Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие"

Транскрипт

1 ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА

2 Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Под редакцией БГ Разумейко Рекомендовано редакционно-издательским советом института в качестве учебного пособия МОСКВА

3 УДК + П Плужникова ЕЛ Разумейко БГ Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учеб-метод пособие /Под ред БГ Разумейко М: МИСиС с Содержит справочный материал по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» решение типовых задач по этому курсу варианты домашнего задания типовые варианты контрольных работ и варианты тестов предназначенных для проверки усвоения пройденного материала Подробно разобраны методы решения типовых задач домашнего задания Предназначено для студентов всех специальностей Московский государственный институт стали и сплавов Технологический университет МИСиС

4 ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор СВ Фролова Московский государственный институт стали и сплавов Москва Ленинский проспект Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС Москва ул Орджоникидзе 8/

5 СОДЕРЖАНИЕ Аналитическая геометрия Векторы Прямая на плоскости Плоскость в пространстве Прямая в пространстве Кривые -го порядка 8 Поверхности -го порядка 8 Домашнее задание 8 Вопросы для самопроверки 8 Типовые варианты контрольных работ Линейная алгебра Матрицы операции над матрицами Решение систем линейных уравнений 8 Линейное векторное пространство Евклидово пространство Линейные операторы Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Билинейные и квадратичные формы 8 Приведение кривой -го порядка к каноническому виду методом собственных значений Домашнее задание Вопросы для самопроверки Типовой вариант контрольной работы Рекомендуемая литература

6 Аналитическая геометрия Векторы Вектором называется множество всех направленных отрезков имеющих одинаковую длину и направление рис О любом отрезке АВ из этого множества говорят что он представляет собой вектор а и получен приложением вектора а к точке А Рис нулевой вектор т е вектор длина которого равна нулю Два вектора называются коллинеарными если они параллельны одной прямой сонаправленными если их направления совпадают; противоположнонаправленными если их направления противоположны Три вектора называются компланарными если они параллельны одной плоскости длина вектора Вектор длина которого равна единице называется единичным вектором или ортом

7 Действия с векторами Сумма векторов Пусть даны два вектора и b которые приложены к одной точке Суммой этих векторов b называется вектор рис идущий по диагонали параллелограмма из их общего начала правило параллелограмма AB AD AC Рис Замечания Сложить два вектора также можно по правилу треугольника см рис Если вектор b приложен к концу вектора то сумма векторов b есть вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго Результат при этом не изменится так как BC AD : AB BC AB AD AC Чтобы построить сумму векторов n нужно к концу вектора приложить вектор затем к концу вектора приложить вектор и тд пока не дойдем до вектора n Тогда суммой векторов n будет вектор соединяющий начало первого вектора с концом последнего рис : А А n n n

8 Рис Разность векторов Если векторы и b приложены к одной точке то разность этих векторов c b это вектор соединяющий конец второго вектора с концом первого рис : AB AD DB Рис Произведение вектора на число Произведением вектора на число называется вектор b такой что: b ; b сонаправлены если > ; b противоположнонаправлены если < ; b если = 8

9 Проекция вектора на вектор b Проекцией вектора на вектор b называется число определяемое по формуле: пр cos b b Проекция вектора на вектор b может быть отрицательной если угол между векторами и b тупой Свойства проекций прu n прu прu пр пр пр u u n u Базис и координаты вектора Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов Базисом в пространстве геометрических векторов называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов Базис называется прямоугольным если базисные векторы взаимноперпендикулярны и имеют единичную длину Зафиксируем в пространстве точку О и приложим к ней три взаимноперпендикулярных вектора единичной длины По направлению этих векторов направим оси OX OY и OZ которые называются координатными осями Первая ось абсцисс вторая ось ординат третья ось аппликат Векторы прямоугольного базиса принято обозначать i j и k Совокупность точки и прямоугольного базиса i j k называется декартовой прямоугольной системой координат Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат рис а точка М произвольная точка пространства Вектор OM называется радиус-вектором точки М Проведем через точку М плоскости перпендикулярные координатным ;

10 осям Любой вектор можно единственным образом разложить по базису i j k Рис Пусть х проекция вектора = ОМ на ось ОХ т е y проекция вектора на ось OY т е OM ; y OM y ; z проекция вектора на ось OZ т е z OM z Тогда разложение вектора по базису i j k: i y j zk где y z координаты вектора Пусть угол между вектором и осью OХ; угол между вектором и осью OY; угол между вектором и осью OZ Тогда величины cos cos cos называются направляющими косинусами вектора и могут быть вычислены по формулам: y z cos cos cos

11 Очевидно что cos cos cos Для нахождения длины вектора используется формула: y z Если в пространстве заданы точки: А y z и В y z тогда координаты вектора AB находим вычитая из координат точки В соответствующие координаты точки А: AB z y y z Линейные операции над векторами в координатах Пусть известны координаты векторов = y z и b = y z тогда координаты вектора c являющегося суммой векторов и b находим складывая соответствующие координаты векторов и b : + b = c = + y + y z + z ; Аналогично координаты вектора d являющегося разностью векторов и b находим по формуле: b = d = y y z z ; координаты вектора q являющегося произведением вектора на число находим умножая все координаты вектора на число : q y z Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны если их соответствующие координаты пропорциональны те b y y z z

12 Два вектора совпадают если равны их соответствующие координаты т е b y y z z Скалярное произведение векторов Скалярным произведением вектора на вектор b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: b b cos b Заметив что выражение b b b на вектор а выражение b cos равно проекции вектора cos равно проекции вектора на вектор b получим следующую формулу для вычисления скалярного произведения: Свойства скалярного произведения: b b условие перпендикулярности векторов; b b b пр пр b b b ; b b R ; b c c b c ; Если векторы и b заданы своими координатами y z b y z то скалярное произведение находится по формуле: b = + y y + z z а угол b между этими векторами

13 cos b y y zz b b y z y z Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда если их скалярное произведение равно нулю те: b b = те + y y + z z = Пример Даны три вектора b с Найти: скалярное произведение вектора с на вектор b ; проекцию вектора c на вектор b ; косинус угла между векторами и b Решение Найти скалярное произведение вектора с на вектор b Найдем координаты вектора c : c = = Координаты вектораb : b Тогда c b = + + = = Найти проекцию вектора c на вектор b Найдем координаты вектора c : = ; с = ; c = = Тогда проекция вектора c на вектор b равна: пр c b c cos c b c b c b c c b b Найдем скалярное произведение векторов c и b : c b 8 ;

14 и длину вектора b : b Тогда пр c b Найдем косинус угла меду векторами и b : b b b cos Пример Дано: = b =; b = Найти: скалярное произведение вектора b на вектор b ; длину вектора b ; проекцию вектора b на вектор b Решение Найдем скалярное произведение вектора b на вектор b cos cos b b b b b b b b b b b b b Найдем длину вектора b : b b b b b b cos b b b

15 cos Найдем проекцию вектора b на вектор b : пр b b cos b b b b b b b b b b b b b b b cos b Пример Дано: ; b ; Найти: длину вектора b b ; на вектор b ; длину диагоналей параллелограмма построенного по векторам b и b Решение проекцию вектора b Найдем длину вектора b : Для нахождения длины вектора воспользуемся формулами: ; b b cos b Тогда: b = b b = По свойствами скалярногопроизведения : = b b = b c c b c = b b b b = b 8 b =

16 = 8 cos = 8 = = = b = Найдем проекцию вектора b на вектор b Запишем формулу для нахождения проекции: f d пр d d cos f d где cos f d f f d Тогда имеем: f d f d пр d d f f d f Следовательно b b пр b= = b b Воспользуемся свойствами b b b b = = = скалярногопроизведения b b b b b b = = b b b b cos b b cos = = = b b cos b cos = 8 8 = = Получили:

17 пр b = b Найдем длины диагоналей параллелограмма построенного по векторам b и b где b b Пусть AB = b AD = b рис Рис Тогда AC = AB + AD = b b = b ; BD = AD AB = b b = b Найдем длину вектора AC : AC = b = b b = = bb b = b cos b b = = 8 = Найдем длину вектора BC : =

18 BC = b = b b = = b b b = b b cos b = = = = Следовательно = AC = ; BC = Пример Дано: b c Найти: координаты вектора d = +b ; d направляющие косинусы вектора d координаты орта d вектора d проекцию вектора d на базисные орты пр i d пр d пр d ; j k скалярное произведение + c b + d ; косинус угла между векторами + c и b + d ; пр а d проекцию вектора d на вектор Решение Найдем координаты вектора d Вектор d b где b Найдем координаты векторов и b : 8 b ; Тогда координаты вектора d : d = b 8 ; Следовательно вектор d Найдем длину вектора d по формуле: 8

19 d y z ; где d y z Тогда d Найдем направляющие косинусы вектора d по формулам: y z cos cos cos d d d Тогда cos cos cos Найдем пр пр d пр d по формулам: d i j k пр d пр d y пр d z проекции вектора d на базисные векторы Тогда i j k пр пр d пр d ; d i j Найдем координаты орта d вектора d по формуле: Тогда d d d d Итак d ; d ; cosα cosβ cosγ ; пр i d пр j d пр k d k Найдем скалярное произведение + c b + d Если известны координаты векторов p y z q y то p q y y zz z

20 Найдем координаты векторов p c и q b d где b c d - Координаты вектора =- Тогда p 8 Координаты векторов b и d Тогда q 8 ; Итак p 8 q 8 ; Следовательно pq c b d Найдем косинус угла между векторами p c и q b d по формуле: тогда cos p q 8 c b d c b d 8 ^ p q cos p q p q cos c b d Найдем проекцию вектора d на вектор по формуле: d d d пр d cos d d d Вычислим скалярное произведение векторов и ^

21 d и длину вектора : d 8 Тогда пр d Определители -го и -го порядка Квадратная таблица состоящая из четырех чисел A называется матрицей -го порядка Числа ij i j элементы матрицы А i номер строки j номер столбца Пара чисел а а образует главную диагональ а пара чисел а а образует побочную диагональ матрицы А Определителем -го порядка соответствующим квадратной матрице А называется число равное разности произведения элементов стоящих на главной диагонали и произведения элементов стоящих на побочной диагонали: Пример det A Найти определитель матрицы Решение A

22 Матрицей -го порядка называется квадратная таблица состоящая из элементов: A Ее элементы ij i j = где i номер строки j номер столбца Числа а а а образуют главную диагональ числа а а а - образуют побочную диагональ Определителем -го порядка соответствующим матрице А называется число det A Поясним схематически нахождение определителя Берем произведение элементов стоящих на главной диагонали К нему прибавляем произведение элементов лежащих на параллели выше главной диагонали и элемента из противоположного угла Затем прибавляем произведение элементов лежащих на параллели ниже главной диагонали и элемента из противоположного угла А затем вычитаем три слагаемых которые строятся таким же образом но относительно побочной диагонали рис Рис

23 Пример Найти определитель матрицы Решение det A 8 Также определитель -го порядка можно вычислить с помощью разложения по элементам какой-нибудь строки или столбца Например по -й строке: = Для матрицы А из примера 8 Векторное произведение векторов Упорядоченная тройка некомпланарных векторов b с называется правой если из конца третьего вектора переход от первого ко второму виден происходящим против часовой стрелки В противном случае тройка векторов левая Если векторы b с компланарны то такая тройка не относится ни к правым тройкам ни к левым Векторным произведением вектора на вектор b называется вектор с обозначаемый [ b] c такой что: длина вектора с равна произведению длин векторов и b на синус угла между ними т е c b sin b ; вектор с перпендикулярен плоскости векторов и b ; те c c b ;

24 векторы b с образуют правую тройку Если хотя бы один из векторов равен то векторное произведение по определению равно Свойства векторного произведения b b b b b c c b c b b условие коллинеарности векторов Площадь параллелограмма построенного на векторах и b равна длине вектора векторного произведения векторов и b : S b Если векторы и b заданы координатами y и z b y z то векторное произведение находят по формуле: b y z i z y y y j k z z y i y i z z z z j j Пример Даны три вектора ; b ; с y z z k Найти: векторное произведение вектора на вектор b c ; длину вектора векторного произведения векторов иb c ; площадь параллелограмма построенного на векторах и b c Решение Найдем координаты вектора и вектора b с : = ; y k y y

25 b с = = Координаты вектора векторного произведения вектора на вектор b с найдем по формуле: b c i j k i j i j k k i j k Найдем длину вектора векторного произведения векторов иb c b c Площадь параллелограмма построенного на векторах и b c равна длине вектора их векторного произведения найденного ранее: Пример 8 S b с = Дано: = b = b = Вычислить площадь параллелограмма построенного по векторам AB= b и AD = b Решение Площадь параллелограмма построенного на векторах AB и AD равна длине вектора векторного произведения этих векторов: S ABCD AB AD = [ b b ] Для вычисления длины вектора [ b b ] воспользуемся следующими свойствами векторного произведения: b = b ; b b ; = b c = c+ c = b ; ;

26 Тогда b b = b b b b = = b b b b = b b = b = b sin b = sin = Следовательно = Пример Дано: = b = b = S ABCD = Вычислить площадь треугольника построенного на векторах + b и b Решение Пусть AB b ; BC b Тогда площадь треугольника построенного на векторах AB и BC равна половине длины вектора их векторного произведения воспользуемся S ABC S ABCD b b b b b b b b b b b sin b b b b b Пример sin свойствами векторного произведения так как [ ] и [ b] [ b ]

27 Дано: b c d Найти векторное произведение векторов p - + c и q = b + d Решение Найдем координаты векторов p c и q = b c : p c ; q = b d 8 Координаты вектора векторного произведения векторов p y и q y находим по формуле: i 8 z z i [ p q ] y z Тогда [ pq ] i j y j j 8 k z k k 8 i j 8 k i j k Следовательно [ c b d ] = i j k Смешанное произведение векторов Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов а b с называется число [ а b ] с равное скалярному произведению векторного произведения векторов а и b на вектор с Смешанное произведение векторов а b с принято обозначать символом а b с

28 b с Свойства смешанного произведения V если b c правая тройка b с = V если b c левая тройка где V объем параллелепипеда построенного на векторах Три вектора b с компланарны если их смешанное b c произведение равно нулю те b c b c c b b c c b c b Если векторы а b с заданы своими координатами y z b y z c y z то смешанное произведение может быть найдено по формуле: y z Пример а b c y z Дано: b c d y Найти: смешанное произведение векторов b и c ; выяснить образуют ли векторы b c базис в Решение Если векторы заданы в некоторой декартовой прямоугольной системе координат y z b y z c y z то смешанное произведение этих векторов находим по формуле: b c y z z y y z z тогда Координаты векторов b и c 8

29 b c 8 Итак b c Смешанное произведение векторов b и с не равно нулю следовательно векторы b c линейно независимы а значит образуют базис в Пример Установить образуют ли приведенные ниже векторы в пространстве базис: ; b ; с ; ; b ; с Решение Векторы b и с образуют базис в тогда и только тогда когда они некомпланарны а значит их смешанное произведение не равно нулю b с = Следовательно векторы не компланарны а значит они образуют базис в Найдем смешанное произведение векторов b с b c 8 Следовательно векторы компланарны а значит они не образуют базис в

30 Пример Вычислить объем тетраэдра построенного на векторах b с Решение V тетр = V пар где V пар объем параллелепипеда построенного на векторах b с Объем параллелепипеда построенного на векторах а b с равен модулю их смешанного произведения: Найдем смешанное произведение векторов а b и с разложим по b c ; первому столбцу b c V пар Объем тетраэдра V тетр = V пар следовательно V тетр Пример Выяснить лежат ли точки А - В - С и Д в одной плоскости Решение Точки А В С Д лежат в одной плоскости если векторы AB AС AД компланарны а значит их смешанное произведение равно нулю Найдем координаты векторов: AB =- --; AС = - ; AД = - Вычислим смешанное произведение этих векторов:

31 AB AС AД = = =- Смешанное произведение векторов AB AС AД не равно нулю следовательно векторы некомпланарные а значит точки А В С и Д не лежат в одной плоскости Прямая на плоскости Виды уравнений прямой на плоскости Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений Прямая на плоскости однозначно задается точкой и вектором перпендикулярным к этой прямой Такой вектор называется нормальным вектором рис 8 Рис 8 Пусть М y точка лежащая на прямой L; а вектор n А В нормальный вектор прямой L Тогда для любой точки М y лежащей на этой прямой вектор M M y y будет перпендикулярен вектору n а значит их скалярное произведение должно быть равно нулю: M M n M M ; n = ; M M n = A + By y =

32 A + By y = получили уравнение прямой проходящей через точку M y перпендикулярно вектору n A B Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение прямой: Пусть Раскроем скобки: A + By y = ; A + By + A By = Обозначим A By = C тогда получаем A + By + C = общее уравнение прямой на плоскости где коэффициенты А В - координаты нормального вектора Прямая на плоскости так же однозначно задается точкой и вектором параллельным этой прямой Такой вектор называется направляющим рис Рис Пусть М y точка лежащая на прямой L; а вектор q l m направляющий вектор этой прямой Тогда для любой точки М y лежащей на этой прямой вектор M M y y будет коллинеарен вектору q l m; следовательно координаты вектора M M будут пропорциональны координатам вектора q : y y l m

33 получили каноническое уравнение прямой проходящей через точку М y параллельно направляющему вектору q l m Получим из канонического уравнения прямой параметрическое уравнение введя параметр t: y y l m lt y y mt t ; параметрическое уравнение прямой проходящей через точку М y параллельно вектору q l m Если С то можно из общего уравнения прямой A + By + С = получить уравнение прямой «в отрезках» Разделим общее уравнение A + By = С на коэффициент С: Обозначим: A B y C C C C ; b тогда A B y b уравнение прямой в отрезках где и b величины направленных отрезков отсекаемых прямой от координатных осей рис Рис

34 Если В то можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом Из общего уравнения A + By + C = выразим y через : By = A C; A C y B B A С Обозначим k; b тогда B B y = k + b уравнение прямой с угловым коэффициентом где k угловой коэффициент прямой или тангенс угла между прямой и осью OX k = tg; b ордината точки пересечения прямой с осью OY рис Рис Найдем уравнение прямой L проходящей через точки А y и B y на плоскости Тогда q = AB = y y направляющий вектор этой прямой а точка A y L Для любой точки М y лежащей на прямой L векторы AM и q должны быть коллинеарны а значит их координаты должны быть пропорциональны рис : y y y y

35 получили уравнение прямой проходящей через точки A и B Рис Взаимное расположение прямых на плоскости Прямые на плоскости могут совпадать пересекаться или быть параллельными Пусть на плоскости заданы общими уравнениями две прямые L и L : L : A + B y + С = L : A + B y + С = где n A B и n A B нормальные векторы прямых L и L соответственно Прямые на плоскости совпадают или параллельны если их направляющие вектора коллинеарные а значит их координаты пропорциональны Следовательно прямые: A B C а совпадают если ; A B C б параллельны если A A B B C C ; A B в пересекаются если A B Пусть прямые L и L заданы каноническими уравнениями: : y y L l m ;

36 : m y y l L ; Тогда прямые: а совпадают если m m l l и m y y l ; б параллельны если m m l l и m y y l ; в пересекаются если m m l l Если прямые L и L заданы уравнениями с угловым коэффициентом L : y = k + b L : y = k + b то эти прямые: а совпадают если k = k и b = b ; б параллельны если k = k и b b ; в пересекаются если k k Угол между прямыми на плоскости Пусть на плоскости заданы прямые L и L общими уравнениями: L : A + B y + С = ; L : A + B y + С = Тогда косинус наименьшего угла между двумя прямыми L и L на плоскости равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых: cos cos B A B A B B A A n n n n n n L L В случае если прямые L и L перпендикулярны их нормальные векторы также перпендикулярны а значит скалярное про-

37 изведение нормальных векторов должно быть равно нулю т е n n = Если прямые L и L заданы каноническими уравнениями: : m y y l L ; : m y y l L ; то косинус наименьшего угла между прямыми L и L равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых: cos cos m m l l m m l l q q q q q q L L Если прямые L и L заданы уравнениями с угловым коэффициентом L : y = k + b L : y = k + b то тангенс наименьшего угла между прямыми L и L можно найти по формуле: k k k k L L tg где k и k угловые коэффициенты прямых L и L Заметим что если прямые перпендикулярны то произведение их угловых коэффициентов: k k Расстояние от точки до прямой на плоскости Пусть на плоскости заданы прямая L и точка M не принадлежащая этой прямой L: A + By + C = ; М y L

38 тогда A By C M L A B расстояние от точки М y до прямой L Замечание Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости можно найти по последней формуле если находить расстояние от любой точки принадлежащей одной прямой до другой прямой Пример Написать уравнение прямой L проходящей через точку М перпендикулярно вектору n Решение Для любой точки М y лежащей на прямой L вектор M M перпендикулярен нормальному вектору n : M M n рис Следовательно их скалярное произведение должно быть равно нулю: M M n = Рис Вычислим скалярное произведение векторов Тогда общее уравнение прямой: M M n = y = y + = M M и n : 8

39 Пример Написать уравнение прямой проходящей через точку М параллельно вектору q Решение Для любой точки M y лежащей на прямой L вектор M M коллинеарен вектору q рис Следовательно их координаты должны быть пропорциональны Рис M M y координаты вектора M M Тогда каноническое уравнение прямой: y Пример Написать уравнение прямой L проходящей через точки М и М Решение Для любой точки M y лежащей на прямой L вектор M M коллинеарен вектору M M рис а значит их координаты должны быть пропорциональны Рис Найдем координаты векторов M M и M M :

40 M M y ; M M = Тогда каноническое уравнение прямой: y Пример 8 Написать уравнение прямой проходящей через точку М параллельно прямой L : y + = Решение Вектор n нормальный вектор прямой L Прямые L и L параллельны следовательно вектор n перпендикулярен прямой L А значит для любой точки M y лежащей на прямой L вектор M M перпендикулярен вектору n рис Следовательно скалярное произведение векторов M M и n должно быть равно нулю Зная координаты векторов M M y и n найдем их скалярное произведение: M M n = y = ; 8 y + = ; y = общее уравнение прямой L Рис

41 Пример Написать уравнение прямой L проходящей через точку М перпендикулярно прямой L : y + = Решение Прямые L и L перпендикулярны следовательно нормальный вектор прямой L параллелен прямой L Для любой точки M y лежащей на прямой L вектор M M коллинеарен вектору n рис Следовательно координаты этих векторов должны быть пропорциональны Координаты векторов: Рис M M y ; n y Тогда уравнение прямой: Пример Даны координаты точек Q L P Проверить лежат ли точки на одной прямой; написать уравнение прямой QL; написать уравнение медианы QМ в треугольнике QPL; написать уравнение высоты проведенной из вершины Q; найти координаты точки пересечения медиан в QPL; найти угол между медианой и высотой проведенными из вершины Q Решение Проверим лежат ли точки на одной прямой Если точки Q L P лежат на одной прямой то вектор LP коллинеарен вектору QL а значит их координаты должны быть

42 пропорциональны рис 8 Найдем координаты векторов QL 8 и LP Координаты векторов LP и QL не пропорциональны тк 8 следовательно векторы не коллинеарны а значит точки Q L P не лежат на одной прямой Рис 8 Напишем уравнение прямой QL Для любой точки M y лежащей на прямой QL вектор QM должен быть коллинеарен вектору QL рис а значит их координаты должны быть пропорциональны Координаты векторов: QM y ; QL 8 Тогда y каноническое уравнение прямой QL 8 Рис Напишем уравнение медианы проведенной из вершины Q в треугольнике QPL рис

43 Рис Найдем координаты точки M Точка M - середина отрезка LP значит ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек L и P Координаты точек тогда координаты точки M : М M Напишем уравнение прямой QM Для любой точки M y лежащей на прямой QM вектор QM коллинеарен вектору QM а значит координаты этих векторов должны быть пропорциональны Найдем координаты векторов QM и QM : QM ; QM y Запишем условие пропорциональности координат: y умножим на / / Получили: y каноническое уравнение медианы QM Напишем уравнение высоты проведенной из вершины Q рис

44 Рис Пусть QH высота Тогда для любой точки M y лежащей на прямой QH вектор QM должен быть перпендикулярен вектору LP а значит скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю те QM LP Найдем координаты векторов QM y и LP тогда QMLP y ; y ; y +y -= получили уравнение высоты QH Найдем координаты точки пересечения медиан в QPL рис Рис

45 Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в соотношении : начиная от вершины: QO QO QM ; OM Координаты вектора QM были найдены ранее см п наст задачи QM QO Пусть О y тогда координаты вектора QO y Два вектора равны если равны их соответствующие координаты : y y Следовательно O точка пересечения медиан QPL Найдем угол между медианой и высотой проведенными из вершины Q рис Рис Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых: Урав-

46 нение прямой QH: y тогда нормальный вектор этой прямой n Напишем общее уравнение прямой QM используя каноническое уравнение см п наст задачи y По свойству пропорций получим y Тогда имеем: y y общее уравнение прямой QM Следовательно нормальный вектор прямой QM - вектор n Тогда n n cos QM QH cos n n n n Найдем расстояние от точки Р до прямой QL рис Рис Запишем уравнение прямой QL см п наст задачи y 8 Перейдем к общему уравнению прямой: 8 + = y ; 8 + = y 8 y + = получим общее уравнение прямой QL Точка P QL

47 Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти A By C по формуле: M L где L : A By C A B M y В нашем случае 8 ρ P QL 8 Пример Выяснить взаимное расположение прямых L и L Если прямые пересекаются то найти угол между ними и координаты точки их пересечения а если параллельны то найти расстояние между ними L : + y + = ; L : y + = ; y L : ; y L : Решение Запишем координаты нормальных векторов прямых L и L : n нормальный вектор прямой L ; n нормальный вектор прямой L Найдем отношение координат нормальных векторов прямых: Так как координаты нормальных векторов пропорциональны следовательно векторы n и n коллинеарны а значит прямые L и L либо параллельны либо совпадают Так как то прямые параллельны Расстояние между прямыми найдем как расстояние от точки М лежащей на прямой L до прямой L по формуле: A By C M L A B

48 где L : A By C M y Найдем координаты точки M принадлежащей прямой L Для этого одну из координат например y примем равной нулю y = тогда = значит точка M L Тогда L L M L y L : ; y L : Найдем направляющие векторы прямых L и L : q ; q Координаты направляющих векторов не пропорциональны: Следовательно прямые L и L не параллельны те прямые L и L пересекаются Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых рис : Рис Тогда cos L L cos q q q q q q 8

49 Найдем координаты точки пересечения прямых L и L Для этого получим общие уравнения этих прямых y L : y y y L : Пусть точка М y -точка пересечения прямых L и L Тогда координаты точки М должны удовлетворять обоим уравнениям Решим систему уравнений: y y Следовательно точка М - точка пересечения прямых L и L Плоскость в пространстве Виды уравнений плоскости в пространстве Плоскость в пространстве может быть задана одним из следующих ниже уравнений Плоскость в пространстве однозначно задается точкой и вектором перпендикулярным этой плоскости Такой вектор называется нормальным Пусть M y точка принадлежащая плоскости Р а z вектор n A B C нормальный вектор плоскости Р рис Тогда для любой точки М лежащей в плоскости Р вектор M M y y z z будет перпендикулярен вектору n а значит их скалярное произведение должно быть равным нулю

50 Рис M Mn M M n ; A B y y C z z получили уравнение плоскости проходящей через точку M y z перпендикулярно вектору n A B C Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение плоскости: Обозначим A B y y C z z ; A By Cz A By Cz A By Cz D тогда получаем A By Cz D общее уравнение плоскости где коэффициенты А В и С - координаты вектора нормали Если D можно получить уравнение плоскости «в отрезках» из общего уравнения плоскости A By Cz D разделив его на D: A D B D y C D z D D D Обозначим b c тогда получаем уравнение плоскости в A B C «отрезках»

51 y b z c где b c величины направленных отрезков отсекаемых плоскостью от координатных осей Взаимное расположение плоскостей Пусть в пространстве заданы две плоскости P и P P A B y C z D ; : : A B y Cz D P где n A B C и n A B C нормальные векторы плоскостей P и P соответственно Плоскости в пространстве могут совпадать быть параллельными или пересекаться Плоскости совпадают или параллельны если их нормальные векторы коллинеарны а значит координаты нормальных векторов должны быть пропорциональны Следовательно плоскости: A B C D совпадают если ; A B C D A B C D параллельны если A B C D пересекаются в остальных случаях ; Угол между плоскостями Пусть заданы две плоскости P и P P : A B y Cz D ; P A B y C z D : где n A B C и n A B C нормальные векторы плоскостей P и P соответственно Косинус наименьшего двугранного угла между плоскостями Р и Р равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей:

52 cos P P cos n n A A A B B B C C C A B C Расстояние от точки до плоскости Пусть задана плоскость P : A By Cz D и точка M y не лежащая в плоскости Р z A By Cz D Тогда M P расстояние от точки A B C M y z до плоскости Р Замечание Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти по той же формуле если находить расстояние от любой точки принадлежащей одной плоскости до другой плоскости Уравнение плоскости проходящей через три точки не лежащие на одной прямой Пусть плоскость Р проходит через точки A y z ; B y z ; C y z Тогда для любой точки М принадлежащей плоскости Р векторы AM AB и AC должны быть компланарны а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю Запишем координаты векторов: AM y y z ; z z y y z z AB y y z ; AC Тогда смешанное произведение векторов AM AB AC Его можно вычислить по формуле: y y y y y y z z z z z z

53 Раскрыв данный определитель по элементам первой строки получим уравнении плоскости проходящей через три заданные точки Пример Написать уравнение плоскости Р проходящей через точку М параллельно плоскости Р : y + z = Решение Плоскость Р параллельна плоскости Р следовательно нормальный вектор n плоскости Р перпендикулярен плоскости Р рис Рис Для любой точки М y z лежащей в плоскости Р вектор M M перпендикулярен вектору n следовательно скалярное произведение векторов n и M M равно нулю Координаты нормального вектора n плоскости Р это коэффициенты перед y и z в уравнении плоскости: n Координаты вектора M M = y z + Вычислим скалярное произведение векторов n M M = y + z + = ; y + z + = ; y + z + = n и M M :

54 уравнение плоскости Р проходящей через точку М параллельно плоскости Р Пример Написать уравнение плоскости Р проходящей через точки М и М перпендикулярно плоскости Р : y + z = Решение Координаты нормального вектора n плоскости Р это коэффициенты перед y и z в уравнении плоскости: n Плоскости Р и Р перпендикулярны следовательно вектор нормали плоскости Р параллелен плоскости P Точки М и М лежат в плоскости Р рис 8Следовательно для любой точки М y z лежащей в плоскости Р векторы M M M M и n должны быть компланарны а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю Рис 8 Найдем координаты векторов M M = + = M M = y z + и Тогда смешанное произведение векторов M M M M и n : y z M M M Разложим определитель по элементам первой строки:

55 y z ; + y + + z + = ; y + z + = ; + y + + z + = ; y + z + = : + y z = уравнение плоскости Р проходящей через точки М и М перпендикулярно плоскости Р Пример Написать уравнение плоскости Р проходящей через точки М М параллельно вектору Решение Вектор M M лежит в плоскости Р а вектор параллелен данной плоскости следовательно для любой точки М y z лежащей в плоскости Р векторы M M M M и должны быть компланарны рис а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю Рис Найдем координаты векторов M M и M M : M M = + = и M M = y z + Тогда смешанное произведение векторов M M M M и :

56 M M M M y z Разложим определитель по -й строке: y z ; y z ; y z ; y z ; y z уравнение плоскости Р проходящей через точки М и М параллельно вектору Пример Написать уравнение плоскости Р проходящей через три точки М М и М Решение Проверим что точки М М М не лежат на одной прямой для этого найдем координаты векторов: M M = + = ; M M = + = Векторы M M и M M не коллинеарные так как их координаты не пропорциональны значит точки М М М не лежат на одной прямой Напишем уравнение плоскости Р Для любой точки М y z лежащей в плоскости Р векторы M M M M и M M должны быть компланарны рис а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю: M M M M M M

57 Рис Найдем координаты векторов M M = y z + ; M M = ; M M = Тогда их смешанное произведение: y M M MM M M M M M M и M M : z y z y z y z ; y z ; y z уравнение плоскости Р проходящей через точки М М М Пример Выяснить взаимное расположение плоскостей Если плоскости параллельны найти расстояние между ними а если пересекаются то угол между ними Р : y + z = P : + y z + = ; Р : y + z = P : + y z = Решение Запишем координаты нормальных векторов плоскостей Р и Р

58 n нормальный вектор плоскости Р ; n нормальный вектор плоскости Р плоскости параллельны так как координаты их нормальных векторов пропорциональны Найдем координаты точки M принадлежащей плоскости P Для этого примем y и z равными тогда = : М Найдем расстояние между плоскостями Р и Р как расстояние от точки М лежащей в плоскости Р до плоскости Р по формуле: A By Cz D P M ; A B C где Р : A By Cz D М y z Тогда: P P M P Р 8 Р : y + z = P : + y z = Запишем координаты нормальных векторов плоскостей Р и n нормальный вектор плоскости Р ; n нормальный вектор плоскости Р Так как координаты нормальных векторов не пропорциональны то плоскости пересекаются Косинус наименьшего двугранного угла между плоскостями Р и Р равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей: 8

59 cos P P cos n 8 n 8 n n n n 8 Прямая в пространстве Уравнения прямой в пространстве Прямая в пространстве может быть задана одним из следующих ниже уравнений Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей: A B A B y C y C z D z D ; ; где коэффициенты А В С не пропорциональны коэффициентам А В С Это общее уравнение прямой в пространстве Прямая в пространстве однозначно задается точкой M y z лежащей на этой прямой и вектором q l m n параллельным этой прямой Такой вектор называется направляющим рис Рис

60 Для любой точки М y z лежащей на прямой L вектор M M коллинеарен вектору q а значит координаты этих векторов должны быть пропорциональны Координаты вектора: M M = y y z z тогда y y z z l m n каноническое уравнение прямой проходящей через точку М y z параллельно направляющему вектору q l m n Из канонического уравнения прямой получим параметрическое уравнение введя параметр t : y y z z l m n lt y y mt z z nt t параметрическое уравнение прямой проходящей через точку М y z параллельно направляющему вектору q l m n Взаимное расположение прямых в пространстве Прямые в пространстве могут совпадать быть параллельными пересекаться или скрещиваться Две прямые L и L лежат в одной плоскости тогда и только тогда когда компланарны векторы q q и M M ; где q и q направляющие векторы прямых L и L соответственно а вектор M M вектор соединяющий произвольную точку М лежащую на прямой L с точкой М лежащей на прямой L Следовательно если смешанное произведение векторов q q M M равно нулю то прямые лежат в одной плоскости Если прямые принадлежат одной плоскости то они могут совпадать пересекаться и быть параллельными

61 Пусть заданы прямые L и L : : n z z m y y l L ; : n z z m y y l L ; где точка М y z лежит на прямой L точка М y z лежит на прямой L а q l m n и q l m n направляющие векторы прямых L и L соответственно: Тогда прямые L и L : скрещиваются если z z y y n m l n m l ; пересекаются если z z y y n m l n m l и вектор q не коллинеарен вектору q т е координаты этих векторов не пропорциональны; параллельны если n n m m l l и точка М y z L ; совпадают если n n m m l l и точка М y z L Угол между прямыми в пространстве Пусть заданы прямые L и L

62 : : n z z m y y l L n z z m y y l L где точка М y z лежит на прямой L точка М y z лежит на прямой L а q l m n и q l m n направляющие векторы прямых L и L рис Рис Косинус наименьшего угла между прямыми L и L равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых: cos cos n m l n m l n n m m l l q q q q q q L L

63 Расстояние от точки до прямой в пространстве y y z z Пусть задана прямая L : и точка l m n M y z L где q l m n направляющий вектор прямой L рис Рис Тогда расстояние от точки М до прямой L можно найти по формуле: M M q M L MK q где M M длина вектора векторного произведения вектора q M M на вектор q ; K проекция точки M на прямую L Замечание Расстояние между параллельными прямыми может быть найдено по этой же формуле как расстояние от любой точки принадлежащей одной прямой до другой прямой

64 Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве Пусть заданы прямые L и L L : l L : l y y m y y m z z n z z n где точка М y z лежит на прямой L точка М y z лежит на прямой L а q l m n и q l m n направляющие векторы прямых L и L Прямые L и L не лежат в одной плоскости значит смешанное произведение векторов M M q q не равно нулю Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле: MM qq L L q q где M M q модуль смешанного произведения векторов q M M q и q q q длина вектора векторного произведения векторов q и q Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы прямая y y z z L : и плоскость P : A By Cz D l m n Точка M y z L вектор q l m n направляющий вектор прямой L; вектор n А В С нормальный вектор плоскости Р ;

65 Прямая может пересекать плоскость быть ей параллельной или лежать в плоскости Если прямая лежит в плоскости рис то нормальный вектор n плоскости Р перпендикулярен направляющему вектору q прямой L и точка М y z P Таким образом прямая лежит в плоскости если: nq Al + Bm + Cn = и A By Cz D Рис Если прямая параллельна плоскости рис то нормальный вектор n плоскости Р перпендикулярен направляющему вектору q прямой L и точка М y z P Таким образом прямая параллельна плоскости если: nq Al + Bm + Cn = и A By Cz D q Рис Прямая пересекает плоскость рис если векторы n и q не перпендикулярны а значит их скалярное произведение не равно нулю: n q т е Al + Bm + Cn

66 Рис Угол между прямой и плоскостью Пусть заданы прямая L : l y y m z z n и плоскость P: A By Cz D где точка M y z лежит на прямой L вектор q l m n направляющий вектор прямойl вектор n A B C - нормальный вектор плоскости P Синус наименьшего угла между прямой L и плоскостью P рис равен модулю косинуса угла между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой: sin L P cos n q n q n q A B Al Bm Cn C l m n

67 Рис Пример Написать уравнение прямой L проходящей через точки М и М Решение Для любой точки М y z лежащей на прямой L вектор M M коллинеарен вектору M M а значит их координаты должны быть пропорциональны рис 8 Рис 8 Запишем координаты векторов M M = y z + ; M M = + = Тогда уравнение прямой y z L : M M и M M :

68 Пример 8 Написать уравнение прямой проходящей через точку М параллельно вектору Решение Для любой точки М y z лежащей на прямой L векторы и M M должны быть коллинеарными а значит их координаты должны быть пропорциональны рис Рис Координаты вектора M M = y z + Тогда уравнение прямой y z L : Пример Написать уравнение прямой проходящей через точку М y z параллельно прямой L : Решение Вектор q направляющий вектор прямой L Для любой точки М y z лежащий на прямой L вектор M M коллинеарен вектору q а значит их координаты должны быть пропорциональны рис 8

69 Рис тогда Координаты вектора M M = y z + y z L : уравнение прямой проходящей через точку М параллельно прямой L : Пример y z Найти каноническое уравнение прямой L : z Решение Первый способ: Напишем каноническое уравнение прямой L Для этого надо найти координаты направляющего вектора q и координаты какойлибо точки принадлежащей прямой L Найдем координаты точки М лежащей на прямой Для этого мы можем одну из координат например z взять равной нулю Пусть точка М y принадлежит прямой L тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению данной прямой

70 y y y M L Найдем координаты направляющего вектора q n нормальный вектор плоскости Р : y + z = ; n нормальный вектор плоскости Р : y + = рис Рис Направляющий вектор q прямой L перпендикулярен векторам n и n следовательно он коллинеарен век- тору векторного произведения векторов n и n Найдем векторное произведение векторов n и n :

71 k j i k j i k j i k j i n n Итак вектор q - направляющий вектор прямой L; а точка M L отсюда получаем каноническое уравнение прямой L: z y Второй способ: Пусть : z z y L Выразим из второго уравнения и подставим его в первое уравнение: : z z y z z z y L z y z z z y z 8 z y z z y каноническое уравнение прямой L: Третий способ Найдем координаты двух точек лежащих на данной прямой

72 Координаты точки M L были найдены ранее Найдем координаты еще одной точки лежащей на прямой z y M Пусть например Тогда L M z y z z y z z y \ Найдем координаты вектора M M : ; ; ; ; M M Тогда в качестве направляющего вектора прямой мы можем взять любой вектор коллинеарный вектору M M Например можем взять вектор q Тогда каноническое уравнение прямой: z y Пример Выяснить взаимное расположение прямых L и L Если прямые параллельны или скрещиваются найти расстояние между ними; если пересекаются то угол между ними и координаты точки их пересечения ; : : z y L z y L

73 ; : : z y L z y L : : z y L z y L Решение : : z y L z y L Запишем координаты направляющих векторов прямых L и L и координаты точек принадлежащих данным прямым: q направляющий вектор прямой L q направляющий вектор прямой L точка М L точка М L Заметим что координаты векторов q и q пропорциональны тк ; следовательно векторы q и q коллинеарные Подставим координаты точки М L в уравнение прямой L : M L Следовательно прямые параллельны Расстояние между ними можно найти как расстояние от точки М до прямой L Расстояние от точки М до прямой L можно найти по следующей формуле: q q M M L M где q направляющий вектор прямой L ; М точка принадлежащая прямой L

74 Найдем координаты вектора M M : M M Вычислим векторное произведение векторов M M и q : M M q i j k i j k i j k i j 8 k i j k Найдем длину вектора векторного произведения векторов M M и q : M q M Вычислим длину вектора q : q Тогда ρ L L y z L : ; y z L : Запишем координаты направляющих векторов прямых L и L и координаты точек принадлежащих данным прямым: q направляющий вектор прямой L q направляющий вектор прямой L точка М L точка М L Прямые лежат в одной плоскости если векторы q q и M M компланарны а значит смешанное произведение этих векторов равно нулю т е q q M M = Найдем координаты вектора M M :

75 M M = + + = Вычислим смешанное произведение векторов q q и M M : q q M M 8 q q M M Следовательно прямые лежат в одной плоскости Координаты векторов q и q не пропорциональны т к q и q не коллинеарны значит прямые L и L пересекаются Найдем угол между прямыми L и L Косинус наименьшего угла между прямыми L и L равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых: cos L L cos q q q q q q Найдем координаты точки пересечения прямых Перейдем к параметрическим уравнениям прямых L и L : y z y z L : t и L t Выразим переменные y и z через параметры t и t : L : y t z t t и L : y t z t

76 Пусть точка М y z - точка пересечения прямых L и L Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям прямых L и L Тогда имеем: t y t и y t z t z t Получим следующую систему уравнений: t t t t t t t t t t t Подставив параметр t = в параметрическое уравнение первой прямой получим координаты точки М - - Итак точка М точка пересечения прямых L и L y z L : y z L : Запишем координаты направляющих векторов прямых L и L соответственно: q и q - - Координаты точек принадлежащих данным прямым : М L М - L Найдем координаты вектора M M : M M = + = Прямые лежат в одной плоскости если векторы q q и M M компланарны т е q q M M = Найдем смешанное произведение векторов: q q и M M :

77 q q M M 8 Смешанное произведение векторов не равно нулю следовательно векторы q q M M не компланарны а значит прямые L и L скрещиваются Найдем расстояние между прямыми L и L по формуле: qq MM L L q q Найдем векторное произведение векторов q и q : q q i j k i j k Длина вектора векторного произведения: i j k q q Модуль смешанного произведения векторов q q M M : q q M M = тогда q q MM L L q q Пример Дано: координаты точек Q -; L -; P- - ; N- Найти: проверить что точки Q L Р не лежат на одной прямой; проверить что точки Q L P N не лежат в одной плоскости; написать уравнение плоскости проходящей через

78 8 точки Q L Р; написать уравнение плоскости проходящей через точку N параллельно плоскости QLР; написать уравнение плоскости проходящей через точку Р параллельно векторам QP и QN ; написать уравнение плоскости проходящей через точки N и Q перпендикулярно плоскости QLP; написать уравнение плоскости проходящей через точки L и Q параллельно вектору NP ; 8 написать уравнение плоскости проходящей через точку N параллельно координатной плоскости XOY; написать общее каноническое и параметрическое уравнение прямой QP; написать уравнение прямой проходящей через точку Q параллельно оси OZ; написать уравнение медианы QM в QPL; написать уравнение высоты QH в QPL; написать уравнение прямой проходящей через точку N параллельно прямой QP; написать уравнение высоты NH тетраэдра QLPH; написать уравнение прямой перпендикулярной прямым QP и QN и проходящей через точку L; найти угол между прямой QP и прямой LN; найти угол между прямой PN и плоскостью QPL; 8 найти величину двугранного угла между плоскостями QPL и NPQ; найти площадь треугольника QPL; найти объем тетраэдра QLNP; найти расстояние от точки N до прямой QP; найти расстояние от точки N до плоскости QLP; найти расстояние между прямыми QP и LN; найти координаты точки N симметричной точке N относительно прямой LР; найти координаты точки N симметричной точке N относительно плоскости QLP

79 Проверить что точки Q -; L -; P- - не лежат на одной прямой Решение Если точки Q L P лежат на одной прямой то векторы QL и QP коллинеарные рис а значит их координаты должны быть пропорциональны Рис Найдем координаты векторов QL = - и QP = - - Координаты векторов QL и QP не пропорциональны т к следовательно точки Q L и P не лежат на одной прямой Проверить что точки Q -; L -; P- - ; N- не лежат в одной плоскости Решение Найдем координаты векторов QL = - QP =- - QN 8 - Если точки Q L P и N лежат в одной плоскости то векторы QL QP и QN должны быть компланарны рис а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю: QL QP QN = Рис

80 Найдем смешанное произведение векторов QL QP и QN : QL QP QN по первой разложим строке 8 Следовательно векторы QN QP QN не компланарны а значит точки Q L P и N не лежат в одной плоскости Написать общее уравнение плоскости проходящей через точки Q -; L -; P- - Решение Для любой точки M y z лежащей в плоскости Q L P векторы QL QP и QM должны быть компланарны рис а значит смешанное произведение этих векторов должно быть равно нулю т е QM QL QP 8 Рис Найдем координаты векторов: QM = + y z +; QL = -; QP = - - Тогда y z QL QP QM Разложим определитель по первой строке:

81 QLP y z + - y-8- + z+ -+ = - + y- -z+ = разделим на : + +y-+z + = ; +y + z + = ; +y+z + = получим общее уравнение плоскости Написать уравнение плоскости проходящей через точку N- параллельно плоскости QLP рис Решение Рис Уравнение плоскости QLP: +y + z + = см п Тогда вектор n вектор нормали плоскости QLP Искомая плоскость параллельна плоскости QLP следовательно для любой точки М y z лежащей в этой плоскости вектор NM перпендикулярен вектору n а значит их скалярное произведение равно нулю; MN n = Найдем координаты вектора MN : MN = + y z Тогда скалярное произведение векторов: MN n = + + y + z = + + y + z = ; 8

82 + y + z - 8 = получим уравнение плоскости параллельной плоскости QLP и проходящей через точку N Написать уравнение плоскости проходящей через точку L параллельно векторам QP и QN где Q -; P- - ; N- ;L - Решение Запишем координаты векторов: QP - и QN 8 - Векторы QP и QN параллельны искомой плоскости и для любой точки M y z лежащей в этой плоскости вектор LM лежит в этой плоскости следовательно векторы QP QN LM должны быть компланарными а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю Координаты вектора LM = + y + z тогда y z QP QN LM ; 8 Разложим определитель по первой строке: y z ; y z + = ; y + + z = ; разделим на -: - y -z + = ; - y - z + = получим уравнение плоскости проходящей через точку L параллельно векторам QP и QN Написать уравнение плоскости проходящей через точки Q и N перпендикулярно плоскости QLP рис где Q -; N- 8

83 Решение Рис Уравнение плоскости QLP: +y + z + = см п; где вектор n - вектор нормали плоскости QLP Точки Q и N принадлежат искомой плоскости значит вектор QN 8 - лежит в этой плоскости Плоскость перпендикулярна плоскости QLP а значит вектор нормали n плоскости QLP параллелен плоскости Для любой точки М y z лежащей в плоскости вектор QM + y z + также лежит в этой плоскости Тогда векторы QN QM и n должны быть компланарны а значит их смешанное произведение должно быть равно нулю QM QN n или QM QN n ; 8 y z Разложим определитель по первой строке: y z ; 8 8 y z 8 ; 8 y z разделим на : y z ; y z ; 8

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее