Тема: Линейное пространство R n

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема: Линейное пространство R n"

Транскрипт

1 Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

2 Понятие линейного пространства Определение и обозначение Множество R 1 n матриц-строк из n действительных чисел относительно операций сложения и умножения на число образует линейное пространство, которое обозначается через R n. Элементы пространства R n будем обозначать жирным шрифтом: x. Системой векторов называется конечная последовательность векторов (a 1, a 2,..., a k ). В последовательности существен порядок векторов и на различных местах могут находиться одинаковые векторы. Следует различать систему векторов и множество векторов {b 1, b 2,..., b k }, в котором все элементы различны и порядок их несуществен.

3 Линейные комбинации и линейные оболочки Пусть a 1, a 2,..., a k R n, t 1, t 2,..., t k R. Определение Вектор b = t 1a 1 + t 2a t k a k называется линейной комбинацией системы векторов (a 1, a 2,..., a k ) с коэффициентами t 1, t 2,..., t k. В этом случае говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы a 1, a 2,..., a k и пишут a 1, a 2,..., a k b. Если каждый вектор системы (b 1, b 2,..., b m) линейно выражается через систему векторов (a 1, a 2,..., a k ), то будем это записывать так: a 1, a 2,..., a k b 1, b 2,..., b m. Определение Линейной оболочкой системы векторов (a 1, a 2,..., a k ) называется множество всех линейных комбинаций векторов этой системы с всевозможными коэффициентами. Обозначается линейная оболочка системы векторов (a 1, a 2,..., a k ) через a 1, a 2,..., a k.

4 Свойства линейных оболочек Предложение Пусть a 1, a 2,..., a k, b R n. Справедливы следующие утверждения. 1 Для любых x, y a 1, a 2,..., a k, t R имеет место x + y, tx a 1, a 2,..., a k. 2 Пусть a 1, a 2,..., a k b. Тогда a 1, a 2,..., a k, b = a 1, a 2,..., a k. Доказательство. Пусть x = p 1a 1 + p 2a p k a k, y = q 1a 1 + q 2a q k a k для некоторых p i, q i R (i = 1,..., k). Тогда x + y = (p 1 + q 1)a 1 + (p 2 + q 2)a (p k + q k )a k и tx = (tp 1)a 1 + (tp 2)a (tp k )a k. Утверждение 1 доказано. Так как t 1a 1 + t 2a t k a k = t 1a 1 + t 2a t k a k + 0b, заключаем, что a 1, a 2,..., a k a 1, a 2,..., a k, b. Для доказательства обратного включения запишем b = s 1a 1 + s 2a s k a k для некоторых s 1, s 2,..., s k R. Для любых t 1, t 2,..., t k, q R имеем t 1a 1+t 2a t k a k +qb = t 1a 1+t 2a t k a k +q(s 1a 1+s 2a s k a k ) = (t 1 + qs 1)a 1 + (t 2 + qs 2)a (t k + qs k )a k a 1, a 2,..., a k. Отсюда следует, что a 1, a 2,..., a k, b a 1, a 2,..., a k. Утверждение 2 доказано.

5 Свойства линейных оболочек 1 Предложение 1 Для любых векторов a 1, a 2,..., a k справедливы включения a 1, a 2,..., a k a 1, a 2,..., a k. 2 Для любых векторов b 1, b 2,..., b m a 1, a 2,..., a k справедливо включение b 1, b 2,..., b m a 1, a 2,..., a k. 3 Для любых систем векторов (a 1, a 2,..., a k ) и (b 1, b 2,..., b m) справедливо утверждение a 1, a 2,..., a k b 1, b 2,..., b m (b 1, b 2,..., b m) (a 1, a 2,..., a k ). Доказательство. Утверждение 1 очевидно: a j = 0a a j a k. Утверждение 2 вытекает из утверждения 1 предложения сл.4: для любого c b 1, b 2,..., b m имеем c = t 1b 1 + t 2b t mb m, а из b 1, b 2,..., b m a 1, a 2,..., a k следует t 1b 1, t 2b 2,..., t mb m a 1, a 2,..., a k и следовательно c a 1, a 2,..., a k. Утверждение 3 следует из соответствующих определений и утверждения 2.

6 Понятие линейно зависимой системы векторов Определение Система векторов (a 1, a 2,..., a k ) R n называется линейно зависимой, если существуют такие числа t 1, t 2,..., t k R, не все равные нулю, что t 1a 1 + t 2a t k a k = 0. Примеры 1 Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 2 Любая система векторов, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима. Если a i = 0, то положим t i = 1 и t j = 0 при j i. Тогда t 1a 1 + t 2a t k a k = 0. Этим доказано утверждение 1. Если a i = a j, то положим t i = 1, t j = 1 и t m = 0 при m i, j. Тогда t 1a 1 + t 2a t k a k = 0. Этим доказано утверждение 2.

7 Пример линейно зависимой системы векторов-строк Задача Будет ли система векторов-строк a 1 = (1, 2, 3, 4), a 2 = (3, 4, 5, 6), a 3 = (4, 3, 2, 1) линейно зависима? Чтобы определить это, рассмотрим равенство t 1a 1 + t 2a 2 + t 3a 3 = 0 и выясним, возможно ли оно, когда не все коэффициенты равны 0. Подставив вместо a 1, a 2, a 3 их значения, получим t 1(1, 2, 3, 4) + t 2(3, 4, 5, 6) + t 3(4, 3, 2, 1) = (0, 0, 0, 0). Отсюда выводим t 1 + 3t 2 + 4t 3, 2t 1 + 4t 2 + 3t 3, 3t 1 + 5t 2 + 2t 3, 4t 1 + 6t 2 + t 3) = (0, 0, 0, 0). Так как строки равны, получаем однородную систему линейных уравнений t 1 + 3t 2 + 4t 3 = 0; 2t 1 + 4t 2 + 3t 3 = 0; 3t 1 + 5t 2 + 2t 3 = 0; 4t 1 + 6t 2 + t 3 = Решаем систему методом Гаусса-Жордана ( ) ( Отсюда t t3 = 0, t t3 = 0, и t1 = 7 t3, 2 t2 = 5 t3. Пусть t3 = 2. 2 Тогда t 1 = 7, t 2 = 5. Таким образом, 7a 1 5a 2 + 2a 3 = 0 и система a 1, a 2, a 3 линейно зависима. 5 2 ).

8 Линейно независимая система векторов Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Назовем линейную комбинацию системы векторов нетривиальной, если она имеет по крайней мере один ненулевой коэффициент. Тогда любая нетривиальная линейная комбинация линейно независимой системы отлична от нулевого вектора. Поэтому справедливо следующее утверждение. Характеризация линейно независимой системы Система векторов (a 1, a 2,..., a k ) является линейно независимой тогда и только тогда, когда для любых чисел t 1, t 2,..., t k R из равенства t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 следует t j = 0 для всех j = 1,..., k.

9 Свойства линейно зависимых и независимых систем Свойство 1 Если система векторов имеет линейно зависимую подсистему, то она сама линейно зависима. Доказательство. Добавив к нетривиальной линейной комбинации подсистемы, равной нулевому вектору, остальные векторы системы с нулевыми коэффициентами, получим нетривиальную линейную комбинацию всей системы, равную нулевому вектору. Из свойства 1 непосредственно вытекает Свойство 1 Любая подсистема линейно независимой системы векторов сама линейно независима.

10 Свойства линейно зависимых и независимых систем 2 Свойство 2 Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в ней найдется вектор, который линейно выражается через остальные векторы этой системы. Доказательство. Пусть система векторов (a 1, a 2,..., a k ) линейно зависима и t 1a 1 + t 2a t k a k = 0, но t j 0 для некоторого 1 j k. Тогда t j a j = i j ( t i )a i. Умножив обе части этого равенства на t 1 j, получим a j = i j ( t 1 j t i )a i, т.е. (a 1,..., a j 1, a j+1,..., a k ) a j. Таким образом, через остальные векторы системы линейно выражается каждый ее вектор, который входит с ненулевым коэффициентом в линейную комбинацию этой системы, равную нулевому вектору. Обратно, пусть (a 1,..., a j 1, a j+1,..., a k ) a j, т.е. a j = i j t i a i. Тогда t 1a 1 + t 2a t k a k = 0, где t j = 1. Из свойства 2 непосредственно получаем Свойство 2 Система векторов является линейно независимой тогда и только тогда, когда в ней ни один вектор линейно не выражается через остальные векторы этой системы.

11 Свойства линейно зависимых и независимых систем 3 Свойство 3 Если система векторов (a 1, a 2,..., a k ) линейно независима, а система (a 1, a 2,..., a k, b) линейно зависима, то (a 1, a 2,..., a k ) b. Доказательство. Так как система (a 1, a 2,..., a k, b) линейно зависима, имеем t 1a 1 + t 2a t k a k + sb = 0 нетривиальная линейная комбинация. Тогда s 0, поскольку в противном случае получаем нетривиальную линейную комбинацию t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 противоречие с тем, что система векторов (a 1, a 2,..., a k ) линейно независима. Так как s 0, имеем b = ( s 1 t 1)a ( s 1 t 1)a k, что и требуется доказать. Из свойства 3 непосредственно получаем Свойство 3 Если система векторов (a 1, a 2,..., a k ) линейно независима и вектор a k+1 линейно не выражается через систему (a 1, a 2,..., a k ), то система (a 1, a 2,..., a k, a k+1 ) линейно независима. Это свойство позволяет строить линейно независимые системы векторов путем последовательного добавления векторов.

12 Свойства линейно зависимых и независимых систем 4 Свойство 4 Если для систем векторов имеет место (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b m) и k < m, то система (b 1, b 2,..., b m) линейно зависима. Доказательство. Найдем числа x j R такие, что x 1b 1 + x 2b x mb m = = 0 нетривиальная линейная комбинация. Для этого запишем условие (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b m): для некоторых t ij R имеем b 1 = t 11a 1 + t 21a t k1 a k ; b 2 = t 12a 1 + t 22a t k2 a k ;... b m = t 1ma 1 + t 2ma t km a k. Тогда x 1b 1 + x 2b x mb m = k i=1 (t i1x 1 + t i2 x t im x m)a i. Выберем x 1,..., x m так, чтобы t i1 x 1 + t i2 x t im x m = 0 при всех i = 1,..., k. Последние равенства представляют собой запись однородной системы из k линейных уравнений с m неизвестными. Так как k < m, эта система в силу теоремы сл.24 т.1 имеет ненулевое решение, которое и дает требуемые значения x 1,..., x m.

13 Свойства линейно зависимых и независимых систем 4 Из свойства 4 непосредственно получаем Свойство 4 Если для систем векторов имеет место (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b m) и система (b 1, b 2,..., b m) линейно независима, то k m. Следствие свойства 4 Если для линейно независимых систем векторов имеет место равенство a 1, a 2,..., a k = b 1, b 2,..., b m, то k = m. Доказательство. Из свойства 3 линейных оболочек (сл.5) получаем, что (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b m) и (b 1, b 2,..., b m) (a 1, a 2,..., a k ). Первое из этих включений и линейная независимость системы (b 1, b 2,..., b m) влекут за собой k m, а второе и линейная независимость системы (a 1, a 2,..., a k ) k m. Следовательно, k = m.

14 Максимальные линейно независимые подсистемы Пусть (a 1, a 2,..., a k ) произвольная система векторов. Если она линейно независима, то ее линейная оболочка a 1, a 2,..., a k не совпадает с линейной оболочкой никакой ее собственной подсистемы. Если же эта система линейно зависима, то в ней согласно свойству 2 (сл.10) найдется вектор, который линейно выражается через остальные векторы. Исключив это вектор из системы, мы получим новую систему, линейная оболочка которой равна (в силу утверждения 2 предложения сл.4) a 1, a 2,..., a k. Если полученная новая система линейно зависима, то из нее также можно исключить вектор без изменения линейной оболочки. Продолжая это процесс, приходим к следующему утверждению. Предложение Для произвольной системы векторов (a 1, a 2,..., a k ), содержащей ненулевой вектор, существует такая линейно независимая подсистема (a i1, a i2,..., a ip ) этой системы, что a 1, a 2,..., a k = a i1, a i2,..., a ip. Подсистема с указанным в предложении свойством называется максимальной линейно независимой подсистемой исходной системы. Очевидно, что при добавлении к максимальной линейно независимой подсистеме любого вектора из исходной системы получается линейно зависимая система. Это объясняет термин "максимальная".

15 Подпространства Определение Подпространством линейного пространства R n называется непустое подмножество U R n такое что x, y U t R n x + y U, tx U. Примеры подпространств 1 {0}, R n. 2 Линейная оболочка a 1, a 2,..., a k для любых a 1, a 2,..., a k R n. 3 Общее решение (множество всех частных решений) произвольной однородной системы линейных уравнений. Проверка делается непосредственно по определению. Из определения подпространства непосредственно следует Лемма Если векторы a 1,..., a k принадлежат подпространству U, то a 1,..., a k U.

16 Определение базиса подпространства Базисом подпространства V R n называется система векторов B = (b 1,..., b k ) из V такая что 1 B упорядочена, т.е. при перестановке векторов в системе мы получим другой базис; 2 B линейно независима; 3 B порождает V, т.е. V = b 1,..., b k. Например, базисом пространства R n является система (e 1,..., e n), где e i = (0,..., 1,..., 0) i-я строка единичной матрицы E n. Условия 2 и 3 следуют из того, что (t 1, t 2,..., t n) = t 1e 1 + t 2e t ne n для любых t 1, t 2,..., t n R. Из этого примера и свойства 4 сл.12 вытекает Предложение Любая система из m векторов пространства R n линейно зависима при m > n. В самом деле, любая такая система линейно выражается через базис, который содержит n векторов.

17 Существование базиса подпространства Теорема Любое ненулевое подпространство пространства R n имеет базис. Любые два базиса одного и того же ненулевого подпространства состоят из одинакового числа векторов. Доказательство. Пусть U ненулевое подпространство R n. Возьмем a 1 U, a 1 0. Тогда a 1 U в силу леммы сл.15. Если a 1 = U, то a 1 базис U. В противном случае существует a 2 U\ a 1. Снова по лемме сл.15 имеем a 1, a 2 U. Так как a 2 a 1, система (a 1, a 2) линейно независима в силу свойства 3 сл.11. Если U = a 1, a 2, то система (a 1, a 2) является базисом U. В противном случае существует a 3 U\ a 1, a 2. Процесс нахождения векторов a j не может иметь более, чем n шагов, так как в пространстве R n любая система из более чем n векторов линейно зависима согласно предложению сл.16. Завершиться указанный процесс может только равенством U = a 1, a 2,..., a k для некоторой линейно независимой системы (a 1, a 2,..., a k ) базиса U. Второе утверждение теоремы непосредственно вытекает из следствия свойства 4 (сл.13).

18 Размерность подпространства Определение размерности Размерностью подпространства V называется количество векторов в базисе V, если V {0}, и 0, если V = {0}. Размерность подпространства V обозначается через dimv. В частности, dimr n = n. Предложение Пусть U, V подпространства R n. Если U V и dimu = dimv, то U = V. Доказательство. Если dimu = dimv = 0, то очевидно, что U = {0} = V. Пусть dimu = dimv = k > 0. Возьмем базис (a 1, a 2,..., a k ) подпространства U. Тогда a 1, a 2,..., a k V. Для любого вектора x V система векторов (a 1, a 2,..., a k, x) линейно выражается через базис V, содержащий k векторов, поэтому она линейно зависима в силу свойства 4 (сл.12). Следовательно, согласно свойству 3 (сл.11) имеем (a 1, a 2,..., a k ) x. Мы видим, что a 1, a 2,..., a k = V. Так как (a 1, a 2,..., a k ) базис подпространства U, получаем требуемое.

19 Линейные зависимости столбцов матрицы Пусть A = (α ij ) n k матрица из чисел. Обозначим ее столбцы через a 1, a 2,..., a k. Эти векторы можно рассматривать как элементы пространства R n. Предложение Если матрица B = (β ij ) n k получается из матрицы A с помощью элементарных преобразований строк и отбрасывания получающихся нулевых строк (n n), то для любых чисел t 1, t 2,..., t k F t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 тогда и только тогда, когда t 1b 1 + t 2b t k b k = 0. Другими словами, при выполнении элементарных преобразований над строками матрицы и отбрасывании получающихся нулевых строк все линейные зависимости между столбцами сохраняются. Доказательство. Условие t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 равносильно тому, что для i = 1,..., k имеют место равенства t 1α i1 + t 2α i t nα in = 0. Докажем, что из t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 следует t 1b 1 + t 2b t k b k = 0. Для доказательства достаточно рассмотреть случай одного элементарного преобразования строк матрицы и отбрасывания нулевой строки. В последнем случае требуемое выполняется очевидным образом, как и в случае перестановки строк.

20 Окончание доказательства предложения Пусть строка (β i1, β i2,..., β in ) матрицы B получается из строки (α i1, α i2,..., α in ) матрицы A умножением на ненулевое число δ, т.е. β ij = δα ij (j = 1,..., n). Тогда t 1β i1 + t 2β i t nβ in = t 1δα i1 + t 2δα i t nδα in = δ(t 1α i1 + t 2α i t nα in ) = 0. Остальные строки матрицы B совпадают с соответствующими строками матрицы A. Следовательно, t 1b 1 + t 2b t k b k = 0. Пусть строка (β i1, β i2,..., β in ) матрицы B получается из строки (α i1, α i2,..., α in ) матрицы A прибавлением строки (α p1, α p2,..., α pn), умноженной на число δ, т.е. β ij = α ij + δα pj (j = 1,..., n). Тогда t 1β i1 +t 2β i t nβ in = t 1(α i1 +δα p1)+t 2(α i2 +δα p2)+...+t n(α in +δα pn) = t 1α i1 + t 2α i t nα in + δ(t 1α p1 + t 2α p t nα pn) = 0. Остальные строки матрицы B совпадают с соответствующими строками матрицы A. Следовательно, t 1b 1 + t 2b t k b k = 0. Таким образом, доказано, что из t 1a 1 + t 2a t k a k = 0 следует t 1b 1 + t 2b t k b k = 0. Так как все элементарные преобразования строк обратимы (т.е. от матрицы B можно вернуться к матрице A с помощью преобразования того же типа, что и преобразование, превращающее A в B), этим доказательство предложения завершается.

21 Алгоритм нахождения нетривиальных линейных зависимостей между векторами-строками Пусть a 1,..., a k R n. Чтобы найти линейные зависимости между этими векторами, составим из их элементов матрицу, располагая элементы строки в столбце. Получим матрицу A размеров n k из чисел. Используя элементарные преобразования строк, перестановки столбцов и отбрасывая получающиеся нулевые строки, приведем A к виду B = (E p B 1), где E p единичная матрица порядка p k. Это делается точно так же, как при преобразовании расширенной матрицы системы линейных уравнений во время решения этой системы методом Гаусса-Жордана (сл.43 т.1). Если p = k, т.е. в результате преобразований получается единичная матрица, то B 1 отсутствует и система (a 1,..., a k ) линейно независима. При p < k строки (a i1,..., a ip ), которые соответствуют первым p столбцам матрицы B, образуют максимальную линейно независимую подсистему в системе (a 1,..., a k ). Для каждого столбца (β 1,..., β p) матрицы B 1 можно записать выражение соответствующего ему вектора a m из системы (a 1,..., a k ): a m = β 1a i β pa ip. Обоснование алгоритма получается с помощью предложения сл.19.

22 Примеры использования алгоритма Пример 1 Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов-строк a 1 = (1, 2, 3, 4), a 2 = (3, 4, 5, 6), a 3 = (4, 3, 2, 1) Запишем матрицу и преобразуем ее, как показано на сл ( ) Получим матрицу 2 5. Тогда, так как столбцы не переставлялись, (a 1, a 2) максимальная линейно независимая подсистема и a 3 = 7 2 a1 + 5 a2. 2 Легко видеть, что максимальная линейно независимая подсистема в системе векторов является базисом линейной оболочки этой системы. Поэтому можно утверждать, что (a 1, a 2) базис подпространства a 1, a 2, a 3. Алгоритм сл.21 может быть использован для нахождения базиса линейной оболочки системы векторов.

23 Пример 2 Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов-строк a 1 = (1, 2, 3, 4), a 2 = (2, 3, 4, 5), a 3 = (6, 7, 8, 9), a 4 = (3, 4, 6, 5), a 5 = (4, 5, 5, 8). Запишем и преобразуем матрицу a 1 a 2 a 3 a 4 a a a 2 a 4 a 3 a a a 2 a 4 a 3 a Система a 1, a 2, a 4 будет максимальной независимой подсистемой; a 3 = 4a 1 + 5a 2, a 5 = 3a 1 + 5a 5 a 4.

24 Линейная независимость системы ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы Предложение Пусть A = (α ij ) k n ступенчатая по строкам матрица (т.е. в начале каждой ненулевой строки расположено больше нулей, чем в начале предыдущей строки, и все нулевые строки, если они есть, записаны последними). Тогда система ненулевых строк этой матрицы линейно независима. Доказательство. Предположим, не ограничивая общности, что все строки матрицы A ненулевые. Так как A ступенчатая по строкам, для каждого i = 1,..., k обозначим через j i наименьший индекс, для которого α iji 0. Тогда при i > 1 и 1 j < j i имеем α ij = 0. Кроме того, j 1 < j 2 <... < j k. Обозначим строки матрицы A через a 1, a 2..., a k. Пусть t 1a 1 + t 2a t k a k = 0. Тогда t 1α 1j1 = 0, t 1α 1j2 + t 2α 2j2 = 0,..., t 1α 1jk + t 2α 2jk t k α kjk = 0. Из первого равенства получаем t 1 = 0, из второго t 2 = 0, и так далее, из p-го равенства получим, что t p = 0 (p = 3,..., k). Этим доказана линейная независимость системы строк (a 1, a 2..., a k ).

25 Алгоритм 2 нахождения базиса линейной оболочки системы векторов Чтобы найти базис линейной оболочки системы векторов a 1, a 2..., a k, нужно составить из них матрицу A, считая эти векторы строками, и привести ее к ступенчатому по строкам виду A с помощью элементарных перобразований строк матрицы. Ненулевые строки матрицы A образуют базис подпространства a 1, a 2..., a k. Для обоснования алгоритма заметим, что элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее линейной оболочки, а базисом системы строк ступенчатой матрицы в силу предложения сл.24 является система ненулевых строк этой матрицы.

26 Ранг матрицы по строкам и по столбцам Пусть A = α 11 α α 1n α 21 α α 2n α k1 α k2... α kn произвольная матрица из Rk n. Положим a (i) = (α i1, α i2,..., α in ) (i = 1,..., k). Тогда a (i) R n, (a (1),..., a (k) ) система строк матрицы A. Положим a j = (α 1j,..., α kj ) (j = 1,..., n). Тогда a j R k, (a 1,..., a n) система столбцов матрицы A. Определение Рангом матрицы A по строкам (соотв. по столбцам) называется размерность линейной оболочки системы строк (соотв. столбцов) матрицы A. Обозначения: r стр(a), r стлб (A). Имеем r стр(a) = dim a (1),..., a (k), r стлб (A) = dim a 1,..., a n. Можно сказать, что ранг по строкам (соотв. по столбцам) матрицы A есть максимальное число линейно независимых строк (соотв. столбцов) матрицы A.

27 Ранг матрицы по минорам Определение минора Минором матрицы A порядка m называется определитель квадратной подматрицы порядка m матрицы A. Если A = (α ij ) k n, то m k, n и минор матрицы A порядка m α i1 j 1 α i1 j 2... α i1 j m представляет собой определитель α i2 j 1 α i2 j 2... α i2 j m , где α imj1 α imj2... α imjm 1 i 1 < i 2 <... < i m k и 1 j 1 < j 2 <... < j m n. Будем обозначать указанный минор через M(i 1,..., i m; j 1,..., j m). Минор 1-го порядка является элементом матрицы. У квадратной матрицы A порядка n единственным минором порядка n является ее определитель. Определение ранга матрицы по минорам Рангом матрицы A по минорам называется число 0, если A нулевая матрица и наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A, если A нулевая матрица. Обозначение: r мин(a).

28 Пример Для матрицы A = и по минорам найти ранги по строкам, по столбцам Заметим, что a (2) = 1 2 (a(1) + a (3) ). Так как строки a (1), a (3) линейно независимы, имеем r стр(a) = 2. По этой же причине все миноры 3-го порядка равны 0. Поскольку = 1, заключаем, что rмин(a) = 2. Чтобы найти ранг матрицы A по столбцам, проведем элементарные преобразования ее строк: Мы видим, что a 3 = a 1 + 2a 2, a 4 = 2a 1 + 3a 2 и столбцы a 1, a 2 линейно независимы. Таким образом, r стлб (A) = 2. Для рассматриваемой матрицы A имеют место равенства r стр(a) = r стлб (A) = r мин(a). Теорема следующего слайда показывает, что это не случайное совпадение.

29 Теорема о ранге матрицы Теорема Для любой матрицы A F k n имеют место равенства r стр(a) = r стлб (A) = r мин(a). Доказательство (см. сл.33) опирается на 4 леммы. С помощью этих лемм мы докажем, что r стр(a) = r мин(a) и r стлб (A) = r мин(a). Лемма 1 Если матрица A получается из матрицы A с помощью элементарных преобразований строк, то r стр(a) = r стр(a ) и r мин(a) = r мин(a ). Доказательство. Достаточно проверить утверждение леммы для одного элементарного преобразования. Если система векторов (a (1),..., a (k) ) получается из системы (a (1),..., a (k) ) с помощью одного элементарного преобразования, то очевидно, что a (1),..., a (k) = a (1),..., a (k), поэтому r стр(a) = r стр(a ). Докажем, что r мин(a) = r мин(a ). Если матрица A нулевая, то и матрица A нулевая, и их ранги по минорам равны. Пусть матрица A ненулевая.

30 Окончание доказательства леммы 1 Если матрица A получается из A с помощью перестановки двух строк, то это преобразование можно выполнить при помощи прибавления у одной строки другой и умножения строки на 1, поэтому мы рассмотрим только следующие два элеметарные преобразования. Если матрица A получается из A с помощью умножения одной строки на ненулевой скаляр λ, то то миноры M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) этих матриц либо совпадают, либо отличаются множителем λ, поэтому r мин(a) = r мин(a ). Пусть матрица A получается из A с помощью прибавления к i-й строке l-й строки, умноженной на скаляр λ. Тогда для миноров M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) этих матриц может выполняться одно из условий: 1 миноры совпадают (если i {i 1,..., i m} или i, l {i 1,..., i m}); 2 минор матрицы A равен сумме M(i 1,..., i,..., i m; j 1,..., j m)+ +λm(i 1,..., l,..., i m; j 1,..., j m) матрицы A (если i {i 1,..., i m} и l {i 1,..., i m}). Отсюда следует, что r мин(a ) r мин(a), так как если все миноры порядка m матрицы A равны 0, то и все миноры порядка m матрицы A равны 0. Поскольку матрица A может быть получена из матрицы A с помощью прибавления к i-й строке l-й строки, умноженной на скаляр λ, имеем r мин(a) r мин(a ). Следовательно, r мин(a ) = r мин(a). Лемма доказана.

31 Элементарные преобразования столбцов Элементарные преобразования столбцов определяются так же, как и для строк (см. сл.27 т.1). Аналогично лемме 1 доказывается следующая Лемма 2 Если матрица A получается из матрицы A с помощью элементарных преобразований столбцов, то r стлб (A) = r стлб (A ) и r мин(a) = r мин(a ). Аналогично ступенчатой по строкам матрице (см. сл.28 т.1) определяется ступенчатая по столбцам матрица. Точно так же, как теорема сл.31 т.1, доказывается следующее Предложение Любая матрица A R k n c помощью элементарных преобразований столбцов может быть приведена к ступенчатой по столбцам матрице.

32 О ступенчатых по строкам матрицах Лемма 3 Для любой ступенчатой по строкам матрицы A R k n имеет место равенство r стр(a) = r мин(a). Доказательство. Пусть A = (α ij ) k n. Если матрица A нулевая, то доказывать нечего. Пусть A O. Обозначим через r номер последней ненулевой строки матрицы A. Как и в доказательстве предложения сл.24, для каждого i = 1,..., r обозначим через j i наименьший индекс, для которого α iji 0. Тогда при 1 < i r и 1 j < j i имеем α ij = 0. Кроме того, j 1 < j 2 <... < j r. Возьмем минор в строках 1,..., r и столбцах j i1,..., j ir. Это определитель верхнетреугольной матрицы с ненулевыми элементами на главной диагонали, поэтому он отличен от нуля. Миноры более высоких порядков или содержат нулевую строку и потому равны нулю, или не существуют (если r = k). Поэтому r мин(a) = r. Так как ненулевые строки матрицы A в силу предложения сл.24 линейно независимы, их система образует базис пространства строк матрицы A. Поэтому r стр(a) = r. Лемма доказана.

33 Доказательство теоремы о ранге и определение ранга матрицы Аналогично лемме 3 доказывается Лемма 4 Для любой ступечатой по столбцам матрицы A R k n имеет место равенство r стлб (A) = r мин(a). Теперь докажем теорему о ранге матрицы. Пусть A R k n произвольная матрица. Приведем матрицу A с помощью элементарных преобразований строк к ступенчатому по строкам виду A. На основании лемм 1 и 3 заключаем, что r стр(a) = r стр(a ) = r мин(a ) = r мин(a), т.е. r стр(a) = r мин(a). Используя предложение сл.8, приведем матрицу A с помощью элементарных преобразований столбцов к ступенчатому по столбцам виду A. На основании лемм 2 и 4 заключаем, что r стлб (A) = r стлб (A ) = r мин(a ) = r мин(a), т.е. r стлб (A) = r мин(a). Таким образом, теорема доказана. Определение ранга матрицы Рангом матрицы A R k n называется число r стр(a) = r стлб (A) = r мин(a), обозначаемое через r(a).

34 Следствия из теоремы о ранге матрицы Первое следствие вытекает из лемм 1 и 2. Следствие 1 Элементарные преобразования строк или столбцов матрицы не изменяют ранга матрицы. Второе следствие получается из лемм 3 и 4. Следствие 2 Ранг ступенчатой по строкам (соотв. по столбцам) матрицы равен количеству ненулевых строк (соотв. столбцов) этой матрицы. Из определения рангов по строкам, по столбцам и по минорам получаем Следствие 3 Для любой матрицы A R n n следующие условия эквивалентны: (1) система строк матрицы A линейно независима; (2) система столбцов матрицы A линейно независима; (3) матрица A невырожденная (т.е. A = 0).

35 Алгоритм нахождения ранга матрицы Из следствий 1 и 2 получается следующий алгоритм. Чтобы определить ранг ненулевой матрицы A, следует с помощью элементарных преобразований строк или столбцов привести ее к ступенчатому по строкам виду и подсчитать количество ненулевых строк полученной матрицы. Это и будет ранг матрицы A. Пример сл.28 показывает, как найти ранг согласно этому алгоритму. Нужно посмотреть часть, где производятся элементарные преобразования строк матрицы A.

36 Свойства ранга матрицы Приведем без доказательства следующее утверждение, в котором собраны свойства ранга матрицы, относящиеся к операциям над матрицами. Теорема 1 Для любых матриц A, B R k n имеет место r(a + B) r(a) + r(b). 2 Для любой матрицы { A R k n и любого скаляра λ R имеет место r(a), если λ 0, равенство r(λa) =. 0, если λ = 0. 3 Для любой матрицы A R k n имеет место равенство r(a) = r(a ). 4 Для любых матриц A R k n, B R n p имеет место r(a) + r(b) n r(a B) r(a), r(b). 5 Для любой невырожденной матрицы A R n n и любых матриц B R n k, C R k n имеют место равенства r(a B) = r(b), r(c A) = r(c). Отметим, что утверждения 2 и 3 практически очевидны, а утверждение 5 легко выводится из утверждения 4.

37 Критерий совместности системы линейных уравнений Пусть A R k n, b R k, x = (x 1,..., x n) столбец из n неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной записи Ax = b. Определение совместной системы линейных уравнений см. на сл.5 т.1. Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений определяются на сл.37 т.1. Критерий совместности системы линейных уравнений дает Теорема Кронекера-Капелли Система линейных уравнений Ax = b совместна тогда и только тогда, когда r(a) = r(a b) (т.е. когда ранг основной матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы).

38 Доказательство теоремы Кронекера-Капелли Пусть A = (α ij ) k n, b = (β 1,..., β k ). Запишем систему линейных уравнений в развернутом виде: α 11x 1 + α 12x α 1nx n = β 1, α 21x 1 + α 22x α 2nx n = β 2,... α k1 x 1 + α k2 x k α kn x n = β k. (1) Как обычно, обозначим через a 1,..., a n столбцы матрицы A. Тогда систему (1) можно расписать так: x 1a x na n = b. Отсюда следует, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда (a 1,..., a n) b. В силу утверждения 2 предложения сл.4 последнее условие равносильно равенству a 1,..., a n = a 1,..., a n, b. Согласно предложению сл.18 это равенство с учетом включения a 1,..., a n a 1,..., a n, b равносильно равенству размерностей dim a 1,..., a n = dim a 1,..., a n, b, которое можно записать как r стлб (A) = r стлб (A b). По теореме сл.29 получаем требуемое утверждение.

39 Так как ранг основной матрицы может быть меньше ранга расширенной матрицы только на 1, получаем такое Следствие Система линейных уравнений Ax = b несовместна тогда и только тогда, когда r(a) + 1 = r(a b). При решении конкретных систем линейных уравнений теорема Кронекера-Капелли применяется при завершении прямого хода в методе Гаусса-Жордана, когда основная и расширенная матрицы приведены к ступенчатому виду, что дает возможность легко определить ранг каждой из этих матриц. Определение Рангом совместной системы линейных уравнений Ax = b называется число r: r = r(a) = r(a b).

40 Следствие для крамеровских систем линейных уравнений Определение крамеровской системы линейных уравнений см. на сл.49 т.1-3. В дополнение к теореме Крамера (сл.51 т.1-3) справедливо следующее Предложение Если в крамеровской системе линейных уравнений главный определитель равен нулю, а по крайней мере один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то эта система несовместна. Из условия следует, что ранг по минорам основной матрицы меньше ее порядка, который обозначим через n. Вспомогательные определители отличаются от миноров порядка n расширенной матрицы быть может лишь знаком, поэтому ранг по минорам расширенной матрицы равен n. Следовательно, система несовместна. Если в крамеровской системе линейных уравнений главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то она может быть как несоместна, так и иметь бесконечное множество решений. Рекомендуется привести пример для каждой ситуации.

41 Совместная система линейных уравнений Рассмотрим совместную систему линейных уравнений (1) на сл.38. Пусть r ее ранг. Выберем линейно независимую систему из r строк расширенной матрицы; без ограничения общности будем считать, что это первые r строк. Так как остальные строки расширенной матрицы линейно выражаются через выбранные r строк, соответствующие уравнения являются следствиями первых r уравнений, и система (1) оказывается равносильной системе α 11x 1 + α 12x α 1nx n = β 1, α 21x 1 + α 21x α 2nx n = β 2,... α r1x 1 + α r1x k α rnx n = β r. Приводя эту систему к лестничной форме (см. сл.9 т.1) и при необходимости перенумеруя неизвестные, получим систему γ 11x 1 + γ 12x γ 1r x r γ 1nx n = δ 1, γ 22x γ 2r x r γ 2nx n = δ 2,... γ rr x r γ rnx n = δ r, в которой γ jj 0 при j = 1,..., r. Если r = n, то последняя система имеет единственное решение; при r < n она имеет неодноэлементное множество решений.

42 Общее решение совместной системы линейных уравнений Выражая в последней системе линейных уравнений на сл.41 неизвестные x r, x r 1,..., x 1 через x r+1,..., x n при r < n, получаем следующее Определение Общим решением совместной системы линейных уравнений (1) сл.38, имеющей ранг r, называется система линейных уравнений (d = n r) x 1 = λ 11x r λ 1d x n + µ 1,... x r = λ r1x r λ rd x n + µ r. Неизвестные x 1,..., x r называются базисными, а неизвестные x r+1,..., x n свободными. Отметим, что для упрощения обозначений неизвестные могли быть перенумерованы. При решении конкретной системы линейных уравнений общее решение характеризуется следующими основными чертами: 1 количество уравнений равно рангу системы; 2 каждое уравнение представляет собой выражение одной неизвестной через другие вида x j = λ j1 x i λ jd x id + µ j ; 3 Множество всех неизвестных из левых частей уравнений и множество всех неизвестных из правых частей уравнений образуют разбиение множества всех неизвестных системы.

43 Однородные системы линейных уравнений Напомним, что система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю. Однородная система линейных уравнений всегда совместна и множество всех ее частных решений является подпространством (см. утверждение 3 предложения сл.15). Определения Это подпространство называется пространством решений однородной системы линейных уравнений, а любой базис этого подпространства ее фундаментальной системой решений (ФСР). Теорема Пусть Ax = O матричная запись однородной системы линейных уравнений, где A R k n и U пространство решений этой системы. Тогда dimu = n r(a). Доказательство. Положим r = r(a), d = n r. Если r = n, то система имеет единственное решение (см. сл.41) нулевое, т.е. U = {0}, и утверждение выполняется.

44 Окончание доказательства Пусть r < n. Рассмотрим общее решение нашей системы, перенумеруя при x 1 = λ 11x r λ 1d x n, необходимости неизвестные:... Построим x r = λ r1x r λ rd x n. систему решений, придавая по очереди одному из свободных неизвестных x 1... x r x r+1... x n λ λ r значение 1, а остальным значение λ 1d... λ rd Положим f j = (λ 1j,..., λ rj, 0,..., 1,..., 0) (здесь 1 на (r + j)-м месте, j = 1,..., d) и докажем, что (f 1,..., f d ) фундаментальная система решений. По построению f j U. Так как ранг по минорам матрицы, составленной из строк f 1,..., f d, равен d, ее ранг по строкам также равен d, т.е. строки (f 1,..., f d ) линейно независимы. Покажем, что U = f 1,..., f d. Пусть (s 1,..., s n) U. Имеем (s 1,..., s n) = (λ 11s r λ 1d s n,..., λ r1s r λ rd s n, s r+1,..., s n) = (λ 11s r+1,..., λ r1s r+1, s r+1, 0..., 0) (λ 1d s n,..., λ rd s n, 0, 0..., s n) = s r+1f s nf d, что и требуется доказать. Таким образом, (f 1,..., f d ) фундаментальная система решений и dimu = d = n r. Теорема доказана.

45 Алгоритм нахождения фундаментальной системы решений Чтобы найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений Ax = O, следует сначала найти ее общее решение. Элементарные преобразования строк можно проводить в матрице A, так как нулевой столбец свободных членов при этих преобразованиях не изменяется. Если система имеет единственное (нулевое) решение, то ее подпространство решений нулевое и фундаментальной системы решений не существует. Если в общем решении имеется d свободных неизвестных, то выбираем невырожденную диагональную матрицу S порядка d и по очереди придаем свободным неизвестным значения элементов одной строки матрицы S; значения базисных неизвестных определяем из общего решения. Полученные d строк и будут образовывать одну из фундаментальных систем решений. В алгоритме получается система из d линейно независимых решений, так как матрица S невырожденная. Число d размерность пространства решений. С помощью свойства 3 сл.11 нетрудно проверить, что эта система будет базисом пространства решений. Если коэффициенты в общем решении являются целыми числами, то качестве матрицы S удобно брать единичную матрицу.

46 Пример нахождения фундаментальной системы решений Найти фундаментальную систему решений системы линейных уравнений x 1 + 2x 2 3x 3 x 4 + 2x 5 = 0, 2x 1 + 3x 2 x 3 2x 4 + 5x 5 = 0, 3x 1 + 4x 2 2x 3 + x 4 + x 5 = 0. Преобразуем основную матрицу = x x 3 + 9x 5 = 0, x 2 5x 3 x 5 = 0, 3x 3 + 4x 4 7x 5 = 0. Общее решение: x 1 = 25 4 x3 9 x5, 4 x 2 = 5x 3 + x 5, Свободные неизвестные: x 3, x 5. Матрица S = x 4 = 3 4 x3 + 7 x5. 4 ( ) x x 2 x 3 x 4 x 5 f. ФСР: = ( 25, 20, 4, 3, 0) 0 4 f = ( 9, 4, 0, 7, 4)

47 Связь между неоднородными и однородными системами линейных уравнений Сопоставим совместной системе линейных уравнений α 11x 1 + α 12x α 1nx n = β 1, α 21x 1 + α 22x α 2nx n = β 2, (2)... α k1 x 1 + α k2 x k α kn x n = β k однородную систему линейных уравнений α 11x 1 + α 12x α 1nx n = 0, α 21x 1 + α 22x α 2nx n = 0,... α k1 x 1 + α k2 x k α kn x n = 0. (3) Обозначим множество всех частных решений системы (2) через L, а пространство решений однородной системы (3) через U. Для любой строки c R n положим c + U = {c + u u U}. Предложение Для любого решения c L имеет место равенство L = c + U.

48 Доказательство предложения Запишем системы (2) и (3) сл.47 в матричной форме: Ax = b, Ax = 0. Тогда L = {c R n Ac = b}, U = {u R n Au = 0}. Пусть c L. Для любого u U имеем A(c + u) = Ac + Au = b + 0 = b, т.е. c + u L. Таким образом, c + U L. Убедимся, что L c + U. Возьмем x L и положим u = x c. Так как Ac = b, Ax = b, имеем A(x c) = Ax Ac = 0, т.е. u U. Мы видим, что x = c + u и x c + U. Следовательно, L c + U. Предложение доказано. Связь между неоднородной и однородной системой линейных уравнений, выражаемую формулой L = c + U, можно представить векторной записью общего решения неоднородной системы линейных уравнений. А именно, любое решение x L может быть записано в виде x = c + λ 1f λ d f d, где c фиксированное частное решение из L, (f 1,..., f d ) базис U, т.е. фундаментальная система решений однородной системы (3), λ 1,..., λ d произвольные числа, независимо друг от друга пробегающие множество R.

49 Пример векторной записи общего решения системы линейных уравнений Пусть система линейных уравнений имеет общее решение x 1 = 2 x 3 x 5, x 2 = 1 + 5x 3 + x 5, x 4 = 3 4x 3 + 7x 5. Записать общее решение этой системы в векторной форме. Имеем (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) = (2 x 3 x 5, 1 + 5x 3 + x 5, x 3, 3 4x 3 + 7x 5, x 5) = (2, 1, 0, 3, 0) + ( x 3, 5x 3, x 3, 4x 3, 0) + ( x 5, x 5, 0, 7x 5, x 5) = (2, 1, 0, 3, 0) + x 3( 1, 5, 1, 4, 0) + x 5( 1, 1, 0, 7, 1). Векторная запись общего решения: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) = (2, 1, 0, 3, 0) + λ( 1, 5, 1, 4, 0) + µ( 1, 1, 0, 7, 1).

50 Собственные векторы матриц Определение Пусть A R n n, v R n 1. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если v 0 и A v = tv для некоторого t R. При этом t называется собственным числом матрицы A и говорят, что собственный вектор v относится к собственному числу t. Теорема Число t является собственным числом матрицы A R n n тогда и только тогда, когда A te n = 0. Если t 0 собственное число матрицы A, то все собственные векторы этой матрицы, относящиеся к t 0, являются ненулевыми решениями однородной системы линейных уравнений от n неизвестных с основной матрицей A t 0E n. Доказательство. По определению число t является собственным числом матрицы A R n n тогда и только тогда, когда A v = tv для некоторого v 0. Равенство A v = tv равносильно (A te n) v = 0, т.е. v ненулевое частное решение однородной системы линейных уравнений (A te n)x = 0. По теореме сл.43 получаем r(a te n) < n, что равносильно равенству A te n = 0. Теорема доказана.

51 Характеристическое уравнение матрицы Определение Пусть A R n n, t неизвестная. Уравнение A te n = 0 называется характеристическим уравнением матрицы A. При развертывании определителя получается алгебраическое уравнение n-й степени. ( ) a b Например, для матрицы A = характеристическое уравнение c d имеет вид a t b c d t = 0, или t2 (a + d)t + ad bc = 0. При решении конкретных задач бывает возможно преобразовать определитель так, чтобы вынести из строки или из столбца общий множитель вида t t 0, тогда t 0 будет корнем характеристического уравнения. Кроме того, корни можно искать подбором, так как любой целочисленный корень алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами делит нацело свободный член этого уравнения.

52 Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A = t 6 15 Запишем характеристическое уравнение: 1 5 t t = 0. Преобразуем левую часть, используя свойства определителей (вычитаем 2-ю строку из 3-й, выносим из 3-й строки t 3, прибавляем 2-й столбец к 3-му, разлагаем по 3-й строке): 6 t t t = 6 t t 5 0 t 3 3 t = 6 t t 6 9 (t 3) 1 5 t 5 = (t 3) 1 5 t t = (t 3)( 1) t 9 1 t = (t 3)(t2 6t + 9) = (t 3) 3. Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид (t 3) 3 = 0 и матрица A имеет единственное собственное число t 1 = 3.

53 Окончание примера Чтобы найти собственные векторы, решаем однородную систему линейных уравнений с основной матрицей A 3E 3 = Эта система равносильна одному уравнению x 1 + 2x 2 5x 3 = 0. Его общее решение x 1 = 2x 2 + 5x 3. Находим фундаментальную систему решений: x 1 x 2 x Получаем два линейно независимых собственных вектора e 1 = ( 2, 1, 0) и e 2 = (5, 0, 1). Произвольный собственный вектор имеет вид c 1e 1 + c 2e 2, где c 1, c 2 произвольные числа, одновременно не равные нулю.

54 Подобные матрицы Определение Пусть A, B R n n. Говорят, что матрица B подобна матрице A, если существует невырожденная матрица T R n n такая что B = T 1 A T. Если матрица B подобна диагональной матрице A, то возможно получить формулы для элементов любой натуральной степени B m как функций от m (такая задача имеет практическое значение). В самом деле, если B = T 1 A T, то B m = T 1 A T T 1 A T... T 1 A T = = T 1 A m T, так как на стыках получается T T 1 = E n. Степень диагональной матрицы вычисляется легко: нужно только возвести диагональные элементы в степень m. В силу сказанного представляет интерес задача определения для данной квадратной матрицы, подобна ли она диагональной матрице. Оказывается, это можно сделать с помощью собственных векторов.

55 Критерий подобия данной матрицы диагональной матрице Теорема Матрица A R n n подобна диагональной матрице D тогда и только тогда, когда A имеет n линейно независимых собственных векторов. При этом D = T 1 A T, где матрица T составлена из n линейно независимых собственных векторов (столбцов) матрицы A, а на главной диагонали матрицы D расположены собственные числа матрицы A, к которым относятся столбцы матрицы T. Доказательство. Равенство D = T 1 A T равносильно равенству T D = A T. Запишем его: t 11 t t 1n d t 21 t t 2n d = t n1 t n2... t nn d n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn t 11 t t 1n t 21 t t 2n t n1 t n2... t nn. Обозначив j-й столбец матрицы T через v j, легко вычислить, что A v j = d j v j при j = 1,..., n. Отсюда с учетом следствия 3 сл.34 непосредственно получаются все утверждения теоремы.

56 Пример ( ) 6 2 Вычислить A n для матрицы A =. 6 1 Запишем характеристическое уравнение: 6 t t = 0. Оно имеет вид t 2 5t + 6 = 0. Матрица A имеет собственные значения t 1 = 2 и t 2 = 3. Собственный вектор для значения t 1 является ненулевым решением однородной ( ) системы линейных уравнений с основной матрицей 4 2 A 2E 2 =, которая равносильна одному уравнению 6 3 2x 1 x 2 = 0. Возьмем его решение e 1 = (1, 2). Собственный вектор для значения t 2 является ненулевым решением ( однородной ) системы линейных 3 2 уравнений с основной матрицей A 3E 2 =, которая 6 4 равносильна одному уравнению 3x 1 2x 2 = 0. Возьмем его решение ( ) e 2 = (2, 3). Векторы e 1, e 2 линейно независимы. Положим T = ( ) ( ) Тогда T = A T, откуда A = T T ( ) n ( Следовательно, A n = T T 1 n 0 = T n ) T 1.

57 Окончание примера ( ) ( По формуле сл.46 т.3 получаем T 1 = = Вычисляем ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n n 0 2 n 2 3 n T 0 3 n = n = 2 n+1 3 n+1. ( ) ( ) 2 Окончательно получаем A n n 2 3 n 3 2 = 2 n+1 3 n+1 = 2 1 ( ) 3 2 n n 2 n n 3 2 n n+1 2 n+2 3 n+1. ).

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 5 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A K m следующего общего вида: a a a A a 2 a 2 2 a 2 A = = A A 2,A 2,,A =, a m a2 m a m A m где a a a 2 A =,,A a 2

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Тема 2-12: Нильпотентные операторы

Тема 2-12: Нильпотентные операторы Тема 2-12: Нильпотентные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее