Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек."

Транскрипт

1 Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты гиперболы Эксцентриситет и директрисы гиперболы Основные факты Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами Расстояние F 1 F между фокусами называется фокальным расстоянием и обозначается с Если M точка данной гиперболы, то отрезки F 1 M и F M называются фокальными радиусами точки M По определению, для любой точки М гиперболы F 1 M+F M =соnst Эту величину принято обозначать а Из определения следует также, что <c В прямоугольной системе координат i OF 1, гипербола имеет уравнение: х у () = 1, где а (6) =с а Уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы Геометрические свойства гиперболы: 7 О i j, где О середина отрезка F 1 F, а 1 Внутри полосы, ограниченной прямыми х=±а, точек гиперболы нет Гипербола, заданная каноническим уравнением, Рис симметрична относительно начала координат и осей координат Центр симметрии называется центром гиперболы, ось симметрии, проходящая через фокусы, первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр, второй или мнимой осью симметрии Фокальная ось симметрии пересекает гиперболу в двух точках A 1 (а,0), A ( а,0) Вторая ось симметрии не пересекает гиперболу Точки A 1 и A называются вершинами гиперболы, а отрезок A 1 A действительной осью Числа а и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек (7) у=± х уравнения асимптот Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокального расстояния гиперболы к ее большой оси: (8) ε= а с Отсюда следует, что ε>1

2 Чем больше эксцентриситет, тем гипербола «шире» Гипербола, полуоси которой равны (=), называется равносторонней Ее каноническое уравнение имеет вид: (9) = Эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен Асимптотами равносторонней гиперболы являются биссектрисы координатных углов: =, = Равносторонняя гипербола является графиком функции обратной пропорциональности Директрисами гиперболы называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии а, где а действительная полуось, а ε эксцентриситет ε () х=± ε а уравнения директрис Директрисы гиперболы d 1 и d не пересекают гиперболу Рис Теорема Гипербола есть множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету Примеры решения типовых задач Задача 1 Найти уравнение гиперболы, если уравнения ее асимптот: у±х=0, а уравнения директрис: х±16=0 Решение Из условий задачи и формул (), (7),() следует: =, а 16 = = ε с Отсюда =, c= 16 Учитывая, что для гиперболы выполняется формула (6): =с а, имеем биквадратное уравнение относительно а: ( ) =( 16 ) а Решением этого уравнения является а=0, а=, а= Условию задачи удовлетворяет только последнее значение: а= Малую полуось найдем из условия = Получим = х Итак, уравнение искомой гиперболы: у = Задача Найти траекторию точки, которая при своем движении остается все время в 1, раза дальше от точки F(0,6), чем от прямой d: у= 8 Решение 8

3 Пусть М произвольная точка искомого множества По условию задачи MF=1,ρ(М,d) По формуле расстояния между точками MF= ( х 0) + ( у 6) По формуле расстояния от точки до прямой ρ(м,d)= у 8 Имеем уравнение ( х 0) + ( у 6) = у 8, решая которое получим: у х у +80=0, или х = Итак, искомая траектория гипербола Задача Найти площадь прямоугольника, вершины которого лежат на гиперболе х у = 1, а две стороны проходят через фокусы параллельно оси Оу 0 10 Решение Воспользуемся формулой (6): с =а + =0+10=0 Из условий задачи следует, что длина прямоугольника равна фокальному расстоянию гиперболы с= 0 Найдем ординаты вершин прямоугольника, учитывая что они лежат на данной гиперболе и что их абсциссы: ± 0 0 Имеем: у = 1, у =, у=± 0 10 Тогда высота прямоугольника равна Таким образом, искомая площадь равна: S= 0 =0 6 Задачи для самостоятельного решения 101 В репере ( O, i, задано уравнение гиперболы: = Найти координаты точек пересечения ее асимптот с директрисами 10 В репере R = ( O, i, заданы канонические уравнения эллипса + = 1и гиперболы = 1 Выберем две новые системы координат: R' = ( A, i, и R" = ( B, i,, где А(-а, 0) и В (а, 0) Найти уравнение эллипса в системе координат R' и уравнение гиперболы в системе R" 10 Дан отрезок [AB], длина которого а Найти фигуру π F = M MAB MBA = 10 Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом 9

4 10 В репере ( O, i, найти координаты фокусов гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10, уравнения асимптот в этом репере имеют вид: х + у + = 0 и - у + = 0 и одна из ветвей гиперболы расположена в том из углов, образованных асимптотами, где находится начало координат вид: 1) ) Выяснить, подобны ли гиперболы, уравнения которых в репере ( O, i, имеют 8 = = 0 и и = ; = 107 В репере ( O, i, написать уравнение прямой, проходящей через фокус F (, 0) гиперболы х - у = а и образующей при пересечении с ней хорду, делящуюся точкой F в отношении λ= 108 Вычислить площадь параллелограмма, образованного асимптотами гиперболы и прямыми, проходящими через точку М гиперболы параллельно ее асимптотам, если полуоси гиперболы равны а и 109 Точка М 0 гиперболы лежит с ее фокусом F по одну сторону от мнимой оси Через М 0 проведена прямая, параллельная асимптоте и пересекающая директрису d, соответствующую фокусу F, в точке D Доказать равенство: FM 0 = DM При каком условии асимптоты гиперболы = 1 взаимно перпендикулярны? 111 Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы =, если ее асимптоты принять за оси координат? 11 Написать каноническое уравнение гиперболы, если величина угла между асимптотами равна 60, а расстояние между фокусами 11 Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом = 1, если ее эксцентриситет ε = 9 11 Доказать, что директриса гиперболы проходит через ортогональную проекцию соответствующего фокуса на асимптоту 11 Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами 116 На гиперболе = 1найти точку, фокальные радиусы которой взаимно 16 9 перпендикулярны 117 Найти длину стороны квадрата, вписанного в гиперболу = 1 В какие гиперболы возможно вписать квадрат? 118 Найти фигуру образованную центрами окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную точку вне этой окружности 119 Найти фигуру, для каждой из точек которой произведение расстояний до двух пересекающихся прямых равно данному положительному числу 10 Найти фигуру, образованную центрами окружностей, касающихся двух данных неконгруэнтных окружностей, одна из которых лежит вне другой 0 0

5 11 Доказать, что сопряженные гиперболы = ± 1 кососимметричны одна другой относительно одной из асимптот по направлению другой 1Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что: 1) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами 10; ) вещественная полуось равна и вершины делят расстояния между центром и фокусами пополам; ) вещественная ось равна 6 и гипербола проходит через точку (+9;-) ) гипербола проходит через две точки Р (-;+) и Q (+ ; ) 1Составить уравнение гиперболы, зная фокусы F 1 (+10;0), F (-10;0) и одну из точек гиперболы М (+1;+ ) 1 Построить гиперболу, основываясь на ее определении 1 Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом + = 1при условии, что эксцентриситет ее е=1, 9 16 Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эллипса + = 1и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса Построить фокусы и асимптоты гиперболы = Дана гипербола = 1 Требуется: ) вычислить координаты фокусов; ) вычислить эксцентриситет; ) написать уравнения асимптот и директрис; ) написать уравнение сопряженной гиперболы и вычислить ее эксцентриситет 19* Зная уравнение асимптот гиперболы у=1/х и одну из ее точек М(1, ), составить уравнение гиперболы 10 Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами на асимптотах (считая от центра гиперболы), равны действительной полуоси Пользуясь этим свойством, построить директрисы гиперболы 11* Доказать, что директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра, опущенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы Вычислить длину этого перпендикуляра 1 Вычислить полуоси гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами равно 6; ) директрисы даны уравнениями х= ± и угол между асимптотами прямой; ) асимптоты даны уравнениями у=± х и фокусы находятся на расстоянии от центра; ) асимптоты даны уравнениями у=± / х и гипербола проходит через точку N(6;9) 1 Написать уравнения двух сопряженных гипербол, зная, что расстояние между директрисами первой из лих равно 7, и расстояние между директрисами второй равно 18 1* Составить уравнение гиперболы, оси симметрии которой совпадают с 1

6 осями координат, если дана точка пересечения Р (+,; +,) одной из асимптот с одной из директрис этой гиперболы 1 Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой: 1) эксцентриситет е = ; ) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами 16 Вычислить эксцентриситет гиперболы при условии, что: 1) угол между асимптотами равен 60 ; ) угол между асимптотами равен 90 ; ) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной гиперболы под углом в Дана равносторонняя гипербола х у = 8 Найти софокусную гиперболу, проходящую через точку М( ;) 18 На гиперболе = 1взята точка, абсцисса которой равна 10 и ордината положительна Вычислить фокальные радиусы-векторы этой точки и угол между ними 19 На гиперболе = 1найти точку, для которой: ) фокальные радиусы-векторы перпендикулярны друг к другу; ) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого 10 Какому условию должен удовлетворять эксцентриситет гиперболы = 1 для того, чтобы на ее правой ветви существовала точка, одинаково удаленная от правого фокуса и от левой директрисы? 11 Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух асимптот есть величина постоянная 1 На гиперболе = 1найти точку, которая была бы в три раза ближе 9 16 от одной асимптоты, чем от другой 1 Найти точки пересечения гиперболы = 1 со следующими прямыми: 1) х у = 0; ) х: у + = ; ) х + у 18 = 0; ) 10х у + 1 = 0 1 Через точку (+; ) провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы х у = 1* Доказать, что геометрическое место середин параллельных хорд гиперболы = 1 есть диаметр 16 Проверить, что оси гиперболы = 1 являются единственными диаметрами, перпендикулярными к тем хордам, которые они делят пополам 17* Доказать, что стороны любого прямоугольника, вписанного в гиперболу

7 = 1параллельны ее осям 18 Найти вершины квадрата, который вписан в гиперболу = 1 и исследовать, в какие гиперболы возможно вписать квадрат 19 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее оси а=10 и =8; ) расстояние между фокусами с=10 и ось =8; ) расстояние между фокусами с=6 и эксцентриситет ε = ; ) ось а=16 и эксцентриситет ε = ; ) уравнения асимптот = ± и расстояние между фокусами с=6; 6) расстояние между директрисами равно 1 и расстояние между фокусами с=6; 7) расстояние между директрисами равно и ось =6; 8 8) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ε = ; 9) уравнения асимптот = ± и расстояние между директрисами равно 1 10 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее полуоси а=6, =18; ) расстояние между фокусами с=10 и эксцентриситет ε = ; 1 ) уравнения асимптот = ± и расстояние между вершинами равно 8; 1 7 ) расстояние между директрисами равно 7 и эксцентриситет ε = ; 7 ) уравнения асимптот = ± и расстояние между директрисами равно 6 11Определить полуоси а и каждой из следующих гипербол: 1) = 1 9 ; ) = 16 1 ; ) = 16 ; ) = 1; ) 9 = ; 6) 16 = 1; 7) 9 6 = 1

8 1 Дана гипербола 16х -9у =1 Найти: 1) полуоси а и ; ) фокусы; ) эксцентриситет; ) уравнения асимптот; ) уравнения директрис 1 Дана гипербола 16х -9у =-1 Найти: 1) полуоси а и ; ) фокусы; ) эксцентриситет; ) уравнения асимптот; ) уравнения директрис 1 Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы = 1и прямой 9х+у-=0 9 1 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) = + 9,) = + 1 ) = + 9,) = + + Изобразить эти линии на чертеже 16 Дана точка М 1 (10;- ) на гиперболе = прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М 1 Составить уравнения 17 Убедившись, что точка М 1 (-;9/) лежит на гиперболе = 1, определить фокальные радиусы точки М 1 18 Эксцентриситет гиперболы ε =, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16 Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы 19 Эксцентриситет гиперболы ε =, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой 160 Эксцентриситет гиперболы ε =, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(1;0) Вычислить расстояние от точки М 1 гиперболы с абсциссой, равной 1, до директрисы, соответствующей заданному фокусу 161 Эксцентриситет гиперболы ε = 16, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х=-8 Вычислить расстояние от точки М 1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе 16 Определить точки гиперболы = 1, расстояние которых до правого фокуса равно, 6 16 Определить точки гиперболы = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 7 16 Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой 9 16 Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы 1 (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана) = 16

9 166 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: 17 Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и, центр С (х 0, 1) точки М 1 (6;-1) и М (-8; ) гиперболы; ) точка М 1 (-;) гиперболы и эксцентриситет ε = ; ) точка М 1 (9/;-1) гиперболы и уравнения асимптот = ± ; ) точка М 1 (-;/) гиперболы и уравнения директрис = ± ; 16 ) уравнения асимптот = ± и уравнения директрис = ± 167 Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы 168 Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса + = 1 Составить 9 уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε = 170 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса + = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы = 1до ее асимптоты равно 17 Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы = 1до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная + 17 Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы = 1 и прямыми проведенными через любую ее точку параллельны асим- птотам, есть величина постоянная, равная у 0 ) и фокусы расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; ) параллельной оси Оу 17 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис: 1) = 0; ) = 0; ) = Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

10 1) = 1 + ) = 7 ; 6 + 1; ) = ; ) = + 1 Изобразить эти линии на чертеже 177 Составить уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между ее вершинами равно и фокусы суть F 1 (-10;), F (16;); ) фокус суть F 1 (;), F (-;-) и расстояние между директрисами равно,6; ) угол между асимптотами равен 90 и фокусы суть F 1 (;-), F (-;) 178 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет, фокус F (;0) уравнение соответствующей директрисы х-16=0 179 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет 6 ε = 1 = 1 ε, фокус F (0;1) и уравнение соответствующей директрисы 1у-1=0 180 Точка А (-;-) лежит на гиперболе, фокус которой F (-;-), а соответствующая директриса дана уравнением х+1=0 Составить уравнение этой гиперболы 181 Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε =, фокус F (;-) и уравнение соответствующей директрисы х-у+=0 18 Точка М 1 (1;-) лежит на гиперболе, фокус которой F (-;), соответствующая директриса дана уравнением х-у-1=0 Составить уравнение этой гиперболы 18 Дано уравнение равносторонней гиперболы х -у =а Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты 18 Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху=18, ) ху-9=0, ) ху+=0 18 Найти точки пересечения прямой х-у-10=0 и гиперболы = Найти точки пересечения прямой х-у-16=0 и гиперболы = 1 16 = Найти точки пересечения прямой х-у+1=0 и гиперболы Написать уравнение множества точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек F 1 (, 0) и F (, 0) равен Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих гипербол: а) 9х у 6 = 0; в) у = 0; б) 16у 1=0; г) 10 у 10 = Найти площадь S прямоугольника, вершины которого лежат, на гиперболе = 1, а две стороны проходят через фокусы параллельно оси Оу Вычислить S для случая, когда а = 0 и = 10

11 191 Составить каноническое уравнение гиперболы, если: а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10; б) вещественная полуось равна и гипербола проходит через точку (6, ); в) расстояние между директрисами равно 8/ и эксцентриситет ε=/ 19 Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис следующих гипербол: а) х 9у =6; б) 16 9у =1 19 Составить каноническое уравнение гиперболы, если: а) гипербола проходит через точки (, 0) и ( 17, ); б) гипербола проходит через точку (, ) и имеет эксцентриситет е= в) гипербола имеет асимптоты у ± х = 0 и директрисы х± 16 = 0; г) гипербола является равнобочной и проходит через точку (, 1) 19 Составить каноническое уравнение гиперболы, если: а) угол между асимптотами равен 60 и гипербола проходит через точку M 1 (,); б) угол между асимптотами равен 60 и гипербола проходит через точку М (6,) 19 Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом + = 1 10 и проходящей через точку М (, ) 196 Для равнобочной гиперболы = 1 написать уравнение софокусной с 9 9 ней гиперболы, проходящей через точку М (, ) = Дана гипербола 1 Написать уравнение сопряженной с ней гиперболы; найти эксцентриситеты, директрисы и асимптоты данной и сопряженной гипербол 198 По данному эксцентриситету в каждом из следующих случаев определить угол между асимптотами гиперболы: а) е = ; б) е = ; в) е = 199 Точка М называется внутренней точкой гиперболы, если любая секущая, проходящая через эту точку и не параллельная асимптотам, пересекает гиперболу в двух различных точках; внешней точкой гиперболы называется точка, не лежащая на гиперболе и не являющаяся внутренней Доказать, что точка М (х, у) является внутренней точкой гиперболы в том и только в том случае, если 1> 0; точка N (х, у) является внешней точкой гиперболы в том и только в том случае, если 1< 0 00 Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, построить области, определяемые следующими системами неравенств: 9х 16у + 1 > 0, х у > 0, а ) б ) 6 < 0, + 1 < 0; > 0; 7

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Линии второго порядка

Линии второго порядка Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Укажите номера верных утверждений. 1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат.

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ)

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) 1) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2) Существуют три

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Е. А. Ширяева ( Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ

Е. А. Ширяева (  Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ Задание. Укажите (обведите) номера верных утверждений. I) Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы) 1. Точка, лежащая на серединном

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Диаметр кривой второго порядка и сопряжённые направления

Диаметр кривой второго порядка и сопряжённые направления Диаметр кривой второго порядка и сопряжённые направления Напомним известные свойства окружности. Угол, опирающийся на диаметр прямой. Касательная и диаметр, проведённый через точку касания перпендикулярны.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Анализ геометрических высказываний

Анализ геометрических высказываний Анализ геометрических высказываний 1. 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее