б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,"

Транскрипт

1 . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение: а) Координаты вершин C, B, C ; Найдем координаты точек C, B, C из разложения векторов AC, AB, AC по базисным векторам AB, AD, AA.. AC AB AD AB AD 0 AA, координаты точки C (;;0) ;. AB AB AA AB 0 AD AA, координаты точки B (;0;) ; 3. AC AB AD AA AB AD AA, координаты точки C (;;) ; б) Координаты точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, AL по базисным векторам AB, AD, AA.

2 ,. AK AB AA AB 0 AD AA координаты точки K ;0; ;,. AL AB AD AA AB AD AA координаты точки L ;; ; C (;;0) B (;0;) C (;;) K ;0; L ;;. Определить координаты точки M, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3. Решение: Пусть координаты точки M(x;y;z) Тогда направляющие косинусы будут равны: cos cos cos x x r 3 y y r 3 z z r 3 Так как углы с координатными осями равны, то направляющие косинусы также равны: cos cos cos x y z x y z Модуль радиус-вектора равен: r x y z 3 Тогда:

3 x y z 9 Получаем систему уравнений, после решения которой найдем координаты точки M. x y z x y y z x x x x y y z x y y z 3x 9 x x y y z Получаем две точки, удовлетворяющие заданным условиям: M( 3; 3; 3), M( 3; 3; 3) M( 3; 3; 3), M( 3; 3; 3) 3. Даны векторы a(;0;), b( ;;0), c(0;; 3). Вычислить направляющие косинусы вектора a b Решение: Найдем координаты вектора a b: b :( ( ); ; 0) ( ;;0) a b:( ;0 ; 0) (0;;) 3

4 Найдем направляющие косинусы: a b cos cos 5 cos 5 cos 0, cos, cos 5 5. Вычислить: 3 4. a ; b ; a, b а) a b, a 3b б) a b, a 3b Решение: а) Воспользуемся свойствами скалярного произведения и упростим выражение: a b, a 3 b a, a b, a a,3b b,3b a b, a 3 a, b 6 b a a, b 6b a a b cos a, b 6 b Подставив данные из условия, получим: a b, a 3b a a b cos a, b 6 b cos б) Воспользуемся свойствами векторного произведения и упростим выражение: 4

5 a b, a 3 b a, a 3 b ( ) b, a 3b a 3 b, a a 3 b,( ) b a, a 3 b, a a,( ) b 3 b,( ) b a, a 3 b, a a, b 6 b, b 3 b, a a, b 3 a, b a, b 5 a, b Подставив данные из условия, получим: 3 5 a, b a b sin a, b a b, a 3b a b, a 3b Найти скалярное и векторное произведение векторов a4;7;3, b0;; Решение: Скалярное произведение: a, b a b a b a b x x y y z z Векторное произведение: i j k i j k a, b ax ay az i j k 4i 4 j 4k 0 0 b b b 0 ab, 0 x y z ab, : (4; 4;4) 6. a 3, a 4, a, a Решение: 3. Вычислить a a. 5

6 Упростим выражение, используя свойства скалярного произведения: a a a a a a a, a a, a a, a, cos, a a a a a a a a a a Подставим данные из условия: cos, a a a a a a a a 3 34cos a a 3 7. Показать, что четырехугольник ABCD ромб, если A(;;), B(3;5;8), C(-3;;6), D(-5;-;0). Найти угол при вершине ромба. Решение: ) Проверим, что все точки лежат в одной плоскости. Для этого найдем смешанное произведение векторов AB, AC, AD 6

7 AB, AC, AD ( 4) ( ) 0 ( ) 4 ( ) ( 6 8) Смешанное произведение равно 0, значит векторы AB, AC, AD компланарны, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. ) Проверим, что длины всех сторон равны. AB AD CD BC (3 ) (5 ) (8 ) ( 5 ) ( ) (0 ) ( 5 3) ( ) (0 6) ( 3 3) ( 5) (6 8) Получили, что все стороны равны, значит ABCD ромб. 3) Найдем угол при вершине A как угол между векторами AB, AD. cos AB, AD 33 BAD arccos BAD arccos 49 AB, AD ( 6) 3 ( 3) 6 ( ) 9 33 AB AD Параллелограмм OBCA построен на векторах OA i j k, OB i 6 j 4k. 7

8 Точка M середина стороны AC. Найти угол между OM и диагональю OC. Решение: OC OA OB i j k i 6 j 4k 3i 7 j 6k Пусть N середина OB. Тогда: ON OB OM OA ON OA OB i j k i 6 j 4k i j k i 3 j k i 4 j 4k cos OC, OM OC, OM 3 ( 7) ( 4) 64 OC OM 3 ( 7) 6 ( 4) cos OC, OM Вычислить площадь треугольника с вершинами A(;;), B(;3;4), C(4;3;). Найдем площадь треугольника, как половину длины векторного произведения векторов AB, AC 8

9 AB : ( ;3 ; 4 ) (; ;3) AC : (4 ;3 ; ) (3; ;) i j k 3 3 AB, AC 3 i j k 4i 8j 4k S AB AC i j k S 6, ( 4) 8 ( 4) Убедиться, что векторы a 4i 3 j, b 5k могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро c. ) Проверим, что векторы a 4i 3 j, b 5k могут быть взяты за ребро куба, т. е. проверим, что длины векторов равны и что векторы перпендикулярны: a i j b 5k 5 5 a b ( a, b) 0 ( ab, )

10 Длины векторов равны и векторы перпендикулярны, значит они могут быть взяты за ребра куба. ) Найдем третье ребро c. Для вектора c( x, y, z ) должны выполняться следующие условия: a c ( a, c) 0 b c ( b, c) 0 c 5 Кроме этого, векторы abc,, не должны лежать в одной плоскости, т.е. их смешанное произведение не равно 0. Получаем систему уравнений для координат вектора c : 4x3y 0 5z 0 x y z 5 Условие не компланарности проверим отдельно. 4x3y 0 5z 0 x y z 5 x z y 3 y y 5 3 x y 4 z 0 5 y x y 4 z 0 y 6 3 x 4 z 0 y 4 y 0

11 x 3 z 0 y 4 x 3 z 0 y 4 Найдем условие, при котором векторы abc,, не компланарны: x y z a, b, c x ( ) y ( ) z ( ) 5x 0y 0 Проверим выполняется ли это условие для найденных точек: x 3, y 4 5x 0y x 3, y 4 5x 0y Для найденных значений координат условие не компланарности выполняется. Получаем два варианта вектора c : c : ( 3,4,0) c : (3, 4,0) c : ( 3,4,0) c : (3, 4,0). Установить, образуют ли векторы a, a, a 3 базис в пространстве всех векторов, если: а) a ;3;, a ; ;3, a ;9; 3 б) a 3; ;, a ;;, a 3; ; 3 Решение.

12 a а) ;3;, a ; ;3, a3 ;9; Чтобы проверить, образуют ли векторы базис, проверим, являются они линейно зависимыми или нет. Для этого составим векторное уравнение: 0 3 x x 9 x Если найдется такое решение, что не все x, x, x 3 равны 0, то векторы будут линейно зависимы, иначе векторы линейно независимы и образуют базис. Найдем решение уравнения методом Гаусса. Для этого составим матрицу системы и приведем ее к диагональному виду путем элементарных преобразований. При расчете правые части системы не записываются, так как они равны нулю и при элементарных преобразованиях не изменяются Поменяем местами первую и последнюю строки: Прибавим к элементам -ой строки элементы -ой строки, умноженные на 3, Прибавим к элементам 3-ей строки элементы -ой строки, умноженные на Разделим элементы -ой строки на 8, элементы 3-ей строки на 7: Вычтем из элементов 3-ей строки элементы -ой строки:

13 Получаем решение системы: x 3x x3 0 x 3x3 0 Если взять x 3 =, то решение системы будет: x 3x x3 9 x 3x3 3 x3 Нашлись x, x, x 3, не все равные 0, при которых выполняется равенство: 0 3 x x 9 x Значит, векторы линейно зависимы, и не образуют базис. б) a 3; ;, a ;;, a 3; ; 3 Составим уравнение: x x x3 0 0 Составим матрицу системы и найдем ее решение методом Гаусса. 3 3 Поменяем местами первую и последнюю строки: 3 3 3

14 К элементам -ой строки прибавим элементы -ой строки, умноженные на. Из элементов 3-ей строки вычтем элементы -ой строки, умноженные на Разделим элементы второй строки на К элементам 3-ей строки прибавим элементы -ой строки, умноженные на Получаем решение системы: x x x3 0 x x3 0 x3 0 Не нашлось таких x, x, x 3, не равных 0, при которых выполняется равенство: x x x3 0 0 Система векторов линейно независима, векторы образуют базис. a а) векторы ;3;, a ; ;3, a3 ;9; не образуют базис; a б) векторы 3; ;, a ;;, a3 3; ; образуют базис. 4

15 . Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(;;), B(-;;3), C(;-;4), D(-;0;). Решение. Объем тетраэдра равен: V 6 AB, AC, AD Найдем смешанное произведение векторов: AB : ; ;3 ;0; AC : ; ; 4 ; 3; AD : ;0 ; ; ;0 0 AB, AC, AD ( ) ( ) 0 ( ) ( )

16 Тогда объем тетраэдра будет равен: V AB, AC, AD V 6 3. При каком значении λ векторы a(; ;), b(; ;0), c(0; ;) abc,, будут компланарны: Решение. Найдем смешанное произведение векторов abc,, : abc,, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 Смешанное произведение равно 0 при любом значении λ. Векторы компланарны при любом значении λ. 4. Упростить выражение i j, k 3 j i, k 4 k i, j Решение: 6

17 Найдем векторные произведения: j, k i i, k j i, j k Упростим выражение: i j, k 3 j i, k 4 k i, j i i 3 j ( j) 4k k i j, k 3 j i, k 4 k i, j 3 5. Даны три вектора a(; ;), b(5;;), c(0;3; ). Вычислить b( a; c) c( a; b). Решение. ( ac ; ) 0 ( ) 3 ( ) 5 bac ( ; ) :(( 5) 5;( 5) ;( 5) ) ( 5; 5; 5) ( ab ; ) 5 ( ) 5 c( a; b) :(50;5 3;5 ( )) (0;5; 0) b( a; c) c( a; b) :( 5 0; 5 5; 5 0) ( 5; 0;5) b( a; c) c( a; b) :( 5; 0;5) 7

18 6. При каком значении x четырехугольник с вершинами A(3;-;), B(;x;-), C(-;;-3), D(3;-5;3) является трапецией? Решение. Чтобы четырехугольник ABCD был трапецией, достаточно чтобы либо AB CD, либо AD BC. Найдем условия, при которых векторы, соответствующие сторонам трапеции, будут колинеарны. При этом векторное произведение этих векторов будет равно 0. ) AB CD AB : ( 3; x ; ) ( ; x ; 3) CD : (3 ; 5 ;3 3) (4; 6;6) i j k x 3 3 x AB, CD x 3 i j k (6( x ) 8) i ( 4( x )) k 0 Найдем такие значения x, при которых векторное произведение будет равно нулевому вектору. Для этого решим систему: 6( x ) 8 0 4( x ) 0 x 3 x 3 x 8

19 ) AD BC AD : (3 3; 5 ;3 ) (0; 4;) BC : ( ; x; 3 ) ( ; x; ) i j k AB, CD 0 4 i j k x x x (8 x) i j 8k 0 Векторное произведение не будет равно нулевому вектору при любом значении x. x= 7. Найти вектор x, удовлетворяющий условиям: x, i 3; x, i j k Решение. Пусть координаты вектора x : x : ( x; x; x3) - Из первого условия: x i x x x3 x, Из второго условия: x, i j k i j k x x3 x x3 x x x, i x x x3 i j k x3 j x k x x3 j xk j k x 3 9

20 x : (3; ; ) 0

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Векторная алгебра. Контрольная работа ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Векторная алгебра. Контрольная работа ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Векторная алгебра. Контрольная работа Задача. Длина вектора a равна t см, длина вектора b равна t + см, а угол между ними t + a tb. 6. Найдите длину вектора ( ) Решение. По условию, длина вектора a равна

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ»

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ» ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ» задания для разбора с преподавателем Москва Курск Орел Рязань, 2010 г. Приложение 5.1 2 1. Координаты и векторы на плоскости К1a.1 () Найдите

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА Типовой расчет по алгебре и геометрии Вариант 7 Задача Для пирамиды с вершинами в точках A, A,, A4 найти: А) длину ребра A A ; Б) угол между ребрами AA и A A4 ; В) уравнение плоскости A A : Г) площадь

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Контрольные вопросы В вопросах 1 8 рассматриваются точки A ( 3;

Контрольные вопросы В вопросах 1 8 рассматриваются точки A ( 3; Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A ( ; ; ), B( ; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация ВЕКТОРЫ. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ЗАДАЧА 1. В некоторой системе координат {O,e 1,e,e } заданы координаты трех вершин треугольника ABC: A(x A,y A,z A, B(x B,y B,z B и

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1 Вариант 1 ( cos x 7 cos x + ) log 1 ( sin x) = 0 π + πn; π + πn C. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер соответственно A 1 B 1 и B 1 C 1.

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее