Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема"

Транскрипт

1 Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение двух прямых на плоскости 5 Расстояние от точки до прямой 6 Угол между двумя прямыми Структурно-логическая схема Способы задания прямой Прямая на плоскости Расстояние от точки до прямой Расстояние между параллельными Точкой и направляющим вектором Уравнение прямой Взаимное расположение прямых Параллельны Двумя точками Каноническое «в отрезках Общее уравнение Совпадают Пересекаются Параметрическое С угловым коэффициентом Особенности расположения в системе координат Полуплоскости Угол между прямыми Ключевые термины и понятия Направляющий вектор прямой, нормальный вектор прямой, каноническое уравнение прямой, параметрические уравнения прямой, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках», общее уравнение прямой, полуплоскость, взаимное расположение прямых, совпадающие прямые, параллельные прямые, пересекающиеся прямые, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой Уравнение прямой на плоскости Особенности расположения прямой в системе координат Полуплоскости Основные факты Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором Положение прямой определяется однозначно, если даны направляющий вектор прямой и некоторая ее точка или две точки прямой 7

2 Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Oe e и в этой системе известны координаты некоторой точки М 0 (х 0,у 0 ) прямой d и направляющего вектора a (а,а ) этой прямой () () x x а 0 y y а x x0 + at y y0 + at 0 каноническое уравнение прямой параметрические уравнения прямой с параметром t Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Oe e и в этой системе известны координаты двух точек М (х, у ) и М (х, у ) данной прямой d (3) x x x x y y y y уравнение прямой, заданной двумя точками Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Oe e и дана прямая d, пересекающая ось ординат Если a (а,а ) направляющий вектор прямой, то число a k называется угловым коэффициентом прямой d a Если прямая задана в прямоугольной системе координат Oi j, то угловой коэффи- k tgϕ циент, где ϕ угол наклона прямой d к оси Ох Пусть прямая d задана в аффинной системе координат точкой М 0 (х 0,y 0 ) и угловым коэффициентом k (4) у уоk(х хо) уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом Если в качестве точки М(х 0,у 0 ) взять точку В(0,b) пересечения прямой d с осью ординат, то уравнение (4) примет вид: (5) ykx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом Если в аффинной системе координат Oe e задана прямая d, которая отсекает на оси Ох отрезок а, а на оси Оу отрезок b, то можно составить уравнение прямой «в отрезках»: х у (6) + а b Прямая является алгебраической линией первого порядка и любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая Теорема Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (7) Ах+Ву+С0, есть прямая Вектор ( В,А) является направляющим вектором этой прямой 7

3 Уравнение (7) называется общим уравнением прямой, а х и у называются текущими координатами точки прямой Пусть в аффинной системе координат Oe e дана прямая общим уравнением (7) Если некоторые из чисел А, В и С равны нулю, то прямая обладает следующими особенностями расположения относительно системы координат: ) прямая проходит через начало координат С0; ) прямая параллельна Ох А0, С 0; прямая совпадает с Ох А0, С0; 3) прямая параллельна Оу В0, С 0; прямая совпадает с Оу В0, С0; 4) прямая параллельна Оу В0, С 0; 5) прямая совпадает с Оу В0, С0 Прямая d разделяет множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на два непересекающихся подмножества Эти подмножества называют полуплоскостями с общей границей d Теорема Если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением (7), то полуплоскости с границей d определяются аналитически неравенствами: (8) Ах+Ву+С>0, (9) Ах+Ву+С<0 Примеры решения типовых задач Задача Даны вершины треугольника: А(8,4), В(, 6), С( 4, ) Составить уравнения трех его сторон Зная координаты вершин, можно составить уравнения каждой из сторон треугольника по формуле (3): АВ: АС: ВС: x+ y x+ 4 y+ 6 x+ 4 + y 8 6, х+у+, х у0;, 4(х+4)3(у+), 4х+3у+00;, 3(х+4) 4(у+), 3х+4у+600 Задача Найти уравнения: а) медианы, проведенной из вершины В; б) биссектрисы угла С; в) высоты, проведенной из вершины А на сторону ВС треугольника АВС, заданного координатами своих вершин в задаче а) Найдем предварительно координаты точки D середины отрезка АС: 8 + ( 4) 4 + ( ) х D, у D 4 Тогда уравнение медианы BD по формуле (3) 73

4 имеет вид: x + 4 y 4, х 7(у+4), х 7у 300 б) Если Е точка пересечения биссектрисы угла со стороной АВ, то по свойству биссектрисы угла треугольника получим АЕ:ВЕАС:ВС + 6 0, ВС ; точка Е делит отрезок АВ в Далее, имеем: АС х А + λх В 8 + ( ) 6 отношении λас:вс, поэтому: х Е, + λ + 3 у А + λу В 4 + ( 6) 8 у Е + λ + 3 х + 4 у + Следовательно, по формуле (3) уравнение биссектрисы СЕ имеет вид: 4 8, 3 3 7х+у+400 в) Так как вектор n (3,4), будучи нормальным вектором прямой ВС, является для искомой высоты направляющим вектором, то ее уравнение имеет вид: х 8 у 4, 4(х 8)3(у 4), 4х+3у Задача 3 Составить уравнение прямой d, которая проходит через точку М(, ) параллельно прямой d : 4х 7у+0 Из уравнения прямой d следует, что координаты направляющего вектора этой прямой а (7,4) Так как прямые параллельны, то тот же вектор является направляющим и х у + для прямой d Тогда можно составить каноническое уравнение прямой d :, 7 4 4(х )7(у+), 4х 7у 50 Задача 4 Найти уравнение перпендикуляра d, опущенного из точки М( 5,) на прямую d : 4х у+30 способ Из уравнения прямой d следует, что координаты нормального вектора этой прямой n (4, ) Так как прямые перпендикулярны, то этот вектор является направляющим для х + 5 у прямой d Тогда можно составить каноническое уравнение прямой d :, 4 (х+5)4(у ), х+4у 30 способ Из уравнения прямой d следует, что координаты направляющего вектора этой прямой а (,4) Так как прямые перпендикулярны, то этот вектор является нормальным для прямой d Тогда уравнение прямой d будем искать в виде: х+4у+с0 Тк прямая d проходит через точку М, то подставив координаты этой точки в последнее равенство, найдем значение коэффициента С:

5 5+4 +С0, С 3 Итак, d : х+4у 30 Задача 5 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(,) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной кв ед Уравнение прямой будем искать в виде (6) Поскольку точка С лежит на искомой прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (6) Тогда получим уравнение a+bab Далее, так как площадь S треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, определяется формулой Sab/ в случае, когда a и b одного знака, и S ab/ в случае, когда a и b разных знаков Из условия задачи следует, что ab±4 Тогда получим две системы уравнений: a + b 4 и a + b 4 ab 4 ab 4 Решая эти системы, получаем: а, b ; а +, b ; а 3, b 3 + Таким образом, условию задачи удовлетворяют три прямые: х+у 0, (+ )х+( )у 0, ( )х+(+ )у 0 Задача 6 Установить, пересекает ли прямая х+3у 50 отрезок АВ, если А(,), В(, 3) Пусть f(х,у)х+3у 5 Находим: f(,) ( )+3 5<0, f(, 3) +3 ( 3) 5<0 Тк получили значения одного знака, то точки А и В лежат в одной полуплоскости относительно данной прямой, значит, эта прямая не пересекает отрезок АВ Задачи для самостоятельного решения Составить уравнения прямых (ВС) и (СА) по данным координатам вершин А и В и центра тяжести G треугольника АВС: а) А(, ), В(-3, 0), G(0, ); б) А(-, 0), В(, ), G(3, ) В треугольнике АВС: А(-, 3), В(4, ),С(6, -5) Написать параметрические уравнения прямых, содержащих стороны этого треугольника, и общие уравнения прямых, содержащих его медианы 3 Даны вершины треугольника А(4,6), В(-4,0), С(-,-4) Найдите уравнения его сторон, медианы, проведенной из вершины С, биссектрисы угла В, высоты, проведенной из вершины А 4 Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма x y, x y и точка пересечения его диагоналей (3,-) Найдите уравнения двух других его сторон 5 Найдите точку, симметричную точке М(-,9) относительно прямой x 3y Даны две вершины треугольника А(-6,), В(,-) и точка Н(,) пересечения его высот Найдите координаты третьей вершины треугольника 7 Даны уравнения основания равнобедренного треугольника x + y и его боковой стороны x y ; точка (-,0) лежит на другой боковой стороне Найдите уравнение этой стороны 75

6 8 Нарисуйте прямую, заданную в прямоугольной системе координат уравнением: а) x y ; б) x + 3y 0 ; в) 5 x 0 ; x y x + 3 y г) + ; д) ; x + t, y + t Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая 3 x + 3y 5 0? 0 Напишите уравнения следующих прямых: а) ордината точки пересечения прямой с осью ординат равна -3, и она образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30 0 ; б) ее угловой коэффициент k-, и она проходит через точку А(,-5); в) прямая проходит через две точки А(,-) и В(3,); г) прямая проходит через точку А(-7,) и перпендикулярна вектору n ( 3, 4) ; д) прямая отсекает на осях координат отрезки длины 4 и 5; е) прямая проходит через точку А(5,-3) параллельно вектору s (, ) ; ж) прямые являются сторонами и медианой АМ треугольника АВС с вершинами А(3, ), В(, -), С(-4, ); з) прямая является биссектрисой угла В треугольника АВС с вершинами А(, ), В(-3,4), С(9, -5) При каком условии прямая ax + by + c 0 не пересекает первый координатный угол? Дана прямая x 3y 8 0 Напишите для нее: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) параметрические уравнения; в) уравнение в отрезках на осях координат Постройте эту прямую 3 Напишите параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку А(, -) и параллельной вектору s ( 3, 5) и напишите общее x y уравнение этой прямой; б) 3 y 0; в) + ; г) y 3x 7 ; д) проходящей через точки A ( x, y) и B ( x, y ) 4 Прямая задана параметрическими уравнениями x + 5t, y + t Найдите: а) значения параметра для точек пересечения для точек пересечения прямой с осями координат; б) среди точек А(, ), В(-4 ), С(5, ), D(6, 5) точки, принадлежащие данной прямой; в) общее уравнение, с угловым коэффициентом и уравнение в отрезках на осях координат данной прямой 5 Какая линия определяется следующими параметрическими уравнениями: а) x t, y 4t ; б) x t, y 4t + ; в) x t, y t ; г) x cos t, y sin t ; д) x 6 cost, y 6sint 6 Вычислите площадь треугольника, отсекаемого прямой 4 x + 3y 36 0 от координатного угла 7 Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямой ax + by + c 0, ( авс 0) и осями прямоугольной системы координат 8 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(3, -4) и отсекающей на осях координат равные отрезки 9 При каком условии прямая ax + by + c 0 вместе с осями координат ограничивает равнобедренный треугольник? 0 Напишите уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка этой прямой, заключенного между осями координат, равна 5 Даны точки А(, 5) и В(3, ) Записать координатное задание фигур: 76

7 ) [AB) ; ) ) AB Доказать, что в любой трапеции точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, и середины оснований лежат на одной прямой 3 Даны точки А(3,3) и В(0,) На прямой x + y 4 0 найдите точку, из которой отрезок АВ виден под углом На прямой x + y 8 0найдите точки, равноудаленные от точки (,8) и прямой x 3 y Даны центр квадрата М(,6) и точки на двух его противоположных сторонах А(5,9) и В(3,0) Найдите уравнения его сторон 6 Найдите уравнения общих касательных двух окружностей ( x ) + ( y ) и ( + ) + ( y + ) 9 [BA ; 3) [ ] x 7 Даны уравнения двух биссектрис внутренних углов треугольника x + 4 0, 4x + 7y и уравнение 3 x + 4y 0 стороны, соединяющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы Напишите уравнения других сторон треугольника 9 8 Даны вершины треугольника,, ( 0,4), ( 3, ) Найдите центр вписанной в него 5 5 окружности 9 Даны вершина треугольника А(-4,) и уравнения двух его медиан 3 x y + 0 и 3 x + 5y 0 Напишите уравнения сторон Взаимное расположение двух прямых Угол между прямыми Основные факты Пусть прямые d и d заданы соответственно уравнениями: (0) A x+в у+с 0 и () A x+в у+с 0 Возможны три случая взаимного расположения прямых на плоскости: ) Прямые d и d пересекаются ) Прямые d и d совпадают 3) Прямые d и d параллельны А А А А А А В В В (рис а); (рис б); В В С С (рис в) В С С Рассмотрим на плоскости две прямые d и d,, пересекающиеся в точке А Лучи этих прямых, исходящие из точки А, образуют четыре угла Углом между прямыми d и d называется величина того из этих углов, который не больше других углов Отсюда следует, что угол между пересекающимися прямыми не больше π 77

8 Выберем направляющие векторы a и a этих прямых так, чтобы ( a, a π ) Направленным углом между прямой d и прямой d называется направленный угол между a и a Таким образом, направленный угол ϕ между любыми двумя пере- векторами π π секающимися прямыми заключен в пределах ϕ Заметим, что если прямые d и d не перпендикулярны, то < ϕ <, а если они перпендикулярны, то либо π π π π ϕ или ϕ Пусть в ортонормированном базисе i j заданы координаты направляющих векторов a ( a, a ) и b ( b, b ) прямых d и d соответственно Условие перпендикулярности прямых d и d имеет вид: () a b +a b 0 Если прямые не перпендикулярны, то угол между ними можно вычислить по формуле: a b (3) tg a ϕ ab + ab b Пусть пересекающиеся прямые d и d заданы в прямоугольной системе координат O i j уравнениями (0) и () Условие перпендикулярности прямых d и d имеет вид: (4) А А +В В 0 Если прямые не перпендикулярны, то угол между ними можно вычислить по формуле: A A (5) tg B ϕ A A + BB B Пусть пересекающиеся прямые d и d заданы теперь в прямоугольной системе координат O i j соответственно уравнениями: (6) yk x+b, (7) yk x+b Условие перпендикулярности прямых d и d имеет вид: (8) k k +0 Если прямые не перпендикулярны, то направленный угол между ними можно вычислить по формуле: k k (9) tg ϕ + k k Примеры решения типовых задач Задача 7 Написать уравнение прямой d, проходящей через точку М (,6) и через точку пересечения прямых, заданных уравнениями: х Зу+0 и х+4у0 78

9 способ Для нахождения координат точки пересечения данных прямых следует решить систему х 3у + 0 относительно х и у х + 4у 0 Имеем: точка М 0 ( 5, 5 ) является точкой пересечения данных прямых Теперь по формуле (3) запишем уравнение прямой, проходящей через точки М и М 0 : х + у 6, 9(х+)8(у 6), 9х+8у способ Уравнение искомой прямой имеет вид: λ(х Зу+)+µ(х+4у)0 Прямая d проходит через точку M (,6), поэтому λ( 8+)+ µ( 4+4)0, или 9λ+0µ0 Этому равенству удовлетворяют, например, числа λ0, µ9 Таким образом, искомое уравнение имеет вид: 0(х Зу+)+9(х+4у)0, или 9х+8у+00 Задача 3(*) Составить уравнение прямой d, которая проходит через точку М(, ) параллельно прямой d : 4х 7у+0 Решим рассмотренную ранее задачу 3, используя условие параллельности прямых Так как прямые параллельны, то уравнение прямой d будем искать в виде: 4х 7у+С0 Поскольку точка М(, ) принадлежит искомой прямой, то 4 7 ( )+С0 Откуда С 5 Итак, уравнение прямой d имеет вид: 4х 7у 50 Задача 8 Доказать, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны Пусть АВСD данная трапеция с большим основанием АD Аффинную систему координат Ae e выберем так, как показано на рисунке В этой системе координат вершины трапеции имеют координаты A(0,0), В(0,), С(а,), D(,0) Так как АD>ВС, то 0<а< Пусть М и N середины оснований АD и ВС трапеции Эти точки имеют координаты М(, 0), N( а, ) Напишем уравнения прямых АВ, СD и МN по формуле (3): а (АВ): х0; (СD): х (а )у 0; (МN): х+ у 0 79

10 Решив совместно первые два уравнения, находим координаты точки Е пересечения прямых АВ и СD: Е (0, ) а Координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой МN, поэтому прямая МN проходит через точку пересечения прямых АВ и СD Задача 9 В прямоугольной системе координат даны уравнения двух прямых: х+0 и Зх Зу+50 Найти направленный угол между этими прямыми Применим формулу (5) для нахождения угла между данными прямыми: tg ϕ 3 π, и, следовательно, ϕ 3+ 0 ( 3) 3 4 Задача 0 В прямоугольной системе координат даны уравнения двух прямых: y 3 3 x+5 и y 3х+7 Найти направленный угол между этими прямыми Данные прямые имеют угловые коэффициенты k 3 3 и k 3 По формуле (9) находим: 3 3 tg ϕ 3 3 π, получаем tg ϕ Отсюда получаем: ϕ Задачи для самостоятельного решения 30 Определите взаимное расположение прямых (в случае пересечения найдите общую точку прямых) Среди пересекающихся прямых найдите взаимно перпендикулярные: а) y x + 7, y x 9 ; б) x + y 4 0, 6x + 3y ; в) x + y 0, 6x + 3y ; г) x + y 0, 5x + 5y 5 0 ; д) y 3x, y x ; 3 x y е) 3 x + y 4 0, x 3y ; ж) +, 3 7 y 7x ; з) x 3 + t, x 3 y y t и ; и) 3 x y 5 0и x 5 + t, y 4 + 3t ; к) 3 x y 4 0 и x 3 + t, y t 3 Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(, ): 80

11 а) параллельно прямой y 5x ; б) параллельно прямой x + 3y 0 ; в) параллельно прямой x 4t, y + 3t ; г) перпендикулярно прямой x + 3y + 0 ; д) перпендикулярно прямой x t, y t + ; е) перпендикулярно прямой x + y Даны три вершины параллелограмма А(3, -5), В(5, -3), С(-, 3) Напишите уравнения сторон параллелограмма АВСD и его диагоналей 33 Найдите точку М, симметричную точке М(, -4) относительно прямой: а) проходящей через точки А(-, 5) и В(, -); б) x + y 5 0 ; в) x t, y + t 5 34 Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника x 3 + y + 0 и x + y и точка М(0, 0) на его основании Напишите уравнение основания 35 Даны две вершины треугольника А(, ), В(-, -) и точка H, 5 5 пересечения его высот Вычислите координаты третьей вершины С 36 Луч света, проходящий через точку М(, 3), отражается от прямой x + y + 0 и проходит после этого через точку N(, ) Найдите уравнения лучей, падающего и отраженного 37Найдите условие перпендикулярности и параллельности прямых ax + by + c 0и x x0 + α t, y y0 + β t 38 Даны уравнения прямых l : 3x y 0, l : x 3y Написать уравнение прямой l, содержащей биссектрисы острых углов, образуемых прямыми l, l 39 Даны две пересекающиеся прямые A x + B y + C 0, A x + B y + C 0 Доказать, что если ( A x0 + B y0 + C) ( A x0 + B y0 + C )( A A + BB ) < 0, то точка M ( x, y 0 0 ) принадлежит одному из острых углов, определяемых данными прямыми 40 Исследовать, как расположены относительно осей координат следующие прямые: а) x 3y 0 ; б) 3 x y + 0 ; в) 5 x 0 ; г) 3 y + 0 ; д) x + y 0 ; е) 6 x 0 4 Можно ли подобрать коэффициенты λ и µ так, чтобы прямые 3 x y + 0 и λ x + µ y 3 0 совпадали? 4 При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями 3 tx 8y + 0 и ( + t ) x ty 0, параллельны? 43 Какому условию должны удовлетворять коэффициенты λ и µ, для того, чтобы три прямые λ x + µy + 0, x 3y + 5 0, x 0 имели одну общую точку? 44 Определить угол ϕ между двумя прямыми: а) 5 x y + 7 0, 3x + y 0 ; б) 3 x y + 7 0, x + 3y 3 0 ; в) x y 4 0, x 4y ; г) 3 x + y 0, 5x y Дана прямая x + 3y Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ; под углом 45 0 к данной прямой 0 ( ) 8

12 M ;3 0 под углом α к оси Ох направлен луч света Известно, что tg α 3 Дойдя до оси Ох, луч от нее отразился Составить уравнения прямых, на которых лежат лучи падающий и отраженный 46 Из точки ( ) Расстояние от точки до прямой Основные факты Ненулевой вектор n называется перпендикулярным или нормальным вектором данной прямой, если он перпендикулярен любому направляющему вектору прямой Лемма Если прямая d в прямоугольной систе ме координат задана уравнением Ax+Ву+С0, то вектор n (А,В) перпендикулярен прямой d Пусть М 0 точка, не лежащая на прямой d Длина перпендикуляра М 0 М, проведенного из точки М 0 к прямой d, называется расстоянием от точки М 0 до прямой d Расстояние от точки М 0 (х0,у0) до прямой d,заданной уравнением Ax+Ву+С0, вычисляется по формуле: Ax0 + By0 + C (0) ρ ( M 0, d) A + B Примеры решения типовых задач Задача В прямоугольной системе координат дана прямая d уравнением 3х 4у 0 Найти расстояние от начала координат до этой прямой Начало координат О имеет координаты (0,0) По формуле (0) получим: ρ ( О, d) Задача Даны вершины треугольника: А(, ), В(3,5), С( 9,) Вычислить длины его высот Предварительно напишем уравнения сторон: АВ: 3х+у+40; АС: 6х+5у 0; ВС: х+у 30 Каждую из высот треугольника найдем как расстояние от соответствующей вершины до противолежащей стороны Итак, получим: h a, hb, hc

13 Задача 3 Через точку Р(,) проведена прямая так, что ее расстояние от точки С(3,) равно 4 Найти угловой коэффициент этой прямой Согласно формуле (4), уравнение всякой прямой, проходящей через заданную точку Р, имеет вид: у k(х+), или kх у+k+0 По формуле расстояния от точки до прямой (0) имеем: 3k + ( ) + k + ±4 + Решив полученное уравнение относительно k, найдем k± 3 4 Задача 4 На прямой d : х+у 0 найти точки, равноудаленные от прямых d : х+у 50 и d 3 : 7х у+0 Пусть координаты искомой точки (х 0,у 0 ) Так как она принадлежит прямой d, то: х 0 +у 0 0 Точка (х 0,у 0 ) находится на одинаковом расстоянии от прямых d и d 3, поэтому, применив формулу (0), получим: x0 + y0 5 7x0 y0 + 5 Объединив последнее уравнение и уравнение х 0 +у 0 0 в систему и решая ее, 3 получим две точки, удовлетворяющие условию задачи: (0,6) и (, ) Задача 5 Составить уравнения касательных к окружности х +у +0х у+60, параллельных прямой х+у 70 Перепишем уравнение окружности в виде: (х+5) +(у ) 0 Центр окружности М( 5,), радиус 5 Пусть уравнение касательной х+у+с0 Расстояние от центра до касательной равно радиусу, поэтому ( 5) + + С 5 Отсюда 9+С 0, значит, С9 или С + Итак, уравнения касательных: х+у+90 и х+у 0 Задача 6 Вычислить расстояние между прямыми, содержащими противолежащие стороны ромба, если длины его диагоналей равны а и b Пусть АВСD данный ромб, а О точка пересечения диагоналей Примем точку О за начало прямоугольной системы координат, а оси направим вдоль диагоналей так, 83

14 чтобы точки С и В лежали на положительных лучах координатных осей В этой системе a b a b вершины ромба будут иметь координаты A(,0), B(0, ), C(,0), D(0, ) Задача сводится к нахождению расстояния от точки А до прямой ВС Уравнение прямой ВС имеет вид: bx+ay ab0 Расстояние от точки А до этой прямой равно: a b ab ab ab ρ 4b + 4a a + b a + b Задачи для самостоятельного решения 47 Найдите расстояние от точки до прямой: а) A (,4); l : 3x + 4y + 3 0; б) A (,0); l : 3x y ; в) A ( 0,0); l : x + 5y 9 0 ; г) A ( 4,5); l : y 7x + 8 ; д) A ( 3, 8); l : x 4t, y 3 + t 48 Даны вершины треугольника А(, 5), В(, 3), С(7,0) Вычислите длины его высот 49 Найдите расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: а) x + 5y 6 0 и x + 5y 5 0 ; б) 5 x + y 0 0 и 5 x + y ; в) x + 3y 7 0 и y x + ; 3 6 г) x t, y 7 + t и x 5 + 8t, y 4t ; д) ax + by + c 0 и ax + by + c 0 50 Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(, ) и одинаково удаленной от точек А(, 3) и В(4, -5) 5 Напишите уравнение прямой, параллельной прямой x t, y t + 6и проходящей от точки М(, -) на расстоянии, равном Точка М(5, ) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 3 x + y 0 Напишите уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата 53 Через точку А(-, 3) проведите касательные к окружности x + y 5 54 Напишите уравнения касательных к окружности ( x + ) + ( y ) 4, параллельных прямой x t, y t x 5cost, 55 Напишите уравнения касательных к окружности перпендикулярных y 5sint +, прямой x + y 0 56 Найти расстояние прямой 9х у от начала координат 57 Проверить, что прямые х + 5 y 5 0 и x 5у касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга 58 Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки Р(4; ) на прямую х 5у Найти расстояние точки: a) P (4; ) от прямой 8х 5у 0; 84

15 b) P (; 7) от прямой x + 5у 7 0; c) P 3 (- 3; 5) от прямой 9x у + 0; d) Р 4 ( 3; ) от прямой 4x 7y + 6 0; e) Р 5 (8; 5) от прямой 3x у 5 0 Система координат прямоугольная 60 Из всех прямых, параллельных прямой x + y найти те, которые проходят на расстоянии пяти единиц от точки (; 3) Даны две прямые: 3x + 4y 0 0 и 5x у Найти точку, которая находилась бы на расстоянии δ 5как oт той, так и от другой прямой Вопросы для самоподготовки Что такое направляющий вектор прямой? Какими способами задается прямая на плоскости? 3 Напишите каноническое уравнение прямой 4 Напишите параметрические уравнения прямой В чем состоит смысл параметра? 5 Напишите уравнение прямой, заданной двумя точками 6 Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом Чему равен угловой коэффициент прямой, если известны координаты ее направляющего вектора? 7 Каков геометрический смысл углового коэффициента в декартовой системе координат? 8 Напишите уравнение прямой «в отрезках» 9 Напишите общее уравнение прямой Как определить координаты направляющего и нормального векторов прямой из ее общего уравнения? 0 Каковы особенности расположения прямой в системе координат при равенстве нулю некоторых из коэффициентов в ее общем уравнении? Какими аналитическими условиями определяются полуплоскости с заданной границей? Какие случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости возможны? Каким аналитическим условием определяется каждый из этих случаев? 3 Как найти угол между двумя пересекающимися прямыми по координатам их направляющих векторов; по общим уравнениям; по уравнениям с угловым коэффициентом? 4 Напишите условие перпендикулярности двух прямых 5 Что называется расстоянием от точки до прямой По какой формуле оно вычисляется? 85

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 9 Тема: Плоскости План. Способы задания и уравнения плоскости.. Общее уравнение плоскости.. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости в АСК. 4.

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Разбор задач по теме: «Плоская система координат».

Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Задача 1 Даны две вершины треугольника М 1 (-10;2) и М2 (6;4); его высоты пересекаются в точке Н (5;2). Определить координаты третьей вершины М3. Разметим

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. РАЗЗАКОВА ТОКМОКСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра «Фундаментальные дисциплины» АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс

Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс МОУ «СОШ 7» Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс г. Ноябрьск Учитель: Зайцева И.А. Для заметок ГЕОМЕТРИЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА В каждом билете три вопроса. В первом вопросе предлагается

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» Методические указания к контрольной работе Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия». Даны векторы a {0}, b { }, c { 0}, d {} в некотором базисе. Показать, что векторы abc,, образуют базис и найти

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ Настоящее пособие по выполнению контрольной работы по геометрии (аналитическая геометрия на плоскости) для студентов заочного отделения написано в соответствии с действующей программой и предназначено

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

вектором р (р 1,р 2,р 3 ), а плоскость σ общим уравнением

вектором р (р 1,р 2,р 3 ), а плоскость σ общим уравнением Практическое занятие Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости План. Взаимное расположение прямой и плоскости.. Угол между прямой и плоскостью. Основные факты Возможны следующие случаи взаимного расположения

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

Все прототипы заданий В3

Все прототипы заданий В3 1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 4. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Укажите номера верных утверждений. 1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

9 класс Сократите дробь: Ответ: Найдем область определения данного выражения: 1. Используя тождество xy x y, получим:

9 класс Сократите дробь: Ответ: Найдем область определения данного выражения: 1. Используя тождество xy x y, получим: .. Сократите дробь: a a a a. 9 класс Ответ: a a. Найдем область определения данного выражения: a a a 0 0 a 0. Используя тождество xy x y, получим: a( a ) 0 ( a )( a ) 0 a a a a a a = a( a ) ( a )( a )

Подробнее

Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник».

Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник». Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник». Основные понятия Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ Ю.Л.Калиновский Оглавление 1 Медиана, биссектриса, высота................................. 5 1.1 Медианы треугольника 5 1.2 Биссектрисы треугольника 7 1.3 Высоты треугольника 10 Медианы

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Методическое пособие по математике для учащихся НПО

Методическое пособие по математике для учащихся НПО ФГОУ СПО ЛТК Методическое пособие по математике для учащися НПО. 011 г. Решение линейны уравнений Правило 1: Слагаемые с собираем в левой части уравнения, а числа в правой. Через знак равенства «=», слагаемые

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее