2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными являются следующие системы координат. Прямоугольная система координат на плоскости включает две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ (оси координат) с указанием положительных направлений отсчета и масштабов измерения. Координаты точки равны расстояниям до осей координат, отсчитываемым от точки пересечения осей (начало координат) в направлении оси (рис. 1). рис.1 рис. В трѐхмерном пространстве прямоугольные координаты точки равны расстояниям до координатных плоскостей (рис. ). В полярной системе координат указывается полярная ось и положение точки на плоскости определяется полярным радиусом r-расстоянием до полюса О и полярным углом (рис.3). За положительное направление отсчета полярного угла принято направление против часовой стрелки.

2 рис.3 Если ось ОХ направить вдоль полярной оси, то в такой системе точка будет иметь прямоугольные координаты: X = r cos, У = r sin, откуда находим выражение полярных координат через прямоугольные: r =, arctg. В пространстве полярные координаты дополняются координатой Z из прямоугольной системы. Такие координаты образуют цилиндрическую систему координат (рис.4). Связь между прямоугольными и полярными координатами выражается соотношениями: X = r cos, У = r sin, Z = Z. Z рис.4 Применяется также сферическая система координат,,, показанная на рис.4. Прямоугольные координаты точки выражаются через полярные по формулам: = cos sin, = sin sin, z = cos. Вектором (геометрическим) называют направленный отрезок прямой. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и направление. Вектор-

3 ную величину обозначают через a или AB, соответственно длину вектора (модуль) обозначают a или AB. Произвольный вектор a единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации трѐх векторов e 1, e, e 3, не лежащих в одной плоскости (разложен по базису e 1, e, e 3 ): a = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3, где числа a 1, a, a 3 называются координатами вектора a в базисе e 1, e, e 3. Записывают a = a 1, a, a3. Через координаты получают алгебраическое толкование вектора, как упорядоченную совокупность чисел. Наиболее употребительным является базис, составленный из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины i, j, k (ортонормированный базис). В этом случае координаты вектора представляют собой его проекции на базисные векторы: a = a cos, a = a z, где,, углы, образованные вектором a с базисными a cos, a cos векторами. Вектор r А, проведенный из начала координат к точке A(,,z), называется радиус-вектор точки А. Через понятие радиус-вектора устанавливается связь точки и вектора, что лежит в основе применения векторов в геометрии. произведение. Для векторов определены операции сложения, умножения и векторное Суммой векторов a и b является вектор c, получаемый по правилам треугольника или параллелограмма. Координаты вектора c равны: c a b, c a b, cz az bz. Произведение вектора a на число представляет собой вектор координаты которого равны: c a, c a, c a. z z c a, Скалярное произведение векторов a и b есть число, получаемое по правилу: a b a b cosa, b Через координаты векторов скалярное произведение равно: 3

4 a b a b a b a b, откуда a a a a z z и a, b z ab a b azbz cos. a b Векторное произведение векторов a и b является вектором c a b, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах a, b. Вектор c направлен перпендикулярно плоскости параллелограмма так, что тройка векторов a, b, c образует правую систему. Через координаты сомножителей векторное произведение выражается следующим образом: i j k c a a az. b b bz Смешанное произведение векторов определяется по формуле: a a az a b c a b c a b c b b bz. c c cz Условие компланарности трех векторов: a b c Применение векторной алгебры к решению геометрических задач В пространстве треугольник задан координатами своих вершин А( 0, 0, z0 ), В( 1, 1, z1 ), С(,, z ). Рассматривая радиусы-векторы сторон треугольника, определяем координаты векторов AB,, z ), ( z0 AC( 0, 0, z z0). Пользуясь векторной алгеброй можно определить размеры треугольника по формулам: АВ= AB z z0, (.1) AB AC A arccos AB AC, (.) S ABC h 1 AB AC S AB AB AC AB - площадь треугольника, (.3) ABC c - высота треугольника, проведенная из С. (.4) 4

5 Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении, определяют по формуле: ra rb r M. (.5) 1 Объѐм тетраэдра с вершинами в точках А, В, С, и D равен: 1 V= AB AC AD 6 (.6) AM MB Условие расположения точки М внутри тетраэдра АВСD имеет вид: z 1,,, z 0, (.7) где,, z координаты точки М в базисе из векторов AB, AC, AD. Пример: Даны вершины треугольника А(1,-1,-3), В(,1,-), С(-5,,-6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. Решение: Обозначим АЕ биссектрису треугольника. Так как сумма векторов направлена по диагонали параллелограмма, а диагональ ромба является его биссектрисой, можем записать AB AE R AB AC AC (.8) С другой стороны точка Е делит отрезок ВС в отношении и поэтому 1 AE AB AC 1 1 (.9) Вектор единственным образом может быть разложен по базису и поэтому: R 1, AB 1 R AC замечаем R 1, откуда R= AB AC AB AC AB AC (.10) Из условия задачи имеем AB (-1, 1+1, -+3) = (1,, 1), AB подставляя в (.10), получим R= 4 AC (-6, 3, -3), AC 3 6 5

6 и из уравнения (.8) находим AE 3 4 AB AC,, 0, AE Примеры решения задач Пример 1: Даны векторы a (1,, 3) и b (3,, 1). Найти длину вектора a b и угол, образованный им с осью ОХ. Решение: По свойствам сложения векторов и умножения на число находим a b c( 1 3,, 3 1) = c (5; 6; 7). Длина вектора равна b a. Косинус вектора c с осью ОХ определим по формуле cos = C 5, C 110 откуда с учѐтом того, что направление оси ОХ совпадает с направлением вектора C ( 0) находим arccos 61, 5. C Пример : Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон К(; -4), М(6; 1) и N(-; 3). Решение: Находим KM (6-; 1+4) = (4; 5). По рис.5 NC AN KN(4;4), r N AN. Имеем r (--4; 3-5) = (-6; -), rc rn NC (-+4; 3+5) = (; 8). A Координаты точки В находим аналогичным образом из соотношений 6

7 AB AK(16; -4), rb ra AB (-6+16; --4) = (10; -6). Пример 3: Доказать, что четырѐхугольник с вершинами А(3; -1;), В(1; ; -1), С(-1; 1; -3), Д(3; -5; 3) является трапецией. Решение: Векторы AB (-; 3; -3) и CD (4; -6; 6) связаны соотношением CD AB. Они параллельны, следовательно, четырѐхугольник АВСД есть трапеция с параллельными сторонами АВ и СД. Пример 4: Векторы a, b и c удовлетворяют условию a b c=0. При условии, что a b c 1 вычислить ab bc c a. Решение: Найдем скалярное произведение вектора a b c на себя a b c a b c a a b b c c a b b c c a 111 a b bc c a 0, отсюда a b b c c a. Пример 5: Заданы вершины треугольника А(0;0;1),В(;1;3) и С(1;;3). Найти координаты точки D - основания высоты, проведенной из В. Решение: Точка D лежит на стороне АС и поэтому: r r r ; ;. D A C Находим AC 1 ; ; ;, BD ; ;. Из условия перпендикулярности векторов БД и АС имеем АС БД Отсюда находим 3 11 и после подстановки в выражение r D получим r D ; ; Пример 6: Найти вектор, если он перпендикулярен векторам a4; ; 3 b 013 ; ;, =6 и с осью ОУ составляет тупой угол. i j k Решение: Находим ab 4 33i1 j4 k и 7

8 Искомый вектор равен a a b b ; ;. Знак выбираем из условия тупого угла между направлением вектора и осью ОУ (отрицательная координата у ) и окончательно получим 6; 4; Тренировочные упражнения 1. Даны вершины параллелограмма А(3, -4, 7), В(-5, 3, -) и С(1,, -3). Найти его четвѐртую вершину Д, противоположную В. [Ответ: Д (9, -5, 6)]. Найти длину медианы треугольника с вершинами А(3, -1, 5), В(4,, -5) и С(-4, 0, 3), проведенную из вершины А. [Ответ: 7] 3. AD, BE и CF - медианы треугольника АВС. Доказать равенство AD + BE +CF = Доказать, что точки А(0, 1, -), В(-1,, 1) и С(1, 0, -5) лежат на одной прямой. 5. Доказать, что четырѐхугольник с вершинами А (-3, 5, 6), В (1, -5, 7), С (8, -3, -1) и Д (4,7,-) - квадрат. 6. Заданы векторы a (3,-1,) и b (1,, -1). Найти координаты вектора (a b) b. [Ответ: (-6, 10, 14)] 7. Доказать, что точки А(1,, -1), В(0, 1, 5), С(-1,, 1), Д(, 1, 3) лежат в одной плоскости. 8. Доказать, что при любых a, b, c векторы a b, b c и c a компланарны...1. Теоретические сведения. Прямая и плоскость Прямая на плоскости может быть задана точкой А (, ) и вектором 0 0 S(m, n), ей параллельным. Тогда для произвольной точки прямой В (х, у) будет AB // S, откуда следует равенство r r t S. Данное соотношение называют B A 8

9 параметрическим уравнением прямой. Записав условие параллельности векторов через координаты, получим координатную форму уравнения прямой 0 0. m n Если прямая задана двумя точками А( 0 0 9, ) и С(, ), то эта прямая 1 1 имеет направляющий вектор S AC и описывается уравнением Из векторного параметрического уравнения прямой следует ещѐ один способ еѐ аналитического описания системой уравнений с параметром t 0 mt, 0 nt В другом способе прямая на плоскости определяется точкой А(, ) и 0 0 нормальным вектором N (А, В). Из условия перпендикулярности векторов AB и N следует ( r B A r ) N 0. Записывая скалярное произведение через координаты сомножителей, получим уравнение прямой в координатной форме А( ) B( ) = Если в качестве нормального вектора взять вектор единичной длины n(, ), направленный от начала координат к прямой, то в этом случае уравнение называют нормальным. В нормальном уравнении p 0 параметр p равен расстоянию от начала координат до прямой. При подстановке в нормальное уравнение координат точки М(х,у) левая часть уравнения равна расстоянию от точки М до прямой. Знак (+) расстояния говорит о том, что точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой. Во всех способах задания прямой получается линейное уравнение Ах+Ву+D=0. Обратно, всякое уравнение вида Ах+Ву+D=0 определяет прямую на плоскости, у которой нормальный вектор имеет координаты N (А,В). Нормальное уравнение прямой получается из общего по формуле: 1 A B A B D 0, где знак (+) принимается при D<0 и знак (-) - при D>0.

10 Плоскость в пространстве может быть задана точкой А( 0, 0, z0 ) и нормальным вектором N (А, В, С). По аналогии с прямой на плоскости приходим к векторному уравнению плоскости rb ra N 0, которое через координаты имеет вид: А ( ) B( ) C( z z ) Уравнение плоскости является линейным и всякое линейное уравнение A+B+Cz+D=0 определяет плоскость с нормальным вектором N (А, В, С). Нормальное уравнение плоскости имеет вид: 1 ( A B Cz D) 0. A B C При подстановке в нормальное уравнение координат точки М(,, z) получается расстояние от точки М до плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точки A0( 0, 0, z0), A1( 1, 1, z1), A(,, z) записывается через смешанное произведение векторов A A, A A, A B; r r r r r r B 0 0. При вычислении смешанного произведения через координаты, уравнение примет вид: z1 z0 0 0 z z0 0 0 z z0 0. Прямая в пространстве по аналогии с прямой на плоскости может быть задана точкой А,, z и вектором параллельным прямой S(m, n, l). Отсюда получается векторное параметрическое уравнение прямой r r ts, B A параметрические уравнения прямой: 0 t m, 0 t n, z z0 t l, каноническое уравнение прямой: m z z n l Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поэтому возникает способ аналитического описания прямой в пространстве через систему из уравнений плоскостей 10

11 A1 B1 C1 z D1 0, A B Cz D 0. Соотношение A B C z D A B C z D является уравнением пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую. Расстояние d от точки М ( 1, 1, z1) до прямой, проходящей через точку А( 0, 0, z0 ) и имеющей направляющий вектор S( m, n, l), находится по формуле d r1 r0 S S, где r z r z,,,,, При решении задач на прямую и плоскость рекомендуется пользоваться векторной алгеброй.... Примеры решения задач Пример1. Записать уравнения прямых, проходящих через точку М(1,) параллельно и перпендикулярно прямой х-3у+3=0. Решение: Параллельные прямые имеют равные нормальные векторы. Поэтому уравнение параллельной прямой запишем по формуле уравнения прямой, проходящей через точку М(1,), с нормальным вектором N (,-3), (х-1) -3(у-) = 0. После преобразований это уравнение примет вид: х-3у + 4 = 0. Нормальный вектор заданной прямой N (,-3) является направляющим вектором прямой ей перпендикулярной. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку М(1,) параллельно вектору S(, 3), запишем уравнение прямой перпендикулярной заданной После преобразований окончательно получим 3+-7=0. Пример. Найти длину высоты треугольника с вершинами А(1,-1), В(,1),

12 С(3,), проведенную из вершины А. Решение. Длина высоты равна расстоянию от точки А до прямой, проведенной через точки В и С. Прямая ВС имеет уравнение: 1 3 1, которое после преобразований примет вид: --1=0. Приведем данное уравнение к нормальному виду: , и, подставив координаты точки А, найдем еѐ расстояние от прямой Это и будет искомая высота. h ( ) 1. Пример3. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 1 z z 3 1 и Решение. Параллельность прямых следует из пропорциональности их направляющих векторов S S 1. Из элементарной геометрии известно, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Из уравнений прямых известны координаты точек плоскости А(1;-;3), В(;1;-) и вектор S 1 ( 1; ; 3), параллельный плоскости. Если С(,,z) - произвольная точка плоскости, то векторы AB, AC и S1 лежат в одной плоскости и поэтому их смешанное произведение равно нулю. Записав выражение смешанного произведения через координаты сомножителей, получим уравнение искомой плоскости: 1 z Раскрыв определитель, в итоге найдем уравнение плоскости в общем виде: z - 3=0. 1

13 Пример 4. Записать каноническое уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей х - у + 3z +=0 и х + у - z - 3=0. Решение. Для того, чтобы записать каноническое уравнение прямой в пространстве необходимо знать точку А прямой и еѐ направляющий вектор S. При Z=0 из уравнений заданных плоскостей получается система: у 0, у 3 0, имеющая решение х =1, у =. Итого, уравнениям обеих заданных плоскостей удовлетворяет точка А (1; ; 0). Это и будет точка плоскости. Направляющий вектор прямой параллелен плоскостям и поэтому он направлен перпендикулярно нормальным векторам плоскостей N 1 ( 1; ; 3) и N ( 11 ; ; ). Этому условию удовлетворяет векторное произведение N прямой: N 1, которое и будет направляющим вектором i j k S N1 N 3 i 7 j 4 k. 1 1 Теперь каноническое уравнение прямой записывается в виде: 1 у z Пример 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;;3) и прямую пересечения плоскостей х+3у-6z+8=0 и -у+3z-4=0. Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей и поэтому ее уравнение может быть записано в виде: 13 3у 6z 8 у 3z 4 0. Из условия того что, что точка А принадлежит плоскости, получим уравнение: , из которого найдем значение параметра 1. После подстановки 1 в уравнение пучка плоскостей приходим к уравнению искомой плоскости: 5у 9z 1 0.

14 Пример 6. Найти проекцию точки А(1; ; 3) на плоскость х+у+z-=0. Решение. Проекция точки на плоскость является точкой пересечения плоскости и ей перпендикулярной прямой, исходящей из точки А. Прямая, перпендикулярная заданной плоскости, имеет направляющий вектор S N( 11 ; ; ). По точке А(1; ; 3) и вектору S(1;;1) запишем параметрические уравнения прямой: 1 t у t. z 3 t При подстановке этих уравнений в уравнение плоскости получим уравнение: 1 t ( t ) 3 t 0, из которых определим параметр точки пересечения прямой и плоскости t=-1. Координаты точки пересечения по найденному значению t=- 1 определим из параметрических уравнений прямой: х=0, у=0, z=. Таким образом найдем точку В(0; 0; ) - проекция точки А на плоскость х+у+z-= Тренировочные упражнения 1. Определить относительное расположение точек А(1; 3), B(11; -7), C(6; 5) относительно прямой 4х+3у-3=0 (лежат они на прямой, по одну или по разные стороны от прямой?). Найти расстояние от точки до прямой. (Ответ: ; 0; 3.).. Заданы прямые х-3у-5=0 и 5у-3х+7=0. Найти точку пересечения и косинус угла между ними. (Ответ: (4; 1), 1 44 ). 3. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 3х+4у-5=0 и отстоящей от неѐ на расстояние 3. (Ответ: 3х+4у-0=0, 3х+4у+10=0). 4. В треугольнике заданы координаты вершин M 1 10;,M (6;4) и точка пересечения высот Q(5;). Найти координаты третьей вершины. (Ответ: M 3 ( 6; 6) ). 14

15 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно плоскости -х+у-z+1=0. (Ответ: х-у+z-=0). 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 1; ; 0, 11 ; ;, 3; 01 ; M M M 1 3. (Ответ: х+у-3 = 0). 7. Задана прямая х 1 у z 1 и точка М(0; 1; ). Найти: 0 а) уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую; б) уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой; в) уравнение перпендикуляра, опущенного из М на прямую; г) расстояние от М до прямой; д) проекцию точки М на прямую. Ответ: а) х - у + z = 0; б) х + у -1=0; в) х у z 0 х у 1 0, г) 18 ; д) (3/5; -1/5; -1) Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M 0 ( 3; ; 4) параллельно плоскости 3х-у-3z-7=0 и пересекает прямую х у 4 z 1 3. (Ответ: х 3 у z ).3. Кривые на плоскости. Кривые второго порядка.3.1. Теоретические сведения Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том и только в том случае, когда еѐ координаты удовлетворяют уравнению. В полярной системе координат r кривая имеет уравнение F(r, )=0. При выводе уравнения следует геометрические свойства кривой выразить через координаты еѐ точек. Например, окружность обладает тем свойством, что все еѐ точки удалены на одно и то же расстояние от центра. Если r 0 - радиус-вектор центра окружно- 15

16 сти, r - радиус-вектор точки окружности, то по геометрическому свойству можем записать: r r0 R, где R - радиус окружности. Определяя длину вектора через его координаты, получим уравнение окружности радиуса R с центром С (, ) в прямоугольной системе координат: R. В полярной системе координат окружность радиуса R с центром в полюсе имеет уравнение r = R. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой имеет вид: Ах + Вху + Су + Dх +Еу + F = 0, где коэффициенты А, В и С одновременно не равны нулю. Если уравнение не определяет пустое множество, точку, прямую или пару прямых, то путѐм замены системы координат оно может быть преобразовано к видам (каноническим уравнениям): a 1 (эллипс), b a 1 (гипербола), b = рх (парабола). На рисунках 6, 7, 8 даны изображения указанных кривых. 16

17 рис. 6. Эллипс с уравнением a b 1, (а > b). рис. 7. Гипербола с уравнением a у =1. b рис. 8. Парабола с уравнением у р х, p 0. Точки F 1 (-c; 0) и F (c;0), показанные на рис.6, называют фокусами эллипса. Они обладают свойствами: AF 1 +AF = a, c a b. Число c a 1 a, ( b 0 1 ), называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму (при 0 эллипс является окружностью). Прямые D 1 и D называют директрисами. Для произвольной точки эллипса А отношение расстоя- 17

18 ний АF 1 и АВ есть постоянная величина AF 1 /AB=. У гиперболы (см. рис. 7) фокусы F 1 (-с,0) и F (c,0) обладают свойствами: AF 1 -AF = a, c = a b. Эксцентриситет гиперболы равен 1 c a b a, ( 1). Директрисы гиперболы D 1 и D обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса (AF 1 /AB= ). Парабола (см. рис. 8) обладает свойством: расстояние от точки параболы до фокуса F( p ;0) равно расстоянию до директрисы D p. В полярной системе координат, у которой полюс совпадает с фокусом, а полярная ось направлена по оси кривой, эллипс, гипербола и парабола имеют уравнение r = p 1 cos, где p - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к еѐ оси). Кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями t, t, t a, b, где некоторые непрерывные на интервале [a, b] функции. 18 t и t- Например, параметрические уравнения Х = а cos t, У = b sin t, t0, ;оп- ределяют эллипс с полуосями а и b. В этом легко убедиться путѐм подстановки функций в уравнение эллипса a.3.. Примеры решения задач 1 b. Пример 1: Записать уравнение кривой, точки которой удалены от точки А (0;0) на удвоенное расстояние до точки В (3;0). Решение: Пусть М (х, у) - произвольная точка кривой. По условию задачи АМ = ВМ или АМ = 4 ВМ. Выражаем расстояния через координаты: АМ = х +у, ВМ = (х-3) +у. Имеем: х +у =4(х-3) +4у. После преобразования получим: х -8х+у +1=0. Запишем данное уравнение в виде: =0, откуда окончательно получим (х - 4) + у =. Полученное уравнение представляет собой урав-

19 нение окружности радиуса с центром в точке С (4;0). Пример : Составить уравнение гиперболы с эксцентриситетом =1.5, у которой расстояние между директрисами равно d = 8/3. Решение: Расстояние между директрисами равно d= a, откуда а= d Для определения полуоси b найдем сначала пара- 3 метр с по формуле: с = а = 15. =3. Так как с = а + b, то имеем b = с - а =9-4 = 5. Теперь уравнение гиперболы можем записать в виде Пример 3: Записать уравнение касательной к эллипсу 5 +у =1 в точке А(3; 4 5 ). Решение: Касательная прямая имеет уравнение у = ах + b. Так как точка А(3; 4 5 ) лежит на касательной, то имеет место равенство 4 = а3+b. Выражаем 5 отсюда b и подставляем в уравнение касательной. В итоге получим 5у=5а (х-3) +4. Для того, чтобы определить точки пересечения прямой и эллипса следует решить систему уравнений: 19 5у 5, 5 5a( 3) 4. Сделаем замену переменной х = t+3 и подставим в первое уравнение значение у. Это приводит к уравнению: (5а + 1)t + (40а + 6)t = 0 Касательная и эллипс имеют единственную точку пересечения. Поэтому для неизвестного t уравнение должно иметь единственное решение, которое возможно только при условии 40а + 6 = 0. Отсюда находим a 3 0 и после подстановки получаем искомое уравнение касательной 3х + 0у - 5 = 0. Пример 4: Стержень длинной 3 скользит своими концами А и В по координатным осям (см. рис. 9). Расстояние от точки М стержня до конца В равно 1. Вывести параметрические уравнения траектории движения точки М, приняв за параметр t угол OBA. Решение: Выразим координаты точки М (х, у) через параметр t и данные зада-

20 чи. рис. 9. Из треугольников АМD и СМВ находим х = МD = АМ cos t cos t, у=мсsin t sin t. Следовательно, траектория движения имеет параметрические уравнения: х = cos t, у =sin t. Если точка В движется от начала координат до точки В1 (3, 0), то параметр t изменяется в пределах t 0. Установим уравнение траектории движения в форме F(, ) = 0. Для этого исключим параметр t из уравнений следующим образом: cos t + sin t = 1. Траектория движения точки стержня имеет уравнение 4 1, которое определяет эллипс с полуосями а = и b = Тренировочные упражнения 1. Построить кривые, заданные уравнениями: а) +у-х=0, б) 0, в) 1.. Написать уравнение, расстояние от каждой точки, которой до оси ОХ вдвое больше расстояния до оси ОУ. ( Ответ: у = х.) 3. Показать, что уравнение х + у - 4х + 6у - 3 = 0 определяет окружность. Найти еѐ центр и радиус. (Ответ: С (; -3), R = 4.) 4. Построить эллипс 9х +5у =5. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. (Ответ: а) а = 5, в = 3; б) F 1 (-4, 0), F (4, 0); в) = 0.8; г) х = 5 4.) 5. Построить гиперболу 16х - 9у = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. (Ответ: а) а = 3, в = 4; б) F1=(-5, 0), F(5, 0); в) = 5 3, г) х = 9 5.) 6. Построить параболы: а) у = 6х; б) х =5у; в) у = -4х; г) х = -у. Записать 0

21 уравнения директрис и координаты фокусов. 7. Записать уравнение касательной к параболе у = 8х, параллельной прямой х+ у - 3 = 0. (Ответ: х + у + = 0.) 8. Составить параметрические уравнения окружности х + у = R, принимая в качестве параметра полярный угол, если полярная ось направлена по оси ОХ, а полюс расположен в начале координат. ( Ответ: х = R (1+cost), = R sint, t ; ). 1

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум)

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) ГАОУ ВПО Дагестанский государственный институт народного хозяйства Абдулаева Халисат Саидовна Кафедра математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) Махачкала 0 УДК 5(075)

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее