Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра и аналитическая геометрия"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 00

2 УДК 543 Векторная алгебра: Методические указания к решению задач / Сост: Е А Толкачева, М Н Абрамова, В Г Казакевич СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 00 3 с Содержат основные сведения и примеры решения типовых задач векторной алгебры и аналитической геометрии Предназначены для студентов-заочников всех специальностей Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 00

3 Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по темам: «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия» Как правило, освоение этих разделов математики вызывает затруднения у студентов Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению координатного метода на плоскости и в пространстве, причем все задачи сопровождаются геометрической иллюстрацией Данные методические указания, хотя и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по рассматриваемым темам, поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебными пособиями, наиболее доступным в плане изложения для студентов заочного отделения авторы считают пособие: Письменный Д Т «Конспект лекций по высшей математике» В ч М: Айрис Пресс, 006 Ч, с 3 47 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Координаты точки на плоскости и в пространстве В настоящих методических указаниях будет рассматриваться только прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Когда в условии задачи сказано «дана точка», то это значит, что координаты точки известны Если в задаче необходимо «найти точку», то это означает, что следует определить её координаты Фраза «дан отрезок прямой» означает, что известны координаты концов этого отрезка Координаты точки на плоскости записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором её ордината Например, если x абсцисса точки A, а y ее ордината, то это записывается так: A (x, y ) У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю Обе координаты точки начала координат равны нулю Для определения местоположения точки в пространстве используются три координаты абсцисса, ордината и аппликата, это записывается так: A (x, y, z ) Пример Постройте на плоскости точки A (, 4) и B ( 3, ), найдите длину отрезка AB Решение Выберем единицу масштаба и возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Абсцисса точки A равна, а ее ордината 4 Отложим на оси Ox вправо от начала координат О отрезок ОА длиною в еди-

4 ницы масштаба, а по оси Oy вверх от начала координат отрезок OA длиною 4 единицы масштаба Из точки А восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки A перпендикуляр к оси Oy Пересечение этих перпендикуляров и определит искомую точку А (рис ) Абсцисса точки B равна 3, а ее ордината Отложим на оси Ox влево от начала координат О отрезок ОВ длиною в 3 единицы масштаба, а по оси Oy вниз от начала координат отрезок OВ длиною в единицы Из точки В восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки В перпендикуляр к оси Oy Пересечение этих перпендикуляров и есть точка В (рис ) Расстояние d между точками A (x, y ) и B (x, y ) плоскости определяется по формуле d ( x x ) + ( y y) Расстояние d называется еще длиной отрезка AB Расстояние между точками A (, 4) и B ( 3, ) плоскости или длина отрезка АВ равна: AB ( 3 ) + ( 4) ( 5) + ( 6) единиц масштаба Ответ: AB 6 Пример Постройте на плоскости точки, симметричные точке A (, 4) относительно: а) оси Ox; б) оси Oy; в) начала координат Решение Для решения этой задачи следует помнить следующие определения Две точки M и N называются симметричными относительно прямой, если отрезок MN перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой Точки M и N называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка MN а) Точка В, симметричная с точкой A (, 4) относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка А, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки А, но противоположную ей по знаку (рис ) Значит, точка В имеет координаты и 4: В (, 4) б) Точка С, симметричная с точкой A (, 4) относительно оси Oy, имеет ординату такую же, как и точка А, а абсциссу, равную по абсолютной 4

5 величине абсциссе точки А, но противоположную ей по знаку (рис ) Значит, точка С имеет координаты и 4: С (, 4) в) Точка D, симметричная с точкой A (, 4) относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки А, но противоположные им по знаку (рис ) Значит, точка D имеет координаты и 4: D (, 4) Пример 3 Постройте в пространстве точки A (, 4, 3) и B (, 3, ), найдите длину отрезка AB Решение Выберем единицу масштаба и возьмем в пространстве прямоугольную систему координат Абсцисса точки A равна, ее ордината равна 4, а аппликата 3 Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОА длиною в единицы масштаба, по оси Oy вправо от начала координат отрезок OA длиною 4 единицы масштаба Через точку А проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через A прямую, параллельную к оси Ox Пересечение этих прямых определит точку A 3 (рис 3), через точку А 3 проведем прямую, параллельную оси Oz Отложим на этой прямой вверх от А 3 отрезок A 3 А длиною 3 единицы масштаба Итак, точка A (, 4, 3) построена Абсцисса точки B равна, ее ордината 3, аппликата Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОВ длиною в единицу масштаба, а по оси Oy влево от начала координат отрезок OВ длиною 3 единицы масштаба Через точку В проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через В прямую, параллельную к оси Ox Пересечение этих прямых определит точку В 3 (рис 3), через которую проведем прямую, параллельную оси Oz Отложим на этой прямой вниз от В 3 отрезок В 3 В длиною единицы масштаба Итак, точка B (, 3, ) построена Расстояние между точками пространства определяется по формуле, аналогичной формуле вычисления расстояния между точками плоскости Расстояние между точками A (, 4, 3) и B (, 3, ) и есть длина отрезка АВ: AB ( ) + ( 3 4) + ( 3) 86 единиц масштаба Ответ: AB 86 ( ) + ( 7) + ( 6)

6 Если даны точки A (x, y, z ) и В (x, y, z ) в пространстве, то координаты точки С (x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении 6 λ AC CB определяется по x формулам + λx y λ λ, + y z, + z x y z + λ + λ + λ Если λ, то точка С (x, y, z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты середины отрезка: + x y x, + y z, + z x y z Пример 4 Найти точку С середину отрезка, соединяющего точки A (, 5, 3) и B (, 3, ) Решение Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов Т е координаты точки С равны ( 3) 3 + ( ) x, y, z Итак, середина отрезка АВ точка С (,, ) (рис 4) Пример 5 Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А (, ), В (0, 4) и С ( 3, ) (толщину пластинки не учитывать) Решение Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан Из элементарной геометрии известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, причем эта точка делит медианы в отношении :, считая от вершины треугольника Обозначим ее М (x, y) Рассмотрим медиану, проведенную из вершины А Один ее конец известен А (, ), а координаты другого ее конца D получим, как координаты середины отрезка ВС: x D, yd Теперь, зная координаты начала А и конца D отрезка АD и то, что точка М делит этот отрезок в отношении + ( 3 ) + (3 ) 4 λ, получаем x, y Итак, центр тяжести треугольника АВС точка М ( 3,4 3) (рис 5) Полученный результат приводит к выводу, что координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки, если не учитывать ее толщину, равны среднему арифметическому одноименных координат ее вершин

7 Векторы в прямоугольной декартовой системе координат Различают два рода величин: скалярные и векторные Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной (например, масса, плотность, работа, температура) Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и т д Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором (например, скорость, ускорение, сила) Графически вектор обозначается отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (рис 6) Длина, изображающего вектор отрезка, называется длиной вектора, а также его модулем или абсолютной величиной Обозначается вектор одной буквой с черточкой или стрелкой над ней: a или a r, а модуль этого вектора либо той же буквой, только без черточки над ней, те a, либо a Также вектор можно обозначать AB, где А начало и В конец вектора, а его модуль теми же буквами, но без черточки наверху Если модуль вектора равен нулю, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0 Пример 6 Даны точки A (, 4, ) и B ( 3,, 3), найдите векторы AB, BA и модули этих векторов Решение Если в задаче необходимо «найти вектор», то это означает, что следует определить его координаты Чтобы определить координаты вектора, надо из координат конца вектора вычесть координаты его начала Произведем расчет координат вектора AB : 3 5; 4 6; 3, то есть AB ( 5; 6; ) Аналогично, BA : ( 3) 5; 4 ( ) 6; 3, то есть BA(5; 6; ) Модуль вектора AB является длиной отрезка AB Т е модуль вектора AB (x, y, z) в пространстве: AB x + y + z Подставим координаты: AB ( 5) + ( 6) + 65, BA ( ) 65 Ответ: AB ( 5; 6; ), BA(5; 6; ), AB BA 65 7

8 Равными называют векторы с одинаковой длиной, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну и ту же сторону Координаты равных векторов совпадают Обратите внимание, что векторы AB и BA (рис 7) имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны Если векторы лежат на одной или параллельных прямых и различны по направлению, такие векторы называют противоположными и обозначают AB BA Координаты противоположных векторов отличаются знаком Пример 7 Найти вектор, соединяющий точки A (, ) и B (3, 3), и его проекции на оси координат плоскости Решение Проекцией вектора a на ось l называется длина отрезка A В, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис8) Этой длине приписывается знак плюс, если направление отрезка A В совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора Проекция вектора a на ось l обозначается через a l или пр l a, а угол ϕ между осью и вектором обозначается так: ( l, ˆa) Таким образом, a l пр l a a cosϕ Рассмотрим на плоскости систему координат и изобразим в ней данные точки (рис9) Произведем расчет координат вектора AB : 3 ; 3, то есть AB (; ) Модуль его равен AB + 8 Видим, что вектор AB лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов, следовательно, образует с каждой из осей угол в 45 Учитывая, что cos 45 o, вычислим проекции на o оси координат: пр Ox AB cos 45, o пр Oy AB cos 45 Обратите внимание, что проекции вектора на оси совпадают с координатами этого вектора Ответ: AB (, ), пр Ox AB, пр Oy AB 8

9 3 Умножение вектора на число Пример 8 На плоскости задан вектор a (рис 0), изобразите следующие векторы 3 a, 4a, a Решение При умножении вектора a на скаляр (число) k получается вектор b, модуль которого равен произведению модуля a на число k, те a k b Направления векторов a и b совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0 Обозначение: b ka Исходя из этого правила, изображены на рис 0 векторы 3 a, 4a, a Пример 9 В пространстве задан вектор a (,, ), найдите следующие векторы: а) 3 a ; б) 4a ; в) a Решение При умножении вектора a (x, y, z) на число k получается вектор b(k x, k y, k z), те при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число Таким образом, координаты векторов равны: а) 3 a (3, 6, 6); б) 4a ( 4, 8, 8); в) a (,, ) Пример 0 При каких значениях m векторы a (, 3, m) и b(m,, 8) коллинеарны? Решение Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых Если при этом векторы направлены одинаково, то они называются сонаправленными, а если противоположно, то противоположно направленными Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда один из них является произведением другого на число, или, другими словами, их координаты пропорциональны На математическом языке x это записывается так: a ya z a b a При a (, 3, m) и b(m,, 8) x y z можно записать, что Ответ: m b 3 m a b m 8 b b 3 m, m m 3 8, 9

10 4 Сумма векторов Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (рис ) Правило параллелограмма: Сумма двух векторов a и b, приведенных к общему началу, есть третий вектор, длина которого равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b, он направлен от точки общего начала данных векторов Правило треугольника: Сумма двух векторов a и b, если конец первого совпадает с началом второго, есть третий вектор, длина которого равна длине третьей стороны треугольника, построенного на векторах a и b, причем направлен он от начала первого в конец второго вектора (рис ) Пример На плоскости заданы векторы (рис ), изобразите следующие векторы: а) a + b ; б) a b; в) a + 3b ; г) a + b + c + d Решение: а) Для построения 0 вектора a + b можно воспользоваться как правилом параллелограмма, так и правилом треугольника (рис 3) б) Разность двух векторов a и b это вектор, равный сумме векторов a и b, где b вектор, противоположный к вектору b (рис 4) в) Для построения вектора a + 3b необходимо воспользоваться определением умножения вектора на число и какимлибо правилом сложения векторов (рис 5) г) Сумму нескольких векторов строят так: берут произвольную точку O плоскости и из нее строят вектор OA, равный первому слагаемому; из точки

11 А проводят вектор AB, равный второму слагаемому, из точки В вектор BC, равный третьему слагаемому и тд Наконец, строят последний вектор с концом в точке D, вектор OD, замыкающий полученную ломаную линию, и будет искомой суммой (рис 6) Пример В пространстве заданы векторы a (,, ) и b ( 3, 5, ), найдите следующие векторы: а) a + b ; б) a b ; в) a + 3b Решение При сложении (вычитании) векторов соответствующие их координаты складываются (вычитаются) Таким образом, координаты векторов равны: а) a + b (, 7, ); б) a b (4, 3, 3); в) a + 3b (, 7/3, /3) Пример 3 Разложите в плоскости вектор a (; ) по базису Решение В качестве базисных векторов на плоскости рассматривают i и j векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox и Oy Тогда видим, что a i + j (рис 7) Действительно, ведь координаты вектора это и есть коэффициенты в разложении вектора по базису В трехмерном случае рассматриваются базисные векторы i, j, k Можно говорить о том, что записи a (x, y, z) и a xi + y j + zk равнозначны, в дальнейшем будем пользоваться обеими этими записями Пример 4 Найдите α и β, если известно, что векторы r r r r r r r r a αi + 7 j + 3k и b i + βj + k коллинеарны Решение В условии задачи векторы записаны в разложении по базису пространства, в другой записи имеем: a (α, 7, 3), b (, β, ) Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т е Следователь- α 7 3 β но, α 3/, β 4/3 Ответ: α 3/, β 4/3 5 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними Обозначаться скалярное произведение может: a b, a b, или ( a,b) Пример 5 Вычислите скалярное произведение векторов r r r r r r r r a i + 7 j + 3k и b i + 8 j k

12 Решение Известно, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат Следовательно, a b ( ) ( ) 49 Ответ: a b 49 Пример 6 Найдите косинус угла между векторами a и b, если: а) a (5, 4, ), b(,, ); б) a (3, 3, 6), b(,, ); в) a (,, ), b(3, 4, ) Решение По определению скалярного произведения имеем равенство a b a b cos ( a, ˆb), значит а) Подставим данные: a b cos ( a, ˆ b), т е a b a b ( a, ˆ b) arccos a b a b 5 ( ) ( ) cos ( a, ˆ b) a b ( ) ( ) б) cos ( a, ˆb) В этом случае косинус угла равен, значит, угол между векторами составляет 80 и они противоположно направленные Действительно, b 3 a, т е векторы коллинеарные, а раз множитель отрицателен, то они противоположно направленные в) cos ( a, ˆ b) 0 В этом случае косинус угла равен 0, т е угол между векторами составляет 90, и они ортогональны Пример 7 Зная векторы, образующие треугольник ABC: r r r r r r AB i 6 j, BC i + 7 j, AC 3 i j, найти углы этого треугольника Решение Для того чтобы найти углы заданного треугольника надо найти косинусы углов между векторами, образующими треугольник Это можно сделать, используя определение скалярного произведения Но косинус угла определен для векторов, имеющих общее начало Угол А треугольника ABC равен углу между векторами AB и AC Можем найти его косинус: cos  cos ( AB, ˆAC) ,6 Значит, A ˆ arccos 0,

13 Чтобы найти косинус угла В треугольника ABC надо искать косинус угла между векторами BA и BC (рис 8) Зная что BA AB, BA(, 6), имеем cos Bˆ cos ( BA, ˆBC) BA BC BA BC Значит, 5 4 B ˆ arccos 5 Косинус угла С треугольника ABC есть косинус угла между векторами CA и CB (рис 8), где Итак, cos Ĉ cos ( CA, ˆCB) CA AC и CA ( 3, ), а CB BC, CB (, 7) CA CB CA CB Следовательно, C ˆ arccos ( ) Ответ: A ˆ arccos 0, 6, ˆ 4 B arccos, C ˆ arccos ( ) 5 5 Пример 8 При каком значении α векторы r r r r b i + αj + k ортогональны? r r r r a i + j + k и Решение Два вектора ортогональны друг другу, если угол между ними составляет 90 Следовательно, косинус угла между ними должен быть равен нулю и, если сами векторы не нулевые, то скалярное произведение равно нулю Запишем на математическом языке условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов: a b a b 0 Подставим данные: a b a b + α + 0 Из уравнения +α+0 имеем: α Ответ: α Пример 9 В плоскости XOZ найти вектор a v, перпендикулярный вектору c r ( 6, 3,) и имеющий одинаковую с ним длину Решение Пусть вектор a v имеет координаты (x, y, z) В плоскости XOZ лежат все такие точки и векторы, у которых вторая координата равна нулю Т е a ( x, y, z) XOZ y 0 Из того, что a c следует a c 0 Можем теперь составить уравнение x 6 + y ( 3) + z 0, зная, что y 0, получим 6 x + z 0 По условию длины векторов a и c равны, т е a x + y + z c 3

14 Составим уравнение x + y + z 49, из которого, зная что y 0, получим x + z 49 Решим полученные уравнения вместе: 6x + z 0, z 3x, x + z 49, x + ( 3x) 49, z 3x, z 3x, 0 0 z, z, x 49, x ±, или x, x 0 Видим, что условию удовлетворяют два вектора, являющиеся противоположно направленными: a (, 0, ) и a (, 0, ) Ответ: a ( ±, 0, m ) Векторное произведение векторов Векторным произведением векторов a и b называется третий вектор c (рис 9), если верны следующие условия: c a b sin( a, ˆb) ; c a и c b; 3 a, b, c образуют правую тройку Обозначается векторное произведение: a b Векторное произведение векторов не коммутативно, т е нельзя переставлять сомножители векторного произведения Пример 0 Вычислите векторное произведение векторов r r r r r r r r a i + 7 j + 3k и b i + 8 j k a b Решение Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: i x b y j b k z b xa ya za, где i, j, k базисные вектора (орты), ( x a, ya, za ) координаты вектора a, ( x b, yb, zb) координаты вектора b 4

15 В задаче a (, 7, 3), b (, 8, ), значит a b i j 7 8 k 3 Вычислим определитель: i j 7 8 k 3 4i 8k + 3 j (7k + 4i + j) 38i + j 5k Таким образом, a b 38i + j 5k Ответ: a b ( 38,, 5) Пример Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j + k и b i 3 j k, как на сторонах r r r r r r r r Решение Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах Действительно, a b a b sin( a, ˆb), а правая часть этого равенства есть формула площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах (рис 9) Следовательно, искомая площадь S a b В задаче a (,, ), b (, 3, ), значит a b i j 3 k Вычислим определитель: i j 3 k i 3k + 4 j ( k 6i j) 7 i + 5 j k Таким образом, a b 7 i + 5 j k Найдем модуль полученного векторного произведения: ( ) 75 Т е площадь параллелограмма равна Ответ: S a b 75 масштабных единиц в квадрате 75 кв ед Пример Зная векторы, образующие треугольник ABC: r r r r r r AB i 3 j + k, BC i + 5 j k, AC i + j, найти длину высоты этого треугольника, опущенной из точки В Решение Для нахождения длины высоты воспользуемся формулами площади треугольника С одной стороны площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту S AC BH (рис 0), а с дру- 5

16 гой половине площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, т е половине модуля векторного произведения S AC AB Вычислим AC AB 0 i 6k ( k + j) 6 i j 3 i j 4k Найдем модуль полученного векторного произведения: AC AB Т е площадь треугольника ABC равна 6 масштабных единиц в квадрате, S 6 Найдем длину стороны АС, она равна модулю соответствующего вектора: AC AC Тогда BH 3 (ед) AC S 6 Ответ: BH 3 7 Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a b на вектор c, т е ( a b, c ) Обозначаться смешанное произведение может: a b c или a b c Пример 3 Вычислите смешанное произведение векторов r r r r r r r r r r r a i + 7 j + 3k, b i + 8 j k и c i + j k r r r r Решение Векторное произведение векторов a i + 7 j + 3k и r r r r b i + 8 j k вычислено в примере 0: a b 38i + j 5k Значит, по определению a b c ( a b, c ) ( 38,, 5) (,, ) Можно воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения a b c xa xb xc ya yb yc k za zb, где ( x a, ya, za ) координаты вектора a, zc ( x b, yb, zb) координаты вектора b, ( x c, yc, zc) координаты вектора c a b c Ответ: a b c

17 r r r r Пример 4 Компланарны ли три векторы a i j + 3k, r r r r r r r b 3i + j k и c 3i + 3 j 9k? Решение Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения Вычислим смешанное произведение данных трех векторов: a b c Значит, данные векторы ком планарны, т е лежат в одной плоскости Пример 4 Найти объем V пирамиды ABCD, построенной на векторах r r r r r r AB i 3 j + k, AC i + j k, AD i 5 j Решение Модуль смешанного произведения трех векторов, выходящих из одной точки, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах Следовательно, объем треугольной пирамиды это шестая часть модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена, т е V AB AC AD 6 Вычислим смешанное произведение трех данных векторов: 3 AB AC AD Таким образом, V (куб ед) 6 6 Ответ: V АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Прямая на плоскости Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ax + By + C 0 Иногда в общем уравнении выражают y через x и получают уравнение прямой с угловым коэффициентом: y kx + b Пример Построить прямые на плоскости, заданные общими уравнениями: а) l : x + y 3 0 ; б) l : x ; в) l 3 : y 4 0; г) l 4 : 3x y 0 7

18 Решение: а) Прямая l задана уравнением x + y 3 0 Если x 0, то 0+y 30 и y3, и точка A(0;3) принадлежит прямой l, что записывается: A( 0;3) l Пусть x, тогда +y 30 и y, то есть B( ;) l Известно, что две точки однозначно определяют прямую на плоскости (рис ) б) Прямая l задана уравнением x + 5 0, это значит, что абсцисса любой точки этой прямой равна 5, а ордината произвольная Например, точки A ( 5;0) и B( 5;) определяют прямую l (рис ) Если в общем уравнении коэффициент при y равен нулю, то прямая параллельна оси Oy в) Из уравнения y 4 0 следует, что произвольная точка прямой l 3 имеет ординатой y 4, а абсциссой любое число Например, точки A ( ;) и B(3;) определяют прямую l 3 (рис 3) Если в общем уравнении коэффициент при x равен нулю, то прямая параллельна оси Ox г) Подставим в уравнение l 4 : 3x y 0 значения x и, вычислив y, составим таблицу значений координат точек: x 0 y 0 3 Таким образом, точки O(0;0) и A (;3) определяют l 4 (рис 4) Если в общем уравнении прямой свободный коэффициент равен нулю, то прямая проходит через начало координат Пример Найти общее уравнение прямой на плоскости, если известно, что она проходит через точку (; ) и составляет с осью Ox угол в 30 Решение Рассмотрим в общем виде уравнение прямой, проходящей через данную точку ( x 0; y0) в заданном направлении: y y0 k( x x0) В этом уравнении коэффициент k это характеристика направления прямой, k tgα, где α угол наклона прямой к оси Ox o В задаче k tg30, координаты известной 3 точки равны (; ) (рис 5) Можем составить урав- 8

19 нение: y ( ) ( x ), раскроем скобки и перенесем все слагаемые влево: x + y или x + 3 y , это и есть искомое общее уравнение прямой Пример 3 Найти угол между прямыми l и l, заданными уравнениями: а) l : x + y + 0, l : x y + 3 0; б) l : 6x y + 0, l : 3x y 8 0 ; в) l : x y + 3 0, l : x + y 0 Решение Известно, что tg ) k k ( l, l, + k k где k, k угловые коэффициенты l и l соответственно а) Прямые l и l заданы общими уравнениями (рис 6), выразим y через x, узнаем угловые коэффициенты: x + y + 0 y x, т е k ; x y y x + 3, т е k Подставим полученные коэффициенты: tg ( l, l) 3, + ( ) 3 значит, искомый угол ( l, l) arctg3 б) Перепишем данные общие уравнения через угловые коэффициенты: l : 6x y + 0 y 3x +, k 3; l : 3x y 8 0 y 3x 8, k 3 Подставим коэффициенты: tg ( l, l) 0, значит, искомый угол (, l) o arctg0 0 l (рис 7) Если угловые коэффициенты прямых равны, то такие прямые параллельны в) Уравнения с угловыми коэффициентами для l : y x + 3, для l : y x + Тогда 9

20 ( ) 3 tg ( l, l) не существует, следовательно, + ( ) 0 (рис 8) Если k, то прямые перпендикулярны k ( l, l) Пример 4 Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки A ( 3; ) и B ( ;) Решение Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки x x A ( x ; y) и B ( x ; y) имеет вид: y y В нашем x x y y случае (рис 9) имеем: x 3 y ( ) 3 ( ), x 3 + y 4 3 o 90 Воспользуемся свойством пропорции: ( x 3) 3 ( y + ) ( 4) 3x 9 4y 4 3 x + 4y 5 0 Пример 5 Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок o длины 3 и образующей с прямой 3 x y + 0 угол в 45 Решение Для того чтобы составить уравнение искомой прямой, надо найти точку, лежащую на ней, и направление, тогда можно будет воспользоваться уравнением y y k x ) 0 ( x0 Искомая прямая образует угол в 45 с прямой y 3 x +, значит, можно воспользоваться формулой для нахождения угла между прямыми Получим o k 3 k 3 tg45, т е k 3 3k + k + 3k + 3k Известно, что искомая прямая отсекает на оси Oy отрезок длины 3, т е она проходит (рис 0) либо через точку A (0;3), либо через точку A (0; 3) В первом случае уравнение будет иметь вид y 3 ( x 0), т е y x + 3, а во втором y + 3 ( x 0), т е y x 3 Ответ: y x ± 3 Пример 6 Составить уравнение стороны AB, медианы BM и высоты CH треугольника ABC, если A ( 0; ), B (3;), C ( ;5) o 0

21 Решение Составим уравнение стороны AB, как уравнение прямой, проходящей через две данные точки A ( 0; ) и B (3;): x 0 ( ) y, x + y, 3 0 ( ) 3 3 x y + Уравнение стороны AB: x y 0 По определению медианы BM точка M есть середина стороны AC, т е ее координаты есть среднее арифметическое координат вершин A и C M ; M ( ;) Тогда уравнение медианы BM имеет вид: x 3 y x 3 y Если знаменатель одной из частей уравнения равен нулю, то это означает, что и числитель равен нулю, т е уравнение медианы BM: y 0 Действительно, на рис видно, что медиана BM параллельна оси абсцисс По определению высота CH перпендикулярна стороне AB, т е угловые коэффициенты этих прямых в произведении дают Угловой коэффициент AB равен, следовательно, угловой коэффициент высоты CH равен Запишем уравнение CH как уравнение прямой, проходящей через точку C ( ;5) с угловым коэффициентом : y 5 ( x ( )) Таким образом, x+y 30 уравнение высоты CH треугольника ABC Плоскость в пространстве Плоскость в пространстве (рис ) однозначно определяется точкой M 0( x0; y0; z0) и вектором нормали n ( A, B, C) Уравнение плоскости с нормалью n ( A, B, C), проходящей через данную точку M 0( x0; y0; z0), имеет вид: A ( x x0 ) + B( y y0) + C( z z0) 0 Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые можно получить общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz + D 0 Пример 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (;;3) перпендикулярно вектору AM, где A ( ;; ) Решение Для того чтобы составить уравнение плоскости надо узнать координаты вектора нормали, в качестве которой (по условию) рассмотрим

22 вектор AM Для нахождения координат вектора AM из координат конца вектора вычтем координаты его начала: AM ( ( ); ; 3 ) или AM (; 0; ) Подставим данные в уравнение плоскости, заданное точкой и вектором нормали: ( x ) + 0 ( y ) + ( z 3) 0 x + z 8 0 Искомое общее уравнение плоскости: x + z 4 0 На рис 3 видно, что плоскость заданная таким уравнением параллельна оси Oy Пример 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 0;; ) и содержащей векторы a (; 0; ) и b( ; 3; 8) Решение Из схематичного рисунка 4 видно, что вектором нормали плоскости может служить любой вектор, перпендикулярный одновременно и вектору a, и векторуb Таким вектором может служить векторное произведение a b Вычислим его: i a b 0 6k j 6i 6 j 6 i 8 j + 6k j 3 Будем рассматривать в качестве вектора нормали вектор n ( 6, 8,6) Составим уравнение плоскости: 6 ( x 0) 8( y ) + 6( z ( )) 0 Упростив, получим искомое уравнение: x 3 y + z Пример 9 Составить уравнение плоскости, содержащей точки M (; ;), M (3;0; ) и M 3( 3;; ) Решение Из схематичного рисунка 5 видно, что произвольная точка M ( x; y; z) лежит в плоскости, определяемой точками M x ; y ; ), k 8 ( z M ( x; y; z) и M 3( x3; y3; z3), если векторы MM, M M, M 3M компланарны, т е их смешанное произведение равно нулю Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки имеет вид: x 3 x x x x x y 3 y y y y y z z z z z 3 z 0

23 В наших условиях: x 3 3 y z 0 Найдем определитель левой части уравнения: 3( x ) + ( z ) + 0 ( y + ) + 5 ( z ) + 4( x ) + 3( y + ) ( x ) + 3( y + ) + 7( z ) x + 3 y + 7z + 4 Таким образом, искомое уравнение имеет вид: x + 3 y + 7z Пример 0 Найти угол между плоскостями α и α, если они заданы следующими уравнениями: а) α : 3x y + z 0, α : y + 3z + 0; б) α : x + 4y z + 3 0, α : 3x + 6y 3z 0 ; в) α : x + y 3z + 0, α : 3x + 6y + z 7 0 Решение Угол между плоскостями численно равен углу между нормалями к этим плоскостям, таким образом, cos( α, α) cos( n, n) n n n n а) Так как в общем уравнении плоскости коэффициенты при неизвестных координаты вектора нормали плоскости, то n (3; ; ), n (0;;3 ) Значит, α cos(, α) 0 0 и ( α, α) arccos б) В этом случае векторы нормалей: n (;4; ), n (3;6; 3) Тогда cos( α, α) ( α o ( 6) и, α ) arccos, следовательно, плоскости параллельны Для того чтобы плоскости были параллельны необходимо и достаточно, чтобы их нормали были коллинеарны, т е иметь пропорциональные координаты Действительно, в задаче координаты нормалей соотносятся: 4, значит, n n, и плоскости параллельны в) В этом случае векторы нормалей: n ( ;; 3), n (3;6; ) Тогда α o cos(, α) 0 и ( α, α) arccos 0 90, следовательно, плоскости перпендикулярны Плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их векторы нормали, те их скалярное произведение равно нулю Действительно, в нашем слу-

24 чае n n ( ) ( 3) , значит, n n, и плоскости перпендикулярны 3 Прямая в пространстве Прямая в пространстве может быть задана, как пересечение двух плоскостей (общее уравнение прямой в пространстве): A x + B y + Cz + D 0, A x + B y + Cz + D 0 Так же, однозначно определяют прямую точка M 0( x0, y0, z0) и направляющий вектор l ( m, n, p), в этом случае говорят о каноническом уравнении x x y y z z прямой: m n p 0 Пример Составить каноническое и общее уравнения прямых, проходящих через точку M ( ;;4 ) параллельно: а) вектору a (3; ; ); б) вектору b(0; ; 3); в) оси Ox Решение: а) Пусть прямая l проходит через точку M ( ;;4 ) параллельно вектору a (3; ; ) (рис 6), тогда каноническое уравнение l имеет вид: x + y z 4 Каноническое уравнение прямой представляет собой два 3 равенства, запишем их, объединив системой: 4 0 x + y, 3 Упростим уравнения в этой системе, y z 4 ( x + ) 3( y ), используя свойства пропорции: y ( z 4) Получим общее уравнение l : x 3y + 8 0, Причем, y z каждое уравнение этой системы задает плоскость, содержащую прямую l б) Пусть прямая l проходит через точку M ( ;;4 ) параллельно вектору b(0; ; 3) (рис 6), тогда каноническое уравнение l имеет вид: x + y z 4 Ноль в знаменателе канонического уравнения прямой 0 3 означает, что числитель тоже равен нулю, то есть x + 0, и у всех точек пря- 0

25 мой l абсцисса одинакова, x Таким образом, получено уравнение одной плоскости, в которой лежит l : x + 0 Преобразуем равенство y 4 z 3 и получим уравнение второй плоскости, содержащей l : 3 ( y ) ( ) ( z 4) 3y + z 0 0 Общее уравнение l : x + 0, 3y + z 0 0 б) Пусть прямая l 3 проходит через точку M ( ;;4 ) параллельно оси Ox (рис 6), тогда она параллельна орту i, то есть l 3 (;0;0 ) Каноническое x + y z 4 уравнение l 3 имеет вид: Нули знаменателя в каноническом уравнении прямой означают, что числители тоже равны нулю, то есть у 0 0 всех точек прямой l 3 : y, z 4 Плоскость y это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz и отстоящая от нее на единицы, а z 4 это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxy и отстоящая от нее на 4 единицы Таким образом, прямая может быть задана пересечением плоскостей y и z 4, и общее уравнение l 3 : y 0, z 4 0 Пример Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки M (; 3; ) и M (; ; 3) Решение Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в x x общем виде записывается: y y z z Для наших данных: x x y y z z x y 3 z + x y 3 z +, Обозначим все части равенства через t и выразим через него неиз- x t, y 3 вестные: t, 4 z + t, 4 x t Тогда y 4t z 4t x t, y 3 4t, z + 4t 0 +, + 3, параметрическое уравнение прямой M M 5

26 В общем виде параметрическое уравнение прямой в пространстве записывается: y nt + y0, где ( m, n, p) координаты направляющего вектора x mt + x0, z pt + z0, прямой, а ( x 0, y0, z0) координаты точки, лежащей на прямой x y + 3z 0, Пример 3 Найти угол между прямыми l : и x + y z x y + z 3 l : 4 5 Решение Угол между прямыми в пространстве численно равен углу между их направляющими векторами То есть для нахождения угла между прямыми l и l, надо найти их направляющие векторы Направляющий вектор прямой l можно сразу записать из ее канонического уравнения: l ( ; 4; 5) Направляющий вектор прямой l должен быть параллелен самой прямой, а, следовательно, обеим плоскостям из общего ее уравнения Вектор параллелен плоскости, если перпендикулярен вектору нормали этой плоскости, координаты вектора нормали коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости Значит, l n(; ; 3) и l n(;; ) Так как l перпендикулярен двум векторам, то в его качестве мы можем рассмотреть векторное произведение n n l n n 3 i + k + 6 j ( k + 3i j) 4 i + 7 j + 3k i j k Теперь направляющие векторы обеих прямых нам известны l ( 4; 7; 3), l ( ; 4; 5), и можно вычислить угол между ними: l cos( l, l) l , а так l l как cos( l, l ) cos( l, l), то ( l, l ) arccos 777 Пример 4 Записать каноническое уравнение прямой, заданной общим уравнением: x y + z 0, x 3y + z 0 6

27 Решение Для того чтобы записать каноническое уравнение прямой необходимо знать направляющий вектор этой прямой и точку, через которую она проходит В качестве направляющего вектора прямой рассмотрим векторное произведение нормалей n (; ; ) и n ( ; 3;) плоскостей из данного общего уравнения: 3 n n 5i 5 j 5k i j k Для того чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, надо рассмотреть какое-либо простое значение одной из переменных и решить систему общего уравнения, подставив это значение Например, пусть z 0, тогда данное общее уравнение примет вид x y 0, x, То есть точка с x 3y 0 y координатами ( ; ; 0) принадлежит данной прямой Следовательно, искомое каноническое уравнение имеет вид: или x y + z x y + z 4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Пусть прямая l задана каноническим уравнением x x0 y y0 z z 0, плоскость α общим уравнением Ax + By + Cz + D 0 m n p Рассмотрим всевозможные варианты расположения прямой и плоскости в пространстве Прямая l и плоскость α параллельны, если направляющий вектор l ( m, n, p) и нормаль n ( A, B, C) перпендикулярны (рис 8), то есть их скалярное произведение равно нулю Am + Bn + Cp 0 Прямая l лежит в плоскости α, если Am + Bn + Cp 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D 0 Прямая l и плоскость α перпендикулярны, если направляющий вектор l ( m, n, p) и нормаль n ( A, B, C) коллинеарны A B C (рис 9), то есть их координаты пропорциональны m n p 7

28 Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости (либо пересекаются, либо параллельны) или не лежать в одной плоскости (прямые скрещиваются) Пример 5 Выяснить, лежат ли в одной плоскости прямые x 3t, x y + l : y t +, и l : z z t + Решение Прямые лежат в одной плоскости, если их направляющие векторы и вектор, соединяющий точки на этих прямых, компланарны (их смешанное произведение равно нулю) Выпишем из уравнений l и l координаты направляющих векторов l, l и точек l M, M l Прямая l задана параметрически, поэтому координаты l это коэффициенты при параметре t, а координаты точки M свободные члены, то есть l (3; ; ), M ( ; ; ) Прямая l задана канонически, поэтому координаты l знаменатели отношений, а координаты точки M свободные члены числителей с минусом, то есть l (; ; ), M (; ; 0) Координаты вектора M M есть разности координат M и M, то есть M M (3; ; ) Найдем смешанное произведение векторов l, l, M M : 3 l l MM Смешанное произ- 3 ведение векторов l, l, M M не ноль, следовательно, эти векторы не компланарны, и прямые не лежат в одной плоскости Пример 6 Найти взаимное расположение прямой l и плоскости α, x y + 3 z 7 если: а) l :, α : x y + 3z 0 0 ; 7 x y + z б) l :, α : x + y z ; 3 x y + 3 z в) l :, α : 3x + y 4z ; 6 8 x + y 7 z + г) l :, α : x + y + z

29 Решение: а) Проверим, являются ли прямая l и плоскость α параллельными, вычислим для этого скалярное произведение направляющего вектора l (; 7;) и нормали n ( ; ; 3) : l n + 7 ( ) Видим, что l n, следовательно, l α или l α Проверим, лежит ли прямая l в плоскости α, подставив координаты точки M 0(; 3; 7) в уравнение плоскости: ( 3) Мы получили неверное равенство, следовательно, M α и l α 0 Таким образом, l α б) В этом случае n ( ; ; ), l ( 3;; ), M 0(0; ; ) Проверим, перпендикулярны ли векторы n и l : l n ( ) ( ) ( ) 0 Так как l n, следовательно, l α или l α Подставим координаты точки M 0 в уравнение плоскости α: 0 + ( ) Полученное верное равенство говорит о том, что M α, следовательно, l α 0 в) В этом случае n ( 3;; 4), l ( 6; ; 8), M 0(; 3; ) Проверим, чему равно скалярное произведение векторов n и l : l n , то есть векторы n и l не перпендикулярны Следовательно, прямая l не может ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной Проверяя, коллинеарны 3 4 ли векторы n и l, видим, что (их координаты пропорциональны), то есть l n Значит, l α 6 8 Можно найти точку пересечения прямой l и плоскости α, решив совме- x y + 3 z, стно их уравнения: 6 8 Для упрощения решения введем параметр в уравнении прямой (перейдем к параметрическому 3x + y 4z уравнению): x t, 6 y + 3 t, z t, 8 3 6t + 3x + y 4z , ( ) x 6t +, x 4, y t 3, y 5, z 8t +, z 9, + (t 3) 4( 8t + ) , t 9

30 Получили, что точка N ( 4; 5; 9) является общей для прямой l и плоскости α, следовательно, l α N ( 4; 5; 9) г) В этом случае n ( ; ;), l (7; 3; 5), M 0( ; 7; ) Так как l n , то прямая l не может ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной Координаты n и l не пропорциональны:, то есть прямая l не перпендикулярна плоскости α Так как исчерпаны все другие возможности, то остается только один вариант прямая l и плоскость α пересекаются Найдем точку их пересечения, решив совместно уравнения: x 7t, x, x + y 7 z +, y 3t + 7, y, x + y + z 0, z 5t, z 6, ( 7t ) + (3t + 7) + (5t ) 0, t 3 Получили, что точка K ( ; ; 6) является общей для прямой l и плоскости α, следовательно, l α K( ; ; 6) Пример 7 Найти расстояние d от точки N (; ; 0) до плоскости α : 3x + y z + 0 Решение Расстояние от точки M 0( x0; y0; z0) до плоскости Ax0 + By0 + Cz0 + D Ax + By + Cz + D 0 вычисляется по формуле: d В A + B + C 3 + ( ) ( ) + 7 нашем случае d Ответ: d Пример 8 Найти расстояние от точки K (; ; 6) до прямой y + z l : x 3 Решение Рассмотрим плоскость α, перпендикулярную прямой l и проходящую через точку K Нормалью этой плоскости будет являться направляющий вектор l (; ; 3) прямой (рис 0) Уравнение плоскости α имеет вид: ( x ) + ( y + ) + 3( z 6) 0, то есть x + y + 3z

31 Пусть точка L точка пересечения прямой l и плоскости α (рис 0) Найдем ее координаты, решив совместно уравнения прямой l и плоскости α: x t, x, y + z x, y t, y, 3 x + y + 3z 8 0, z 3t +, z 5, t + (t ) + 3(3t + ) 8 0, t Итак, L (; ; 5) Расстояние между точками K и L является искомым расстоянием между точкой K и прямой l Ответ: KL ( ) + ( ) + ( 5) В методических указаниях разобраны только основные типы задач, которые используются в контрольных заданиях первого семестра обучения на открытом факультете СПбГЭТУ «ЛЭТИ» по темам векторная алгебра и аналитическая геометрия 3

32 Содержание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 3 Координаты точки на плоскости и в пространстве 3 Векторы в прямоугольной декартовой системе координат 7 3 Умножение вектора на число 9 4 Сумма векторов 0 5 Скалярное произведение векторов 6 Векторное произведение векторов 4 7 Смешанное произведение векторов 6 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 7 Прямая на плоскости 7 Плоскость в пространстве 3 Прямая в пространстве 4 4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 7 Редактор Подписано в печать Формат /6 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л 0 Гарнитура «Times» Тираж 50 экз Заказ Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 97376, С-Петербург, Проф Попова, 5 3

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее