координатной форме в (111) получаем координаты точки М : (11) При = 1 формулы (111) и (11) определяют середину отрезка Пример 16 Найти координаты центра тяжести однородной пластины в виде треугольника с вершинами в точках A( ) B( ) и С( ) Решение Как известно центр тяжести такой пластины находится в точке пересечения медиан D треугольника (рис 13) Для определения координат точки D учтём что она делит любую медиану например АЕ в отношении два к одному AD DE Находим вначале координаты точки Е C учитывая что она делит отрезок ВС по- Рис 13 полам а затем координаты искомой точки D E E E 1 E D D D Условие коллинеарности векторов Ранее было показано что для коллинеарности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно чтобы выполнялось соотношение где - некоторое число Выразим это соотношение в координатной форме с учётом того что На основании свойств проекций получим : и или (113) A D E B

13 Таким образом для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно чтобы их одноимённые координаты были пропорциональны Может оказаться что один из знаменателей в (113) равен нулю в этом случае соответствующий числитель тоже должен быть равным нулю 14 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В отличие от умножения двух чисел операция умножения вектора на вектор может быть определена двумя различными способами каждый из которых имеет своё математическое и прикладное значение Введём вначале понятие скалярного произведения Назовём скалярным произведением векторов и число равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними: os (114) Часто для обозначения скалярного произведения употребляют и такую форму записи: Рассмотрим пример из механики приводящий к понятию скалярного произведения Пусть материальная точка М движется по прямой из положения А в положение В проходя при этом расстояние s а на точку действует постоянная сила F (рис 14) Как известно работа Е совершаемая при этом перемещении силой F будет равна : E F sos Если ввести вектор перемещения AB то по определению скалярного произведения получим: E F AB 13 A M B Рис 14 Рис 15 Свойства скалярного произведения 1 Скалярное произведение двух векторов обладает переместительным свойством : Действительно согласно определению : os os

14 Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов и проекции другого вектора на направление первого: Пр Пр (115) Доказательство следует из того что os Пр и os Пр Формулы (115) позволяют найти проекцию одного вектора на направление другого (рис 15) : Пр Пр (116) o o Если один из векторов единичный например 14 1 то o формула (116) упрощается : Пр o то есть проекция вектора на некоторое направление равна скалярному произведению единичного вектора рассматриваемого направления и данного вектора 3 Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя : Действительно согласно уже доказанным свойствам скалярного произведения и проекции векторов р р П П р р П П 4 Скалярное произведение обладает распределительным свойством: Действительно согласно (116) и (14) Пр Пр Пр Пр Пр 5 Скалярное произведение равно нулю если равен нулю один из перемножаемых векторов или косинус угла между ними (векторы ортогональны) Это утверждение непосредственно следует из определения Верно и обратное : если векторы и ортогональны то и 0

15 Следствия : 1 Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны необходимо и достаточно равенство нулю их скалярного произведения: 0 (117) Скалярный квадрат вектора (скалярное произведение вектора самого на себя) равен квадрату его модуля Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора (118) Действительно os 0 o Пример 17 Найти модуль вектора 3 если 4 5 угол между векторами и равен 60 o 15 и Решение Находим скалярный квадрат вектора и затем его модуль : os o Скалярное произведение в координатной форме 1 os Пусть векторы заданы в координатной форме и Выразим скалярное произведение векторов через их координаты для чего воспользуемся разложением векторов по координатным осям (15) и полученными свойствами скалярного произведения i j k i j k i i j i k j i j j k k i k j k Учитывая что в силу ортогональности ортов осей i j k их скалярные произведения равны нулю а их скалярные квадраты (единичные векторы) равны единице получаем : (119) Таким образом скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат Воспользуемся теперь выражением скалярного произведения в координатной форме (119) и вновь рассмотрим некоторые задачи

16 1 Модуль вектора Воспользовавшись (118) и выразив скалярный квад- рат вектора получим уже известный результат: Угол между векторами Воспользуемся определением скалярного произведения (114) из которого перейдя к координатной форме найдём косинус искомого угла : os (10) 3 Условие ортогональности Выразив уже известное условие (117) в координатной форме получим: 4 Проекция вектора на вектор Перейдём в (116) к координатной форме: 0 (11) Пр (1) Пример 18 Найти угол между векторами и Решение Воспользуемся формулой (10): 3 ( ) ( ) os ros Пример 19 Определить при каком значении вектор 3 1 ортогонален вектору 1 П Решение Из условия ортогональности (11) получим Пример 110 Вычислить проекцию вектора если 3 4 и Решение Воспользуемся формулой (1): р на вектор

17 17 15 ВЕКТОРНОЕ СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Введём вначале понятия упорядоченной тройки векторов и определителя I Пусть даны три некомпланарных вектора и с общим началом перечисленные в указанном порядке : первый второй и третий Назовём тройку векторов правой если кратчайший поворот от первого вектора ко второму будет виден с конца третьего вектора происходящим против хода часовой стрелки (рис 16) Если же поворот от к будет виден происходящим по ходу часовой стрелки то тройку векторов и назовём левой Происхождение этих названий связано с известным правилом правой и левой руки Легко проверить что при перестановке двух векторов правая тройка перейдёт в левую а левая - в правую Так например если тройка и - правая то - левая При циклической же перестановке векторов когда второй вектор становится на место первого третий на место второго а первый на место третьего правая тройка перейдёт в правая Рис 16 левая правую а левая в левую Например если - правая тройка то правыми будут также и Если орты осей i j k в указанном порядке образуют правую тройку векторов то говорят о правой системе координат но о левой если i j k - левая тройка векторов В дальнейшем будет использоваться только правая система координат II Рассмотрим квадратную таблицу чисел состоящую из n строк и n столбцов которую в дальнейшем будем называть квадратной матрицей порядка n Число стоящее на пересечении i - й строки и j - го столбца назовём элементом матрицы с индексами i и j то есть условимся что первый индекс определяет номер строки а второй - столбца 11 ij n1 1n nn

18 Введем теперь числовую характеристику такой матрицы - определитель (иногда говорят детерминант) Определителем матрицы первого порядка называется число 11 которое обозначим 11 Определителем матрицы второго порядка называется число : Если диагональ матрицы идущую из верхнего левого угла назвать главной а вторую - побочной (вспомогательной) то определитель квадратной матрицы второго порядка или короче определитель второго порядка будет равен разности произведений элементов стоящих на главной и вспомогательной диагоналях Определителем квадратной матрицы третьего порядка или короче определителем третьего порядка называется число равное Формулу (13) выражающую величину определителя третьего порядка через его элементы легко запомнить если заметить (рис 17) что в правой части (13) со знаком плюс стоят произведения элементов расположенных на главной диагонали и в вершинах треугольников одна из сторон которых параллельна главной диагонали Произведения же элементов стоящих на вспомогательной диагонали или в вершинах треугольников (13) одна из сторон которых параллельна побочной (вспомогательной) диагонали берутся со знаком минус Общее понятие определителя n-го порядка будет введено в главе Линейная алгебра Свойства определителей * * * 1 При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется Под транспонированием понимают замену строк соответствующими столбцами Доказательство немедленно следует из определения Проведём его для определителя третьего порядка Для этого заметим что транспонирование * * * * * * * * * * * * * * * + - Рис 17 18

19 меняет элементы ij и ji местами но при этой операции правая часть формулы (13) не меняется Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов поэтому любое утверждение для строк будет справедливо и для столбцов При перестановке двух строк определитель меняет знак Покажем справедливость этого свойства для определителя третьего порядка Пусть переставлены первая и вторая строки Раскрывая этот определитель и сравнивая результат с (13) получаем : Если в определителе некоторая строка является линейной комбинацией двух строк то он равен соответствующей линейной комбинации определителей Доказательство этого свойства следует из определения и читатель может провести его самостоятельно Величина определителя третьего порядка равна: i A j 1 M j1 3 ij ij ij j1 ij (14) Эту формулу называют разложением определителя по i - й строке величину A ij называют алгебраическим дополнением элемента ij а M ij - минором второго порядка который равен определителю второго порядка полученному из вычёркиванием i - й строки и j - го столбца Формула (14) сводит вычисление определителя третьего порядка к определителям второго порядка В частности при i = 1 получим разложение определителя по первой строке

20 Следствия (15) 1 Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю Действительно меняя местами две одинаковые строки мы с одной стороны не меняем величины определителя а с другой по второму свойству меняем его знак Следовательно 0 0 Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число Это утверждение следует из третьего свойства при 0 3 Если все элементы некоторой строки равны нулю то определитель равен нулю Это утверждение следует из предыдущего при 0 4 Если все элементы двух строк определителя пропорциональны то он равен нулю Вынеся коэффициент пропорциональности на основании второго следствия получим определитель с двумя одинаковыми строками который по первому следствию равен нулю 5 Добавление к одной строке линейной комбинации других строк величины определителя не меняет На основании третьего свойства искомый определитель можно представить в виде линейной комбинации определителей один из которых равен а все остальные имеют по две одинаковые строки и следовательно равны нулю В заключение напомним ещё раз что все результаты полученные для строк справедливы и для столбцов III Перейдём теперь к понятию векторного произведения для чего рассмотрим два произвольных вектора и Не ограничивая общности можно считать что векторы имеют общее начало (рис 18) Векторным произведением вектора на вектор назовём вектор направленный перпендикулярно к обоим векторам образующим с этими векторами в порядке правую тройку и по модулю равный площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах

21 1 Первые два условия для вектора можно сформулировать и так : вектор перпендикулярен и и направлен в ту сторону откуда кратчайший поворот от к виден против хода часовой стрелки Для векторного произведения будем использовать обозначения Рис 18 Согласно определению модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов или и на синус угла между ними : sin С векторным произведением связаны многие физические величины: момент силы относительно центра; скорость точки при вращательном движении твёрдого тела; сила действующая на движущийся в магнитном поле заряд Рассмотрим более подробно первые два примера Пусть к твёрдому телу в точке А приложена сила F (рис 19) В физике и теоретической механике вводится понятие момента силы относительно центра например точки О как вектора M F модуль которого равен произведению o модуля силы на длину плеча d силы F относительно центра О и который направлен перпендикулярно плоскости проходящей через точку О и линию действия силы F в ту сторону откуда поворот тела совершаемый силой будет виден против хода часовой стрелки Рассмотрим теперь векторное произведение r F Этот вектор направлен перпендикулярно к векторам r и F то есть к плоскости ОАВ в сторону откуда кратчайший поворот от r к F виден против хода часовой стрелки и равен по модулю r F r F sin r F sin F d то есть Mo F r F

22 В O 1 А M Рис19 Рис130 Пусть М - произвольная точка тела вращающегося с угловой скоростью Для удобства будем считать что вращение происходит вокруг оси OZ Как известно скорость точки М направлена по касательной к окружности описываемой точкой при вращении тела при этом плоскость в которой лежит окружность перпендикулярна оси вращения (рис 130) Величина скорости равна V О d где d - расстояние от точки М до оси вращения Выберем на оси произвольную точку О и отложим от неё векторы и r между векторами и r обозначим Учитывая что d r OM Угол sin и подставляя его в формулу для V получаем: V r sin Остаётся сказать что вектор скорости равен по модулю вектору r и направлен перпендикулярно плоскости ОО 1 М в сторону соответствующую направлению вращения то есть так же как и вектор r Следовательно эти векторы r равны и V Рассмотрим теперь основные свойства векторного произведения 1 При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак сохраняя модуль Действительно из определения векторного произведения следует что векторы и имеют равные модули перпендику- лярны векторам и и направлены в разные стороны: Следовательно для векторного произведения переместительное свойство не имеет места (векторное произведение антикоммутативно) Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя (16) O

23 Пусть 0 Если - угол между векторами и то между векторами и и угол также Учитывая это найдём модули всех выражений входящих в (16): sin ; sin sin sin ; sin sin sin Следовательно модули этих векторов равны Кроме того вектор перпендикулярен векторам и Вектор также перпендикулярен векторам и так как и лежат в одной плоскости с векторами и Направления этих векторов очевидно совпадают то есть Тем самым доказана первая часть двойного равенства (16) при 0 Вторая часть и случай 0 доказываются аналогично Справедливость же (16) при 0 очевидна 3 Векторное произведение обладает распределительным свойством: (17) Для доказательства разложим векторы и 3 на составляющие параллельные и перпендикулярные (соответственно помеченные) вектору : ; ; Заметим теперь что ; ; (18) Действительно в первом случае площадь параллелограмма построенного на векторах и равна площади прямоугольника построенного на и (рис 131) направлены же векторы и одинаково Так же обосновываются вторая и третья части (18) Покажем теперь что (19)

24 4 Действительно вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и например от чертежа к нам (в этом случае вектор обычно изображают на чертеже если же он направлен от нас то ) поэтому векторное произведение будет находиться в плоскости чертежа и изображаться отрезком длины повёрнутым относительно на 90 о против хода часовой стрелки (рис 13) Аналогично строятся векторы Таким образом параллелограмм построенный на векторах и получен поворотом на 90 о против хода часовой стрелки и растяжением в раз параллелограмма построенного на векторах и Так как при этом диагональ продолжает соответствовать геометрической сумме векторов на которых он построен то обоснованно соотношение (19) которое в силу (18) равносильно (17) В механике соответствующее утверждение называется теоремой Вариньона - момент равнодействующей сил приложенных в одной точке относительно данного центра равен сумме моментов составляющих 4 Если векторное произведение равно нуль-вектору то либо один из сомножителей равен нуль-вектору либо синус угла между векторами равен нулю то есть векторы коллинеарны Это утверждение непосредственно вытекает из определения Верно и обратное: если два вектора коллинеарны то их векторное произведение равно нуль-вектору Отсюда следует ещё одно условие коллинеарности: для коллинеарности векторов и необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору: 0 Рис 131 Рис 13 Пример 111 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах если 3 4 и угол между векторами и равен 60 о и

25 Решение Площадь S искомого параллелограмма равна модулю векторного произведения при вычислении которого используются доказанные свойства: S o sin 34sin Рассмотрим два вектора и заданные в координатной форме и выразим векторное произведение 5 через координаты сомножителей Предварительно найдём все возможные векторные произведения единичных векторов i j k Очевидно i i j j k k 0 (130) Рассмотрим теперь i j Этот вектор направлен перпендикулярно i и j в ту же сторону что и k (рис 133) а его модуль равен o i j i j sin90 1 Следовательно Рис 133 i j k j i k (130) Аналогично показывается что j k i k j i k i j i k j (130) Перейдём теперь к вычислению воспользовавшись разложением сомножителей по координатным осям свойствами векторного произведения и формулами (130) - (130) i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k k j k i j i i j k Нетрудно заметить что полученное выражение можно записать в виде i j k i j k (131) то есть представить его используя формулу (15) в виде определителя третьего порядка в первой строке которого стоят орты осей а во второй и третьей

26 соответственно координаты векторов и Разумеется это выражение не является определителем в обычном смысле зато даёт удобный для запоминания способ вычисления векторного произведения Пример 11 Найти площадь треугольника АВС если координаты вершин известны: А(1 1 1) В( 0 1) и С(1-1) Решение Воспользуемся тем что модуль векторного произведения равен удвоенной площади треугольника построенного на этих векторах как на сторонах (рис 134) Введём векторы В AB AC 0 1 и найдём векторное произведение: i j k i j k Отсюда: S Пример 113 Найти вектор перпендикулярный векторам и и образующий тупой угол с осью OX если и 0 1 А Рис 134 С 6 Решение Найдём вектор перпендикулярный и i j k i j k 0 1 Поскольку вектор перпендикулярен векторам и то он коллинеарен вектору и его можно представить в виде Так как то 1 Поскольку образует тупой угол с осью OX его проекция на эту ось должна быть отрицательной отсюда 1 и 1 1 IV Перейдём теперь к смешанному произведению Для этого рассмотрим три вектора и и первые два вектора умножим векторно а затем полученный вектор умножим скалярно на третий вектор в итоге получим число Такое произведение назовём смешанным произведением

27 используют и такую форму записи: трёх векторов: Для записи смешанного произведения наряду с Пусть векторы заданы в координатной форме Выразим смешанное произведение через координаты сомножителей Согласно (131) i j k Так как i j k то используя выражение скалярного произведения в координатной форме (119) получаем В правой части полученного выражения нетрудно узнать разложение по элементам третьей строки следующего определителя третьего порядка: 7 (13) Таким образом смешанное произведение равно определителю третьего порядка у которого элементами первой второй и третьей строк являются координаты соответственно первого - второго - и третьего - сомножителей Свойства смешанного произведения 1 Циклическая перестановка сомножителей в смешанном произведении не меняет его величины а любая другая приводит к смене знака: Для доказательства отметим что согласно (13) циклическая перестановка сомножителей в смешанном произведении приводит к чётному числу перестановок строк определителя а любая другая - к нечётному поэтому в первом случае знак произведения сохраняется а во втором - меняется Рассмотрим три вектора и покажем что объём параллелепипеда построенного на векторах как на сторонах равен модулю смешанного произведения

28 Действительно по определению модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах С другой стороны по определению скалярного произведения os где - угол между векторами и Нетрудно заметить что с точностью до знака os равно высоте параллелепипеда d (рис 135) V и следовательно V Отсюда следует: Пример 114 Найти объём пирамиды с вершинами в точках О(0 0 0) А(5 0) В( 5 0) и С(1 4) Решение Введём в рассмотрение векторы OA 5 0 OB и OC 1 4 Как известно объём пирамиды построенной на векторах OA OB и OC как на сторонах равен одной шестой объёма параллелепипеда построенного на тех же векторах отсюда VOABC OA OB OC Рассмотрим три вектора и покажем что для компланарности трёх векторов необходимо и достаточно чтобы их смешанное произведе- 0 ние равнялось нулю: Действительно обозначив для краткости p можно заметить что из условия p 0 следует ортогональность векторов p и В свою очередь векторы и ортогональны p следовательно и параллельны одной плоскости то есть компланарны И наоборот если и компланарны то объём параллелепипеда построенного на этих векторах как на 0 сторонах будет равен нулю то есть d Рис135

29 Пример 115 Определить лежат ли точки А(1 3) В(0 5 5) С(3-1-1) и D(- 14 9) в одной плоскости? Решение Рассмотрим три вектора AB 1 3 AC и AD Если точки А В С и D лежат в одной плоскости то введённые векторы компланарны Для проверки вычислим смешанное произведение этих векторов: 1 3 AB AC AD Следовательно векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости V Рассмотрим упорядоченную тройку векторов и свяжем знак с их взаимным расположением Пусть на- смешанного произведения пример векторы образуют в указанном порядке правую тройку Определим знак смешанного произведения этих векторов По определению Вектор направлен перпендикулярно и в ту сторону откуда кратчайший поворот от к виден против хода часовой стрелки (рис 136) В ту же сторону ( Рис 136 относительно плоскости содержащей и ) по определению правой тройки направлен вектор Следовательно угол между векторами и - острый и поэтому os 0 Аналогично показывается что для левой тройки векторов их смешанное произведение отрицательно VI Рассмотрим три вектора и умножим первый векторно на вектор с - векторное произведение второго и третьего В результате получим вектор d который и называется двойным векторным произведением Таким d d образом или в других обозначениях вектору Вектор d по определению векторного произведения перпендикулярен к с Но вектор с в свою очередь перпендикулярен к и и поэтому векторы и d компланарны Если векторы и неколлинеарны

30 30 (и следовательно не нулевые) то вектор d можно представить в виде их линейной комбинации: d (133) где и пока не известные коэффициенты Для их определения воспользуемся координатной формой задания векторов : ; ; с с с с ; d d d d В этом случае k j i с ; ; и k j i d Раскрывая определитель получим координаты вектора d - двойного векторного произведения d d d Раскрывая скобки в первой строке добавляя и вычитая и группируя получим d Аналогично определяем d и d d d Отсюда искомый вектор d равен k j i k j i k j i k d j d i d d

31 31 и формула (133) принимает вид d (134) Полученная формула остаётся справедливой и в случае коллинеарности векторов и В этом случае с и левая часть (134) равна 0 поскольку второй векторный множитель 0 с а правая равна 0 Свойства двойного векторного произведения При циклической перестановке векторов и формула (134) приводит к трём различным векторам (135) Складывая левые и правые части этих трёх равенств получим что для любых трёх векторов и справедливо соотношение 0 (136) В частном случае 0 формула (134) принимает вид или 1 В результате вектор разложен на две составляющие одна из которых коллинеарна а вторая ортогональна Пример 116 Рассмотрим твёрдое тело вращающееся с угловой скоростью вокруг некоторой оси (например OZ) Как было показано ранее скорость произвольной точки тела М равна r V где OM r радиус вектор точки М (рис 137) При изучении такого движения твёрдого тела в физике и теоретической механике вводится понятие кинетического момента (или момента количества движения) относительно центра О равного сумме кинетических моментов элементов на которые разбивается это тело Если элемент достаточно мал его рассматривают как материальную точку а само тело как систему материальных точек Кинетический момент элемента будет равен r r m V r m V m OM L o где m масса элемента Согласно (134) r r r m r r m L o

32 3 0 Рис137 Контрольные вопросы к главе I Чем отличаются векторные и скалярные величины? Как определяется равенство векторов сложение двух и более векторов умножение вектора на скалярный множитель? Как определяется и вычисляется проекция вектора на ось; чему равна проекция на ось суммы векторов произведения вектора на число? Чем отличаются проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси? Как определяется направление вектора? Какие векторы называются коллинеарными и как записывается условие коллинеарности векторов в векторной и координатной формах? Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов и его свойства Как вычисляется скалярное произведение двух векторов в координатной форме? Как с помощью скалярного произведения записать условие ортогональности двух векторов вычислить модуль вектора найти проекцию вектора на вектор? Как определяются правая и левая тройки векторов? Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов и его свойства Как вычисляется векторное произведение в координатной форме? Как с помощью векторного произведения найти площадь параллелограмма построенного на двух векторах как на сторонах? Сформулируйте определение смешанного произведения трёх векторов и его свойства Как вычисляется смешанное произведение в координатной форме? Как с помощью смешанного произведения найти объём пирамиды построенной на трёх векторах как на сторонах? Сформулируйте определение и условие компланарности трёх векторов в векторной и координатной формах Сформулируйте определение двойного векторного произведения трёх векторов и его свойства

33 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1 Найти координаты длину и направляющие косинусы вектора AB если и B4 5 Сделать чертёж Ответ AB 8 6 AB 10 os 0 8 os 0 6 Даны вершины треугольника A3 7 B5 3 и C1 9 A 4 1 Определить координаты середин сторон треугольника Ответ M4 N 6 K Найти направляющие косинусы вектора AB если известны координаты точек A 0 и B Ответ os os os Определить координаты точек В и С отрезка АВ разделённого на три равные части точками С и D если известны координаты A 1 Ответ C1 5 B7 5 5 и D4 4 5 Вектор образует с осями OZ и OY соответственно углы 10 о и 60 о Какой угол образует с осью OX? 3 Ответ os Найти модуль направляющие косинусы и координаты начала вектора AB если известны B 3 0 и AB Ответ A 1 0 AB os os os Может ли вектор составлять с координатными осями углы: o 45 o o ; o 45 o o 60 10? Ответ Нет; да 8 Найти модули векторов p и q 3 если Ответ p и q 5 9 Найти модули векторов и если p q 3 p q p 1 0 q Ответ 03 11

34 10 Коллинеарны ли векторы p 4 и q и ? Ответ Не коллинеарны 11 Коллинеарны ли векторы 1 3 и B если и AB если A 3? В случае коллинеарности найти коэффициент пропорциональности и определить сонаправлены они или нет Ответ AB противоположно направлены 1 Являются ли точки A1 1 B3 4 C7 4 и D7 1 трапеции? A 1 0 вершинами Ответ Да AD 6 0 BC 4 0 AD 15 BC 13Найти орты векторов 4 4 и 6 3 Ответ o 3 1 o Разложить вектор по векторам 3 и Ответ Какой угол образуют векторы и если? Ответ 0 16 Найти координаты центра тяжести однородного стержня АВ если и B5 4 Ответ C3 17 Отрезок АВ разделён на три равные части точками C и D Найти координаты точек В и D если A 1 C1 4 Ответ D4 7 B Определить координаты вершины D и точку Е пересечения диагоналей параллелограмма ABCD если A0 0 B1 C3 3 Ответ D 1 E Найти скалярное произведение векторов 5 3 Ответ o 90 o 10 если o

35 если 0 Найти скалярное произведение векторов o 10 o 90 Ответ Найти внутренние углы А В и С треугольника АВС если известны координаты вершин A 7 B7 1 C Ответ os A os B os C Вычислить работу постоянной силы F при перемещении точки её приложения М по прямой из положения A 1 3 в положение B4 0 3 Ответ Е = 3 Вычислить работу равнодействующих двух постоянных сил F и P 5 при перемещении точки её приложения М по прямой из положения A 3 8 Ответ Е = -7 в положение B 5 7 o 4 Определить при котором векторы 3 и ортогональны Ответ = 5 Найти проекцию вектора на направление вектора Ответ Пр Найти модуль вектора p если 4 6 и векторы и образуют друг с другом углы 60 о Ответ p 10 7 Найти угол между векторами p и q если o 1 45 Ответ os

36 8 Найти вектор коллинеарный вектору 1 3 если он образует тупой угол с осью OZ и его модуль равен Ответ Найти вектор коллинеарный вектору если он образует тупой угол с осью OZ и его модуль равен 57 Ответ Найти проекцию вектора 4 3 на ось составляю- o o щую с координатными осями углы и 90 o 3 Ответ пр l 4 31 Вычислить проекцию вектора на направление вектора если 3i 6 j k i 4 j 5 k Ответ Пр 4 3Доказать что диагонали AC и BD четырёхугольника с вершинами B1 4 0 C и D перпендикулярны Ответ AC BD 0 33 Найти площадь треугольника с вершинами A1 0 B3 0 3 A 1 C 5 6 Ответ S = 14 и 34 Вычислить если и 4 Ответ 35 Доказать что треугольник с вершинами A3 1 B0 4 равнобедренный C 3 1 Ответ AC BC 46 и 36 Доказать что треугольник с вершинами A3 1 6 B 1 7 прямоугольный C 1 3 Ответ AC BC 0 и

37 37 Вычислить длину медианы AD треугольника с вершинами B3 6 и C 5 0 A 1 4 Ответ AD 7 если его модуль равен 13 Ответ t 3 39 Вычислить работу равнодействующей трёх постоянных сил F 38 Определить третью координату вектора 4 1 t P 3 5 и Q приложенных в одной точке в положение B4 1 4 A М при её прямолинейном перемещении из положения Ответ Е = 7 40 Определить внешний угол треугольника при вершине А если известны координаты его вершин: A3 3 4 Ответ os 9 B5 1 1 и C Вычислить внутренние углы треугольника с вершинами A1 1 и C7 4 и показать что он равнобедренный B Ответ os A os B os C Определить координаты вектора коллинеарного вектору 1 1 если Ответ Найти модуль векторного произведения векторов и если 3 и 6 Ответ 0 44 Известны модули векторов и угол между ними соответствен-но равные 3 и 30 о Вычислить: а) б) 4 3 Ответ а) 6 б) Найти если известны модули векторов и угол между ними соответственно равные 3 и 150 о Ответ

38 Найти координаты векторов : а) 3 и Даны векторы i j k б) 3 Ответ а) 10 6 б) Даны векторы i k и Ответ Найти момент силы F относительно точки A вектора B 1 0 косинусы Ответ M F Найти координаты приложенной в точке и его направляющие 1 A os os os Найти момент равнодействующей трёх сил: F 1 3 P 3 1 и Q приложенных в точке B 1 4 относительно точки A 3 1 и его направляющие косинусы 1 Ответ M AR os os os Найти длину высоты треугольника АВС опущенной из вершины В на сторону АС если A1 1 B5 6 и C1 3 1 Ответ h = 5 51 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах AB и AC как на сторонах если AB A1 1 3 и C 0 3 Ответ S Найти координаты вектора ортогонального векторам если он образует острый угол с осью и ОХ и его модуль равен 4 4 Ответ 53 Найти координаты вектора ортогонального оси OZ и вектору если он образует острый угол с осью ОХ и его модуль равен 34

39 Ответ Найти площадь параллелограмма построенного на векторах 5i 4 j 7 k и i j k как на сторонах Ответ S Даны векторы 3 1 и 1 1 Найти координаты векторных произведений: а) r q Ответ а) r б) p 4 r в) q r 39 б) p в) 56 Известны координаты точек A 1 B1 1 и C3 1 Найти координаты векторных произведений: а) p AB BC б) Ответ а) p ; б) q AC BC q BC CA CB 57 Определить t если площадь параллелограмма построенного на векторах t 0 6 и 3 как на сторонах равна 8 Ответ t 1 t Найти модуль смешанного произведения векторов и если ортогонален и угол между и равен 45 о а модули соответственно равны 4 3 Ответ 1 и 59 Векторы и взаимно ортогональны и образуют в указанном порядке левую тройку Найти смешанное произведение этих векторов если их модули соответственно равны 3 5 Ответ Определить какой является тройка векторов и если: а) j k i ; б) k j k j i ; в) i j k i k ;

40 г) i j k Ответ а) 1 - правая; б) в) 1 - левая; г) - левая; 4 - правая 61 Определить компланарны ли векторы и если : а) б) i j k Ответ а) б) 0 - компланарны ; 6 Лежат ли в одной плоскости точки : а) A5 7 и D1 5 0 ; б) A1 1 1 B3 6 8 C D 3 3? Ответ а) б) да B3 1 1 C 0 40 и 63 Найти объём пирамиды с вершинами в точках A0 0 1 B 3 5 C6 3 и D3 7 D Ответ V = 0 64 Даны вершины тетраэдра A 3 1 B4 1 C Найти длину его высоты опущенной из вершины D Ответ h = Выяснить линейно зависимы или нет три вектора если: а) 4 б) и ; Ответ а) 0 - линейно зависимы ; б) 9 - нет 66 При каком значении параметра t векторы 1 3 t t и 1 t будут компланарны? 0 Ответ t = 0 67 При каком значении параметра t точка M t t t одной плоскости с точками A1 0 B 0 1 и C 1 Ответ t = 1 будет лежать в?

41 68 Известны координаты трёх вершин тетраэдра: A4 B5 6 3 и C3 3 Найти координаты четвёртой вершины D лежащей на оси ОХ при условии что объём тетраэдра равен 3 70 Ответ Лежат ли в одной плоскости линии действия сил F 3 1 и приложенных в точках A1 1 и B3 5 3? P 1 3 Ответ F P AB не лежат 41

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее