МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го курса всех специальностей СГГА Новосибирск

2 УДК 59.6 С 6 Рецензенты: Кандидат физико-математических наук, доцент Сибирской государственной геодезической академии В.В. Комиссаров Старший преподаватель Сибирской государственной геодезической академии Е.С. Плюснина Мартынов Г.П. С 6 Математика. Ч.. Векторная алгебра: Метод. указания. Новосибирск: СГГА,. 6 с. Методические указания подготовлены доцентом кафедры высшей математики Сибирской государственной геодезической академии Г.П. Мартыновым. Указания предназначены для студентов -го курса всех специальностей, обучающихся в СГГА, ее филиалах и отделениях. Они содержат краткую теорию определения, формулы и теоремы) раздела «Векторная алгебра», примеры решения типовых задач и типовые задания по вариантам. Рекомендованы к изданию учебно-методическим советом ИГиМ. УДК 59.6 Сибирская государственная геодезическая академия СГГА), Мартынов Г.П.,

3 СОДЕРЖАНИЕ. Векторы. Основные определения, свойства и теоремы Векторы. Линейные операции над векторами Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Базис на плоскости в R ). Разложение по базису Разновидности базиса на плоскости в R ) Базис в пространстве в R ). Разложение по базису Разновидности базиса в пространстве R Скалярное произведение двух векторов и его свойства Проекция вектора в R Векторное произведение двух векторов и его свойства..... Смешанное произведение трѐх векторов и его свойства Примеры решения типовых задач Типовой расчѐт «элементы векторной алгебры» Указания к выполнению и оформлению типового расчета Типовые задания... 5 Список литературы... 5

4 . ВЕКТОРЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ.. Векторы. Линейные операции над векторами Определение.. Вектором в трехмерном пространстве в R ) называется направленный отрезок заданной длины. Длина вектора иногда называется модулем вектора рис..). У вектора точка А называется началом вектора, точка В его концом. А Рис.. Определение.. Вектор нулевой длины называется нуль-вектором и обозначается или просто. В Определение.. Два вектора и рис..) называются коллинеарными в R, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. Определение.4. Два вектора и называются равными, если и и коллинеарны и направлены в одну сторону). Следствие. Вектор можно параллельным переносом переносить началом в любую точку рис..). Рис.. Определение.5. Произведением вектора на число называется вектор рис..4), такой, что:. ) ; Рис... ) ;. ), если и, если. Замечание. Операция умножения вектора на число обладает следующим свойством:. : Рис..4 :

5 Теорема. критерий коллинеарности векторов). Пусть. Если вектор коллинеарен вектору, то существует такое число, что. Определение.6. Пусть задан вектор, тогда вектор о называется ортом вектора рис..5) заметим, что о ). Определение.7. Пусть заданы векторы и. Суммой векторов и называется такой вектор с, который строится по «правилу треугольника» рис..6). Замечание. Сумму векторов можно ввести и по «правилу параллелограмма» рис..7). c c о Рис..5 Рис..6.6 Рис..7 Замечание. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами: ) коммутативность); ) c c ассоциативность); c ) дистрибутивность); 4). c d d Замечание. При сложении более чем двух векторов можно следовать следующему правилу: векторы выстраиваем в цепочку, и вектор суммы начинается из Рис..8 начала первого вектора и идѐт в конец последнего рис..8). Определение.8. Вектор рис..9) называется противоположным к вектору и обозначается. Рис..9

6 Определение.9. Разностью векторов и называется вектор с рис..). c c Замечание. Разность можно опре-делить и так: c, если c рис..)... Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов Определение.. Упорядоченный набор из n векторов:,,, n называется системой векторов ; ; ; n. ; ; ; Определение.. Пусть n система векторов;,,, n числа. Тогда вектор L n n называется линейной комбинацией системы векторов ; ; ; n. Определение.. Система векторов ; ; ; n называется линейно зависимой системой, если найдутся такие числа,,, n причѐм n ), что L..) n n Рис.. Рис.. Пример.. Вектор-стороны треугольника образуют линейно зависимую систему векторов. Используя рис.., имеем: L здесь ). Теорема.. Если система векторов ; ; ; n Рис.. линейно зависима, то хотя бы один из векторов линейно выражается через оставшиеся векторы. И обратно: если в системе ; ; ; n хотя бы один вектор линейно выражается через оставшиеся векторы, то система ; ; ; n линейно зависима. Определение.. Система векторов ; ; ; n называется линейно независимой, если эквивалентны два равенства: n n n. Данное определение., очевидно, аналогично следующему.

7 Определение.4. Система ; ; ; n линейно независима, если ни один из этих векторов линейно не выражается через оставшиеся векторы. Теорема.. Пусть даны два ненулевых вектора и. Если, то система ; линейно зависима. Следствие. Пусть даны два неколлинеарных вектора и. Тогда система ; линейно независима. Теорема.4. Линейная зависимость системы ; ; равносильна ) компланарности этих векторов ; ; то есть равносильна тому, что три этих вектора лежат на одной плоскости либо параллельны одной плоскости)... Базис на плоскости в R ). Разложение по базису Определение.5. Линейно независимая система из двух векторов называется базисной системой векторов или просто базисом) на плоскости, проходящей через эти два вектора. Замечание. По следствию из теоремы., базисом на плоскости является система из двух неколлинеарных векторов. Теорема.5. Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация.) базисной системы векторов этой плоскости. И это представление единственно: ā = λ ē + λ ē..) Определение.6. В разложении.) числа λ, λ называются координатами вектора ā в базисе { ē ; ē }, и вектор записывается так: ;. Замечание. Если на некоторой плоскости фиксирован базис {ē ; ē }, а векторы ā и разлагаются по этому базису в виде: ā = λ ē + λ ē, = μ ē + μ ē,.) тогда: ) ā + = λ ē + λ ē + μ ē + μ ē = = λ + μ ) ē + λ + μ ) ē.4) { λ ; λ } + { μ ; μ } = { λ + μ ; λ + μ }.5)

8 при сложении векторов их одноименные координаты складываются); ) β ā = β λ ē + λ ē ) = λ β) ē + λ β) ē,.6) β {λ ; λ } = {λ β ; λ β }.7) при умножении вектора ā на число β все его координаты умножаются на это число β). Теорема.6. Если ā = { λ ; λ }, = { μ ; μ } в базисе { ē ; ē }, то..8) Замечание. Соотношение.8) означает, что коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты..4. Разновидности базиса на плоскости в R ) Определение.7. Пусть даны два вектора и. Совместим их начала в одной точке рис..). Угол φ минимального поворота вектора до совмещения с направлением вектора называется углом между векторами и и обозначается: φ = ^ ). Рис.. Определение.8. Вектор называется перпендикулярным вектору ), если угол φ между ними равен 9. φ Определение.9. Пусть { ē ; ē } базис на плоскости. Если ē ē, то { ē ; ē } называется ортогональным базисом на плоскости. Определение.. Пусть { ē ; ē } ортогональный базис на плоскости. Если ē = ē =, то { ē ; ē } называется ортонормированным базисом на плоскости. Определение.. Ортонормированный базис на плоскости бывает «левым» и «правым» рис..4). ē «левый» ē «правый» ē ē Рис..4

9 Пояснение к рис..4. В первом «левом») случае движение от первого вектора ē ко второму ē идѐт по часовой стрелке, а во втором «правом») против часовой стрелки. Определение.. «Правый» ортонормированный базис на плоскости имеет специальное обозначение i, j. Замечание. На основе правого ортонормированного базиса на плоскости строится так называемая декартовая прямоугольная система координат Оху рис..5). На основе левого ортонормированного базиса строится «геодезическая» система координат Oух рис..5). х «геодезическая» у «декартовая» х M х ; у ) у M х ; у ) е O е у.5. Базис в пространстве в R ). Разложение по базису Определение.. Линейно независимая система из трех векторов называется базисной системой векторов или просто базисом) в пространстве. Замечание. Согласно теореме.4, базисом в пространстве является система из трех некомпланарных векторов. Теорема.7. Любой четвертый вектор d пространства R единственным образом разлагается по базису { ē ; ē ; ē } этого пространства в виде: d = d ē + d ē + d ē..9) Теорема.7 «аналогична» теореме.5. у Рис..5 Определение.4. В разложении.9) числа d, d, d называются координатами вектора d в базисе { ē ; ē ; ē }. А записывается это так: d = { d ; d ; d }..) Замечание. Если в пространстве фиксирован базис { ē ; ē ; ē }, и векторы ā, разлагаются по этому базису в виде: O j i х х

10 ā = ē + ē + ē,.) = ē + ē + ē,.) то, аналогично.5) и.7), можно получить: { ; ; } + { ; ; } = { + ; + ; + };.) β { ; ; } = { β ; β ; β}..4) Теорема.8. Если ā = { ; ; }, = { ; ; } в базисе { ē ; ē ; ē }, то..5).6. Разновидности базиса в пространстве R Определение.5. Пусть { ē ; ē ; ē } базис в пространстве. Если ē ē, ē ē, ē ē, то { ē ; ē ; ē } называется ортогональным базисом в пространстве. Определение.6. Пусть { ē ; ē ; ē } ортогональный базис в пространстве. Если ē = ē = ē =, то { ē ; ē ; ē } называется ортонормированным базисом в пространстве. Определение.7. Базис в пространстве может быть «левой тройкой векторов» или «правой тройкой векторов» рис..6). Пояснения: если смотреть из конца третьего вектора на плоскость, образованную первым и вторым вектором, то направление минимального вращения от -го вектора ко - му для «левой тройки» будет по часовой стрелке, а для «правой тройки» против часовой стрелки. е е е Рис..6 е е е Определение.8. Правый ортонормированный базис в пространстве имеет специальное обозначение i ; j; k. Замечание. На основе правого ортонормированного базиса i ; j; k в пространстве строится так называемая декартовая прямоугольная система координат Оxyz рис..7, справа). А на основе «левого» ортонормированного базиса строится см. 7 ) «геодезическая» система координат OYXH рис..7, слева).

11 z H M х ; у; H z M x y; ; z е е х X е у Y M x x i k j M y y Рис Скалярное произведение двух векторов и его свойства Определение.9. Пусть даны два вектора и, причем φ = ) угол между ними. Тогда скалярным произведением вектора на вектор называется число:, ) cos..6) Свойства скалярного произведения. коммутативность)..7)...8). c) c дистрибутивность)..9) 4. ) ), ) линейность)..) 5. или или..) 6. Скалярное произведение базисных векторов: i ji jj ij i ki kk ki i j jkk kk jj, i i j j k k..) Теорема.9 скалярное произведение в координатной форме). Пусть = { ; ; }, = { ; ; } в базисе i, j, k. Тогда: = + +..) Следствия

12 . Если = { ; ; } в базисе i, j, k, то модуль вектора через его координаты выражается так: },..4). Если в базисе i, j, k известны координаты векторов: = { ; ; = { ; ; }, то угол φ между ā и находится так: cos.5) rccos.8. Проекция вектора в R Определение.. Пусть задан вектор АВ в базисе i, j, k и ось l прямая с заданным на ней направлением, началом отсчета и единицей длины). Рассмотрим вектор А В рис..8). Проекцией Пр l B вектора АВ на ось l называется число, равное:. длине вектора А В, если направления оси l и вектора А В совпадают;. минус длине вектора А В, если направления оси l и вектора А В противоположны. Определение.. Ортом оси l называется вектор l o, направление которого совпадает с направлением оси l и длина которого l o рис..9).. 9 l l l l 9 l l Рис..8 Рис..9 Рис.. Вектор l o обладает следующими свойствами: если ось l образует с осями координат углы: с осью ох), с осью оу), с осью oz), то можно показать, что: l cos ; cos ; cos ;.6) o cos cos cos ;.7)

13 Пр B АВ cos B l ) ;.8) l Пр B АВ..9) l l o o Если известны координаты вектора АВ x; y; z, то, учитывая.6),.9),.), имеем: Пр l B x cos y cos z cos..) Замечание. Если требуется найти проекцию одного вектора а x; у; z на направление другого вектора, то сначала найдѐм орт вектора по правилу: o cos ; cos ; cos, а затем воспользуемся формулой.): Пр а x cos y cos z cos.) либо просто через скалярное произведение в случае, если координаты векторов а и не заданы, но известны, например, их длины и угол между ними): Пр а..).9. Векторное произведение двух векторов и его свойства Определение.. Пусть даны два вектора ā и, причѐм φ = ) угол между ними. Векторным произведением вектора ā на вектор называется такой вектор d,, который удовлетворяет трѐм условиям: ) ) d, d ; ) три вектора,, d в этом порядке образуют «правую тройку» векторов см. определение.7); ) длина вектора d численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах ā и, как на сторонах: d sin рис..). Свойства векторного произведения φ d Рис... Геометрический смысл модуля векторного произведения площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах рис..): d sin S..).. антикоммутативность)..4).. c) c дистрибутивность)..5)

14 4. 4. ) ), линейность)..6) или,, или..7) 6. Векторные произведения базисных векторов i, j, k : i i j j k k, i j k, j k i, k i j..8) Теорема. векторное произведение в координатной форме). Пусть ā = { ; ; }, = { ; ; } в базисе i, j, k. Тогда i j k d d et..9).. Смешанное произведение трѐх векторов и его свойства Определение.. Пусть даны три вектора,, с. Смешанным произведением этих векторов называется число с, равное: с ) c..4) Свойства смешанного произведения. с ) c c)..4) Геометрический смысл модуля смешанного произведения объѐм параллелепипеда, построенного на векторах,, с, или шесть объѐмов треугольной пирамиды рис..): c с 6 V пир. V параллелеп..4). с векторы,, с компланарны, то есть лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости). Рис.. 4. Если с, то векторы,, с не компланарны, а поэтому, по теореме.4,,, с являются базисом в пространстве R. Теорема. смешанное произведение в координатной форме). Пусть известны координаты трѐх векторов,, с в базисе i, j, k : ; ;, ; ;, c c; c ; c тогда смешанное произведение с находится так:,

15 а c а c а c с d et..4) Либо, используя свойства определителя, получаем: c c с d et c..44). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ Задача Даны четыре вектора: ;;, ; ;, c ;;, d 6; ; в базисе i ; j; k. Показать, что векторы,, с тоже образуют базис в пространстве R, и найти координаты вектора d в базисе,, с. Решение В соответствии с 4-м свойством смешанного произведения: если c, то векторы,, c образуют базис в пространстве R, поэтому, используя.44), вычислим смешанное произведение этих векторов: с c d e t c d e t c = вычисляем определитель разложением по -й строке, так как в ней есть нулевой элемент можно разложить определитель и по -му столбцу) = = ) d et ) d et = ) ) в соответствии с 4-м свойством смешанного произведения, векторы,, c образуют базис в пространстве, а поэтому, по теореме.7, любой четвертый вектор d единственным образом разлагается по базису виде: d d d d,.) c и,, c в где d, d, d неизвестные пока координаты вектора d в новом базисе,, c. Из.) в соответствии с.) и.4), имеем: 6; ; d ;; d ; ; d ;;, 6; ; d ; d;d d; d; d; d; d, 6; ; d d d ; d d d ; d d..)

16 Получили равенство.) между двумя векторами один слева, другой справа), следовательно, из.) имеем равенство между координатами этих векторов: d d d 6; d d d ; d d. Решая эту систему например, по правилу Крамера), найдем новые координаты d, d, d вектора d в базисе,, c. Имеем: det уже вычисляли). Так как определитель основной матрицы системы уравнений отличен от нуля, значит, по теореме Крамера, данная система имеет единственное решение, которое можно найти, например, по формулам: d /, d /, d /, где d et 6 проще разложить, например, по й строке) = ) det ) 6 ) 4 ; 6 d et разлагаем по й строке) ) ) det det ) 9 6 d et проще разложить, например, по й строке) det ; ) det 6 d d d Ответ:,, c. ) 6 det ) det 6) ) 8 9 / ; d ; / ; d ; единственное решение. / ; d. d c искомое разложение вектора d в базисе

17 Задача Даны координаты вершин пирамиды в системе координат Оxyz: ; ; ), ; ; 4), ; ;), 4; ; ). Найти: а) угол между ребрами и 4 ; б) площадь S грани ; в) объем V пирамиды; г) проекцию вектора на направление вектора 4 ; д) в треугольнике длины всех сторон и величину каждого угла; е) площадь сечения, проходящего через середину ребра А А и вершины А, А 4 пирамиды рис..). 4 Рис.. Решение а) угол между векторами и 4 находится в соответствии с.5): cos 4 4,.) где А А x x y y ; z } { ; ); 4 } { ; ;}, ; z А А 4 { x4 x; y4 y; z4 z} Поэтому { ; ;} ) 4 {;; } { ; ) ) ); 6 },7. Скалярное произведение по формуле.) находится так: А ; ; ;; А4 {;;,45, Тогда, в соответствии с.), имеем: 4 4 cos,94, т т.е.. rccos,94) 6,5.; 6,45,7 б) площадь S грани найдем в соответствии с геометрическим смыслом.) векторного произведения: d, d S, S d,. где ; ;, { ; ) ; } { ; ; }, ) }. 4.

18 S d { ; ; } i ) j 4 ) k ) i 5 j k Тогда,5 d,5 {; 5; },5 { 4 ; ; 5 } d e t,5 {; i 5; j }. k,74 ед. в) объем V пирамиды А4 найдем, используя геометрический смысл.4) смешанного произведения: А А ) 6V, поэтому: V 4 d ) ) )) 5 ) 6 6 ).; 4 пир. поэтому 6 6 ; ) 5; ;;, ед. 4 г) проекция в соответствии с.): Пp, 4 4 где { ; ; }, ;;, 4 А А 4,7, 4 Пp ;; ;;,58. ; ) ). ;, поэтому д) рассмотрим рис..) : ; ;), ; ;4), ; ;), А АА ;;, {; ; }, А А ; ; ) ) 5,4, ),. А А ) ) 6,45. Угол образован векторами и, которые выходят из вершины угла, поэтому Рис..

19 cos то есть rccos ) , Угол. образован векторами и вершины угла. Поэтому cos rccos 6 ), которые выходят из 4,4 Угол образован векторами и А А, которые выходят из вершины угла, поэтому cos 5 6. ) ) ) ) ) ) ) rccos 47, Замечание: для контроля найдем ;. е) найдѐм площадь сечения, проходящего через середину А с ребра А А и вершины А и А4 пирамиды. Имеем координаты середины А с : х с х х ) ),5; у с ),5; z с 4 ),5. Затем находим площадь треугольника А А 4 А с с помощью векторного произведения: с d где А ;;, 4, А4 с {,5 ; -,5 - -);,5 } {,5;,5;,5},5 ; ; d 4 с i j k,5 ; ; ; ;,5 d et ;,5 i ) j ) k ),5 i 4 j k) ; ;

20 угол d ) ) ) 6 S сеч 6,5, ед. ). Ответ: а) 6.5 ; б) S.74 ед. ); в) V. ед. ); г).58; д) 6.45 ед.) ; 5.4 ед.) ;. ед.); 9, 4.4, 47.6 ; е) S сеч, ед. ). Задача Найти Пр x y проекцию вектора y на направление вектора x ), если x,, y y,, p pq, q, p pq, q, p, q, угол p ^ q) 5. Решение y : Имеем в соответствии с.): x Пр x y x y. Найдем векторы x и x p q) p q) p q 6 p 4q 4 p 5q; y p q) p q) 6 p q p q 9 p q. Тогда, с учѐтом свойств.8),.9) и.) скалярного произведения: x y 4 p 5q) 9 p q) 6 p p 4 p q 45q p 5q q так как p p p, q q q, q p p q) 6 p 4p q 5 q 6 p 5 q 4 p q cos p ^ q) подставляем данные из условия) = 6 5 ) 4 cos ) 8,5. Модуль вектора x найдем, используя свойство.8) скалярного произведения: x x x 4 p 5q) 4 p 5q) 6 p p p q q p 5q q 6 p p q p q 5 q 6 p 4 p q 5 q 6 p 4 p q cos p^ q) 5 q = подставляем данные из условия) = 6 4 cos 5 5 ) 6 4 ) 5 5 x. x y 8.5 Поэтому х 5. Тогда Пр x y 6.7. x 5 Ответ: Пр x y 6.7.

21 Задача 4 Найти площадь треугольника АВС, если C i j k, B орт вектора нормали к плоскости, проходящей через три точки M ; ;), M 4;;5), M ;; ) рис..), вектор B образует с осью Оz острый угол. N M Решение Площадь S треугольника АВС можно найти, используя геометрический смысл векторного произведения d C B :,5 d S. У нас C {; ; }, осталось найти B. Имеем: B, B АВ N, где, N MM MM N М N i М М B Число B MM ; ;, М MM d et 6 ) j 4 ) k 6 ) 8i j 7 k ; То То есть АВ ) i N { 8; ; 7} { 8 ; ; 7 }. найдем, используя данные из условия: B 7 8 ; ; ) 7 7 j ; ) ; k, 7, АВ ) 7 ) ; ; 7 7 8; ;7 По условию вектор B образует с осью Оz острый угол, поэтому его третья координата должна быть положительной, в результате остается единственный первый) вариант: 8 7 АВ ; ; Для нахождения d C B.: S. 5 d нам нужен d, поэтому сначала найдем М M Рис....

22 Имеем d Имеем: C B 7 {; ;} { 8; ; 7} 7 d e t i 8 j k 7 7 i ) j 4 8) k 4 4) 7 ; ; d { ; ; } d ) ) ) 7 7 Тогда S,5 d,74 ед. ). 7 4 Ответ: S, 74 ед. ). Задача 5 При каком значении x будут компланарны векторы,, c, если вектор коллинеарен вектору d m n, где m { ; ;}, n i j k ; вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через точки M ;;), M; ;), M 4;;5) рис..4); а вектор c xi j k? Решение Имеем: так как // d d, число.. Так как перпендикулярен плоскости, проходящей через точки М, М и М, то N, где число, N N вектор любой нормали к плоскости. Условие компланарности принадлежности некоторой плоскости) векторов,, c эквивалентно М условию компланарности векторов d, N, c. Поэтому найдѐм тот х, при котором векторы d, N, c будут компланарны. Имеем: i j k М Рис..4 d m n { ; ; } {;; } d et разлагаем по й строке) М,48. i ) j 6) k 4) i 7 j 5 k { ;7;5}, т. е. d ;7;5. Вектор N нормали к плоскости можно найти, используя определение векторного произведения М М ММ согласно которому вектор М М М перпендикулярен плоскости ). Имеем: М

23 } М М { ; ; } = {; ; }, М М {4 ; ; 5 } = {; ; N М М М М i j k d et i 6 ) j ) k 9) 6 i j 7 k N { 6; ;7}. Векторы d { ;7;5}, N { 6; ;7} и с х;; будут компланарны, если их смешанное произведение будет равно нулю: 7 5 d e t 6 7 4) x ) 5 x ) 59 x 9 x. То есть х = 9 условие компланарности d, N, c а, стало быть, и 59,, c ). Ответ: при х = 9 векторы,, c будут компланарны. 59

24 . ТИПОВОЙ РАСЧЁТ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ».. Указания к выполнению и оформлению типового расчета Типовой расчет состоит из пяти задач, для каждой из которых приведено вариантов. Номер варианта, сроки выполнения и защиты типового расчета устанавливаются преподавателем, ведущим в группе практические занятия, в соответствии с учебным планом. Расчетно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных листах формата А-4 каждая задача на отдельном листе). По окончании работы листы брошюруются. Титульный лист подписывается так: Министерство образования Российской Федерации С Г Г А Кафедра высшей математики Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т «Элементы векторной алгебры» вариант Выполнил: Проверил: студент группы Фамилия, имя, отчество Фамилия, имя, отчество / учебный год г. Новосибирск Задачи располагаются в порядке следования номеров. Решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется применительно к варианту, по которому работает студент см. образец выполнения работы). При защите работы студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы см. в конце данных методических указаний), объяснять решение каждой задачи своего варианта и решать подобные задачи.

25 .. Типовые задания Задача Проверить, что векторы,,,,,, c c, c, c образуют базис в пространстве, и найти разложение вектора d d, d, d по этому базису,, с : c c c d d d c c c d d d

26 Задача Даны координаты вершин пирамиды: А х ; у ; z ), А х ; у ; z ), А х ; у ; z ), А 4 х 4 ; у 4 ; z 4 ). Средствами векторной алгебры найти: ) угол между ребрами и 4 ; ) площадь грани 4 ; ) проекцию вектора А А на направление вектора А А4 ; 4) объем пирамиды; 5) в треугольнике 4 длины всех сторон и величину каждого внутреннего угла в градусах); 6) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины А и А 4 :: x y z x y z x y z x 4 y 4 z x y z x y z x y z x 4 y 4 z 4

27 Задача Найти проекцию у Пр х, если х k а k, y k а k4, а k5 р k6 q, k7 р k8 q, угол угол p q k 9, где: : p q k k k k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9,5,5 4 4, , , , ,5 7, ,5, , , , , ,5,5 p q k k k k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9

28 Задача 4. Найти площадь параллелограмма BCD, если B вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, 4), а C i j ) i j k).. Найти модуль проекции вектора p единичной длины, перпендикулярного плоскости, проходящей через точки,, ),,,,),, ), на прямую, проходящую через точки,, ),,, ).. Найти модуль проекции вектора p i j k) i 5 k) на вектор q единичной длины, лежащий в плоскости Оyz и перпендикулярный вектору i j 4 k. 4. Найти площадь параллелограмма BCD, если B единичный вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ), а C коллинеарен прямой, проходящей через точки,, ),,, ), и C. 5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах,, с, если i j k ) i 5 j). Вектор MN, где M,, ), N, 4, ). Вектор c образует с осями Ох, Оy углы в 45 и имеет длину ед. 6. Вектор p перпендикулярен оси Oz и удовлетворяет условиям p 9, p 4, где i j 5k, i j k. Найти проекцию вектора p на вектор q. 7. Найти модуль проекции единичного вектора p, перпендикулярного плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ), на вектор q i j) i k ). 8. Найти модуль проекции вектора p на вектор q, если p а 4i k, i j k Вектор q i k, перпендикулярен векторам. p. 9. Найти объем параллелепипеда, построенного на трѐх векторах:,, ) ), где i k, j k.. Найти площадь параллелограмма АВСD, если B, D, i j k, i j k.. Найти модуль проекции вектора p i j) j k ) на вектор q, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ).

29 . Найти модуль проекции вектора p единичной длины, коллинеарного вектору а i j k, на вектор q i j 7 k ) i k ).. Найти проекцию вектора p, где j k, i j k, на вектор q i. 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если вектор p перпендикулярен векторам i j k, i j k. Вектор q i k, p. 5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если p составляет с координатными осями равные углы и p ; q i 7 j k ) 5i j). 6. Найти модуль проекции вектора p, перпендикулярного к оси Oz и вектору 8 i 5 j k, имеющего длину p 5, на вектор q j k ) i j 5 k). q 7. Найти модуль проекции вектора p на вектор i j k, если p перпендикулярен векторам а,, которые заданы так: i j k, 8i j 5k ; p Найти модуль проекции вектора p единичной длины, составляющего с осями координат равные углы, на вектор q i j k ) i k ). 9. Найти площадь треугольника АВС, если B вектор единичной длины, перпендикулярный к плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ), C единичный вектор, коллинеарный прямой, проходящей через точки,, ) и,, ).. Найти проекцию вектора p, перпендикулярного векторам i j k, i j k и удовлетворяющего условию p i j 7 k ), на вектор q j j 5 k ) i k).. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

30 i j) i j k ),, ) ), где,.. Найти проекцию вектора p i 6 j k ) i 4 j 5k ) на ось, составляющую с осями координат углы, и тупой.. Найти площадь параллелограмма BCD, если B лежит на прямой, проходящей через точки,, ),,, ) и B, а D вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ), и D. 4. Найти модуль проекции вектора p на вектор q, если p коллинеарен вектору 4i k, p 5, а q i j k) i 7 j k). 5. Найти проекцию вектора p =, где i j k, i 5 j, на вектор i. 6. Найти объем параллелепипеда BCDEFLM, если BCD лежит в плоскости Оxy и имеет площадь ед., а вектор E коллинеарен прямой, проходящей через точки,, ),,, 4), и имеет длину ед Найти проекцию вектора p ) ), где i 5 j k, i j 4 k, на ось, составляющую с осями координат углы: острый, /, /. 8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, если вектор p единичной длины лежит в плоскости Оxz; p i j 4 k ), а q i j k) j k). 9. Найти модуль проекции вектора p единичной длины, коллинеарного прямой, проходящей через точки,, ),,, ), на направление перпендикуляра к плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ).. Найти площадь треугольника АВС, если B коллинеарен вектору p i j 5 k, B, а C i j 4 k) i 5 j 9 k).

31 Задача 5 При каком x будут компланарны векторы p, q, r, если далее условие по вариантам): ) p лежит в плоскости Охz и перпендикулярен оси Оz, q коллинеарен вектору i j) i j); r MN; M,, ), N, x, ); ) p i j 7 k) i 5 k ), q перпендикулярен оси Ох и вектору 5i 5 j k; r i 4 j x k ; ) p коллинеарен вектору, где i 7 j k, 9i 4 j 5 k, q i j 4 k) 4i j k ), r MN; M,, ), N, х, 5); 4) p лежит на плоскости Оxy и перпендикулярен вектору i j k; q MN, M 7, 5, ), N 9, 4, ), r i j x k ; 5) p =, где i k ; j 6 k ; q составляет с осями координат равные углы, а r i x j k ; 6) p составляет с осями координат углы: / 4, q i j 5 k) i x j k ), r орт вектора i j k; 7) p = B,,, ), B, x, 5), q i j 5k) i 4 j 6 k ), r вектор, составляющий с осями координат углы: /, / 4 и тупой; 8) p коллинеарен вектору i j x k, q лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен вектору r i x j; 9) p i 7 j k ) i j 5 k ). Вектор q составляет с осями координат равные углы. Вектор r MN; M,, ), N x,, ); ) p коллинеарен прямой, проходящей через точки,, ) и,, ), q лежит в плоскости Оxу и составляет с вектором i j k угол / 4; r xi j k ;

32 ) p лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен вектору i j k, q коллинеарен вектору i 5 j 7 k, а r i 4 j x k ; ) p ) ), где i j k, i 4 j ; q лежит в плоскости Оxz и перпендикулярен вектору c i j k; r xi j k ; r ) p перпендикулярен векторам i j k и j, q, i x j k ; 4) p i 5 j 5 k) i j k ), q, где i j k, 7 i j x k, r коллинеарен вектору d i j 8k ; 5) p коллинеарен прямой, проходящей через точки,, ),,, ), q перпендикулярен векторам i k и i x j ; r i j; 6) p удовлетворяет условиям: p 4, p в, p c 5, где i j k, в i j k, c 4i j k; q составляет с осями координат равные углы, а r i x j k ; 7) p коллинеарен вектору 5i j k, q MN, M 4,, 4), N 6,, x); r перпендикулярен оси Оx и вектору i j 7k ; 8) 8) p i 5 j 5 k) i j k ), q перпендикулярен оси Оy и удовлетворяет условиям q i j k) 5, q 4i j k) ; r B ; x,, ), B,, 9); 9) p перпендикулярен векторам и, i j k, i j k, q лежит в плоскости Оxz и составляет с вектором c i 6 j k угол / ; r i x j k ; ) p i j 5 k) i j k ), q перпендикулярен векторам i j 4 k и j k; r xi j k ; ) p лежит в плоскости, проходящей через точки,, ),,, ),,, ), и перпендикулярен вектору i j ; q i j 4 k ) j k ), r MN; M,, ), N,, x);

33 ) p ) ), где i j k, i j 4 k, q MN; M,, ), N x,, 4), r перпендикулярен оси Оx и удовлетворяет условиям: r i j k ) 5, r i 4 j k ) ; ) p перпендикулярен оси Оx и вектору 4i j k, q коллинеарен вектору i 4 k, а r i x j k ; 4) p перпендикулярен векторам: i 5 j k, i 4 j 6 k ; q MN, M,, ), N, 4, ), а r xi j k ; 5) 5) p лежит в плоскости Оxz и перпендикулярен вектору c i j 5 k; q ) ), где i j k, i 4 k, r i x j k ; 6) 6) p 4i 4 j k) i j 9 k ), q лежит в плоскости Охy и перпендикулярен вектору i j k; r xi j k ; 7) p составляет с осями координат углы: острый, /, / 4; q составляет с осями координат равные углы, а r i j x k ; 8) p, где i k j, i 4 j k; q коллинеарен вектору c 7 i j k, а r xi j k ; 9) p i j xk ; q составляет с осями Ох и Оy углы в / 4, а r ) ), где i j k, i j k ; ) p = MN, где M,, 4), N 8,, 5) ; q 6i j k) 5i j x k ), r коллинеарен вектору 7 i j k. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ) Векторы. Линейные операции над векторами сложение, умножение на число). ) Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Примеры. ) Базис на плоскости. Разложение по базису. Координаты вектора в данном базисе. 4) Разновидности базиса на плоскости.

34 5) Базис в пространстве R. Разложение по базису. Координаты вектора в данном базисе. 6) Разновидности базиса в R. 7) Проекция вектора на ось, на направление другого вектора. 8) Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 9) Векторное произведение двух векторов и его свойства. ) Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

35 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 98, Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 98.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 98, Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М.: Наука, Мартынов Г.П., Мирошников А.Л. Конспект лекций по курсу «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». Новосибирск: СГГА, Дюков В.П., Мартынов Г.П., Мирошников А.Л. Типовой расчѐт «Элементы векторной алгебры». Новосибирск: СГГА, Аврунѐв Е.И. Проектирование специальной инженерно-геодезической сети для наблюдений за движением оползня. Новосибирск: НИИГАиК, 989.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Г.П. МАРТЫНОВ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОЛОГОВ И КАРТОГРАФОВ

Г.П. МАРТЫНОВ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОЛОГОВ И КАРТОГРАФОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: vachurikov@list.ru. vachurikov@tpu.ru

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее