Функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функции комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного"

Транскрипт

1 Функции Дифференцирование функций 1

2 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение. Утверждение 1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке. 2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю. 3. Сложная функция f z дифференцируема в точке, если в этой точке дифференцируема функция z, а функция f u дифференцируема в точке, где u z u z. u 0 0 0, f z f z z 2

3 Пример. Доказать дифференцируемость во всей плоскости функций и найти их производные. а) z; б) z n n n1 n n1 n2 f z0 z z0 z z0 n z0 z z0 z z 2! f z z n 0 0 n 2... n Пример. Найти модуль и аргумент производной z 4i 2 а) f z 2iz 3 i; б) f z ; в) f z z, z0 1 i z 2i 3

4 Условия Коши-Римана дифференцируемости функции Между свойствами дифференцируемости функции как функции точки плоскости и дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных существует тесная связь.,, f z u x y iv x y Если функции действительной и мнимой части дифференцируемы в точке и выполняются условия Коши-Римана, то и комплексная функция дифференцируема в точке 0 0 0,,,, u x y v x y D x y f z D z x iy u v x y uy vx 0 0 4

5 Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул: f z u iv; f z v iu ; x x y y f z u iu ; f z v iv; x y y x Правило. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции. 1. Для заданной функции найти действительную и мнимую части. 2. Найти частные производные функций действительной и мнимой части. 3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема. 4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из четырех формул. 5

6 Пример. Исследовать на дифференцируемость функции 2 а) f z z ; б) f z z Пример. Исследовать на дифференцируемость функцию f z e Правило. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции. 1. Для заданной функции найти действительную и мнимую части. 2. Найти частные производные функций действительной и мнимой части. 3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема. z ux vy u y v x 4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из четырех формул. 6

7 Условия Коши-Римана в полярных координатах Пример. Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.,, f z u x y iv x y cos i z r cos i cos re y rsin x r u 1 v r r u v r r ur u 1 v r rv r 7

8 Пример. Записать производную функции в полярных координатах.,, i f z u x y iv x y z 2 2 re r x y y arctg x z r f z u r iv r или f z u r iv r r z 8

9 Пример. Исследовать на дифференцируемость функцию и найти производную ln f z ln z, 0 arg z 2 u r, ln r, vr, z ln r i 1 u r ; u 0; v r 0; v 1. r Условия Коши-Римана в полярных координатах выполняются в любой точке заданной области, следовательно, функция дифференцируема в области. Заметим, что, очевидно, дифференцируемой в соответствующей области будет любая однозначная ветвь логарифма Тогда по формуле ln z ln r i 2k r 1 1 ln z i 0 z r z ur u 1 v r rv r 9

10 Функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой точке так и в некоторой ее окрестности. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. ux vy u y v x 10

11 ur u 1 v r rv r ux vy u y v x 11

12 12

13 Пользуясь условием Коши-Римана, аналитическую в точке z 0 функцию можно восстановить по известным формулам, если известна её действительная или мнимая часть. z z z z f z u C 2 2i 0 0 2, 0, z z z z f z iv C 2 2i 0 0 2, 0, где C f z

14 14

15 15

16 z z z z f z u C 2 2i 0 0 2, 0, z z z z f z iv C 2 2i 0 0 2, 0, где C f z

17 Определение. Функция называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа x y Если ФКП аналитична в некоторой области D, то ее действительная и мнимая часть являются гармоническими в этой области функциями. Однако обратное не верно, если u и v две гармонические функции, то их комбинация не будет аналитической ФКП если не выполняется условие Коши -Римана u x u y 2 2 v x v y Две аналитические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, называются сопряженной парой гармонических функций. u x u y v y v x 17

18 ux vy u y v 18 x

19 Геометрический смысл модуля и аргумента производной f z 0 длина радиуса-вектора точки f z 0 arg f z 0 угол наклона этого радиуса-вектора к действительной оси. Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение в точке z 0. Для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в исследуемой точке. В комплексной плоскости f z 0 коэффициент масштабирования. Если коэффициент масштабирования больше 1, то растяжений, если меньше 1 то сжатие Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z 0. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). f z 22

20 23

21 Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке отображении z z 1 i Пример. Определить, какая часть плоскости при отображении растягивается, а какая сжимается. z 2i при 1 2; z Пример. Показать, что при отображении координатная сетка плоскости соответствует двум ортогональным семействам кривых плоскости z 2 k z 24

22 25

23 26

24 27

25 28

26 29

27 30/13

28 Интегрирование функций Интегрирование функций Понятие интеграла от функции вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l,, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой: Эта Формула определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного. Если выделить действительную и мнимую части функции то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. 31

29 Интегрирование функций Используя приведенные формулы и свойства криволинейных интегралов второго рода, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств криволинейного интеграла от функций (свойства, известные из действительного анализа). 32

30 Интегрирование функций Для использования и запоминания формулы Стоит отметить, что криволинейный интеграл от функции комплексного переменного вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Если функция аналитическая в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю (Теорема Коши для простого контура). Пример (зависит от пути?). Вычислить интегралы а) OA отрезок прямой, соединяющей точки z 0, z 1 i 1 2 б) OA - ломаная OBA, где O(0,0), A(1,1), B(1,0) 33

31 Интегрирование функций 1) 2(i- 1) 2) -2+ i 4/3 3) -2 Этот пример еще раз показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции, зависит, от формы пути интегрирования. 34

32 Интегрирование функций Если кривая С задана параметрически, то, используя правила вычисления интегралов второго рода в случае параметрического задания кривой, можно получить формулу Ответ -8/3 35

33 Интегрирование функций Если функция аналитична в односвязной области, содержащей точки 0 1, то имеет место формула Ньютона-Лейбница z, z z Первообразная для функции f z 36

34 Интегрирование функций Если две функции аналитичны в односвязной области, содержащей точки 0 1, то имеет место формула интегрирования по частям: z, z Замена переменных в интегралах от функций производится аналогично случаю функции действительного переменного. Если путь интегрирования является полупрямой, выходящей из точки, или окружностью с центром в точке, то удобно делать замену переменной вида z 0 z 0 В первом случае const var, во втором наоборот. 37

35 Интегрирование функций 38

36 Интегрирование функций 39

37 Интегрирование функций 40

38 Интегрирование функций 41

39 Интегрирование функций 42

40 Интегрирование функций 43

41 Интегрирование функций 44

42 Интегрирование функций 45

43 Интегрирование функций 46

44 Интегрирование функций 47

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен-

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен- Практическое занятие Аналитические функции Условия Коши-Римана Производная и дифференциал функции комплексной переменной Условия Коши-Римана 3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной 4 Конформное

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного Функции комплексного переменного Аналитические функции По-прежнему, если это не оговорено специально, мы имеем дело с однозначной функцией w = f(z). Определение 1. Функция f(z) называется аналитической

Подробнее

ГЛАВА 11 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 11 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛАВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции комплексной переменной Непрерывность фкп Определение фкп во многом аналогично определению фдп Говорят что на некотором множестве комплексной

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного

Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

Подробнее

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy):

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy): Тема.Компексные числа и функции. Определение комплексного числа, алгебраическая форма комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Операции сложения и умножения комплексных чисел.

Подробнее

Интеграл от функции комплексного переменного

Интеграл от функции комплексного переменного Интеграл от функции комплексного переменного Кривые в комплексной плоскости Кривой на комплексной плоскости называется непрерывное [; β] R в C (или в C: отображение отрезка = σ(t = x(t + iy(t, t [; β],

Подробнее

Основные понятия функций комплексного переменного

Основные понятия функций комплексного переменного Тема 11 Основные понятия функций комплексного переменного Определение Поскольку комплексным числам и w соответствуют пары действительных чисел x; y и u;v соответственно: x i y w u i v то задание функции

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

Подробнее

1 Комплексные функции

1 Комплексные функции 1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Подробнее

Теория функций комплексного переменного Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Теория функций комплексного переменного Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Подробнее

Введение. 5 + i 3 + 2i. Решение. Умножим и разделим число z на число, сопряженное к знаменателю: z = 15 10i 3i

Введение. 5 + i 3 + 2i. Решение. Умножим и разделим число z на число, сопряженное к знаменателю: z = 15 10i 3i Введение 1 Число записать в алгебраической форме Найти, Re, Im,, arg, Arg = 5 + i 3 + i Решение Умножим и разделим число на число, сопряженное к знаменателю: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

Подробнее

Лекция 5. Интегрирование

Лекция 5. Интегрирование С. А. Лавренченко www.lwreceo.r Лекция 5 Интегрирование Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить лекции 3 и 4 из модуля «Векторный анализ».. Понятие интеграла Предположим что f функция

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

Вариант 9 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме): i

Вариант 9 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме): i Вариант 9 Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а cos( ; б l( Решение а По формуле тригонометрии cos(-cos cos(s s( Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими

Подробнее

D ставится в соответствие определенная точка w = u + iv. Множество D называется множеством определения

D ставится в соответствие определенная точка w = u + iv. Множество D называется множеством определения Методические указания к контрольной работе по математике Тема 1. Функции комплексной переменной Дадим определение функции комплексной переменной. Определение. Говорят что на множестве D точек комплексной

Подробнее

Вопросы и задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной»

Вопросы и задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной» Вопросы и задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной». Комплексные числа. Элементарные действия с комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Основные

Подробнее

Вариант 4 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):

Вариант 4 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме): Вариант Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а Arctg; б ( Решение а Вообще Arctg arctg + kπ Найдём другие значения в комплексной + плоскости Будем вычислять Arctg по формуле

Подробнее

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z)

Интеграл от функции комплексного переменного. Предел интегральной суммы Римана σ = кривой АВ и обозначают f ( z) Интеграл от функции комплексного переменного интеграла от ФКП Предел интегральной суммы Римана σ = = f ( t Δ для функции f ( по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной»

Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной» Задачи к зачету и экзамену по курсу «Теория функций комплексной переменной». Элементарные действия с комплексными числами.. Записать комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

Базовые сведения из теории комплексных чисел.

Базовые сведения из теории комплексных чисел. Тема 11 Базовые сведения из теории комплексных чисел. Комплексное число - упорядоченная пара действительных чисел записанная в форме где i - "мнимая единица" для которой i = -1; - действительная часть

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

Вариант 6 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):

Вариант 6 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме): Вариант Задача Вычислить значение функции ответ дать в алгебраической форме: а sh ; б l Решение а Воспользуемся формулой связи между тригонометрическим синусом и гиперболическим синусом: ; sh -s Получим

Подробнее

О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий

О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий для студентов II

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел

Лекция Комплексные числа. Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел Лекция 1 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i 2 = 1). Действительная

Подробнее

3, x 0, y 3, обходимый дважды, луч. 2 1, обходимая один раз и представленная на рисунке 9. Рисунок 7 Рисунок 8. Рисунок 9

3, x 0, y 3, обходимый дважды, луч. 2 1, обходимая один раз и представленная на рисунке 9. Рисунок 7 Рисунок 8. Рисунок 9 Самостоятельная работа Задача Определить вид кривой, заданную параметрически, и изобразить кривую t t t t 5 7 t t б) e e, 0 t π в) t t t 5 Ответы замкнутый луч y, 0, y, обходимый дважды, луч изображен

Подробнее

Тема: Дифференцирование функций комплексного

Тема: Дифференцирование функций комплексного Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 5. Дифференцирование функции комплексного переменного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной.

Вопросы и задачи к экзамену и зачету по теории функций комплексной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Вопросы и задачи к

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

Лекция 3. Дифференцируемость

Лекция 3. Дифференцируемость 1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекция 3 Дифференцируемость 1 Понятие дифференцируемости Пусть комплексная функция w f комплексной переменной определена в некоторой окрестности точки Определение 11 дифференцируемости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши.

ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши. ЛЕКЦИЯ N36. Теорема Коши. Формула Коши. Интеграл Коши. 1.Теорема Коши.... 1 2.Формула Коши.... 2 3.Распространение формулы Коши на случай сложных контуров.... 4 4.Интеграл типа Коши.... 5 1.Теорема Коши.

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий для студентов II

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

Вопросы и задачи к первой части экзамена по ТФКП (3-й поток, лектор А.В. Кравцов)

Вопросы и задачи к первой части экзамена по ТФКП (3-й поток, лектор А.В. Кравцов) Вопросы и задачи к первой части экзамена по ТФКП (3-й поток, лектор А.В. Кравцов) Запишите неравенства треугольника для комплексных чисел. Дайте определение функции, однолистной на некотором множестве.

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Комплексные числа на плоскости.

Комплексные числа на плоскости. 1 Расположение точек на комплексной плоскости Определим для функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать

Подробнее

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6 ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch( L( В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Задача 1. Найти область определения функции z. Областью определения данной функции будет множество точек

Задача 1. Найти область определения функции z. Областью определения данной функции будет множество точек Задача Найти область определения функции Областью определения данной функции будет множество точек ; таких что 0 Выполнение этого неравенства возможно в двух слу- чаях: 0 или 0 0 0 Первой системе неравенств

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методическое пособие Составители: МДУлымжиев ЛИИнхеева ИБЮмов СЖЮмова Рецензия На методическое пособие по теории функций

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ ВИШевцов, ЮВШевцова ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ ЧАСТЬ Саратовский государственный университет имени НГЧернышевского Шевцов Владислав Иванович, Шевцова Юлия Владиславовна ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Теория функций комплексного переменного» Практические задания Задание 1. Дано число с. Найти с,

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Теория функций комплексного переменного» Практические задания Задание 1. Дано число с. Найти с, ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Теория функций комплексного переменного» Практические задания Задание. Дано число с. Найти с arg с и записать число с в тригонометрической и показательной формах: ) ) ) ) ) 8 6) 7) 8) 9)

Подробнее

Тема 4. Комплексные числа. Многочлены Тема 5. Интегральное исчисление функций одной переменной

Тема 4. Комплексные числа. Многочлены Тема 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 68 34 34 Тема 2. Введение в математический анализ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

Вариант 5 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):

Вариант 5 Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме): Вариант Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а cos( ; б l( Решение а По формуле тригонометрии cos(cos cos(-s s( Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими

Подробнее

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

Математический минимум

Математический минимум Математический минимум Показательная функция при Чаще всего встречается экспонента при Логарифмы Если число есть логарифм числа по основанию то. Область допустимых значений аргумента. Натуральный логарифм

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Кафедра прикладной математики СТДусакаева

Подробнее

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА Понятие о циркуляции скорости В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ВАРИАНТ 14 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ):

ВАРИАНТ 14 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch L В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L± L± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

2 Комплексный интеграл

2 Комплексный интеграл 2 Комплексный интеграл В этой части курса нам потребуется следующее утверждение Теорема 2.1 (формула Грина). Пусть ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений и пусть Ω ограниченная

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ МА ЕВДОКИМОВ ЛА МУРАТОВА ЛВ ЛИМАНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ Том III Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Н Т Стельмашук, В А Шилинец ТЕСТЫ ПО КУРСУ ТФКП Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет. Н.И. Ильинкова, О.А.Кононова, Н.К.Филиппова

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет. Н.И. Ильинкова, О.А.Кононова, Н.К.Филиппова Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет НИ Ильинкова, ОАКононова, НКФилиппова Интегрирование функций комплексной переменной Минск УДК 5753/55(758) Решение о

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс:

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Теория функций по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: 010600 факультеты: для всех факультетов

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2.

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. / 3. ( 4. ) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость.

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Жидкость называется идеальной, если коэффициенты вязкости равны нулю. Предположим, что ρt, x является константой. Тогда уравнения, описывающие движение идеальной

Подробнее

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0

9 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости. 10 Определить число корней уравнения в правой полуплоскости z 3 4z = 0 Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Задача. 1 Вычислить интеграл + xcosx dx x 2 2x+1 2 Вычислить интеграл + xsinx dx x 2 +4x+2 3 Вычислить интеграл + cosx x 2 +1 x 2 +4 dx 4 Вычислить интеграл +

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее