МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Харьков

2 Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» для иностранны студентов Утверждено на заседании кафедры высшей математики Протокол от 88 Харьков

3 Методические указания к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» для иностранны студентов cпециальностей: ; ; ; / Составители: АИКононенко, АВЛысянская, РВПосылаева Харьков: ХГТУСА, 8 - с Рецензент ЛИЩелкунова Кафедра высшей математики

4 ВВЕДЕНИЕ Общий курс высшей математики предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математически задач; выработку умения самостоятельно углублять знания и проводить математический анализ прикладны задач В современны условия одной из основны форм обучения является самостоятельная работа, которая состоит из следующи элементов: изучение учебного материала по учебникам, учебным пособиям и конспектам лекций; решение задач и примеров; выполнение индивидуальны домашни заданий (в том числе и итоговы); сдача модульного контроля Предлагаемое издание предназначено для оказания помощи студентам при организации самостоятельной работы и содержит рабочую программу по модулю, индивидуальные домашние задания, варианты итогового задания, образец его выполнения и вопросы для самопроверки, а также варианты тестовы заданий, образец выполнения модульного контроля и вопросы для подготовки к его сдаче ПРОГРАММА МОДУЛЯ Элементы линейной алгебры Линейные операторы и матрицы Линейные операторы и матрицы в заданном базисе в пространстве в R Сложение, умножение на число, произведение линейны операторов и соответствующи матриц Линейные операторы и матрицы в R n Сложение, умножение на число, произведение линейны операторов и соответствующи матриц Сопряженный оператор Сопряженная матрица Самосопряженные операторы и симметричные матрицы Ортогональные матрицы Определители второго, третьего порядков Основные свойства Определители n -го порядка, и свойства Ранг матрицы Теорема о базисном миноре Системы линейны уравнений Метод Гаусса Правило Крамера Обратная матрица Решение матричны уравнений Теорема Кронекера-Капелли

5 Элементы векторной алгебры Тремерное пространство Векторы Линейные операции над векторами Линейные пространства Линейно независимые системы векторов Базис Скалярное произведение в R и его свойства Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве Длина вектора Расстояние Угол между векторами Пространство R n Ортогональный базис Разложение векторов Векторное произведение Основные свойства Смешанное произведение и его свойства Аналитическая геометрия на плоскости Координаты точки на плоскости Расстояние между двумя точками Деление отрезка в заданном отношении Координаты середины отрезка Различные виды уравнения прямой Исследование общего уравнения прямой Построение прямой по ее уравнению Уравнение прямой, проодящей через заданною точку в данном направлении Уравнение прямой, проодящей через две данные точки Угол между прямыми Условие параллельности и перпендикулярности дву прямы Определение точки пересечения дву прямы Расстояние от данной точки до данной прямой Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола Преобразование прямоугольны координат Параллельный перенос координатны осей без изменения и направления Преобразование координат поворотом координатны осей без изменения начала координат Упрощение общего уравнения кривой второго порядка Полярная система координат Переод от полярны координат к декартовым и обратно Построение кривой, определяемой уравнением вполярны координата Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Различные виды уравнения плоскости Исследование общего уравнения плоскости Уравнение плоскости, проодящей через три заданные точки Угол между двумя плоскостями Условие параллельности и перпендикулярности дву плоскостей Расстояние от точки до плоскости Прямая в пространстве Векторное уравнение прямой Параметрические уравнения прямой Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой, проодящей через две точки Общее уравнение прямой Угол между двумя прямыми Условие параллельности дву прямы Условие перпендикулярности дву прямы Направляющие косинусы прямы Плоскость и прямая в пространстве Условие параллельности прямой и плоскости Условие перпендикулярности прямой и плоскости Точка пересечения прямой и плоскости Угол между прямой и плоскостью

6 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Задание Решить систему линейны уравнений ) методом Крамера; ) методом Гауса; ) с помощью обратной матрицы Сделать проверку Вариант ; 8; ; ; Вариант ; ; 8; ; Вариант ; ; 8 ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант 8; ; ; ; Вариант ; 8; 8 ; ; Вариант ; ; ; ;

7 Вариант 8 ; ; ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; 8 ; ; ; Вариант ; ; 8 ; ; Вариант ; 8; ; 8 ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; ;

8 Вариант ; 8; 8 ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант 8 ; ; ; ; Вариант 8; ; ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; 8; Вариант ; ; ; ;

9 8 Вариант ; ; 8 ; 8; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; 8 ; Вариант ; ; ; ; Вариант 8 ; ; ; ; Вариант ; ; ; ; Вариант ; ; ; ;

10 Задание Исследовать систему с помощью теоремы Кронекера Капелли и в случае ее совместимости найти все решения Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; 8; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант 8 ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ;

11 Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; 8; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант 8 ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ;

12 Вариант Вариант ; ; ; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; 8; ; Вариант Вариант 8 8 ; ; 8; ; ; ; Вариант Вариант ; ; ; ; ; ;

13 Задание Задана пирамида, координатами вершин которой являються А, А, А, А (координаты точек приведены в таблице ) Методами векторной алгебры найти: ) длину ребра А А ; ) угол между ребрами А А и А А ; ) проекцию вектора А А на вектор А А ; ) площадь грани А А А ; ) объем пирамиды Таблица Номер А А А А варианта (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;8;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (8;;) (;;) (;;8) (;;) (-;8;) (;8;) (;;) (;8;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) 8 (;;) (;;) (;;) (;;) (8:;) (;;) (;;8) (8;;) (;;) (;;8) (;;8) (8;;) (;;) (-;;-) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;-;) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;-;) (;;) (;;) (;;) (-;;-) (-;;) 8 (;-;) (-;-;) (;;) (;;) (;;-) (;;) (-;;) (-;;) (8;;8) (;;) (:; I) (;;) (;;8) (;;) (:8:) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (;;8) (;;8) (;;) (;;) (;;) (;8;) (;;) (;8;) (:;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) 8 (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (-;;) (;;-) (;-;l) (;;) (;;) (;;)

14 Задание Заданы координаты вершин треугольника АВС ( приведены в таблице ) Методами аналитической геометрии ) составить уравнение стороны АВ; ) составить уравнение высоты, проведенной из вершины С; ) вычислить длину высоты, проведенной из вершины В; ) составить уравнение прямой, проодящей через центр тяжести треугольника параллельно стороне АС; ) найти площадь треугольника; ) найти внутренний угол треугольника при вершине А Таблица Номер варианта А В С Номер варианта А В С (-;-) (-; ) (;) (;-) (8;) (-;) (-;) (-;) (I;) (;-) (;) (;) (-;) (;) (;) 8 (;- (;) (-;-) (;) (;) (;) (;) (-;) (-;) (-;-) (;) (;-) (;-) (;) (;) (-;-) (;) (;) (;-) (-;-) (-;) (-; ) (-;-) (;) (;-8) (;-) (-;-) 8 (;) (;8) (-;-I) (8;-) (-;-) (;) (;) (;-) (; ) (;) (;) (;) (;) (;) (-; ) (;-) (;) (;) (-;-) ( -;) (;) (;) (-;-) (-;) (;) (;) (;) (;) (-;8) (-;) (-;- (-;-) (;-) 8 (;) (-;) (;-) (-;) (-;) (-;) (-;-) (;) (-;) (;-) (-;-) (; I) (;) (-;) (-;)

15 Задание Задана пирамида, координатами вершин которой являются А, А, А, А (приведены в таблице ) Требуется: ) составить уравнение стороны А А ; ) составить уравнение плоскости А А А ; ) записать уравнение высоты, опущенной из вершины А на плоскость А А А ; ) найти угол между ребром А А и гранью А А А Таблица Номер варианта А А А А (;;) (-;;-) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;; ) (;;) (; ; ) (;;) (;-;) (;;) (;;) (-;;-) (,;) (;;) (;;) (;-;) (;,-) (;;) (;;) (-;;) (;;) (;;) (;;) 8 (-;;) (;;) (;-;) (;;) (;-;) (,;) (-;;-) (-;;) (;-;) (-;-;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (-;;) (;;-) (;;) (;;) (;;) (8;;-8) (;;) (;8;) (;;) (;;8) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (-;;) (;;8) (;;) (,;) (;;) (;;) (;;8) (;;) (;8;) (;;) (;8;) 8 (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (8;;) (;;) (;;8) (;;) (-;;) (;8;) (;;) (;8;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) (;;) 8 (;;) (;;) (;;) (;;-) (8;;) (;;) (;;8) (8;;) (;;) (; ;8) (;;8) (8;,)

16 Задание Привести уравнение линии (приведены в таблице ) к каноническому виду, построить эту линию и в зависимости от полученного результата найти: ) координаты центра круга и его радиус; ) координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса; ) координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет гиперболы и записать уравнения ее асимптот; ) координаты вершины и фокуса параболы, величину параметра, записать уравнение ее директрисы Таблица Номер варианта Уравнение Номер варианта Уравнение Задание Задана функция r f на отрезке (уравнения функций, взависимости от варианта, приведены в таблице ) ) Построить график функции в полярной системе координат по точкам, задавая значения через промежуток, начиная от ) Записать уравнение заданной линии в прямоугольной декартовой системе

17 координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительное направление оси абсцисс с полярной осью По полученному уравнению определить вид кривой Таблица Номер варианта Уравнение Номер варианта Уравнение r = cosφ sinφ r = cosφ r - cos r sin 8 r cos r - cos r sin r cos r - cos r - sin r = - sinφ r = - cosφ 8 r - cos r - cos r cos r - cos r sin r cos r = - cosφ + sinφ r = sinφ r sin r - cos r sin 8 r sin r cos 8 r sin r cos r sin r = - cosφ sinφ r = cosφ + sinφ

18 ВАРИАНТЫ ИТОГОВОГО ЗАДАНИЯ Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(; ; ) и В(; ; ) Вычислить координаты вектора AB и его длину Две стороны квадрата лежат на прямы и Вычислить его площадь Определить вид кривой -го порядка и построить ее Найти в зависимости от вида кривой координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот Через точку пересечения прямой и плоскости провести плоскость, перпендикулярную прямой Составить параметрические уравнения прямой, проодящей через две заданные точки М (; -; ) и М (; ; ) Вариант Найти матрицу D=AC+BC, если A, B, C Найти координаты точки А, с которой совпадает конец вектора a ( ; ; ), если его начало совпадает с точкой В(; ; ) Для треугольника с вершинами в точка M(; ), N(-; ), P(; -) найти уравнение высоты, проведенной из вершины N Определить вид кривой -го порядка = и построить ее Найти в зависимости от вида кривой координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот Через прямую и точку М(; ; ) проведена плоскость Записать ее уравнение Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями Вариант Найти ранг матрицы B Найти орт вектора a ( ; ; ) Найти проекцию точки Р(; -) на прямую Определить вид кривой -го порядка 8= и построить ее Найти

19 в зависимости от вида кривой координаты фокусов, уравнения директрисы Написать уравнение плоскости, проодящей через прямую параллельно прямой Найти острый угол между прямыми и Вариант Найти ранг матрицы методом обрамляющи миноров Даны точки А(; ; ), В(; ; ) и С(; ; ) Найти скалярное произведение векторов AB и AC Через точку М(-;) провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна, а расстояние между фокусами равняется 8 Найти уравнение плоскости, проодящей через начало координат перпендикулярно плоскостям и Составить уравнение прямой, проодящей через точку М(;;-) перпендикулярно плоскости Задан определитель 8 Вариант Найти алгебраическое дополнение элемента a Определить, при каком значении вектора a ( ; ; ) и b (;; ) взаимно перпендикулярны Составить уравнение прямой, проодящей через точку Q (; ) перпендикулярно прямой PQ, если P (; ) Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет Составить уравнение прямой, проодящей через точку М (; ; ) перпендикулярно плоскости, задаваемой точками М (; ; ), М (; ; ), М (; ; ) Определить, при каки l и m следующие уравнения определяют 8

20 параллельные плоскости: l, m Вариант Решить неравенство Найти угол между векторами a (; ; ) и b ( ; ; ) Найти уравнение какой-либо средней линии треугольника АВС с вершинами в точка А(; ), В(-; ) и С(; -) Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна, а эксцентриситет Найти угол между прямой ; и плоскостью Составить уравнение плоскости, проодящей через начало координат и имеет нормальный вектор n ( ; ; ) Вариант Не вычисляя определитель, доказать справедливость равенства Даны вершины треугольника А(; ; ), В(; ; ) і С(; ; ) Найти его внутренний угол при вершине А Найти проекцию точки P( ; ) на прямую + = Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна, а эксцентриситет Написать уравнение плоскости, проодящей через параллельные прямые и При каком значении p прямая 8 p и плоскость параллельны? Вариант 8 Найти алгебраическое дополнение элемента a определителя

21 Даны векторы a ( ; ; ), b (; ; ) и c ( ; ; ) Вычислить пр b ( a b) Составить уравнение прямой, проодящей через точку М (; ) перпендикулярно прямой ++ = Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно, а длина мнимой оси b=8 Написать уравнение прямой, проодящей через начало координат перпендикулярно прямым и Найти угол межу прямой и плоскостью Вариант Даны матрицы A и B Найти и произведение Вычислить длину вектора a ( ;; ) и его направляющие косинусы Составить уравнение прямой, проодящей через точку М(; ) параллельно прямой ++ = Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что длина действительной оси a=, а эксцентриситет Найти уравнение плоскости, параллельной оси O и проодящей через точки М (; ; ), М (; ; ) Составить уравнение прямой, проодящей через точку М(; ; ) перпендикулярно плоскости Вариант Решить систему уравнений: ; Даны три точки: А(; ; ), В(; ; ) и С(; ; ) Доказать, что векторы AB і AC взаимно перпендикулярны Составить уравнение прямой, если точка P( ; ) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что действительная ось равна и гипербола приодит через точку (; )

22 Составить уравнение плоскости, проодящей через прямую параллельно прямой Проверить, лежит ли точка А(; ; ) на прямой, проодящей через точки М (; ; ) и М ( ; ; ) Вариант ; Решить систему уравнений: ; Вычислить смешанное произведение a b c, если a (; ; ), b ( ; ; ), c ( ; ; ) Найти координаты точки М, симметричной точке N( ; ) относительно прямой = Составить уравнение параболы, вершина которой наодится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси O и ее параметр p = Составить уравнение плоскости, проодящей через ось О и через точку М( ;; ) Даны вершины треугольника А(; ; ), В( ; ; ) и С(; ; ) Составить параметрическое уравнение его медианы, проведенной из вершины С Вариант Найти все решения системы ; Установить, компланарны ли векторы a ( ; ;), b (; ; }, c ( ; ; ) Найти угол между прямыми + = и + = Составить уравнение параболы, вершина которой наодится в начале координат, зная, что парабола расположена в верней полуплоскости симметрично относительно оси Oу, и ее параметр p = Найти уравнение прямой, проодящей через точку М(; ; ) параллельно прямой 8 ; Проверить параллельность прямой 8 и плоскости

23 Вариант Найти и из уравнения ( ) ( ) Выяснить, компланарны ли векторы a (;; ), b (; ; ), c ( ; ; ) Центр тяжести однородного стержня наодится в точке М(; ), один из его концов - в точке P( ; ) Определить координаты точки Q - второго конца этого стержня Составить уравнение параболы, вершина которой наодится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси O и проодит через точку A(; ) Найти уравнение плоскости, проодящей через точку М(; ; ) параллельно прямым и t ; t ; Найти острый угол между прямыми ; и ; t t Вариант Определить и из уравнения Вычислить объем тетраэдра, вершины которого наодятся в точка А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ), D(; ; ) Даны три вершины параллелограмма А(; ), В(; ), С( ; ) Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В Составить уравнение параболы, вершина которой наодится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси O и проодит через точку D(; 8) Найти расстояние от точки М (; ; ) до плоскости, проодящей через три точки: М (; ; ), М (; ; ), М (; ; ) Составить уравнение прямой, проодящей через точку А(; ; ) перпендикулярно плоскости Вариант Дана матрица A Найти A та M Доказать, что точки А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ), D(; -; ) принадлежат одной плоскости Найти точку пересечения прямы = и ++ = Привести уравнение линии к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее: + ++ =

24 Найти уравнение прямой, проодящей через точку пересечения прямой и плоскости и точку М( ; ; ) Составить уравнение плоскости, проодящей через три точки: А(; ; ), В(; ; ) и С(; ; ) Вычислить определитель Вариант Найти площадь треугольника АВС, если заданы координаты вершин треугольника А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ) Даны уравнения дву сторон прямоугольника: + = и + = и одна из его вершин А(; ) Составить уравнения дву други сторон прямоугольника Привести уравнение линии к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее: = Определить площадь треугольника, образованного осями координат О и Оу и прямой пересечения плоскости с плоскостью Оу Записать канонические уравнения прямой, проодящей через точки А(; ; ) и В(; ; ) Вариант cos sin Вычислить определитель sin cos Определить, при каком значении векторы a (; ; ), b ( ; ; ) и c ( ; 8; ) компланарны Даны вершины треугольника М (; ), М ( ; ) и М (; ) Составить уравнение его высоты, проведенной из вершины М Привести уравнение линии к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее: ++ = Найти проекцию точки М(; ; ) на плоскость Определить, при каком значении l уравнения и l определяют перпендикулярные плоскости Вариант 8 Вычислить определитель, раскрывая его по элементам первой строки Вычислить векторное произведение векторов a ( ; ; ) и b ( ; ; )

25 Даны вершины треугольника М (; ), М ( ; ) и М (; ) Составить уравнение его высоты, проведенной из вершины М Привести уравнение линии к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее: + = Найти проекцию точки М(; ; ) на плоскость + = Записать уравнение плоскости, параллельной оси O и отсекающей на ося O и O отрезки a=, c= Упростить выражение Вариант cos sin sin cos Даны векторы a ( ; ; ), b (;; ), c ( ; ; ) Доказать, что a ( b c) ab ac Даны вершины треугольника М (; ), М ( ; ) и М (; ) Составить уравнение его высоты, проведенной из вершины М Определить вид кривой = и построить ее Составить канонические уравнения прямой ; Записать уравнение плоскости, проодящей через точку М(; ; ) параллельно плоскости Вариант Вычислить определитель, раскрывая его по элементам первой строки Даны вершины четыреугольника А(; ; ), В(; ; ), С( ; ; ), D(; ; ) Доказать, что его стороны АВ і СD параллельны Даны координаты вершин треугольника A( ; ), B( ;) и C(;) Вычислить длину высоты, проведенной из вершины A Определить вид кривой ++ = и построить ее Записать уравнение плоскости, проодящей через начало координат перпендикулярно плоскостям и Построить прямую и найти ее направляющий вектор Вариант Найти из уравнения Даны векторы a ( ; ; ), b (;; ) Вычислить пр a b

26 Даны координаты вершин треугольника A( ; ), B( ; ) и C( ;) Вычислить длину высоты, проведенной из вершины В Составить уравнение окружности, проодящей через начало координат, зная, что ее центр совпадает с точкой С(; 8) Найти расстояние от начала координат до плоскости, проодящей через три заданные точки: А(;; ), В(;;), С( ;;) При каки значения А и В плоскость A B перпендикулярна прямой t, t, t Вариант Вычислить минор M определителя четвертого порядка Векторы a и b образуют угол Вычислить a b, если a ; b Даны координаты вершин треугольника A( ; ), B( ; ) и C(; ) Вычислить длину высоты, проведенной из вершины С Составить уравнение окружности с центром в точке С( ; ), проодящей через точку А(; ) Доказать параллельность прямы и ; 8 Найти расстояние от точки А(; ; ) до плоскости Вариант ; Решить систему 8 Вычислить площадь треугольника, если его вершины наодятся в точка А(; 8; ), В(; ; ), С(; ; ) Даны координаты вершин треугольника A(;), B( ;) и C( ;) Составить уравнение прямой, проодящей через центр тяжести треугольника параллельно стороне AВ Составить уравнение окружности, зная, что точки А(; ) и В( ; ) являются концами одного из ее диаметров Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n (;; ) и отсекающей на оси О отрезок c Через точки М ( ; ; ) і М (; ; ) проведена прямая Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями

27 Вариант Найти все решения системы 8 Вычислить смешанное произведение a b c, если a (; ;), b ( ; ; ), c (; ; ) Даны координаты вершин треугольника A(; ), B( ; ) и C( ; ) Составить уравнение прямой, проодящей через центр тяжести треугольника параллельно стороне AС Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат и прямая + = является ее касательной Составить уравнение прямой, проодящей через точку М(; ;) перпендикулярно векторам a i j k и a i j k Найти расстояние между параллельными плоскостями и Вариант Найти все решения системы ; Даны три точки: А(; ; ), В( ; ; ) и С(; ; ) Определить, будут ли векторы AB и AC взаимно перпендикулярны Даны координаты вершин треугольника A(; ), B( ; ) и C( ; ) Составить уравнение прямой, проодящей через центр тяжести треугольника параллельно стороне ВС Составить каноническое уравнение параболы, если уравнение ее директрисы = Составить уравнение плоскости, проодящей через точки А(; ; ) и В(; ; ) перпендикулярно плоскости Проверить, лежит ли точка М(; ; ) на прямой, проодящей через точки А(; ; ) и В(; ; ) Решить систему уравнений Вариант ; ; Вычислить векторное произведение векторов AB и AC, если А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ) Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую + = Фокус параболы имеет координаты F( ; ), а уравнение директрисы = Составить каноническое уравнение параболы

28 Доказать, что прямая ; лежит в плоскости Даны точки М (; ; ) и М (; ; ) Составить уравнение плоскости, проодящей через точку М перпендикулярно вектору M M Вариант Найти произведение матриц A и B Определить, при каком значении векторы a ( ; ; ) и b ( ; ; ) взаимно перпендикулярны Через точку М(; ) провести прямую, параллельную прямой + = Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси O, если она проодит через точку пересечения прямой и окружности 8 Найти точку пересечения прямой и плоскости Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью +-= и координатными плоскостями Вариант 8 Найти матрицу C=A T B, если A, B Даны точки А(; ; ) і В(; ; ) Найти длину вектора AB и его направляющие косинусы Через точку М(; ) провести прямую, перпендикулярную прямой -+ = Найти точки пересечения прямой + = и эллипса + = Составить уравнение прямой, проодящей через точку М (; ; ) параллельно прямой ; Найти угол между прямой и плоскостью

29 Вариант Найти матрицу A, обратную к матрице A Даны точки А(; ; ), В(; ; ), С(; ; ), D(; ; ) Вычислить объем тетраэдра АВСD Доказать параллельность прямы + = и ++ = Составить уравнение эллипса, большая ось которого равна, а фокусы наодятся в точка F ( ; ), F (; ) Составить уравнение плоскости, проодящей через точку М (; ; ) перпендикулярно прямой ; Найти угол между прямой и прямой, проодящей через начало координат и точку А(; ; ) Вариант Показать, что матрицы A и B не коммутативны Вычислить векторное произведение векторов a (; ; ) и b ( ; ; ) Доказать перпендикулярность прямы + = и 8 + = Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если эллипс проодит через точку M ( ; ) и его малая полуось b = Найти проекцию точки Р(; ; ) на плоскость +у = Составить уравнение прямой, проодящей через точку М(; ; ) параллельно прямой ; ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ИТОГОВОГО ЗАДАНИЯ ; Задание Решить систему уравнений ; Решение Решим систему уравнений методом Крамера Для этого вычислим методом треугольников определители: - главный определитель системы;,, - определители, составленные из главного путем последовательной замены в нём соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободны членов системы уравнений 8

30 ; ; ;, тогда,, Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы Для этого запишем систему в матричной форме: B X A, где A, X, B (А матрица коэффициентов системы, Х столбец неизвестны, В столбец свободны членов) Решение системы наодится по формуле X A B, где A матрица, обратная матрице системы Так как матрица А квадратная и определитель матрицы det A, следовательно обратная матрица A существует и наодится по формуле A A A A A A A A A A, где А ij = (-) i+j M ij, где M ij - минор, который соответствует элементу а ij матрицы А Вычислим алгебраические дополнения А ij для каждого элемента матрицы А: 8 A ; A ; A ; A ; A ; A ; A ; A ; A,

31 тогда 8 8 X Такой же ответ был получен при решении системы методом Крамера: Сделаем проверку полученного решения, подставив значения переменны в ; ; исодную систему: ; ;, Ответ:,, Задание Задана пирамида, вершины которой наодятся в точка A ; ;, A ; ;, A ; ;, A ; ; Методами векторной алгебры найти: A ) длину ребра A )угол между ребрами A A ) площадь грани A A A ; ) объем пирамиды (рис ) A A Решение: A Рис Найдем координаты вектора A A : A A ; у у ; ; ; ; ; Тогда длина А А А А A A ребра A A пирамиды будет равна модулю вектора A A : A (единиц) A Пусть угол между ребрами A A и A A равен, A A A A тогда cos A A A A Координаты вектора A ; ; ; ; A A (ед) A, Скалярное произведение A A A A

32 Итак, cos, те ребра A A и A A перпендикулярны Так как векторным произведением векторов является вектор, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на эти вектора как на сторона, то площадь грани A A A равна половине векторного произведения векторов A A и A A (рис ), те S = n A A ; ; ; ; Вектор n A A A A A A A Рис Координаты вектора n определим, воспользовавшись теоремой Лапласа разложения определителя по элементам первой строки i j k n A A A A i j k i j k, те n ;; ; n Таким образом, S A A A (квед) Смешанным произведением A векторов является число, равное объему параллелепипеда, построенного на эти вектора, а объем тетраэдра (пирамиды) равен шестой части объема A этого параллелепипеда (рис ) A Таким образом, объем пирамиды A V A A A A A A Рис Вычислим смешанное произведение векторов A A A A A A :

33 ; у у A A A A A A A A A A A A 8 V (кубед) Задание Даны координаты вершин треугольника АВС: А(;-), В(;), С(-;) Методами аналитической геометрии требуется: ) составить уравнение стороны АВ; ) составить уравнение высоты, проведенной из вершины С; ) вычислить длину высоты СD; ) составить уравнение прямой, проведенной через центр тяжести треугольника параллельно стороне АС; ) найти внутренний угол треугольника при вершине С (рис ) Рис Решение: Запишем уравнение прямой, проодящей через две точки А(,у ) и В(,у ) : Для А(;-), В(;) имеем: ; - общее уравнение прямой АВ; - уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом, AB k A B D C K

34 Составим уравнение прямой CD AB Из условия перпендикулярности прямы kcd k CD k AB Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проодящей через точку С( ; ): k( ) Для С(-;) имеем: ( ), те - общее уравнение прямой СD Длину высоты СD найдем как расстояние от точки С( ; ) до прямой АВ по формуле A B C d A B, где A B C - уравнение прямой АВ ( ) d (ед) Координаты точки М центра тяжести треугольника наодятся как среднее арифметическое координат его вершин: М A B C A B C, М М, М, те M ; Угловой коэффициент прямой АС: C A k АС, k AC C A Угловой коэффициент прямой, параллельной прямой АС, также равен Таким образом, уравнение прямой, проодящей через точку M ; и имеющей угловой коэффициент k будет иметь вид: ( ) ; - общее уравнение искомой прямой ) Тангенс угла (угла между прямыми АС и ВС) наодится по формуле kbc k AC tg kbc k AC C B k AC ; k BC tg, arctg C B

35 Задание Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами c, а эксцентриситет Решение По условию задачи фокусы гиперболы расположены на оси ординат, поэтому ее уравнение будет иметь вид Параметры а и b a b a b c ; a b ; наодятся из системы c Учитывая, что с =, имеем b b Из второго уравнения системы b =, поэтому из первого уравнения a Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:, проодящей через точку М (; -; ) перпендикулярно плоскостям : запишем как уравнение плоскости, проодящей через точку М (,у, ) и имеющей нормальный вектор n A; B; C: A B у C Точка М принадлежит искомой плоскости, поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: A B C Из уравнений плоскостей следует, что и нормальные векторы Задание Составить уравнение плоскости : и Решение Уравнения плоскости соответственно имеют вид ; ;, n ; ; n Из условия перпендикулярности плоскостей следует перпендикулярность и n n ;; ; нормальны векторов, те n n n n n; ; i j k n n i k n A; B; C ; ;, а значит, Таким образом, : или : Задание Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М (-;;) на плоскость, проодящую через три точки: А (;-;), А (;;-), А (;-;-) Решение Уравнение плоскости, проодящей через три заданные точки: ; ; A ; наодится по формуле A, A, ; ; ;

36 Подставим координаты заданны точек в данное уравнение: ; Раскроем определитель по элементам первой строки: ) ( ) ( ) ( ; ) 8( ) ( ) ( ; 8 - уравнение плоскости А А А n s A A A M Каноническое уравнение прямой, проодящей через заданную точку ; ; M с направляющим вектором p n m s ; ; имеет вид p n m Нормальный вектор плоскости А А А ; 8 ; n является направляющим вектором ее перпендикуляра, те 8 ; ; ; ; p n m s, и тогда уравнение искомой прямой 8

37 ВАРИАНТ МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЯ И ОБРАЗЕЦ ЕГО Часть первая (тестовая) ВЫПОЛНЕНИЯ Если K,, то N K имеет вид : N ; b) N ; с) N ; d) N Из перечисленны матриц : ) K, ) D, ) M, ) A, ) C можно перемножить : a) и ; b) и ; c) и ; d) и Даны векторы a ; ; и b ; ;, следовательно вектор ( a b ) имеет координаты : a) (- ; ; - ); b) ( ; - ; ); c) ( - ; ; - ); d) ( ; ; ) Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид : a) a b ; b) a b ; c) a b ; d) a b Косинус угла между векторами a ( ; ; ) и b ( - ; ; ) равен : a) ; b) ; c) ; d) Геометрическое место точек, равноудаленны от точки (фокус и прямой (директрисы), есть: a) окружность; b) эллипс; c) гипербола; d) парабола Уравнение эллипса с полуосями а =, b = имеет вид : a) ; b) ; c) ; d) 8 Две прямые: k b и k b перпендикулярны, если: a) k k ; b) k k ; c) k k ; d) k k Параметрические уравнения прямой имеют вид : t t t t a) t ; b) t ; c) t ; d) t t t X Y Z Прямая и плоскость AX + Y + Z = параллельны при А равном : a) - ; b) - ; c) ; d)

38 Часть вторая Доказать, что матрицы A и B взаимно 8 обратные Даны силы F ; ;, F ; ; и F ; ;, приложенные к одной точке Вычислить работу, выполняемую равнодействующей эти сил, если ее M ; ; в точку M ; ; Найти полуоси эллипса + у 8 + у = Найти синус угла между прямой ; и плоскостью точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки Решение: Часть первая (тестовая) 8 a c a b с d d d d с Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на это число Матрицы можно перемножить, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы Тоесть можно перемножить матрицы К и С a b ; ; ; ; ; ; ;; ;; Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид a b a b ( ) Воспользуемся формулой cos a b ( ) Геометрическое место точек, равноудаленны от точки (фокус и прямой (директрисы), есть парабола Каноническое уравнение эллипса, поэтому уравнение эллипса b a с полуосями а =, b = имеет вид 8 Две прямые: k b и k b перпендикулярны, если k k

39 8 Параметрические уравнения прямой p n m l :, где l A ; ; и p n m s ; ; - ее направляющий вектор, имеет вид pt nt mt Прямая X Y Z и плоскость AX + Y + Z = параллельны, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, те n s A A n s ; A при A Часть вторая B A ; A B Итак, E A B B A, те матрицы А и В взаимно обратные Меаническая интерпретация скалярного произведения векторов состоит в том, что работа А постоянной силы F на прямолинейном участке пути S равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения, те S F A Найдем равнодействующую сил F, F и F : ; ; ; ; F F F F Вектор перемещения ; ; ); ( ; M M S Тогда S F A Ответ: A

40 Приведем уравнение эллипса к каноническому виду алгебраическими преобразованиями: ( ) + ( у + у) = ; ( + ) + ( у + у + ) = ; ( ) - + ( у + ) = ; ( ) + ( у + ) = 8; Таким образом, полуоси эллипса: а = ; b = a Ответ: а = ; b = Am Bn Cp Воспользуемся формулой sin A B C m n p Направляющий вектор плоскости n A; B; C ;;, а направляющий вектор прямой i j k s n n i j k i j k m; n; p ; ; s Тогда sin Ответ: 8 sin 8 8 ПЕРЕЧЕНЬ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Линейная алгебра Если матрицы A и B, то и сумма равна: ; b) ; с) ; d) 8 Если K,, то N K имеет вид : N ; b) N ; с) N ; d) N Из перечисленны матриц : ) K, ) D, ) M, ) A, ) C b 8

41 можно перемножить : a) и ; b) и ; c) и ; d) и Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель a) ; b) ; c) ; d) Определитель матрицы A равен : 8 a) = ; b) = ; c) = ; d) = Определитель равен нулю при значении : вид: a) ; b) ; c) = ; d) = Определитель матрицы A a) ; b) - ; c) ; d) - равен : 8 Алгебраическое дополнение элемента a матрицы a) ; b) ; c) ; d) Алгебраическое дополнение элемента a определителя равно: a) -; b) ; c) -; d) Разложение определителя a a a имеет вид: a) a a ; c) a a a; b) a a a; d) a a a A имеет по элементам второй строки

42 Разложение определителя a a a столбца имеет вид : a) a a ; c) a a ; b) a a a ; d) a a a по элементам второго Матрица системы a) ; b) имеет вид : ; c) ; d) Расширенная матрица системы имеет вид : a) ; b) ; c) ; d) Главный определитель системы уравнений a) ; b) ; c) ; d) равен: T Матрица A, транспонированная к матрице A, имеет вид : ; b) ; c) ; d) Для матрицы A 8 A - транспонированная матрица ) имеет вид : ( T T и произведение A a) 8 ; b) 8 ; c) 8 ; d) 8 8

43 T Произведение матриц А = ( ) и B, если В = ( - ), равно : a) ( ); b) ( ); c) ( - ); d) 8 Матрица В называется обратной к матрице А ( А - квадратная, невырожденная ), если выполняются условия : a) A B E ; c) AB = BA = E ; T b) A + B = E ; d) A B E, где E единичная матрица Матрица A не имеет обратной при, равном : a) - ; b) - ; c) ; d) Решением системы А Х = В, где А- невырожденная матрица, есть: B a) X ; b) X A BE ; c) X A B ; d) X B A A Вектор ; ; Векторная алгебра e является единичным, если ; ; удовлетворяют условию: a) ; b) ; c) ; d) ; ; Начало вектора AB ( ; -; ) совпадает с точкой А( -; ; ) Тогда конец вектора имеет координаты : a) ( ; ; ) ; b) ( -; ; - ) ; c) ( ; -; ) ; d) ( -; ; - ) Вектор, противоположный вектору a, если a i j k, имеет координаты: a) ( ; - ; ) ; b) ( -; 8; - ) ; c) ( ; ; ) ; d) ( - ; ; - ) Линейная комбинация векторов a b, если a ( ; - ; ); b ( ; - ; ), имеет координаты : a) ( ; ; ) ; b) ( ; - ; ) ; c) ( ; - ; ) ; d) ( ; ; ) Задано : AB (; - ; ); AD AB ; точка D (- ; ; ) Тогда координаты точки А равны : a) ( - ; ; - ) ; b) ( ; - ; ) ; c) ( ; - ; ) ; d) ( - ; ; - ) Диагональ параллелограмма, построенного на вектора a i j k и b i j k и выодящая из и общего начала, равна : a) d ; ; ; c) d i j k ; b) d( 8; ; ); d) d 8i j k

44 Если a ( ;-; ) и =, то длина вектора a равна: ; b) ; с) 8; d) 8 Длина вектора a ; ; равна Тогда координата у принимает значение : a) у = ; b) у = ; c) у = ; d) у = Направляющие косинусы вектора a ( ; ; 8 ) равны : a) b) cos, cos, cos ; c) cos, cos, cos ; d) 8 cos, cos, cos ; cos, cos, cos Скалярное произведение векторов a и b определяется так: a) a b sin ; b) a b cos ; c) a b tg ; d) a b ctg Задано : a ; b ; угол между этими векторами равен скалярное произведение a b равно : a) ; b) ; c) ; d) Тогда и Косинус угла между векторами a ( ; ; ) и b ( - ; ; ) равен : a) ; b) ; c) ; d) Скалярное произведение векторов a (; - ; - ) и b ( ; - ; ) равно : a) - ; b) ; ; ; c) ; d) ; ; Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид : a) a b ; b) a b ; c) a b ; d) a b Вектор a ; ; перпендикулярен вектору ; ; равном : a) ; b) ; c) ; d) - b при значении, Проекция вектора a на направление вектора b определяется по формуле: а в в ; b) а в а в ; с) а а ; d) а в в Модуль векторного произведения векторов a и b равен : a) a b ; b) a b sin ; c) a b cos ; d) a b tg

45 8 Треугольник построен на вектора a и b Тогда площадь треугольника определяется по формуле : a) a b ; b) ab; c) ; d) a b Векторы a и b образуют угол Тогда a b равен : a b, причем a =, b = a) ; b) ; c), ; d) Векторное произведение векторов, заданны своими координатами, наодится по формуле: а в = ( ; ; ); b) а в = + + ; с) а в у = ; d) а в i j k = у Векторное произведение векторов a ( ; -; ) и b ( -; ; - ) равно : a) - ; b) ; ; ; c) ; d) ; ; Если два вектора: a и b параллельны, то выполнено условие : a) a b ; b) a b ; c) a b ; d) a b Два вектора a i j k и b ; ; коллинеарны при значения и, равны : a), ; b), ; с), ; d), Объём пирамиды, построенной на вектора а, в, с, вычисляется по формуле: а в с ; b) а в с ; с) а в с ; d) а в с Условие компланарности тре векторов: a, b и c имеет вид : a) a b c ; b) a b c ; c) a b c ; d) a b c

46 Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости Какие из перечисленны точек : M (; ), M (; ), M (- ; ), M (; ), M (; ) лежат на прямой + = : a) M и M ; b) M и M ; c) M и M ; d) M и M? Точка пересечения дву прямы : + = и + + = имеет координаты: a) ( ; - ) ; b) ( ; - ) ; c) ( - ; ) ; d) ( - ; ) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид : a) = k + b ; b) k ; c) ; d) a + b + c = a b Прямая проодит через точку А ( - ; ) перпендикулярно вектору S (;) Тогда уравнение прямой имеет вид : a) ( ) + ( + ) = ; c) - ( ) + ( ) = ; b) ( + ) + ( - ) = ; d) - ( + ) + ( + ) = Уравнение прямой, проодящей через точку М ( ; ) перпендикулярно вектору a ( ; - ), имеет вид: - 8 = ; b) + + = ; c) - + = ; d) - = Прямая имеет нормальный вектор с координатами: (;); b) (;); с) ; ; d) ; Уравнение прямой, проодящей через точку М( - ; ) параллельно вектору S ( ; ), имеет вид : a) ( ) + ( + ) = ; c) ; b) ( + ) + ( - ) = ; d) 8 Уравнение прямой, проодящей через точки M (-; ) и M (; -), имеет вид: X Y a) ; b) X Y X Y X Y ; с) ; d) Заданы точки А (; ) и В ( ; ) Уравнение прямой АВ имеет вид : a) = ; b) = ; c) + = ; d) + = Уравнение прямой, проодящей через точки М (; ) и N (; ), имеет вид: a) Y = X ; b) Y = X ; c) X = Y ; d) X + Y =

47 Уравнение прямой, проодящей через начало координат и точку М (; ), имеет вид : a) = ; b) = ; c) + = ; d) + = Угловой коэффициент прямой - + = равен: a) ; b) ; c) - ; d) Уравнение прямой, проодящей через точку М (- ; ) и имеющей угловой коэффициент k =, имеет вид : a) ( ) = ( + ) ; c) (+ ) = ( - ) ; b) = ( + ) ; d) + = ( - ) Прямая + = образует с осью OX угол, равный : a) ; b) ; c) ; d) Уравнение прямой, проодящей через точку (; ) параллельно оси ОХ, имеет вид: a) = ; b) = ; c) = - ; d) = - Уравнение прямой, проодящей через точку М (- ; - ) параллельно оси OY, имеет вид : a) = ; b) = ; c) = - ; d) = - Уравнение прямой, проодящей через точку М(- ; ) перпендикулярно оси ОХ, имеет вид : a) = ; b) = - ; c) = - ; d) = 8 Прямая + = отсекает на ося координат отрезки : a) и - ; b) и ; c) и ; d) и Уравнение прямой, отсекающей на ося координат отрезки и, имеет вид : a) = ; b) + = ; c) + = ; d) = Если прямые параллельны, то и угловые коэффициенты удовлетворяют условию : a) k k ; b) k k ; c) k k ; d) k k ; Из перечисленны прямы : ) = +, ) - + =, ) = - +, ) =, ) + = являются параллельными: a) и ; b), и ; c), и ; d) и Прямые + = и + m = параллельны при значении m, равном : a) ; b) ; c) ; d)

48 Две прямые: k b и k b перпендикулярны, если : a) k k ; b) k k ; c) k k ; d) k k Из перечисленны прямы : ) =, ) + =, ) + =, ) + = перпендикулярными являются : a) и ; b) и ; c) и ; d) и Угол между двумя прямыми на плоскости определяется формулой : k k k k k k k k a) sin ; b) tg ; с) cos ; d) tg k k k k k k k k Угол между прямыми у + = и + у _ = равен: ; b) /; с) /; d) / Расстояние от точки M ; до прямой A + B + C = определяется формулой : a) d A B C ; c) d A B A B C ; b) d A B C A B A B C ; d) d A B Кривые второго порядка Геометрическое место точек, равноудаленны от одной точки, есть: окружность; b) эллипс ; с) гипербола ; d) парабола Какие из перечисленны уравнений определяют окружность: a) X Y ; b) X Y ; c) X Y ; d) X Y Задано уравнение окружности ( X ) ( Y ) Ее радиус и координаты центра равны: a) R =, C (; -); c) R =, C (- ; ); b) R =, C (; -); d) R =, C( ; ) Геометрическое место точек, сумма расстояний которы до дву заданны точек постоянна, называется : a) окружность; b) эллипс; c) гипербола; d) парабола Уравнение эллипса с полуосями а = ; b = имеет вид: a) ; b) ; c) ; d) Полуоси эллипса X Y равны: a) и ; b) и ; c) и ; d) и Большая ось эллипса 8 равна: a) ; b) ; c) 8 ; d)

49 8 Малая ось эллипса равна: a) ; b) ; c) ; d) Полуоси эллипса а =, b =, тогда межфокусное расстояние равно: a) C = ; b) C ; c) C = ; d) C = Координаты вершин эллипса равны: a) A ;, A ;, B ;, B ; ; c) A ;, A ;, B;, B ; ; A ;, A ;, B ;, ; A ;, A ;, B ;, B ; b) ; d) B 8 Какие из перечисленны уравнений: ) + у =, ) у =, ) у, ) у =, ) + у = определяют гиперболу? a) и ; b) и ; c) и ; d) и Оси гиперболы X Y = равны : a) 8 и ; b) и ; c) 8 и ; d) и Действительная ось гиперболы у равна: ; b) ; с) ; d) Мнимая ось гиперболы равна: a) ; b) ; c) ; d) 8 Координаты фокусов гиперболы равны: a) F ;, F ; ; с) F ;, F ; ; ;, F ; F ;, F ; b) F ; d) Вершины гиперболы наодятся в точка : a) ( ; ) и ( - ; ); c) ( ; - ) и ( ; ); b) ( ; ) и ( ; - ); d) ( - ; ) и ( ; ) X Y Для гиперболы уравнения асимптот имеют вид : a) ; b) ; c) ; d) 8 Геометрическое место точек, равноудаленны от точки (фокус и прямой (директрисы), есть: a) окружность; b) эллипс; c) гипербола; d) парабола Координаты фокуса F параболы Y = X равны : a) (-; ); b) (; ); c) (; ); d) ( ; )

50 Уравнение директрисы параболы имеет вид : a) = ; b) = - ; c) = ; d) = - Аналитическая геометрия в пространстве Каким из перечисленны плоскостей : + =, =, =, + = + =, принадлежит точка М ( ; - ; )? a) и ; b) и ; c) и ; d) и Среди перечисленны плоскостей: + =, =, + =, =, + =, + + = через ось OY проодят : a), и ; b) и ; c) и ; d) и Какая из перечисленны плоскостей: X + Z =, Y + Z =, X + Y + =, X Y =, X + Y =, Y Z = проодит через ось OZ? a) и ; b), и ; c) и ; d) и Какие из перечисленны плоскостей : X Y + Z =, Y Z + =, Y Z + =, X Y + = X + Y + =, параллельны оси OX? a), и ; b), и ; c) и ; d) и Какая из перечисленны плоскостей : + =, + =, + =, + = + =, проодит через начало координат? a), и ; b) и ; c) и ; d) и Плоскость X + Z = проодит : a) через ось OY; с) через начало координат; b) параллельно плоскости XOZ; d) параллельно оси OY Уравнение плоскости, проодящей через точку М (; ; ) параллельно плоскости XOY имеет вид : a) = ; b) = ; c) = ; d) + + =

51 8 Уравнение плоскости, проодящей через точку М (- ; ; ) параллельно плоскости YOZ имеет вид : a) X = ; b) X = - ; c) Y = ; d) Z = Нормальный вектор плоскости Z = X + Y имеет координаты: a) ( ; ; ); b) ( ; ; ); c) ( -; ; ); d) ( ; ; - ) Длина нормального вектора плоскости - X + Y + Z = равна : a) ; b) ; с) ; d) Уравнение плоскости, проодящей через точку ; ; перпендикулярно вектору a (- ; ; ) имеет вид : a) ; c) ; b) ; d) Две плоскости: AX + Y + Z = и X + Y + Z + = перпендикулярны при А, равном : a) A = ; b) A = ; c) A = -; d) A = - Направляющий вектор S прямой X Y Z имеет координаты : (; ; -); b) (; -; ); c) (; ; ); d) ( ; ; ) Уравнение прямой, проодящей через точку А ( - ; ; - ) параллельно вектору a ( ; ; ), имеет вид : a) ; c) ; b) ( + ) ( + ) = ; d) ( - ) ( - ) = Две прямые: и m n p m n параллельны, если : a) mm nn p p ; c ) mm nn p p ; m n p m n p b ) ; d) m n p m n p Условие перпендикулярности дву прямы: m n записывается в виде : m n p m n p a) ; с) mm nn p p ; m n p m m n n p p ; d) mm nn p p b) p p и

52 Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид : mt X X Y Y Z Z nt a) ; с) m n p ; pt b) X X Y Y Z Z X X Y Y Z Z ; t d) t t 8 Параметрические уравнения прямой имеют вид : t t t t a) t ; b) t ; c) t ; d) t t t t Направляющий вектор прямой t имеет координаты : t a) (-; ; -) ; b) (; -; ) ; c) (-; ; -) ; d) (; -; ) X Y Z Прямая n и плоскость AX + Y Z + = перпендикулярны при a) n =, A = -; b) n =, A = ; c) n =, A = ; d) n =, A = X Y Z Прямая и плоскость AX + Y + Z = параллельны при А равном : a) A = -; b) A = -; c) A = ; d) A = ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Элементы линейной алгебры Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы и свойства? Приведите примеры Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей? Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры Что называется матрицей и расширенной матрицей системы m линейны уравнений с n неизвестными? Приведите примеры

53 Что называется решением системы m линейны уравнений с n неизвестными? Какие системы называются совместными, а какие несовместными? Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли 8 Напишите формулы Крамера В каком случае они применимы? При каком условии система линейны уравнений имеет единственное решение? Что можно сказать о системе m линейны уравнений с n неизвестными, если ее определитель равен нулю? При каком условии однородная система n линейны уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение? Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейны уравнений Какие вы знаете разновидности метода Гаусса? Что называется рангом матрицы? Как его можно найти? Что называется рангом системы линейны уравнений? Как, пользуясь методом Гаусса, можно найти ранг системы линейны уравнений? Какие неизвестные в системе линейны уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейны уравнений, базисным решением? Что называется произведением дву матриц? Условие перемножения матриц Каковы свойства произведения матриц? 8 Какая матрица называется единичной? Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу? В чем состоит матричный способ решения систем линейны уравнений? Векторная алгебра Что называется вектором и модулем вектора? Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными? Могут ли два вектора, имеющи равные модули, быть не равными? Если да, то чем они отличаются друг от друга? Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства Где будут наодиться концы эти векторов? Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства эти операций? Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве? В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком линейно независимыми? 8 Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над и компонентами (координатами) в некотором базисе Какой базис называется ортонормированным?

54 Как определяется декартова система координат? Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек? Выведите формулы деления отрезка в данном отношении Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин Что называется скалярным произведением дву векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат Что называется векторным произведением дву векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? Что называется смешанным произведением тре векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 8 Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы и свойства и способы вычисления? Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)? Какому условию должны удовлетворять координаты тре векторов, чтобы и можно было принять за базис пространства? Каковы формулы преобразования декартовы прямоугольны координат на плоскости? Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат Аналитическая геометрия на плоскости Как определяется декартова прямоугольная и полярная системы координат? Укажите связь между декартовой прямоугольной и полярной системами координат Что называется геометрическим местом точек? По какой формуле наодят расстояние между двумя заданными точками на плоскости? Как найти координаты середины отрезка? Как найти точки пересечения линии с осями координат? Как найти точки пересечения дву линий? Какой вид имеют параметрические уравнения прямой? Что называют параметром линии, заданной параметрическими уравнениями? Что называется угловым коэффициентом прямой? Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом? Сформулируйте условие

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ИНСТИТУТ - филиал ФГБОУ ВО «Иркутский государственный аграрный университет имени ААЕжевского» Экономический факультет Кафедра

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Ответы. Ответы к задаче 1

Ответы. Ответы к задаче 1 Ответы Ответы к задаче Три Три x, x, x ; ; ; свободные члены системы не содержат неизвестных и записываются обычно в правых частях уравнений 5 Уравнения называют линейными, если они представляют собой

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ 1

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ 1 ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ МП Мисник, ОВ Сорокина

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) Министерство сельского хозяйства РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» ФГБОУ ВО СПбГАУ Кафедра

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию Определители Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее