Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов"

Транскрипт

1 СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0

2 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович Соболев СК, Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по курсу «Аналитическая геометрия» М: МГТУ им НЭ Баумана, илл 3 Изложены основы аналитической геометрии прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве: различные виду уравнений прямых и плоскостей, исследование их взаимного расположения, приложения к планиметрии и стереометрии Разобрано большое количество примеров различной степени сложности Содержит задачи для самостоятельного решения снабженные ответами и указаниями Для студентов, изучающих и применяющих аналитическую геометрию Рекомендовано: Учебно-методической комиссией факультета Фундаментальные науки МГТУ им НЭ Баумана

3 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 Глава Прямая в пространстве 6 Уравнение прямой с угловым коэффициентом 6 Взаимное расположение двух прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом 6 3 Общее уравнение прямой на плоскости 7 4 Взаимное расположение двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями 7 5 Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости 7 6 Уравнение прямой на плоскости «в отрезках» 8 7 Нормальное (полярное) уравнение прямой на плоскости 9 8 Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости 9 9 Расстояние от точки до прямой на плоскости 9 0 Пучок прямых на плоскости 9 Расположение отрезка относительно прямой на плоскости 0 Решением типовых примеров к главе 0 3 Задачи для самостоятельного решения к главе 9 Глава Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости в векторной форме Общее уравнение плоскости в координатной форме 3 Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости 4 Специальные виды уравнения плоскости 4 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 4 Уравнение плоскости «в отрезках» 43 Нормальное уравнение плоскости 44 Параметрические уравнения плоскости 5 Расстояние от точки до плоскости 3 6 Расположение отрезка относительно плоскости 3 7 Взаимное расположение двух плоскостей 3 8 Решение типовых примеров к главе 4 9 Решение геометрических с помощью уравнения плоскости 7 0 Задачи для самостоятельного решения к главе 3 Глава 3 Прямая в пространстве 35 3 Общие уравнения прямой в пространстве 35 3 Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве 35 3

4 Оглавление 33 Общее векторное уравнение прямой в пространстве Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям и обратно Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Расстояние от точки до прямой в пространстве Пучок плоскостей Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Решением типовых примеров к главе Задачи для самостоятельного решения к главе 3 45 Глава 4 Взаимное расположение прямых и плоскостей Геометрические задачи на прямую и плоскость в пространстве 49 4 Взаимное расположение прямой и плоскости 49 4 Взаимное расположение двух прямых в пространстве Угол между двумя прямыми 5 44 Нахождения точки пересечения двух пересекающихся прямых в пространстве 5 45 Расстояние между двумя параллельными прямыми 5 46 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 5 47 Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых 5 48 Решение типовых примеров к главе Задачи для самостоятельного решения к главе 4 65 Ответы и указания 69 Литература 74 4

5 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Введение Аналитическая геометрия была создана французскими математиками и Рене Декартом и Пьером Ферма в 7 веке Главная идея этой науки описывать геометрические объекты: точки, линии, поверхности алгебраическими методами, главным образом, уравнениями Для точного математического описания положения точек на плоскости или в пространства вводится прямоугольная система координат, называемая также декартовой Любопытно, что в математике координаты появились намного позже, чем в астрономии и географии Положение каждой точки на плоскости определяется двумя, а в пространстве тремя числами координатами этой точки Тогда одно уравнение с двумя переменными F( x, y ) = 0задает (как правило) на плоскости линию, состоящую из всех точек M ( x; y ), координаты которых удовлетворяют этому уравнению Аналогично, уравнение с тремя переменными F( x, y, z ) = 0 задает (вообще говоря) в пространстве поверхность, состоящую из всех точек M ( x; y; z ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению Соответственно, система двух таких уравнений { F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0 задает некоторую линию, а именно линию пересечения двух поверхностей В данном пособии мы рассмотрим геометрические объекты, задаваемее линейными уравнениями вида ax + by + c = 0 (на плоскости) и вида ax + by + cz + d = 0 в пространстве) Эти уравнения описывают прямые и плоскости Мы научимся задавать прямые и плоскости уравнениями разных видов, исследовать их взаимное расположение, а также решать геометрические задачи методами аналитической геометрии Для понимания изложенного материала требуется хорошее владение векторной алгеброй, см, например, [6] В начале каждой главы излагается весь необходимый теоретический материал и приводятся все необходимые формулы Далее разбираются примеры: как простейшие, так и средней и повышенной сложности Конец решения примера помечен квадратиком В заключении каждой главы имеются задачи для самостоятельного решения (с ответами в конце пособия) 5

6 Глава Прямая на плоскости Глава Прямая на плоскости Прямая на плоскости может быть задана уравнениями разных видов Y Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть на декартовой плоскости, те на плоскости, на которой задана декартова система координат XOY, расположена прямая l, не параллельная оси OY Возьмем на этой прямой произвольные две точки M( x; y ) и M ( x; y ) Тогда справедливо утверждение: y y Отношение k = не зави- x x сит от выбора точек M и M на этой прямой, равно тангенсу угла α наклона этой прямой к оси ОХ и называется её угловым коэффициентом: k = tgα Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + m ( k, m = const R), где k угловой коэффициент этой прямой, пересекающей ось OY в точке В с координатами B(0; m ) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через точку M 0( x0; y 0) : y y = k( x x ) () 0 0 Взаимное расположение двух прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом = + То- Пусть на плоскости даны прямые : гда эти прямые: (а) совпадают { k = k, m = m ; l y kx m k (б) параллельны (но не совпадают) { = k, m m ; = + и : l y kx m (в) пересекаются (в одной точке) k k ; (г) перпендикулярны k k = ; () (д) не перпендикулярны и образуют угол ϕ, тангенс которого равен k k kk, tgϕ = (3) + k k 3 Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид l : ax + by + c = 0, где a, b, c = const R и a + b > 0, причем, вектор n { a; b} перпендикулярен прямой l и называется её нормальным вектором В частности: α y y B 0 x x x l } y Рис 6 Х

7 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости (а) a = 0 прямая l параллельна оси ОХ; (б) b = 0 прямая l параллельна оси ОY; (в) c = 0 прямая l проходит через начало координат Уравнение прямой, проходящей через точку M 0( x0; y 0) перпендикулярно ненулевому вектору n { a; b}, Y имеет вид: n { a; b} a( x x ) + b( y y ) = 0 (4) Взаимное расположение двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями Пусть на плоскости даны прямые l : ax + b y + c = 0 и l : ax + b y + c = 0 Тогда эти прямые: a b c (а) совпадают ; a b c a b c (б) параллельны (но не совпадают) = ; a b c (в) пересекаются (в одной точке) a b a b ; (г) перпендикулярны ( n n ) = 0 aa + bb = 0; (д) образуют между собой угол ϕ, косинус которого равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами: ( n n ) aa + bb cosϕ = cos( l ^l ) (5) n n a + b a + b 5 Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости Пусть на плоскости дана некоторая линия L, прямая или кривая Отметим на этой линии точку отсчета M 0, зададим некоторое направление (называемое положительным) и затем сопоставим каждой точке М этой линии некоторой число t, которое равно нулю в точке M 0 и непрерывно увеличивается (уменьшается) при движе- L Y нии вдоль линии L в положительном (отрицательном) направлении Величина t называется пара- M ( t ) y( t ) метром, но правильней её было бы назвать внутренней координатой точки М на линии L M 0( x0; y 0) Если выразить декартовы (внешние) координаты точки М кривой через её параметр (внутреннюю координату) t в виде некоторых функций: 0 x( t ) X Рис 3 x = x( t), y = y( t), то получим так называемые па- y 0 0 x 0 M 0 l Рис Х 7

8 Глава Прямая на плоскости раметрические уравнения линии L x = x( t ) } t ( α; β ), (6) y = y( t) где ( α; β ) интервал изменения параметра t Например, если t время, то уравнения (6) задают траекторию движения точки на плоскости Составим параметрическое уравнение прямой линии на плоскости Пусть прямая l параллельна ненулевому вектору s { p; q} (он называется направляющим вектором этой прямой) и проходит через данную точку M 0( x0; y 0) Тогда точка M ( x; y ) принадлежит прямой l вектор M 0M коллинеарен вектору s M 0M = t s при некотором t R Следовательно, радиус- вектор точки M задается уравнением: OM = OM 0 + t s (7) (где t пробегает все вещественные значения те t R ), которое называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме При этом каждой точке прямой соответствует некоторое значение параметра (внутренней координаты) t, и наоборот, в частности, значению t = 0 отвечает сама точка Y M 0, а значению t = соответствует точка M t = l этой прямой такая, что M 0M = s s M ( x; y ) Если в векторном уравнении (7) перейти к координатам, то получим параметрические y t = 0 M 0 M 0 уравнения прямой в координатной форме: x = x0 + pt, t y = y0 + qt R (8) 0 x 0 X Исключив параметр t из этих уравнений, Рис 4 получим каноническое уравнение прямой l на плоскости: x x0 y y0 = (9) p q где x0, y 0 координаты точки, принадлежащей этой прямой, { p; q } координаты направляющего вектора прямой 6 Уравнение прямой на плоскости «в отрезках» Если прямая на плоскости не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках A( a ; 0) и B(0; b ) (см Рис 5), то она задается уравнением x y + = (0) a b Y b 0 a B l Рис 5 a A 8 X

9 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости 7 Нормальное (полярное) уравнение прямой на плоскости Если прямая l на плоскости не проходит через начало координат, перпендикуляр ОР, опущенный из начала координат на эту прямую, имеет длину р и образует с осью ОХ угол α (см Рис 6), то нормальное уравнение этой прямой имеет вид: x cosα + y sinα = p () При этом вектор OP имеет координаты OP{ p cos α; p sinα } 8 Нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости Напомним, что координаты точки пересечения двух линий на плоскости являются решениями системы уравнений этих линий В частности, координаты точки пересечения двух пересекающихся прямых l : ax + b y + c = 0 и l ax + b y + c = 0 являются решениями системы: : { a x + b y + c = 0, ax + b y + c = 0 Аналогично находится точка пересечения прямых, если одна из них или обе они заданы каноническими уравнениями Очень легко находить точку пересечения двух прямых, если одна из них задана параметрически: x = x0 + pt, y = y0 + qt ( t R ), а вторая общим уравнением ax + by + c = 0 (или каноническим) Тогда надо решить систему трех уравнений: x = x0 + pt, y = y0 + qt, ax + by + c = 0, для чего следует подставить первые два уравнения в третье, решить полученное уравнение и найденное значение t подставить в первые два уравнения системы 9 Расстояние от точки до прямой на плоскости Расстояние от точки M 0( x0; y 0) до прямой l : ax + by + c = 0 (на плоскости) находится по так называемой формуле «дробь модуль корень»: ax0 + by0 + c ρ( M 0; l ) = () a + b 0 Пучок прямых на плоскости Пусть на плоскости даны две прямые (пересекающиеcя в некоторой точке M 0 ), заданные своими общими уравнениями l : ax + b y + c = 0 и l : ax + b y + c = 0 Тогда уравнение: ( a + λa ) x + ( b + λb ) y + ( c + λc ) = 0 (3) P p Y 0 α l Рис 6 X 9

10 Глава Прямая на плоскости с параметром λ = const R задает семейство всех прямых плоскости, проходящих через точку M 0 (кроме прямой l ) Это семейство прямых называется пучком прямых Таким образом, при любом значении λ уравнение (3) задает некоторую прямую, проходящую через точку M 0 пересечения данных прямых l и l, и наоборот, всякая прямая т, проходящая через точку M 0, кроме прямой l, задается уравнением вида (3) при подходящем значении λ Расположение отрезка относительно прямой на плоскости Пусть на плоскости дана прямая l : ax + by + c = 0 и отрезок с концами в точках M( x; y ) и M ( x; y ), которые не лежат на этой прямой Для любой точки M ( x; y ) обозначим Y ϕl( M ) = ϕl ( x, y) = ax + by + c Тогда (а) отрезок MM пересекает эту прямую, те точки l M и M лежат по разные стороны от прямой l M ϕl( M) ϕl ( M) < 0 (Рис 8); (б) отрезок MM не пересекает прямую l, те точки M M и M лежат по одну сторону от этой прямой 0 X ϕ ( M ) ϕ ( M ) > 0 Рис 8 l l Решением типовых примеров к главе Пример На плоскости даны точки A(3; ) и B (; 4) Написать уравнения: (а) прямой АВ; (б) прямой, проходящей через точку А перпендикулярно АВ, Решение (а) Вектор AB{ ; 5} является направляющим для искомой прямой, поэтому её уравнение запишем, сначала в каноническом виде (9), а затем и общем виде: x 3 y + = 5x 5 = y 5x + y 3 = 0 5 (б) Для этой прямой вектор AB{ ; 5} является нормальным, поэтому уравнение прямой запишем в общем виде (4): ( ) ( x 3) + 5 ( y + ) = 0 x y + 5 = 0 x 5y = 0 Ответы (а) 5x + y = 3 = 0; (б) x 5y = 0 Пример Найти расстояние от точки A(4; 3) до прямой l, заданной параметрически: x = 3 + t, y = t, t R Решение Запишем сначала каноническое уравнение, исключив параметр t, из которого легко получим общее уравнение прямой l: Y 0 a M 0 Рис 7 l l m X 0

11 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости x 3 y + 4 t = = 5( x 3) = ( y + 4) 5x y 3 = 0 5 Расстояние находим о формуле () : ρ( A, l ) = = ( ) 9 Ответ: 9 9 Пример 3 Найти параметрические уравнения и каноническое уравнение прямой, заданной общим уравнением 3x + 5y + 4 = 0 Решение Заметим, что векторы n { a; b} и m { b; a} всегда ортогональны, тк их скалярное произведение равно нулю: ( ni m) = ab ba = 0 Поэтому вектор s {5; 3} перпендикулярен нормальному вектору n {3; 5} этой прямой и, следовательно, является для неё направляющим Подбором найдем какую-нибудь точку M0( x0; y 0) этой прямой, например, x0 = 3, y0 = Следовательно, данная прямая может быть задана парамет- l Y рическими уравнениями: x = 3 + 5t, y = 3 t, t R Исключая параметр t, B получаем каноническое уравнение Ответ x + 3 y m = X Пример 4 Найти координаты точки В проекции точки A(4; ) на Рис 9 прямую : x 3y 8 0 прямой : 3x 5y 7 0 l A Решение Точка В есть пересечение прямой m, проходящей через точку А параллельно прямой l, поэтому имеющей тот же нормальный вектор n {3; 5}, следовательно, её уравнение m : 3( x 4) + 5( y + ) = 0 3x + 5y 7 = 0 Координаты точки В (пересечения прямых Y C ( t = 0) т и l ) являются решением систе- мы уравнений этих прямых: A x 3y 8 0 x, 3x 5y 7 0 { l + = y = C ( t = t = ) Ответ B( ; ) Пример 5 На плоскости даны три точки A( ; 4), B(7; ) и C (5; 8) Найти координаты: (а) точки C ортогональной проекции точки C на прямую АВ; (б) точки C симметричной точке С относительно прямой АВ 0 C ( t = t = t = 4 ) B X Рис 0

12 Глава Прямая на плоскости Решение Сначала напишем каноническое уравнение прямой АВ, её направляющим вектором является любой вектор s, коллинеарный вектору AB{9; 6}, например, s {3; } Получаем каноническое, а затем и общее уравнение прямой АВ: x + y 4 = ( x + ) = 3( y 4) x + 3y 8 = 0 3 Точка C есть точка пересечения прямой АВ с прямой l, проходящей через точку С перпендикулярно АВ (см Рис 0), её направляющим вектором является нормальный вектор прямой АВ, а именно, n {; 3) Напишем параметрические уравнения прямой l: x = 5 + t, y = t ( t R ), и подставим их в уравнение прямой АВ: x = 5 + t x = 5 + t x = 5 + t =, y = 8 + 3t y = 8 + 3t y = 8 + 3t =, x + 3y 8 = 0 (5 + t) + 3(8 + 3 t) 8 = 0 t = = t Прямая АВ пересекает прямую l в её точке, соответствующей значению параметра t = = t, те в точке C (; ) Поскольку точке С соответствует t = 0 и CC = CC, то точке C( x; y ) соответствует удвоенное значение параметра: x = 5 + t = 3, t = t = t = 4 y = 8 + 3t = 4 Ответ: (а) C (; ), (б) C ( 3; 4) { Пример 6 На плоскости даны прямые l :x + y 7 = 0и l : x y + 3 = 0 Найти уравнения биссектрис углов, образованных этими прямыми Решение Как известно, точка M ( x; y ) принадлежит биссектрисе некоторого угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от его сторон Следовательно, искомые биссектрисы задаются уравнением x + y 7 x y + 3 ρ( M ; l) = ρ( M ; l) = + + x + y 7 x y + 3 = x + y 7 = 5 x y x + y 7 = 5(x y + 3) x + 7 y = 0, x + y 7 = 5(x y + 3) x 3y + 8 = 0 Отметим, что полученные две прямые, как и должно быть, перпендикулярны друг другу, тк скалярное произведение их нормальных векторов n {; 7} и n {; 3} равно нулю: ( n n ) = + 7 ( 3) = 0 Ответ: x + 7 y = 0и x 3y + 8 = 0 Пример 7 В треугольнике АВС известны уравнения его сторон: AB : 3x y = 46, AC : y = 3x + 4и BC : x + y = 4 Найти: (а) координаты центра Q описанной окружности и её радиус; (б) величину высоты h B, опущенную

13 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости из вершины B на сторону АС; (в) уравнение высоты AD и координаты точки пересечения высот Н Решение (а) Сначала найдем координаты вершин треугольника Координаты точки А являются решениями системы уравнений прямых АВ и АС: 3x y = 46 x = 3 { { A( 3; 5) 3x y = 4 y = 5 Аналогично находим координаты остальных двух вершин: B(8; ), C(;0) Центр описанной окружности Q лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника Серединный перпендикуляр l Aк стороне ВС проходит через середину Е этой стороны перпендикулярно ей: C Y x = x + x = (8 + ) = 5, E ( B C ) ( ) E B C y = y + y = (0 ) = 4 E(5; 4) Нормалью для этого перпендикуляра l является любой вектор, коллинеарный A вектору BC{ 6;}, например, n { ; }, поэтому его уравнение: ( x 5) + ( y 4) = 0 x + y 3 = 0 Серединный перпендикуляр l B к стороне АС найдем иначе: каждая его точка M ( x; y ) равноудалена от вершин A( 3; 5) и C (;0) : M l ρ( M, A) = ρ( M, C) B ( x + 3) + ( y + 5) = ( x ) + ( y 0) x + 6x y + 0y + 5 = x 4x y 0y + 00 x + 3y 7 = 0 Искомая точка Q есть пересечение прямых l Aи l B : x y + 3 = 0 x = { { Q(; ) x + 3y = 7 y = Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки Q до любой вершины треугольника: R = ρ( Q; B) = ( 8) + ( + ) = = 65 (б) высота h B равна расстоянию от точки В до прямой AC : y = 3x + 4 3x y + 4 = 0, которое найдем по формуле (): 3 8 ( ) + 4 h (, ) 30 B = ρ B AC = l B A R 0 Q R l A E H Рис B X 3

14 Глава Прямая на плоскости (в) Высота AD проходит через вершину A( 3; 5) перпендикулярно ВС, поэтому её уравнение ( x + 3) + ( y + 5) = 0 x + y + 7 = 0 Аналогично, высота BF проходит через точку В перпендикулярно вектору AC {5;5}, или, что же самое, вектору m {; 3}, поэтому уравнение этой высоты: ( x 8) + 3( y + ) = 0 x + 3y = 0 Находим координаты точки пересечения этих высот: x + y + 7 = 0 x = 5 H (5; ) x + 3y = 0 y = { { Замечание: Уравнения высот треугольника можно было найти, не вычисляя координаты его вершин и только зная уравнения его сторон Например, высота AD проходит через точку пересечения прямых AB : 3x y 46 = 0 и AC : 3x y + 4 = 0, и поэтому уравнение этой высоты ищем в виде пучка прямых: (3x y 46) + λ ( 3x y + 4) = 0 (3 + 3 λ) x + ( λ) y + ( λ) = 0 (4) Значение параметра λ ищем из условия, что нормальный вектор этой прямой n AD{3 + 3 λ; λ} должен быть ортогонален нормальному вектору прямой BC : x + y = 4, те n BC{;) : ( nac n BC ) = 0 (3+ 3 λ) + ( λ) = 0 λ = Подставляя λ = в (4), получаем уравнение высоты AD: 6x y 4 = 0 x + y + 7 = 0 Ответ: (а) Q(; ), R = 65 ; (б) h = 3 0 ; (в) x + y + 7 = 0, H (5; ) B Пример 8 В треугольнике АВС известны координаты его вершин A( ; 4), B(5; 3) и C (6; 4) Найти координаты центра вписанной окружности треугольника и её радиус Решение Первое решение Центр вписанной окружности треугольника лежит на пе- Y C ресечении его биссектрис Известно, что если векторы p и q имеют одинаковую длину (например, равную ), то вектор p + q направлен 0 по биссектрисе угла, образованного этими векторами Следовательно, биссектриса угла ВАС X направлена по вектору P B a = AB + AC A AB AC Рис Находим: AB{7;}, AB = 50 = 5, AC{8; 8}, AC = 8 Поэтому ( ) 6 a = {7;} + {8; 8} = {7;} + {5; 5} = {;} Следовательно, в качестве направляющего вектора биссектрисы угла ВАС можно взять любой 4

15 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости вектор, коллинеарный вектору а, например, s A{;} Уравнение этой биссектрисы: 4 x + y + = x y = 6 Аналогично, биссектриса угла АВС направлена по вектору s B, коллинеарному вектору 6 b = BA + BC = { 7; } + {; 7} = { ;}, BA BC следовательно, s B{ ;}, уравнение биссектрисы угла АВС: x 5 y + 3 = x + y = Находим координаты точки пересечения биссектрис Р: 0 x y = 6 x = { P 4 ( ; x + y = 3 3) y = 3 Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки Р до любой 4 стороны, например до АВ, уравнение которой x + y + = x 7 y 6 = 0 : 7 ( ) r = ρ( P; ( AB)) Второй способ нахождения биссектрисы угла ВАС Напишем уравнения сторон треугольника АВС: A( ; 4), B(5; 3) и C (6; 4) 4 АВ: x + y + = x + = 7( y + 4) x 7 y 6 = AC: x + y + = x y = BC: x 5 y + = 7( x 5) = y + 3 7x y 38 = Биссектрисы углов, образованными прямыми АВ и АС, найдем как в примере 6: ρ( M, AB) = ρ( M, AC) x 7y 6 x y = x 7y 6 = 5 x y + 49 x 7 y 6 = 5x 5y 0 x + y + 8 = 0 ϕ( x, y) = 0, x 7 y 6 = 5x + 5y + 0 x y 6 = 0 ϕ( x, y) = 0, Из этих двух прямых биссектрисой угла ВАС является та, которая пересекает отрезок ВС Проверяем точки B(5; 3) и C (6; 4) : ϕ( B) = 5 + ( 3) + 8 > 0, ϕ( C) = > 0, следовательно, первая прямая не пересекает отрезок ВС ϕ( B) = 5 ( 3) 6> 0, ϕ( C) = 6 4 9< 0, значит, вторая прямая пересекает ВС и является биссектрисой угла ВАС Третий способ нахождения координат центра вписанной окружности В примере 4 работы [6] получено, что координаты центра Р вписанной окруж- 5

16 Глава Прямая на плоскости ности треугольника АВС находятся по формулам: x P = ( a xa + b xb + c xc ), y P = ( a ya + b yb + c yc ), a + b + c a + b + c где a = BC = + 49 = 5, b = AC = = 8, c = 49 + = 5 Поэтому x ( 5 ( ) ) P = + + = + + = Аналогично, находим y ( 5 ( 4) 8 ( 3) 5 4) P = + + = + = P 0 ; 4, r = 4 Ответ: ( ) Пример 9 В треугольнике АВС известны координаты вершины A( 3; 6) и уравнения медианы BD : x + 8y = 5 (точнее, прямой, содержащей медиану BD), а также биссектрисы CE : 3x y = 5 (точнее, прямой, содержащей эту биссектрису) Найти координаты вершин В и С Решение Сначала заметим, что точка A, симметричная точке А относительно биссектрисы СЕ, лежит на прямой ВС Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно СЕ, задается параметрическими уравнениями: x = 3+ 3 t, y = 6 t Эта прямая пересекает СЕ x = 3+ 3t x = 3 + 3t x = 3+ 3t = 3 y = 6 t y = 6 t y = 6 t = 4 3x y 5 = 0 3( 3+ 3 t) (6 t) 5 = 0 t = = t при t = t =, следовательно, точке A соответствует удвоенное значение параметра t = t = 4, её координаты x = = 9, y = 6 4 = A (9; ) A A A t = 0 Y t = t = N D O E B A t = t = 4 X l M C Рис 3 Точка D середина стороны АС, поэтому x = x + x x = x x, аналогично, y = y y Напишем пара- ( ) D A C C D A C D A 6

17 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости 0 8 метрические уравнения медианы BD Вектор s { 8;} перпендикулярен нормальному вектору этой прямой, и поэтому является для неё направляющим 5 Положив в уравнении BD, например, x 0 = 0, получим y = Значит, BD про- 5 ходит через точку F (0; ) параллельно вектору s {8; }, следовательно, коор- 8 динаты точки D середины АС при некотором значении t удовлетворяют уравнениям: x = 8 t, y = t 5 Отсюда, D D x = x x = 8t + 3 = 3+ 6 t, C D A 8 ( ) y = y y = t 6 = t C D A Мы получили параметрические уравнения прямой l, проходящей через точку С параллельно медиане BD Отрезок АМ, соединяющий любую точку М этой прямой, пересекает медиану BD в середине N этого отрезка Подставим эти уравнения в уравнения биссектрисы СЕ, находим значение параметра t, соответствующего точке С: x = 3 + 6t x = 3 + 6t t =, 8 y 9 t = 4 y = t 4 xc = + ( 8 ) =, 3x y 5 3(3 6 t) 9 = 9 ( t 4 ) 5 + = yc = 4 ( 8) = Итак, точка С имеет координаты C(; ) Теперь напишем уравнение прямой CA : её уравнение x y + = x y 5 = Точка В лежит на пересечении этой прямой с медианой ВD: x y 5 = 0 xb = 7 x 8y 5 { Y + = yb = D Ответ: B(7;), C(; ) Пример 0 На плоскости А расположен квадрат ABCD Известна l координата его вершины A( ; 4), и 45 D что сторона ВС лежит на прямой C l : x 3y + = 0 Найти координаты В вершин C и D Решение Отрезок АВ перпендикулярен прямой l, поэтому В явля- C m 0 Х Рис 4 ется точкой пересечения прямой l с прямой т, проходящей через точку А перпендикулярно l Направляющим вектором прямой т является нормальный вектор п прямой l, n {; 3}, параметрические уравнения прямой т: x = + t, y = 4 3t Подставляя эти выражения в уравнение прямой l, находим: ( + t) 3(4 3 t) + = 0 3t = 3 t0 = x = + t =, y = 4 3t = B 0 B 0 7

18 Глава Прямая на плоскости Для нахождения координат точки С заметим, что прямая АС образует с прямой l угол 45 Обозначим через k угловой коэффициент прямой АС Поскольку у прямой l : x 3y + = 0 y = x + угловой коэффициент равен k = , то, применяя формулу (3) тангенса угла между прямыми, получим: 3k k = tg 45 k k k = + k k = = + + k 3 + k 3k k = k k = 5 = 3+ k У нас получается два варианта уравнения прямой АС (прямой, проходящей через точку A( ; 4) с угловым коэффициентом k): () k = 5: y 4 = 5( x + ) y = 5x + 9, эта прямая пересекает прямую l : x 3y + = 0в точке C( ; ), и, поскольку вектор AD = BC{ 3; }, точка D имеет координаты D( 4; ) () k = : y 4 = ( x + ) x + 5y 9 = 0, данная прямая пересекает 5 5 прямую l : x 3y + = 0 в точке C (4; 3), так же находим координаты точки D (; 6) Ответ: () C( ; ), D ( 4; ) ; () C(4; 3), D (; 6) Пример Написать уравнение прямой, проходящей через точку M ( 6; ) и такой, что площадь треугольника, ограниченного этой прямой и 5 координатными осями, равна 30 Решение Очевидно, что искомая прямая не проходит через начала координат, и пусть она пересекает оси ОХ и OY в точках A( a ; 0) и B(0; b ) соответственно Тогда её уравнение (в «отрезках») примет вид: x y + = Подставив в a b это уравнение координаты точки М, получим: 6 + = 30 b + a = 5 ab a 5b Площадь треугольника АВО равна S ABO = OA OB = ab = 30, следовательно, ab = ± 60 Получаем совокупность двух систем: ab = 60 ab = 60 ab = 60 { { 5 30b + a = 5ab 30b + a = 300 a = 5 + b ab = 60 ab = 60 ab = 60 { 30b a 5ab { 30b a = + = a = 5 + b Она имеет 4 решения a = 30 a = 5 a3 = 5 a4 = 0 { ; { ; ; { b = b = b3 = 4 b4 = 6 соответствующие четырем прямым: Ответ: () x y + = x + 5y 30 = 0; () x y + = x + 5y + 60 = 0 ;

19 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости (3) x y + = 4x 5y + 60 = 0 ; (4) x y + = 3x 5y + 30 = Задачи для самостоятельного решения к главе M0 ; 5 и имеющей угловой коэффициент k = 4 На плоскости даны точки A (; 5) и B (5;) Написать общее уравнение: (а) прямой АВ, (б) прямой, проходящей через точку В перпендикулярно отрезку АВ 3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( 3;6 ) и перпендикулярной прямой 7x y 4 = 0 4 Найти общее уравнение прямой x = + 5 t, y = 3+ 4t, t R 5 Найти (какие-нибудь) каноническое уравнение и параметрические уравнения прямой x 3y + 5 = 0 6 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( 3; ) и пересекающей прямую 3x y + 0 = 0под углом 45 7 Найти координаты точки В проекции точки A (8; ) на прямую l : x + 4 y 3 = 0параллельно прямой l : x 3y + 7 = 0 = 0 8 Найти координаты: (а) точки M проекции точки M ( 7; ) на прямую 5x 3y + 5 = 0; (б) точки M, симметричной точке М относительно данной прямой 9 На плоскости даны три точки A( ; 4), B(5; ) и C (5; 6) Найти координаты: (а) точки C проекции точки C на прямую АВ; (б) точки C симметричной точке С относительно прямой АВ 0 На плоскости даны прямые l : 7x + y 4 = 0и l : x y + = 0 Найти уравнения биссектрис углов, образованных этими прямыми Исследовать взаимное расположение двух прямых l и l (совпадают, параллельны или пересекаются) Если они параллельны, то найти расстояние d между ними, а если пересекаются, то найти координаты их точки пересечения М и угол между этими прямыми: (а) l : 5x + 3y + 9 = 0 4, : x y l = ; 7 (б) l :4x 8y + = 0, l : x = + 4 t, y = t, t R; (в) l : x = 3 t, y = t, t R, : x y + l + = 3 4 Дан треугольник АВС с вершинами A( 4; ), B ( ;6 ), C ( 4; 6) Составить уравнения прямых, содержащих: (а) медиану AM; (б) биссектрису BK; (в) высоту CH; (г) серединный перпендикуляр к стороне ВС 3 В треугольнике АВС известны координаты его вершин: A( ; ), B(; 7), C (7; ) Найти: (а) координаты центра Q описанной окруж- Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( ) 9

20 Глава Прямая на плоскости ности и её радиус; (б) величину высоты h A, опущенную из вершины А на сторону ВС; (в) уравнение высоты ВD и координаты точки пересечения высот Н 4 В треугольнике АВС, известны координаты его вершин A( ; 8), B(; 4) и C(0; ) Найти координаты центра вписанной окружности треугольника и её радиус 5 В треугольнике АВС известны координаты вершины A(7; ), уравнения медианы BD : 7x 6y = 0 (точнее, прямой, содержащей медиану BD) и высоты CE : 3x + y = 0 (точнее, прямой, содержащей эту биссектрису) Найти координаты вершин В и С 6 На плоскости расположен параллелограмм ABCD с углом 45 при вершине А Известна координата вершины C (4; ), также известно, что сторона АВ лежит на прямой l : x 3y + = 0 Найти координаты вершин А, В и D 7 Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (6; 4) и такой, что площадь треугольника, ограниченного этой прямой и координатными осями, равна 50 8 В квадрате ABCD известны координаты вершины A( 4; 3) и уравнение прямой BD : x y = 0 Найти координаты вершин В и С 9 В параллелограмме ABCD известны координаты вершины A( ; ), уравнение прямой BD : x + 3y 8 = 0и прямой BC : BC : x 7 y + 3 = 0Найти координаты вершины C и площадь параллелограмма A ; 4, уравнение 0 В ромбе ABCD известны: координаты вершины ( ) прямой BC : x y 3 = 0и координаты точки M ( 3; ), лежащей на прямой ВD Найти координаты вершин B, C и D В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ известны координаты вершин A( 5; 3) и B ( 4;), а вершина С лежит на прямой x + y + 6 = 0 Найти координаты вершины С В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС известны координаты вершин A( ; 6) и B ( 4; 3), а вершина С лежит на прямой x + y = 0 Найти координаты вершины С 3 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС известны координаты вершин A( ; 7) и B ( 3; ), а вершина С лежит на прямой x y 7 = 0 Найти координаты вершины С 4 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ известны координаты вершин A( 4; 3) и B ( 4;), а вершина С лежит на прямой x 4 y + 4 = 0 Найти координаты вершины С 0

21 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Глава Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости в векторной форме Пусть плоскость π проходит через заданную точку M 0( x0; y0; z 0) перпендикулярно заданному ненулевому вектору π n { a; b; c} Обозначим r 0 = OM 0 и r = OM M 0M радиус-векторы точки M 0 и точки M ( x; y; z ) Тогда точка М принадлежит Рис 5 плоскости π вектор M 0M = ( r r 0) параллелен плоскости π вектор ( r r 0) перпендикулярен вектору n ( ni ( r r0 )) = 0 ( ni r) = α, () где α = ( ni r0 ) Уравнение () называется общим уравнением плоскости в векторной форме Общее уравнение плоскости в координатной форме Поскольку вектор ( r r 0) имеет координаты M 0M{ x x0; y y0; z z0}, получаем координатную форму уравнения плоскости, проходящей через заданную точку M 0( x0; y0; z 0) перпендикулярно заданному вектору n { a; b; c} : a( x x0) + b( y y0) + c( z z0) = 0 () Раскрыв в () скобки и обозначив ax0 by0 xz0 = d, получим общее уравнение плоскости (в координатной форме): ax + by + cz + d = 0, (3) Это значит, что каждое уравнение вида (3), где a + b + c > 0, задает плоскость, и наоборот, каждая плоскость в пространстве задается некоторым уравнением вида (3) 3 Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости Пусть плоскость π задается уравнением (3) Тогда: плоскость π перпендикулярна вектору n { a; b; c}, который называется нормальным вектором плоскости (3) В частности: a = 0 плоскость π параллельна оси ОХ; b = 0 плоскость π параллельна оси ОY; c = 0 плоскость π параллельна оси ОZ; d = 0 плоскость π проходит через начало координат О; 4 Специальные виды уравнения плоскости: M ( x; y; z ) n { a; b; c} M 0( x0; y0; z 0) 4 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Если три точки A ( x; y; z ), A ( x; y; z ) и A3 ( x3; y3; z 3) не лежат на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через них, имеет вид:

22 3 3 3 Глава Плоскость в пространстве x x y y z z x x y y z z = 0 a( x x ) + b( y y) + c( z z) = 0, (4) x x y y z z y y z z x x z z x x y y где a =, b =, c = y3 y z3 z x3 x z3 z x3 x y3 y 4 Уравнение плоскости «в отрезках» Если плоскость π не проходит через начало координат и пересекает координатные оси ОХ, OY и OZ в точках A( a; 0; 0), B(0; b ; 0) и C(0; 0; c ) соответственно(см Рис 6), то эта плоскость задается уравнением: y π : x + + z = (5) a b c 43 Нормальное уравнение плоскости Пусть плоскость π не проходит через на- 0 b Y В чало координат, точка Р ортогональная проекция начала координат на эту плоскость, OP = p (расстояние от начала координат до a А Рис 6 плоскости), и вектор OP образует с координатными осями ОХ, OY и OZ углы α, β и γ со- X ответственно (направляющие углы этого вектора) Тогда уравнение плоскости π имеет вид: x cosα + y cos β + z cosγ = p (6) Заметим, что OP{ p cos α; p cos β; p cos γ } 44 Параметрические уравнения плоскости Пусть плоскость π проходит через точку A0 ( x0; y0; z 0) и параллельна двум данным неколлинеарным векторам s { p; q; r } и s { p; q; r } Эти векторы образуют базис в пространстве V π всех векторов плоскости π Поэтому точка M ( x; y; z ) принадлежит этой плоскости вектор A0 M принадлежит пространству V π A0 M = t + t t, t R cos α + cos β + cos γ =, а вектор OP имеет координаты s { p ; q ; r } s s r OM = OA0 + ts + ts для некоторых Z c С A0 M A ( x ; y ; z ) π s { p ; q ; r } Рис 7 M ( x; y; z ) π

23 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Уравнение r = OA0 + ts + ts, t, t R, где r = OM радиус вектор точки M ( x; y; z ), называется параметрическим уравнением плоскости в векторной форме Векторы s и s называются направляющими векторами плоскости π Переходя к координатам, получим три соответствующих параметрических уравнения плоскости π (в координатной форме): x = x0 + pt + pt y = y0 + qt + qt t, t R (7) z = z0 + r t + r t Числа t и t называются параметрами, но точнее их было бы назвать внутренними координатами точки М на плоскости 5 Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки M0( x0; y0; z 0) до плоскости π : ax + by + cz + d = 0 вычисляется по так называемой формуле «дробьмодуль-корень»: Z ax0 + by0 + cz0 + d ρ( M0, π ) = (8) a + b + c M 6 Расположение отрезка относительно плоскости π Пусть в пространстве дана плоскость π : ax + by + cz + d = 0 и отрезок с концами в точках Y M( x; y; z ) и M ( x; y; z ), которые не лежат в O этой плоскости Для любой точки M ( x; y; z ) обозначим ϕπ ( M ) = ϕπ ( x, y, z) = ax + by + cz + d Тогда: Рис8 X (а) отрезок MM пересекает плоскость π, те точки M и M лежат по разные стороны от этой плоскости ϕπ ( M) ϕπ ( M ) < 0; (б) отрезок MM не пересекает эту плоскость, те точки M и M лежат по одну сторону от этой плоскости ϕπ ( M) ϕπ ( M ) > 0 (см Рис 8) 7 Взаимное расположение двух плоскостей Пусть даны две плоскости π : ax + b y + cz + d = 0 и π : ax + b y + cz + d = 0 с нормальными векторами n { a; b ; c} и n { a; b ; c} соответственно Тогда: a b c d а) плоскости π и π совпадают = ; a b c d a b c d б) плоскости π и π параллельны ; a b c d в) плоскости π и π пересекаются векторы n { a; b ; c} и n { a; b ; c} не M 3

24 a b b c коллинеарны или ; a b b c Глава Плоскость в пространстве г) в частности, плоскости π и π перпендикулярны их нормальные векторы n и n перпендикулярны ( ni n ) = 0 aa + b b + cc = 0; д) в общем случае косинус острого угла между плоскостями π и π равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами: ( ni n ) aa + bb + cc cos( π ^ π ) = cos( n ^ n ) ; (9) n n a + b + c a + b + c е) если две плоскости π и π параллельны, то, не нарушая общности, можно считать, что они задаются уравнениями π : ax + by + cz + d = 0и π : ax + by + cz + d = 0 Тогда расстояние между этими плоскостями вычисляется по формуле d d ρ( π, π ) = (0) a + b + c 8 Решение типовых примеров к главе Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A(3; 5; ) и параллельной плоскости σ : x 3y + 4z 5 = 0 Решение Искомая плоскость π имеет тот же нормальный вектор, что и плоскость σ, а именно, n {; 3; 4}, поэтому уравнение плоскости π имеет вид π : ( x 3) 3( y 5) + 4( z + ) = 0 x 3y + 4z + 7 = 0 Ответ: x 3y + 4z + 7 = 0 Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A (; 5; 3), B (3; ;) и C (4;; ) Решение -й способ Нормальный вектор искомой плоскости, перпендикулярен векторам AB{; 3; } и AC{; 4; }, поэтому он коллинеарен (пропорционален) их векторному произведению: i j k n = λ ( AB AC) = λ 3 = λ ( 5i 3 j + k ) = {5; 3; } ( λ = ) 4 Искомая плоскость АВС проходит через точку A (; 5; 3) перпендикулярно вектору n {5; 3; } : АВС: 5( x ) + 3( y 5) ( z 3) = 0 5x + 3y z 9 = 0 Второй способ Искомое уравнение получим как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В и С (см (4)): x y 5 z 3 x y 5 z 3 ABC : = 0 3 = ( x ) 3( y 5) + ( z 3) = 0 5x + 3y z 9 = 0 4

25 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Третий способ Напишем параметрические уравнения этой плоскости Пусть s = AB{; 3; }, s = AC{; 4; } направляющие векторы плоскости АВС, M ( x; y; z ) произвольная точка этой плоскости Тогда OM = OA + t AB + t AC, или, в координатах: x = + t + t y = 5 3t 4 t, t, t R z = 3 t t Ответ 5x + 3y z 9 = 0или x = + t + t y = 5 3t 4 t, t, t R z = 3 t t Пример 3 Найти расстояние от точки D(3; ; 6) до плоскости АВС из примера Решение По формуле (8) искомое расстояние от точки D(3; ; 6) до плоскости ABC : 5x + 3y z 9 = 0 равно ( ) ρ( D, ABC) = Пример 4 Найти угол между плоскостями π : x + y 4z + 5 = 0и π : 3x y + z + 7 = 0 Решение Нормальные векторы этих плоскостей имеют координаты: n {;; 4}, n {3; ; } По формуле (9), ( ni n ) 3 + ( ) + ( 4) cos 3 3 ( π ^ π ) = cos( n ^ n ) n n Ответ cos( π 3 ^ π ) = 7 6 Пример 5 Проверить, что плоскости π : 6x 9y + 8z 5 = 0и π : 4x 6y + z + 7 = 0 параллельны, и найти расстояние между ними Решение В самом деле, 6 = 9 = 8 5, поэтому (см п7 б)) π π Для нахождения расстояния между ними приведем их уравнения к одинаковым коэффициентам при переменных, для чего первое уравнение разделим на 3, а второе на : 5 7 π : x 3y + 6z = 0, π : x 3y + 6z + = 0 3 По формуле (0) находим: ρ( π 3, π ) Пример 6 Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями π : x y + z 3 = 0 и σ : 5x + y 5z + 4 = 0 5

26 Глава Плоскость в пространстве Решение Точка M ( x; y; z ) принадлежит плоскости, делящей пополам угол, образованный плоскостями π и π точка М равноудалена от этих плоскостей: x y + z 3 5x + y 5z + 4 ρ( M, π) = ρ( M, π ) = ( x y + z 3) = 5x + y 5z x y + z 3 = 5x + y 5z + 4 3( x y + z 3) = 5x y + 5z 4 x 5y + z 3 = 0 8x y + z 5 = 0 Эти плоскости, как и следовало ожидать, перпендикулярны, тк скалярное произведение их нормальных векторов n { ; 5;} и n {8; ;} равно нулю: ( ni n ) = ( ) 8 + ( 5) ( ) + = 0 Ответ: x + 5y z + 3 = 0, 8x y + z 5 = 0 Пример 7 Составить уравнение плоскости, образующей с осями ОY и OZ одинаковые углы, проходящей через точку A( ; 3; ) и удаленной от начала координат на расстояние d = 3 Решение Если нормальный вектор какой-то плоскости образует с некоторой координатной прямой угол ϕ, то сама плоскость образует с этой прямой угол π ϕ Пусть нормальный вектор искомой плоскости образует с координатными осями углы a, β и γ Тогда нормальное уравнение искомой плоскости (см п 43) имеет вид x cosα + y cos β + z cosγ = 3 По условию, π β = π γ π π β = γ β = γ cosγ cos β π β γ π = ± = β + γ = π Если обозначить p = cos α, q = cos β, то уравнение искомой плоскости примет вид (а) px + qy + qz = 3 или (б) px + qy qz = 3, причем, cos α + cos β + cos γ = p + q = Случай (а) По условию, искомая плоскость проходит через точку А, значит, ( ) θ p + 3q q = 3 p= (3 ) p + q = 9 q + 4q + q = 8q q + 7 = 0, D = 44 4 < 0 нет решений Случай (б): искомая плоскость проходит через точку А, значит, 6

27 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости ( ) p + 3q + q = 3 p= (3 4 q) p + q = 9 4q + 6q + q = q = p = 0q 4q + 7 = 0 q 7 = p 0 = 5 Получим два варианта уравнения искомой плоскости: ) x + y z = 3 x + y z 6 0; 5 ) x + y z = 3 x + 7 y 7z 30 = Ответ x + y z 6 0 или x + 7 y 7z 30 = 0 Пример 8 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A (; 4; ) и B(;; ) и отстоящей от начала координат на расстояние 3 Решение Искомая плоскость задается уравнением вида ax + by + cz + d = 0, и по условию, d 0 Разделим это уравнение на d и положим α = a, d β = b, γ = c, тогда искомая плоскость A (; 4; ) и B(;; ), и запишем формулу для расстояния от точки O (0; 0; 0) до этой плоскости Получим три урав- d d нения: α + 4β + γ + = 0 α + β γ + = 0 = ; α + β + γ 3 Выразим из первых двух уравнений две переменные, например, α и β через γ, для чего из первого уравнения вычтем первое и разделим на 3, получим β = γ, а если из исходного первого уравнения вычесть учетверенное второе, то получится (после сокращения на 3) α = γ Подставив в третье уравнение, получим два решения: 5 β = γ, α = γ, α =, α =, 3 α = γ, β = γ, β =, β =, Получатся две 3 (γ ) + γ + γ = 3 3γ γ 0; γ = = ; γ = 3 плоскости: Ответ π : x y + z + = 0и 5 π : x + y z + = 0 5x y + z 3 = Решение геометрических задач с помощью уравнения плоскости Разберем несколько стереометрических задач, где успешно применяется аналитическая геометрия Пример 9 Все плоские углы при вершине D тетраэдра ABCD прямые, причем, некоторая точка М грани АВС удалена от остальных граней BCD, ACD 7

28 Глава Плоскость в пространстве и ABD на расстояния 3, 4 и 5 соответственно С помощью аналитической геометрии определить наименьший объем этого тетраэдра Решение Поместим вершину тетраэдра в начало координат, а координатные оси ОХ, OY и OZ направим вдоль боковых рёбер тетраэдра DA, DB и DC соответственно Тогда точка М будет иметь координаты M (3; 4; 5) Пусть длины боковых ребер тетраэдра равны DA = a > 0, DB = b > 0, DC = c > 0 Тогда уравнение плоскости АВС запишется «в отрезках» следующим образом: x y + + z = a b c Поскольку эта плоскость проходит через точку M (3; 4; 5), то C Z = Объем данного тетраэдра равен a b c V = abc Итак, надо 6 решить задачу: V = abc min 6 при условиях: M Y + + =, a b c B a > 0, b > 0, c > 0 Обозначим: D 3 = α, 4 = β, 5 = γ, тогда получим, A a b c X что надо найти наибольшее значение произведения αβγ = 60 0 Рис 9 max abc = V при условии α + β + γ = Вспомним из курса средней школы, что, если сумма нескольких положительных чисел постоянна, то их произведение будет наибольшим когда они равны друг другу( ) Следовательно, объём тетраэдра будет минимальным при α = β = γ =, те при a = 9, b =, c = 5, V = 9 5 = 70 min 6 Пример 0 Найти радиус и координаты центра описанной окружности треугольника АВС с вершинами A (;; 3), B( ; ; ) и C(7; 3;) 3 ( ) Это следует из известного неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для a + a + + an любых неотрицательных чисел a, a,, a n справедливо неравенство n a a an, n причем, точное равенство выполняется, только когда a = a = = an Тогда, если n a + a + + an + + +, то C n ( ) ( ) a a an C const a a a C, причем, максимальное n n значение произведения a a an = C возможно только, когда все числа a i равны друг другу n 8

29 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Решение Искомый центр описанной окружности Q лежит в плоскости π треугольника и равноудалён от всех его вершин, σ следовательно, он лежит на пересечении трех плоскостей: плоскости АВС, плоскости π, состоящей из всех C точек, равноудаленных от вершин А и В, (те проходящей через точку D середину E Q стороны АВ пер- D пендикулярно ей), и плоскости σ, проходящей через Рис 0 точку Е середину стороны A АС перпендикулярно ей (см Рис 0) Уравнение плоскости АВС: x y z 3 = 0 6( x ) 0( y ) + ( z 3) = 0 3x + 5y z 5 = Находим координаты векторов: AB{ ;; }, {6; 4; } E ( 4; ; ) AC и точек ( 0; 3 ; 5 ) 3 5 Уравнение плоскости π : ( x 0) + ( y ) ( z ) = 0 x y + z = 0 D, Уравнение плоскости σ : 6( x 4) 4( y + ) ( z ) = 0 3x y z = 0 Координаты точки Q пересечения этих плоскостей являются решением системы уравнений этих трех плоскостей (АВС, π и σ): 3x + 5y z = 5 x = x y + z = y = Q(; ; 4) 3x y z = z = 4 Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки Q до любой вершины: R = QA = = 3 6 Ответ: Q(; ; 4), R = 3 6 Пример Для тетраэдра с вершинами в точках A(3; 9; 3), B(; 6; 9), C (4;; 8) и D (8; 6; 3) найти координаты центра описанной сферы и её радиус Решение Центр Р описанной сферы тетраэдра равноудален от всех его вершин и лежит на пересечении трех плоскостей, равноудаленных от концов ребер, например, АВ, АС и AD Напишем уравнения этих плоскостей Плоскость π является геометрическим местом точек M ( x; y; z ), равноудаленных от вершин А и В, поэтому её уравнение: B 9

30 Глава Плоскость в пространстве ( ) ( ) ρ( M, A) = ρ( M, B) ( x 3) + ( y 9) + ( z + 3) = ( x ) + ( y 6) + ( z 9) x 6x y 8y + 8+ z + 6z + 9 = x 4x y y z 8z + 8 x 6y + 4z = 0 x + 3y z + = 0 Плоскость π является геометрическим местом точек M ( x; y; z ), равноудаленных от вершин А и С, поэтому она, как известно из стереометрии, проходит через середину Е отрезка АС перпендикулярно ему Точка Е имеет координаты E 3+ 4 ; 9+ ; 3+ 8 = 7 ; 5; 5, а нормальным вектором плоскости π является вектор AC{; 8;} Уравнение плоскости π : 7 5 x 8( y 5) + z = 0 x 8y + z + 9 = 0 ( ) ( ) Аналогично находим уравнение плоскости π 3, стоящей из всех точек, равноудаленных от вершин А и D: 5x 3y + 6z 5 = 0 Координаты точки Р центра описанной сферы являются решениями системы уравнений этих трех плоскостей: x + 3y z + = 0 x =, x 8y + z + 9 = 0 y = 4, те P (; 4; ) 5x 3y + 6z 5 = 0 z = Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра Р до любой вершины, например до А: R = PA = = 54 = 3 6 Ответ P(; 4; ), R = 3 6 Пример Для тетраэдра с вершинами A (; 5; 4), B (3; 7; 6), C (4; ; 7) и D (4; 8;) найти координаты центра вписанного шара и его радиус Решение Центр шара, вписанного в тетраэдр ABCD, лежит на пересечении его биссекторных( ) плоскостей трех его двугранных углов, например, при рёбрах АВ, АС и ВС Сначала напишем уравнения плоскостей всех граней тетраэдра Плоскость АВС: x y 5 z 4 x y 5 z 4 ( x ) 0( y 5) ( z 4) = = 0 = 0 x z + 3 = Плоскость ABD: x y 5 z 4 x y 5 z 4 ( x ) + ( y 5) + 0( z 4) = = 0 = 0 x y + 4 = Аналогично находим уравнения плоскостей двух других граней: плоскость ACD: y + z 9 = 0; плоскость BCD: 4x + y + z 5 = 0 ( ) Биссекторная плоскость двугранного угла это плоскость, проходящая через ребро этого двугранного угла и делящая его пополам 30

31 Соболев СК Томашпольский ВЯ Прямые и плоскости Теперь напишем уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями АВС и ABD: они состоят из точек M ( x, y, z ), равноудаленных от этих плоскостей (см пример 6): (, ) (, ) x z 3 x y + x z + = x y + ρ M ABC = ρ M ABD + = x z + 3 = x + y 4 Нам нужна та их двух полученных плоскостей π : y z = 0, π : x y z + 7 = 0, которая пересекает отрезок CD D ϕ ( C) = ϕ (4; ; 7) = 7 < 0, ϕ( D) = ϕ(4; 8;) = 8 > 0, ϕ ( C) = ϕ (4; ; 7) = > 0, ϕ( D) = ϕ(4; 8;) = > 0 Это значит, что первая из полученных A плоскостей пересекает отрезок CD, а вторая нет Итак, биссекторная плоскость C двугранного угла при ребре АВ тетраэдра Рис ABCD имеет уравнение π B : y z = 0 Аналогично находим уравнение биссекторных плоскостей при рёбрах АС и ВС При ребре АС: (, ) (, ) x z y + z x z + = y + z ρ M ABC = ρ M ACD + = x z + 3 = y z + 9 Получим две плоскости: π 3 : x y z + = 0, π 4 : x + y 6 = 0 Искомая плоскость должна пересекать ребро BD: ϕ3( B) = ϕ3(3; 7; 6) = < 0, ϕ3( D) = ϕ3(4; 8;) = > 0, ϕ4( B) = ϕ4(3; 7; 6) = > 0, ϕ4( D) = ϕ4(4; 8;) = > 0 Это значит, что плоскость π 3пересекает отрезок BD и является искомой биссекторной плоскостью, а π 4 нет Точно так же находим уравнение биссекторной плоскости при ребре ВС: (, ) (, ) x z x + y + z ρ M ABC = ρ M BCD + = 8 3( x z + 3) = 4x + y + z 5 3( x z + 3) = 4x y z + 5 Получаем еще две плоскости: π5 : x + y + 4z 34 = 0, π 6 : 7x + y z 6 = 0 ϕ5( A) = < 0, ϕ5( D) = < 0, ϕ6( A) = < 0, ϕ5( D) = > 0 Значит, π 6 : 7x + y z 6 = 0 биссекторная плоскость двугранного угла при ребре ВС Центр Q вписанного шара лежит на пересечении найденных плоскостей π, π 3 и π 6, и его координаты являются решениями системы уравнений этих плоскостей: π 3

32 Глава Плоскость в пространстве π : y z = 0, π 3 : x y z + = 0, π 6 : 7x + y z 6 = 0; Решив эту систему (например, по формулам Крамера) находим x,8; y 5,6; z 4,6 ; центр вписанного шара Q имеет координаты Q (,8; 5,6; 4,6), его радиус равен расстоянию от точки Q до любой из граней, например, АВС:,8 4,6 + 3 r = ρ( Q, ABC) 3 5 Для контроля убедимся, что расстояние от точки Q до плоскости, скажем, ACD такое же: 5,6 + 4,6 9 ρ( Q, ACD) 3 5 Ответ: Q (,8; 5,6; 4,6), r = Задачи для самостоятельного решения к главе Составить уравнение плоскости, проходящей: (а) через данную точку A( ; 5; ) параллельно плоскости x + 7y z + 4 = 0 ; (б) через данную точку B (3; 5;) перпендикулярно прямой BD, где D (6; 3; 6) ; (в) через три данные точки A (; 4;), B( ; 6; 3) и C (; 3; ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A ( ; ; 3), B(3; ; ) параллельно вектору m {; 4; } 3 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A( 3; 4;) и перпендикулярной плоскостям π : 3x 3y z + = 0 и π : x + y + 3z + 5 = 0 4 Найти расстояние от точки A( ; 5; 5) до плоскости 4x y z + = 0 5 Написать уравнение геометрического места точек M ( x; y; z ) : (а) равноудаленных от двух данных точек A (4; ; ) и B (; 6; 0) ; (б) для которых разность квадратов расстояний до точек A (4; 3;) и B( ; 6; ) равна 7; (в) равноудаленных от двух данных плоскостей x + y 7z + 4 = 0и x y + z + 3 = 0 6 Доказать, что плоскости π : x 3y + z + 6 = 0 и π : x + 6 y 4z = 0 параллельны, и найти расстояние между ними 7 Доказать, что плоскости π : x + y z + 5 = 0и π : x 3y 6z 4 = 0 пересекаются, и найти косинус острого угла между ними 8 Исследовать взаимное положение двух плоскостей π и π Если они параллельны, то найти расстояние между ними, а если пересекаются, то найти острый угол между ними 3

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 9 Тема: Плоскости План. Способы задания и уравнения плоскости.. Общее уравнение плоскости.. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости в АСК. 4.

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), перпендикулярно вектору N { A, B, C} Вектор, перпендикулярный

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов

А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов МАТЕМАТИКА для ЭКОНОМИСТОВ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЧАСТЬ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Настоящее пособие создано на основе раздела «Элементы аналитической геометрии»

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

3 MN SN Подставим координаты точек А, К, S и М в уравнение (6), получим систему

3 MN SN Подставим координаты точек А, К, S и М в уравнение (6), получим систему 009-00 уч. год. 5, кл. Математика. Стереометрия.. Сфера и многогранники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задаётся уравнением (х х 0 ) + (у у 0 )

Подробнее

ТЕТРАЭДР. ВИДЫ ТЕТРАЭДРОВ

ТЕТРАЭДР. ВИДЫ ТЕТРАЭДРОВ ТЕТРАЭДР. ВИДЫ ТЕТРАЭДРОВ Тетраэдр является одним из простейших многогранников, гранями которого являются четыре треугольника. Его можно считать пространственным аналогом треугольника. Рассмотрим свойства

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ Ю.Л.Калиновский Оглавление 1 Медиана, биссектриса, высота................................. 5 1.1 Медианы треугольника 5 1.2 Биссектрисы треугольника 7 1.3 Высоты треугольника 10 Медианы

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее