4. Векторная алгебра

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "4. Векторная алгебра"

Транскрипт

1 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2; 3; 5) при прямолинейном перемещении этой точки в положение В(3; 2; 1) 13 Даны вершины треугольника АВС: А(1; 1; 2) В(4; 1; 2) С(1; 3; 1) Вычислить длину его высоты опущенной из вершины В на сторону АС 14 Даны вершины тетраэдра АВСD: А(2; 3; 1) В(4; 1; 2) С(6; 3; 7) D( 5; 4; 8) Найти объем тетраэдра и длину его высоты опущенной из вершины D 15 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов Вычислить угол между ними Вариант 2 21 Вычислить при каком значении векторы a ( ; 3; 2) b ( 1; 2; ) взаимно перпендикулярны 22 Сила F ( 3; 2; 4) приложена к мочке М 0 (4; 2; 3) Вычислить момент этой силы относительно точки А(3; 2; 1) 23 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах a p 2q и b 2 p q где p и q единичные векторы угол между которыми / 3 24 Даны вершины пирамиды ОАВС: О(0; 0; 2) А(5; 2; 0) В(2; 5; 0) С(1; 2; 4) Вычислить ее объём площадь грани АВС и высоту опущенную на эту грань из вершины О 25 Какой угол составляют единичные векторы s и t если известно что векторы перпендикулярны? p s 2t и q 5s 4t взаимно Вариант 3 31 Даны вершины треугольника: А( 1; 2; 4) В( 4; 2; 0) С(2; 2; 1) Найти его внутренний угол при вершине В и

2 16 32 Даны три силы F (2; 1; 3) F (3; 2; 1) 1 2 F 3 ( 4; 1; 3) приложенные к точке С( 1; 4; 2) Вычислить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(2; 3; 1) 33 Вектора s и t образуют угол / 6 Найти угол между векторами p s t и q s t если s 3 t 1 34 Даны вершины пирамиды ОАВС: О(2; 0; 0) А(0; 3; 0) В(0; 0; 6) С(2; 3; 8) Вычислить ее объём и высоту опущенную на грань АВС 35 Доказать что треугольник с вершинами А(5; 4) В(3; 2) С(2; 5) является прямоугольным Вариант 4 41 Доказать что точки А(2; 1; 2) В(1; 2; 1) С(2; 3; 0) и D(5; 0; 6) лежат в одной плоскости 42 Найти работу равнодействующей трех сил F (3; 4; 2) 1 F 2 (2; 3; 5) F 3 ( 3; 2; 4) если точка их приложения перемещается прямолинейно из точки М 1 (5; 3; 7) в точку М 2 (4; 1; 4) 43 Найти площадь треугольника построенного на векторах a 3 p q и b p 2q если p 3 q 2 ( p ) / 3 44 Объем тетраэдра V = 5 три его вершины находятся в точках А(2; 1; 1) В(3; 0; 1) С(2; 1; 3) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Оу 45 Вычислить коэффициенты и если известно что векторы a i 5 j k и b 3 i j k коллинеарны Вариант 5 51 Даны три вектора: a 3 i 6 j k b i 4 j 5k c 3 i 4 j 12k Найти Пр ( a b) c 52 Сила F ( 3; 2; 4) приложена к точке А(2; 1; 1) Вычислить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат q

3 17 53 Вектора a и b образуют угол / 6 Вычислить угол между векторами p a 2b и q 3 a b если a 3 b 1 54 Даны вершины пирамиды АВСD: D(1; 2; 3) А(3; 4; 5) В(0; 2; 0) С(5; 0; 0) Вычислить объём пирамиды площадь грани АВС и высоту пирамиды опущенную из вершины D 55 Найти аппликату вектора p если известны две его координаты x 3 y 9 и длина p 12 Вариант 6 61 Вычислить проекцию вектора a 5 i 2 j 5k на направление вектора b 2 i j 2k 62 Вычислить работу силы F 3 i 5 j 2k если точка её приложения перемещается из начала в конец вектора S 2 i 5 j 7k 63 Даны вершины треугольника АВС: А(1; 2; 8) В(0; 0; 4) С(6; 2; 0) Вычислить его площадь и высоту опущенную из вершины В на сторону АС 64 Даны вершины тетраэдра АВСD: А(0; 0; 0) В(3; 4; 1) С(2; 3; 5) D(6; 0; 3) Найти его объем площадь грани ВСD и высоту опущенную из вершины А 65 Найти длину и направляющие косинусы вектора a 3 m 5n p если m 4 i 7 j 3k n i 2 j k p 2 i 3 j k Вариант 7 71 Даны длины векторов a и b : a 3 b 5 каком значении векторы перпендикулярны Вычислить при p a b и q a b взаимно 72 Сила F (2; 2; 9) приложена к мочке А(4; 2; 3) Вычислить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0)

4 18 73 Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах b p a 3b и q 3a b если a b 1 ( a ) / 6 74 Даны вершины пирамиды АВСD: D(5; 0; 3) А(2; 1; 5) В(4; 0; 8) С(6; 2; 6) Вычислить объём пирамиды площадь грани АВС и высоту опущенную из вершины D на эту грань 75 Даны векторы a 3i j 4k и b i 2 j 6k Найти вектор c который перпендикулярен оси Оz и удовлетворяет условиям ( c a ) 9 ( c b ) 4 Вариант 8 81 Даны вершины треугольника АВС: А(3; 2; 3) В(5; 1; 1) С(1; 2; 1) Вычислить его внешний угол при вершине А 82 Сила F ( 3; 4; 2) приложена к точке С(2; 1; 2) Вычислить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат 83 Найти угол между векторами a 2m 4n и b m n где m и n единичные векторы угол между которыми 2 / 3 84 Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: О(0; 0; 0) А(5; 2; 0) В(2; 5; 0) С(1; 2; 4) Вычислить ее объём площадь грани АВС и высоту опущенную на грань АВС 85 К одной и той же точке приложены две силы P и Q действующие под углом величину равнодействующей силы R 120 причем P 7 Q 4 Найти Вариант 9 91 Доказать что четыре точки А(1; 2; 1) В(0; 1; 5) С( 1; 2; 1) и D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости 92 Найти работу силы F при перемещении S если F 2 S S 5 ( F ) / 6

5 19 93 Вычислить площадь треугольника построенного на векторах p a 2b и q 3a 2b если a b 5 ( a b ) / 4 94 Объем тетраэдра V = 10 три его вершины находятся в точках А(1; 2; 1) В(4; 8; 7) С( 1; 2; 2) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Оz 95 Вычислить длину вектора p a b c если a b c взаимно перпендикулярные векторы соответствующие проекции Вариант Даны три вектора: a i 3 j 4k b 3 i 4 j 2k c i j 4k Найти Пр a (bc) 102 Сила F ( 3; 4; 2) приложена к точке А(2; 1; 3) Вычислить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат 103 Вычислить длину диагонали параллелограмма построенного на векторах a 2 m n и b m 2n где m и n единичные векторы угол между которыми / Вычислить объём тетраэдра построенного на векторах OA OB и OC если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна a 105 Вектор a коллинеарный вектору b (12; 16; 15) составляет с осью Оу тупой угол Найти его координаты если известно что a 100 Вариант Найти координаты вектора b коллинеарного вектору a ( 3; 1; 4) и удовлетворяющего условию ( b a) Сила F i 2 j 3k приложена к точке А( 1; 3; 4) Найти момент этой силы относительно начала координат 113 Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках А( 2; 1; 2) В(1; 0; 9) С(3; 3; 4)

6 Вершины тетраэдра находятся в точках А(1; 1; 1) В(2; 0; 2) С(2; 2; 2) D(3; 4; 3) Найти высоту h DE 115 Найти единичный вектор перпендикулярный векторам a (1; 1; 2) и b (2; 1; 1) Вариант Найти координаты вектора b коллинеарного вектору a (2; 3) имеющего длину b Сила F i j 2k приложена к точке М(2; 1; 5) Найти момент этой силы относительно точки А( 1; 3; 4) 123 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах a m 3n и b m 4n где m 1 n 2 ( m n ) Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: D(3; 7; 2) А(0; 0; 1) В(2; 3; 5) С(6; 2; 3) Найти высоту опущенную на грань ВСD 125 Вычислить a b a c b c если известно a 3 b 1 c 4 a b c 0 Вариант Дан вектор a (1; 3; 4) Найти коллинеарный ему вектор начало которого совпадает с точкой А(1; 2; 8) а конец с точкой В лежащей в плоскости хоу 132 Найти работу равнодействующей двух сил F 2 i j 3k и 1 F2 3 i j k при прямолинейном перемещении точки их приложения из начала координат в точку А(3; 2; 1) 133 Вычислить площадь треугольника построенного на векторах p a 2b и q 3a 8b если a 2 b 3 ( a ) 3 / Найти высоту параллелепипеда построенного на векторах a 2 i j 3k b i 2 j k и c i 3 j k опущенную на грань образованную векторами b и c b

7 Вектор c перпендикулярный к векторам a i j k и b i j 3k составляет с осью Oz тупой угол Найти его координаты если c 3 Вариант Даны векторы a ( 6; 8; 5 2) и b ( 2; 4; 2) Найти угол который составляет вектор a b с осью Oz 142 Сила F 2 i 4 j 5k приложена к точке А(4; 2; 3) Найти момент этой силы относительно точки О(3; 2; 1) 143 Найти площадь треугольника АВС если его вершины находятся в точках А(11; 2; 5) В(2; 1; 7) С( 2; 1; 3) 144 Вершины тетраэдра находятся в точках А(1; 2; 3) В( 2; 4; 1) С(7; 6; 3) D(4; 3; 1) Найти высоту опущенную на грань АВС 145 Вектор a коллинеарный к вектору b i 2 j 2k составляет с осью Oz острый угол Найти его координаты если a 129 Вариант Найти координаты единичного вектора c который перпендикулярен векторам a (1; 1; 0) и b (0; 1; 1) 152 Вычислить работу силы F i 2 j k при перемещении материальной точки из положения А( 1; 2; 0) в положение В(2; 1; 3) 153 Вычислить площадь параллелограмма диагоналями которого служат векторы 2 p q и 4 p 5q если p q 1 q ( p ) / Объем тетраэдра V = 12 три его вершины находятся в точках А(2; 3; 1) В(4; 1; 2) С(6; 3; 7) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Оz

8 Найти координаты единичного вектора который лежит на биссектрисе угла образованного векторами a (2; 3; 6) и b ( 6; 7; 6) Вариант Найти угол между векторами 9a и b / 9 если a ( 2; 1; 2) b ( 5; 1; 1) 162 Объем тетраэдра V = 2 три его вершины находятся в точках А(1; 2; 1) В(2; 1; 1) С( 1; 2; 1) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Ох 163 Про векторы a и b известно что a 5 b 9 и ( a b) 27 Найти модуль векторного произведения [ a b] 164 Найти коэффициенты и если известно что векторы a ( 1; 2 ; 3) и b ( 3; 12; ) коллинеарны 165 Даны три вектора: a 2 i j k b i 5 j c 4i 4 j 2k Найти Пр (3a 2b ) Вариант 17 c 171 Вычислить a b a c b c если известно a 5 b 2 c 7 a b c Даны векторы a 3 i j 5k b i 2 j 3k Найти вектор x удовлетворяющий условию ( x a ) 9 ( x b ) 4 ( x k ) 0 где k (0; 0; 1) 173 Сила F 3 i 2 j 4k приложена к точке А(2; 1; 1) Найти момент этой силы относительно начала координат

9 Вектор c перпендикулярен к векторам a и b угол между которыми равен a 6 b c 3 30 Найти ( a b c ) если известно что 175 В тетраэдре объемом V = 12 вершины находятся в точках А(1; 1; 1) В(2; 0; 2) С(2; 2; 2) D(3; 4; 3) Найти высоту h DE Вариант Найти угол между векторами a и b если 2 ( a 2b ) ( 3a b ) =110 a 1 b Найти проекцию вектора 2 m n на вектор 3m 2n если m 2 n 3 ( m n ) Три ненулевых вектора a b и c связанных соотношением a [ b c ] b [ c a ] c [ a b ] Найти длины векторов a b c и угол между ними 184 Стороны треугольника АВС лежат на векторах AB ( 3; 1; 2) BC (2; 0; 1) найти длину высоты AD 185 В тетраэдре объемом V = 2 вершины находятся в точках А(3; 2; 5) В(2; 4; 1) С(3; 10; 17) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Ох Вариант Найти угол между векторами a и b если a 4 b и вектор a 2b перпендикулярен вектору a 5b 192 Найти координаты единичного вектора перпендикулярного векторам a i j 2k b 2 i j k 193 Найти площадь параллелограмма сторонами которого служат векторы a i 3 j k b 2i j 3k 194 Вершины тетраэдра находятся в точках А(5; 1; 4) В(1; 2; 1) С(3; 3; 4) D(2; 2; 2) Найти его объем

10 Сила F 5 i 6 j 7k приложена к точке А(1; 1; 1) Найти момент этой силы относительно начала координат а так же направляющие косинусы этого момента Вариант Найти длину векторов a и b а так же угол между ними ( 1 e 2 если a e 1 e2 b 3e1 e2 e 1 2 e 2 1 e ) Вычислить при каком значении векторы a 7 i 8 j k и b i 2 j 3k взаимно перпендикулярны 203 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах p 2 a b и q 5a 8b если a 2 b 3 ( a b ) Вершины тетраэдра находятся в точках А(1; 2; 3) В( 2; 4; 1) С(7; 6; 3) D(4; 3; 1) Найти объём тетраэдра площадь грани АВС и высоту которая опущена на грань АВС 205 Найти кратчайшее расстояние от точки А(3; 4; 2) до прямой которая проходит через точку В(1; 2; 3) параллельно вектору c 6i 6 j 7k Вариант Даны векторы a 3 i j 4k b i 2 j 6k Найти вектор x перпендикулярный оси Oz и удовлетворяющий условию ( x a ) 9 ( x b ) Сила F i 5 j 6k приложена к точке С(4; 2; 1) Найти момент этой силы относительно точки А(1; 3; 4) 213 Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(1; 2; 1) В(2; 4; 5) С(3; 2; 1) 214 Вершины тетраэдра находятся в точках А(1; 2; 3) В(2; 1; 0) С(3; 0; 2) D(1; 1; 3) Найти его объём площадь грани АВС и высоту тетраэдра опущенную из вершины D 215 Векторы AB ( 2; 6; 4) и AC ( 4; 2; 2) совпадают со сторонами треугольника АВС Определить координаты векторов приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ ВN СР

11 25 Вариант Векторы a b c единичные; ( a b ) 60 а вектор c им перпендикулярен Найти длину вектора a + b + c 222 Даны три силы F 1 (2; 1; 1) F 2 (3; 2; 1) F 3 ( 4; 1; 3) приложенные к точке С( 1; 4; 2) Вычислить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(2; 3; 1) 223 Найти площадь параллелограмма построенного на векторах p 3 a b и q a 2b если a 1 b 2 ( a b ) Вершины пирамиды находятся в точках А(4; 2; 3) В(3; 1; 5) С(2; 5; 1) D(7; 3; 5) Найти объём пирамиды площадь грани АВС и ее высоту опущенную из вершины D 225 Векторы a и b образуют угол / 6 Зная a 3 b 1 вычислить угол между векторами p a b и q a b Вариант Найти проекцию вектора a на вектор b если a i j 2k b 2i j 2k 232 Векторы a b c имеют равные длины и составляют попарно равные углы Найти координаты вектора c если a i j b j k 233 Сила F ( 3; 5; 7) приложена к точке М 0 (5; 3; 9) Найти момент этой силы относительно точки А(4; 1; 8) 234 Вершины пирамиды находятся в точках А(5; 3; 2) В(4; 1; 4) С(6; 4; 1) D(3; 0; 4) Найти ее объём площадь грани АВС и высоту пирамиды опущенную из вершины D 235 Векторы a коллинеарный вектору b 12i 16 j 15k составляет с осью Oy тупой угол Найти координаты вектора a если известно что a 100

12 26 Вариант Найти проекцию вектора 2 m n на вектор 3m 2n если m 2 n 3 ( m n ) 2 / Даны два вектор a = (1; 0; 1) и b = (5; 2; 4) Найти единичный вектор e который лежит в плоскости векторов a и b и составляет угол 45 с вектором a 243 Найти площадь треугольника построенного на векторах p a b и q a 9b если a 2 b 1 ( a b ) Объемом тетраэдра V = 2 три его вершины находятся в точках А(1; 2; 1) В(2; 1; 1) С( 1; 2; 2) Найти координаты его четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Ox 245 Векторы a b c попарно образуют друг с другом углы каждый из которых равен 60 Зная что a 4 b 2 c 6 определить модуль вектора p a b c Вариант Найти коэффициенты и если известно что вектора i 2 j 3k и 3 i 12 j k коллинеарны 252 Векторы a b c лежат в одной плоскости и составляют попарно друг с другом углы каждый из которых равен 120 Разложить вектор a по векторам b и c если a 4 b 3 c Вычислить площадь треугольника построенного на векторах p a 5b и q 5a 6b если a 1 b 4 ( a b ) / Вершины пирамиды находятся в точках А(1; 2; 3) В(0; 1; 0) С(3; 0; 0) D(1; 4; 2) Найти ее объём площадь грани АВС и высоту пирамиды опущенную из вершины D 255 Даны разложения векторов служащих сторонами треугольника по двум взаимно-перпендикулярным ортам:

13 27 AB 5a 2b BC 2a 4b CA 7a 2b Вычислить длины медианы AM и высоты AD треугольника АВС Вариант Дано a 3 b 5 Определить при каком значении векторы a b и a b будут взаимно перпендикулярны 262 В тетраэдре с вершинами в точках А(1; 1; 1) В(2; 0; 2) С(2; 2; 2) D(3; 4; 3) вычислить высоту h DE 263 Вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы 60 и что a Вычислить его координаты при условии 264 Вычислить работу силы F i 2 j k при перемещении материальной точки из положения А( 1; 2; 0) в положение В(2; 1; 3) 265 Вершины тетраэдра находятся в точках А(0; 1; 3) В( 4; 7; 8) С(6; 2; 4) D( 1; 5; 4) Найти высоту тетраэдра опущенную из вершины D на грань ABC Вариант Вычислить какую работу производит сила F ( 3; 5; 2) когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора S ( 2; 5; 7) 272 Найти вектор x перпендикулярный к векторам a 4 i 2 j 3k и b j 3k образующий с осью Oy тупой угол если его длина x Для заданных векторов a ( 2 1 1) b (1 2 1) c (3 4 1) вычислить проекцию вектора a b на вектор ( a b) c 274 Объем тетраэдра V = 12 три его вершины находятся в точках А(2; 3; 1) В(4; 1; 2) С(6; 3; 7) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Оz

14 Даны векторы a ( 4 2 4) и b ( 6 3 2) Вычислить 2 a и Вариант 28 ( a b) Найти вектор x перпендикулярный к векторам a 2 i 3 j k и b i 2 j 3k удовлетворяющий условию x ( i 2 j 7 k) Вычислить длину диагоналей параллелограмма построенного на векторах a p 3q b 5 p q если известно что p 2 2 q 3 ( p q ) / При каком векторы a (; 3; 1) b ( 1 0) c ( 0 1) будут компланарны? 284 Объем тетраэдра V = 5 три его вершины находятся в точках А(2; 1; 1) В(3; 0; 1) С(2; 1; 3) Найти координаты четвертой вершины D если известно что она лежит на оси Оу 285 Вершины треугольника находятся в точках А(1; 1; 2) В(5; 6; 2) С(1; 3; 1) Вычислить длину его высоты опущенной из вершины В на сторону АС Вариант Определить угол между векторами a и b если известно что a b 2 a 2b 2 и a 1 b Вершины треугольника находятся в точках А( 1; 2; 4) В( 4; 1; 2) С( 5; 6; 4) BD его высота проведенная из вершины В на сторону АС Найти координаты точки D 293 Даны вершины пирамиды ОАВС: О(2; 0; 0) А(0; 3; 0) В(0; 0; 6) С(2; 3; 8) Вычислить ее объём и высоту опущенную на грань АВС 294 Вычислить при каком значении векторы a ( ; 3; 2) и b ( 1; 2; ) взаимно перпендикулярны 295 Дано: a 3 26 b b 72 a Вычислить a b

15 29 Вариант Даны вершины четырехугольника: А(1; 2; 2) В(1; 4; 0) С( 4; 1; 1) D( 5; 5; 3) Доказать что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны 302 Определить при каких значениях и вектор i 3 j k будет коллинеарен вектору a b если a 3 i j k и b i 2 j 303 Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: О(0; 0; 0) А(5; 2; 0) В(2; 5; 0) С(1; 2; 4) Вычислить ее объём площадь грани АВС и высоту опущенную на грань АВС 304 Дан модуль вектора a 2 и углы Вычислить проекции вектора a на координатные оси 305 Даны три силы F 1 (2; 1; 1) F 2 (3; 2; 1) F 3 ( 4; 1; 3) приложенные к точке С( 1; 4; 2) Вычислить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(2; 3; 1)

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3 Вариант 1. 1. Вычислить определитель 5 1 4 1 1 4 1 5. 4 1 8 1 3 2 6 2 С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В=1 1 2 1 1. 2+6+5 =1 5+3 2 =0. 7+4 3 =2 2 3 4 12 1 1 1 Х= 2. 5 4 2 1 3 +4 =1 7 +3 5 +5 =10. 2 +2 3 +2 =3 6.

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Э.Н. Подскребко Векторная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Контрольные вопросы В вопросах 1 8 рассматриваются точки A ( 3;

Контрольные вопросы В вопросах 1 8 рассматриваются точки A ( 3; Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A ( ; ; ), B( ; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B( 1; 1; 1) до начала

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по выполнению практических заданий для студентов I курса направления подготовки

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Практикум по высшей математике. Кафедра прикладной математики и информатики ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика» 2 8 7 4 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я по дисциплине «Высшая математика» МОСКВА - 2008 М ОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс Количество контрольных работ по математике класс количество из них контрольных работ по алгебре по геометрии итоговая к/р 10 класс 12 7 4 1 11 класс 13 7 5 1 10 класс Алгебра Геометрия КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

КАФЕДРА «ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

КАФЕДРА «ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Министерство высшего и среднего специального образования Андижанский машиностроительный институт КАФЕДРА «ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Андижан 08 УТВЕРЖДЕНО: Рассмотрено и утверждено учебно-методическим

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 вариант 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие

Подробнее