МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»"

Транскрипт

1 Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г.

2 Учебное пособие для студентов техникума II курса Авторы: Т.А. Букатина преподаватель математики. Модуль содержит теоретический материал, необходимый при изучении темы: «Прямая на плоскости и ее уравнения». В конце изложения теории приводятся примеры решения типовых задач по данной теме. Модуль завершается блоком заданий для самостоятельной работы, вопросами для повторения и зачетными заданиями. Модуль составлен в соответствии с программой по математике, рекомендованной Министерством образования и науки РФ для средних специальных учебных заведений. Данный модуль может быть использован на учебных занятиях и для самостоятельной подготовки студентов всех специальностей.

3 Прямая на плоскости и её уравнения. Уравнение линии на плоскости Рассмотрим уравнение F x, y, () где x и y - произвольные переменные, принимающие действительные значения. Известно, что решением уравнения () является любая упорядоченная пара значений переменных x и y, обращающая это уравнение в верное равенство. Заметим, что уравнению () может удовлетворять одна пара действительных чисел, несколько и даже бесконечное множество таких пар. Например, уравнению x 4 y удовлетворяет единственная пара чисел x 4 и y. Уравнению x 3y 5 удовлетворяет любая пара чисел x x и y x 5/ 3, где x - произвольное число. Существуют уравнения вида (), которым не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел. Такими, например, являются уравнения x y, cos x y 5. Зададим на плоскости систему координат Oxy. Если рассматривать множество пар значений переменных x и y, удовлетворяющих уравнению (), как координаты точек на плоскости, то множество этих точек представляет график уравнения (), который, вообще говоря, есть некоторая линия L. Таким образом, уравнению с переменными x и y соответствует на плоскости, вообще говоря, некоторая линия, координаты точек которой удовлетворяют данному уравнению. Построение графиков функций можно 3

4 рассматривать как примеры нахождения линий, соответствующих данным уравнениям. Не менее важной является обратная задача: по данной на плоскости линии найти соответствующее ей уравнение. Пример : Лежат ли точки ; и ; на линии 3x y 7? Подставив в данное уравнение вместо x и y координаты точки, получим Следовательно, точка лежит на данной линии. Подставим координаты точки : 3 7 6, т.е. точка не лежит на данной линии. ч.т.д.. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в плоскости Oxy заданы некоторая точка M x; y и ненулевой вектор n с координатами ;. Требуется составить уравнение прямой l, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору n (рис. ). y M O n M l x (рис. ) 4

5 Определение. Любой ненулевой вектор n, перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором этой прямой. n l ; n ;. Очевидно, что через точку M в плоскости Oxy проходит единственная прямая l, имеющая нормальный вектор n. Возьмем на прямой l произвольную точку M x; y. Тогда вектор M M перпендикулярен вектору n и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. n M M. () Учитывая, что M M x x; y y и n ;, выразим равенство () в координатной форме: x x y y. () x x y y - уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным нормальным вектором где ; - координаты нормального вектора x; y - текущие координаты x ; y - координаты точки, через которую проходит прямая Пример : Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ;3 перпендикулярно вектору n ; 3. Из условия задачи имеем x, y 3,, 3. Подставив эти значения в уравнение (), получим x 3( y 3) x 3y. 5

6 ч.т.д. Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору n 3i 7 j.. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ; перпендикулярно вектору n ;. 3. Составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к нему, если 3; и 5; Общее уравнение прямой и неполные уравнения прямой 3. Общее уравнение прямой Пусть дана произвольная прямая. Выберем на ней некоторую точку M x; y, и пусть n ; - произвольный нормальный вектор этой прямой, тогда (из п.) уравнением этой прямой будет уравнение x x y y. Запишем его так: x x y y, x y x y ; обозначив число- x С, получим x y C. y x y C - общее уравнение прямой, вектора. Задача Указать где x; y- текущие координаты, ; - координаты нормального нормальные векторы для прямых, заданных уравнениями ) x 4y 5 ; ) y x 7 ; 5 6

7 3) x 5 Нормальным вектором первой прямой является вектор n ; 4; второй- вектор n ; ; третий - вектор n ; Неполные уравнения прямой В общем уравнении прямой x y C,,, C могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство нулю и. Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения x y C, получающиеся при равенстве нулю отдельных его коэффициентов. ) Пусть в уравнении x y C, =, тогда y C получим C y y b. C,. Обозначим b y b - уравнение прямой параллельной оси OX (рис. ) Если кроме того, C, то уравнение b y. y примет вид y - уравнение прямой, совпадающей с осью OX. y y b O рис. x 7

8 ) Пусть, тогда уравнение x y C примет вид C x C, или x C a, получим x a., положим x a - уравнение прямой параллельной оси OY (рис.3) y O a x a x рис.3 Если же кроме того, C, то уравнение x a примет вид x. x - уравнение прямой совпадающей с осью ординат (рис.4) y x O рис.4 x 3) Пусть в уравнении y C x y x y x 8 C, тогда y x ;, положим k - формула

9 углового коэффициента прямой из общего уравнения прямой, получим y kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.5) y M y O x x Определение: Условным коэффициентом (k) прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OX. k tg - определение углового коэффициента прямой. Пример: Найти угловой коэффициент прямой 6y 5 ; 6; C 5, k. 6 3 Ответ: k / 3. x. 3.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой Рассмотрим общее уравнение прямой y C y x C y kx b. x C C y x ; k ; b, получим 9

10 y kx b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b. Пример. Общее уравнение прямой x 3y 6 записать в виде y kx b. Решение: I способ: x 3y 6, 3, C 6 k 3 3 C 6 b 3 y kx b y x. 3 II способ: x 3y 6 3y x 6 6 y x 3 3 y x. 3 Пример. Составить уравнение прямой, образующей с положительным направлением оси OX угол 6 и отсекающей на оси OY отрезок, равный 4. Дано: 6 b 4. Составить уравнение прямой y C Решение: y kx b x.

11 k tg k tg6 k 3 y 3x 4 3x y 4. Ответ: 3x y 4. Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с положительным направлением оси OX углы: ) 3, ) 35.. Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4x 6y Составить уравнение прямой, проходящей через точку 5; и имеющей начальную ординату b. 4. Написать общее уравнение прямой из данных прямых и найти координаты её нормального вектора: ) y 3x 5, ) y x. 3 4.Другие формы уравнения прямой на плоскости В этом параграфе мы познакомимся с некоторыми другими формами уравнения прямой на плоскости.. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Пусть даны точка M ( x; y ) и угловой коэффициент k прямой, проходящей через точку M. Требуется составить уравнение искомой прямой в виде x x y y. () В этом уравнении координаты и нормального вектора n нам известны, поэтому постараемся их

12 исключить. Для этого разделим уравнение () на (, в противном случае k / не существует): откуда или x x y y, x, y y x y y kx. () x Определение. Уравнение () называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две различные точки M ( x; y) и M ( x; y ). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки. Возьмем произвольную точку M ( x; y) на этой прямой (рис. 6). y M M M M O x рис. 6 Рассмотрим векторы M M x x; y y M x x y. (3) ; y и

13 Точки M, M и M лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы (3) коллинеарны и, следовательно, их координаты пропорциональны. При y имеем x x и y x x x x y y y y. (4) Определение. Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Если x x, то прямая параллельна оси Oy и, следовательно, её уравнение имеет вид x x. (5) Если y y, то прямая параллельна оси Ox и её уравнение имеет вид y y. (6) Пример: Даны координаты точек (;4) и (6;3). Составить уравнение прямой. Решение: x 4 y x y 4 ; y 6 x x 4y Уравнение прямой в отрезках. Пусть требуется составить уравнение прямой l, отсекающей на оси Ox отрезок величиной a a, а на оси Oy - отрезок величиной b ( b ) (рис. 7). 3

14 y b O a l x рис. 7 Обозначим точки пересечения прямой l с осями координат Ox и Oy соответственно через точки и. Тогда точка имеет координаты a ;, а точка - координаты ;b. Составим уравнение прямой l как прямой, проходящей через две точки a; и ;b. Заменив в (4) x, y координатами точки и x, y - координатами точки, получим откуда x a y a b x a 4 y b,. (7) Определение. Уравнение (7) называется уравнением в отрезках (оно связывает текущие координаты x и y и величины отрезков a и b, отсекаемые прямой на осях координат). Пример: Построить прямую x 3y 6. Решение: Преобразуем данное уравнение к виду (7); для этого перенесем свободный член вправо и разделим обе части на него:

15 x y. 3 Сравнивая полученное уравнение с уравнением (7), найдем a 3 и b. Отложим на оси Ox отрезок O величиной 3 и на оси Oy - отрезок O величиной. Прямая, проведенная через точки и, будет искомой (рис. 8). y 3; x O ; рис. 8 Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ; 4 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 35.. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 3; и имеющей угловой коэффициент, равный. 3. Прямая проходит через точки ; 6 и 7;. Найти отрезки, отсекаемые этой прямой на осях Ox и Oy. 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 4; и отсекающей на оси Oy отрезок, равный Составить уравнение прямой в отрезках, если она пересекает оси координат в точках: ) 3; и ;5 ) ; и ; 4. 5

16 6. Найти длину отрезка, заключенного между точками x y 6 пересечения прямой с осями координат. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, если: ) M ( ;), M (; ) ; ) M ( 6;), M (3; ) ; 3) M( 5; 4), M (5;) ; 4) M ( ;7), M ( 3;7 ). 8. Написать уравнения в отрезках и построить следующие прямые: ) 5x 3y 5 ; 3 y. ) x 9. Найти площадь треугольника, ограниченного прямой x 5y и осями координат. 5. Вычисление угла между прямыми Пусть требуется определить угол между прямыми l и l, заданными в плоскости Oxy уравнениями x y C, x y C. Вычисление одного из смежных углов между прямыми l и l сводится к вычислению угла между нормальными векторами n ; ) и n ; ) этих прямых (рис. 9) ( ( 6

17 y n l l n 8 Но O n cos n n n рис. 9 x. Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем cos. cos - формула вычисления угла между прямыми Пример : Найти угол между прямыми 7 y Решение: По формуле x и x y 3. cos находим 7 ( ) ( ) 8 cos,8, arccos, '. 49 l и Если прямые 7 l заданы соответственно уравнениями

18 y kx b и y kx b, то угол, на который нужно повернуть прямую l в положительном направлении до совпадения с прямой l, можно вычислить через угловые коэффициенты k и k этих прямых. Из рис. 9 видно, что, откуда. Если прямые l и l не перпендикулярны, т.е. имеет смысл tg, то tg tg tg tg( ). tg tg Но tg k, tg k, поэтому tg k k k k. Пример : Найти острый угол между прямыми y 4 y x 4. x и Решение: Из уравнения x y 4 находим k / /( ). Сравнивая уравнение y x 4 с уравнением y kx b, находим k /. По формуле имеем 3/ 3 tg,75. 4 В таблице тангенсов или при помощи микрокалькулятора находим 36 5'. Упражнения:. Вычислить угол между прямыми: 8

19 ) 5 y 7 x и x 3y ; y x и y x 4 ; x y и y 3x 4; 3x 4y 6 и 8x 6y. ) 3 3) 4). Вычислить угол между прямой x 3y 6 и прямой, проходящей через точки ( 4; 5) и (3;). 3. Даны уравнения сторон треугольника C : 7x 4y 9 (), x 8y 7 (C), x y 6 (C). Найти внутренние углы треугольника. 6. Пересечение прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение прямых Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями x y C и x y C. 9 Требуется найти точку их пересечения. Точка пересечения данных прямых есть их общая точка. Координаты этой точки удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т.е. эти координаты являются общими корнями данных уравнений. Чтобы найти эти корни, нужно как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений x y C x y C Пример: Найти точку пересечения прямых 3y x y. Решение: Решим данные уравнения как систему. x и

20 x 3y x y 3 5x 5 5x 5 x 3 x 3y 3x 3y 3 получим, зная x, находим y, например значение x подставляем во второе уравнение 3 y y y 3 ; Ответ: 3 ;.. Условие параллельности прямых Пусть даны на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямые l и l, и заданные уравнениями x y C и x y C (рис. ) y l n n l O рис. n ; ), n ; ) ( ( x ( n l ; n l ; l l ) n n векторы n и n коллинеарны значит их одноименные координаты пропорциональны, т.е.. - условие параллельности прямых

21 - условие совпадения прямых C C Перепишем равенство k и k, то k k. или, т.к. k k - условие параллельности прямых Таким образом прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой. Пример : Показать, что прямые 3x y и 6x 4y 7 параллельны l l, если Решение: 3 y 3 6. x - l ( 3 ; ) 6x 4y 7 - l ( 6 ; 4 ) l l. 4 Пример : При каком значении m прямые 4 3y 9 mx 6y 3 будут параллельны. Решение: l l 4 3 m 6 Ответ: m 8. Пример 3: 3m 4 m 8 x и

22 Написать уравнение прямой, проходящей через точку (;3) и параллельной прямой x y 5. Дано: (;3) l x y 5 - l l l l Написать уравнение Решение: y y kx x ; Т.к. l l, то k k x y 5 - l ( ; ) k ; k k y 3 x y 3 x 4 x y Ответ: y x. 3. Условие перпендикулярности прямых Пусть на плоскости в системе координат даны два взаимно перпендикулярные прямые l и l, заданные уравнениями x y C и x y C (рис. ). y n n l l O рис. x

23 ( n l ; n ( ; ) ; n ( ; ) ; n l ; l l) n n n n. - условие перпендикулярности прямых Перепишем равенство, если и, то разделим обе части равенства на, получим или k k, отсюда при k k 3 и k ; k. k имеем k k - условие перпендикулярности прямых, то Таким образом, прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположны по знаку. Пример : Показать, что прямые 6x 5y 7 и x 4y перпендикулярны. Решение: l, если l 6x 5y 7 - l ( 6; 5 ) x 4y - l ( ; 4 ) l l. Пример : Написать уравнение прямой, проходящей через точку ( 4; 5) и перпендикулярной прямой 3x 6y 7. Дано: ( 4; 5) l

24 3x 6y 7 - l l l l Написать уравнение Решение: y y kx l l x k k 3x 6y 7 - l ( 3 ; 6 ) k ; y 5 ( x 4) ; x y 3 Ответ: x y 3. 3 k ; 6 Упражнения:. Найти точку пересечения двух прямых: ) 3x y 4 и x 3y 5 ; ) x 5y 7 и 3x 5y 4.. Параллельны ли прямые: ) x 3y 7 и 4x 6y 9 ; ) x y 3 и 8x 4y ; 3) 3x 5y и 6x y Перпендикулярны ли прямые: ) 3x y 3 и x 3y 7 ; ) x 5y 6 и 5x y При каких значениях m прямые 3 7y 9 6x my 3 параллельны. 5. При каких значениях n прямые 4 9y 8 nx 6y 7 перпендикулярны. x и x и 4

25 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M ( ; 3), параллельной прямой 3x y Написать уравнение прямой, проходящей через точку ( 4; ) и перпендикулярной прямой 3y 7 x. 5

26 Вопросы для повторения:. Какое вы знаете уравнение линии на плоскости?. Дайте определение нормального вектора прямой. 3. Каково уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальным вектором? 4. Какое уравнение прямой называется общим? 5. Какие вы знаете частные случаи уравнения прямой? 6. Каково уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой? 7. Какое знаете уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направлением (пучок прямых)? 8. По какой формуле можно написать уравнение прямой, проходящей через две точки? 9. Что представляет собой уравнение прямой в отрезках?. Как найти угол между прямыми.. Какие условия параллельности прямых знаете?. Какие условия перпендикулярности прямых знаете? 3. По какой формуле можно найти координаты точки пересечения прямых? 6

27 Зачетная работа «Прямая на плоскости». Написать уравнение прямой, проходящей через точку (4;3) и перпендикулярной вектору MN, если (3;) N (;). M и. При каких значениях m прямые 3 my 9 4x 5y 7 параллельны? 3. При каких значениях p прямые 7y 5 px 4y 3 перпендикулярны? 4. Найти угол между прямыми x и x и y x 8 4 и x y,8. 4x 3y 4, 5. Определить длину отрезка прямой заключенного между точками пересечения прямой с осями координат. 7

28 Литература:. А.А. Дадаян «Математика» Профессиональное образование. Зайцев «Элементы высшей математики» 3. Г.Н. Яковлев «Математика для техникумов» 4. И.И. Валуцэ «Математика для техникумов» 5. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике». 8

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy. ЛЕКЦИЯ N3. Поверхности и линии в пространстве и на плоскости. Прямая на плоскости..уравнение прямой с угловым коэффициентом.....общее уравнение прямой.... 3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром)

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Теоретический материал Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной.

1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. 1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения 2x+ 5= 0, 3x+ ( 8x 1) + 9= 0 являются линейными уравнениями с переменной

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций Геометрические идеи

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций Геометрические идеи П О В Ы Ш Е Н И Е КВАЛИФИК А Ц И И / ЛЕКТО Р И Й С. ШЕСТАКОВ, isser@yandex.ru, г. Москва Тема 4. Окончание. Начало см. в 4/014 задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи Применение свойств функций

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее