(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)"

Транскрипт

1 Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени. Напомним, что F (x, y) = 0 есть уравнение кривой C, или, что кривая C задается уравнением F (x, y) = 0, если C есть геометрическое место точек (сокращенно г.м.т.) M(x 0, y 0 ) таких, что F (x 0, y 0 ) = 0, C = {M(x 0, y 0 ) F (x 0, y 0 ) = 0 }. Таким образом, для того чтобы проверить, что какая-то точка M(x 0, y 0 ) лежит на кривой C с уравнением F (x, y) = 0, нужно подставить ее координаты (x 0, y 0 ) в уравнение F (x, y) = 0 и убедиться, что оно превращается в верное равенство: F (x 0, y 0 ) = 0. Если какая-то кривая C на плоскости задана своими геометрическими свойствами, то для того чтобы получить уравнение этой кривой, нужно эти свойства выразить в координатах. Пример. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M 0 (x 0, y 0 ). Как известно, геометрически окружность C определяется как г.м.т. M(x, y) таких, что расстояние от центра M 0 до 73

2 M равно радиусу, C = {M(x, y) M 0 M = R }. Записывая условие M 0 M = R в координатах, получаем искомое уравнение окружности: (x x 0 ) + (y y 0 ) = R. Все сказанное об уравнении кривой на плоскости практически дословно переносится на трехмерный случай. В пространстве R 3 уравнение F (x, y, z) = 0 определяет некоторую поверхность S. Двумерным аналогом окружности является сфера S = {M(x, y, z) M 0 M = R }. Как и выше, получаем уравнение сферы радиуса R с центром в точке M 0 (x 0, y 0, z 0 ), (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R. 9. Прямая на плоскости Различные виды уравнения прямой на плоскости зависят от геометрических данных, которые её определяют и по которым пишется уравнение прямой. Вектор n, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали, а вектор a, параллельный прямой, называется направляющим вектором данной прямой.. Уравнение прямой l, проходящей через данную точку M 0 (x 0, y 0 ) и имеющей данную нормаль n(a, B): A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. () Это уравнение выражает условие перпендикулярности вектора M 0 M, где M произвольная точка прямой, и вектора нормали.. Общее уравнение прямой это уравнение первой степени: Ax + By + C = 0. () Геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в общем уравнении прямой: коэффициенты A и B в уравнении () это координаты вектора нормали n l. 74

3 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку M 0 (x 0, y 0 ) и имеющей данный направляющий вектор a(a, a ) (каноническое уравнение прямой): x x 0 a = y y 0 a. (3) Это уравнение выражает условие параллельности вектора M 0 M, где M произвольная точка прямой, и направляющего вектора. Из уравнения (3) получается уравнение прямой, проходящей через две данные точки M (x, y ) и M (x, y ): x x x x = y y y y. 4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: l : y = kx + b. (4) Геометрический смысл углового коэффициента k : k это тангенс угла наклона прямой к оси Ox. Точка M 0 = (0, b) l это точка пересечения прямой l с осью Oy. 5. Уравнение прямой в отрезках это уравнение вида: x a + y b =. (5) Название этого уравнения объясняется тем, что прямая l пересекает оси координат в точках (a, 0) и (0, b), и поэтому a и b равны отрезкам, которые прямая отсекает на осях координат. Уравнение (5) удобно для построения прямых. Уравнением (5) может быть задана любая прямая, не параллельная осям координат и не проходящая через начало координат. 9. Уравнения плоскости Вопрос о нахождении уравнения, задающего плоскость в пространстве, решается теми же методами, что вопрос об уравнении

4 прямой на плоскости. Вектор n, перпендикулярный к плоскости называется вектором нормали этой плоскости.. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ) и имеющей данную нормаль n(a, B, C): A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0. (). Общее уравнение плоскости это уравнение первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. () Геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в общем уравнении плоскости: коэффициенты A, B и C в уравнении () это координаты вектора нормали n π. 3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ) параллельно двум данным векторам a(a, a, a 3 ) и b(b, b, b 3 ) "направляющим"векторам: x x 0 y y 0 z z 0 a a a 3 b b b 3 = 0. (3) Это уравнение выражает условие компланарности векторов M 0 M, a и b, где M(x, y, z) произвольная точка в пространстве. Мы можем использовать уравнение (3) для написания уравнения плоскости по следующим модифицированным геометрическим данным: a) написать уравнение плоскости, проходящей через две данные точки M (x, y, z ) и M (x, y, z ) параллельно данному вектору b(b, b, b 3 ); b) написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M (x, y, z ), M (x, y, z ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ). В случае a) мы можем взять точку M 0 = M и направляющие векторы a = M M, b, а в случае b) точку M 0 = M и направляющие векторы a = M M, b = M M 3. Задача 9.. Определить какие из точек M (3; ), M (; 3), M 3 ( 3; 3), M 4 (3; ) лежат на прямой x 3y 3 = 0 и какие не лежат. 76

5 Ответ: точки M и M 3 лежат, а M и M 4 не лежат. Задача 9.. Преобразовать общее уравнение прямой l: i) в уравнение с угловым коэффициентом, ii) в уравнение в отрезках; построить эту прямую: a) l : x + 3y 6 = 0, b) l : 4x 3y + 4 = 0. Ответ: a) i) y = 3 x +, ii) x 3 + y = ; b) i) y = 4 3x + 8, ii) x 6 y 8 =. Задача 9.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M и: i) параллельно прямой l, ii) перпендикулярно прямой l: a) M(3; 4), l : x y = 0; b) M(; ), l : 3x + y + 5 = 0. a) Нормальный вектор к данной прямой l есть n = (; ), его координатами являются коэффициенты при переменных x, y в уравнении. i) Пусть l искомая прямая, параллельная данной. Можно считать, что нормальный вектор к прямой l также равен n = (; ). По формуле () получаем уравнение l : (x 3) (y 4) = 0, или l : x y + 5 = 0. ii) Пусть l искомая прямая, она перпендикулярна данной, следовательно, параллельна n. Поэтому мы можем считать, что направляющий вектор прямой l равен a = n = (; ). По формуле (3) получаем уравнение l : x 3 = y 4, или l : x + y 0 = 0. Ответ: a) i) x y + 5 = 0; ii) x + y 0 = 0. b) i) 3x + y 4 = 0; ii) x 3y 7 = 0. Задача 9.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M параллельно плоскости π: a) M(; ; 3), π : x + 3y 4z 5 = 0; b) M(; 3; 4), π : x + y + 3z = 0. a) Нормальный вектор к данной плоскости есть n = (; 3; 4), его координатами являются коэффициенты при переменных x, y, z в уравнении. Искомая плоскость π параллельна данной. Поэтому мы можем считать, что нормальный вектор к искомой плоскости также равен n = (; 3; 4). По формуле () получаем: π : (x ) + 3(y ) 4(z 3) = 0, или π : x + 3y 4z + 4 = 0. 77

6 Ответ: a) x + 3y 4z + 4 = 0; b) x + y + 3z + 4 = 0. Задача 9.5. Составить уравнение прямой, проходящей через данные точки A и B: a) A(; ), B(; 3). b) A(6; 0), B(0; 7). a) Направляющим вектором прямой будет вектор AB = (; ), начальной точкой, например, точка A. По точке и направляющему вектору уравнение прямой записывается так: x = y, или, после преобразования, x y = 0. Ответ: a) x y = 0; b) 7x + 6y 4 = 0. Задача 9.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки A, B и C: a)a(; ; 3), B(; 0; 0), C(0; ; 0). b)a(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5). a) Плоскость проходит через точку A параллельно векторам AB и AC. Находим AB = (0; ; 3) и AC = ( ; ; 3). Получаем, по формуле (3): x y z = 0. Раскладывая определитель по первой строке, получаем 3(x ) + 3(y ) (z 3) = 0, откуда 3x + 3y z 3 = 0. Ответ: a) 3x + 3y z 3 = 0; b) 0x + 5y + z 60 = 0. Задача 9.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A и B перпендикулярно к плоскости π: a) A(; 3; 0), B(0; ; 4), π : x + 3y + 4z + = 0. b) A(; ; 0), B(0; ; ), π : x + y + z 4 = 0. a) Искомая плоскость π параллельна вектору AB и перпендикулярна к данной плоскости π. Нормальный вектор к плоскости π n = (; 3; 4) будет параллелен искомой плоскости π. 78

7 Составим уравнение π как плоскости, проходящей через точку A параллельно векторам AB = ( ; ; 4) и n = (; 3; 4). Получаем, по формуле (3): x y 3 z = 0. Раскладывая определитель по первой строке, получаем 0(x ) + 6(y 3) z = 0, откуда 0x + 6y z + 4 = 0, 0x 8y + z 4 = 0. Ответ: a) 0x 8y + z 4 = 0; b) x 3y + z + = 0. Задача 9.8. a) Составить уравнение высоты AH в треугольнике ABC, A(; ), B(7; 0), C(0; 6); b) составить уравнение высоты CH в том же треугольнике. a) Так как AH BC, мы можем взять в качестве нормального вектора к AH вектор BC, а в качестве начальной точки точку A(; ). Находим BC = ( 7; 6). Получаем уравнение BC в виде 7(x ) + 6(y ) = 0, или 7x + 6y 5 = 0. Ответ: a) 7x + 6y 5 = 0; b) 3x y + 6 = 0. Задача 9.9. a) Составить уравнение медианы AM в треугольнике ABC, A(; ), B(7; 0), C(0; 6). b) Составить уравнение медианы CM в этом же треугольнике. a) Находим основание медианы AM, точку M, как середину отрезка BC: M( x B+x C ; y B+y C ) = ( 7 ; 3). Составляем уравнение прямой, проходящей через данные точки, точку A и точку M x так, как это было сделано в задаче 9.4:, или, после преобразования, x 5y + 8 = 0. y 7 = 3 Ответ: a) x 5y + 8 = 0. b) 5x 4y 4 = 0. 79

8 Задача 9.0. a) Найти точку пересечения прямых 3x + 5y 6 = 0 и x + y 7 = 0. b) Найти точки пересечения прямой 7x + 5y 35 = 0 с осями координат. a) Координаты точки P (x, y) пересечения прямых удовлетворяют уравнению первой прямой и уравнению второй прямой. Поэтому их можно найти, решив систему уравнений: { 3x + 5y 6 = 0 x + y 7 = 0. Решение системы: x = 3; y = 5. Отсюда P ( 3; 5). Ответ: a) ( 3; 5); b) (5; 0) и (0; 7). Контрольные вопросы. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данную нормаль. Какой геометрический факт выражает это уравнение?. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой? 3. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный направляющий вектор (каноническое уравнение прямой). Какой геометрический факт выражает это уравнение? 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данную нормаль. Какой геометрический факт выражает это уравнение? 5. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты при неизвестных в общем уравнении плоскости? 6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам. Какой геометрический факт выражает это уравнение? Дополнительные вопросы и задачи D. Лежат ли точки B(; 3; 0) и C(0; ; 4) по одну сторону или по разные стороны от плоскости x + 3y + 4z + = 0? 80

9 Указание: Поверхность, заданная уравнением f(x, y, z) = 0, где f непрерывная функция, разбивает пространство на области: ) {(x; y; z) f(x, y, z) > 0} и ) {(x; y; z) f(x, y, z) < 0}. Ответ: по одну сторону. D. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A(; 0; 0) и B(0; 0; ). Ответ: плоскость с уравнением y = x. D3. Даны две вершины треугольника A(; ), B( 6; ) и точка O(; ) пересечения его высот. Найти координаты третьей вершины C. Ответ: (; 4). D4. Найти проекцию точки P (6; 6) на прямую l : 5x + 4y 3 = 0, а также точку Q, симметричную точке P относительно прямой l. Ответ: P (; ), Q( 4; ). Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых, проходящих через одну и ту же точку M 0, называемую центром пучка. D5. Пусть M 0 точка пересечения прямых l : A x+b y +C = 0 и l : A x + B y + C = 0. Доказать, что l (λ :λ ) : λ (A x + B y + C ) + λ (A x + B y + C ) = 0 есть уравнение пучка, т.е. любая прямая l (λ :λ ) проходит через точку M 0 и любая прямая пучка с центром M 0 есть прямая l (λ :λ ) при некоторых значениях λ и λ. D6. Даны уравнения сторон треугольника ABC, AB : x y + 3 = 0, BC : x + y + = 0, AC : x 3y + = 0. Не вычисляя координат точки A, составить уравнение высоты AH. Указание: Использовать пучок l λ : (x y+3)+λ(x 3y+) = 0, (λ = λ λ ). Найти λ из условия перпендикулярности прямых AH и BC. Ответ: 5x 5y + 8 = 0. 8

10 Занятие 0 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве (продолжение) Угол между двумя плоскостями (прямыми). Угол ϕ = (l, l ) между двумя прямыми l : A x + B y + C = 0 и l : A x + B y + C = 0 равен углу между их нормалями и поэтому cos ϕ = ( n, n ) n n = A A + B B. A + B A + B В частности, мы получаем условие перпендикулярности двух прямых: l l ( n, n ) = 0. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: l : y = k x + b, l : y = k x + b, то n = (k, ), n = (k, ), и условие перпендикулярности приобретает вид l l k k + = 0, т.е. k = k. Аналогично для угла ϕ = (π, π ) между плоскостями π : A x + B y + C z + D = 0 и π : A x + B y + C z + D = 0 имеем cos ϕ = ( n, n ) n n. 8

11 Условие параллельности вектора и плоскости. Неполные уравнения плоскости. Пусть имеется плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0 и вектор a = (a, a, a 3 ). Очевидно, что a π n a, т.е. ( n, a) = 0, или в координатах a π Aa + Ba + Ca 3 = 0. Из этого простого замечания получается следствие о расположении плоскостей, задаваемых неполными уравнениями, т.е. уравнениями в которых некоторые переменные отсутствуют (некоторые коэффициенты равны нулю). Если в уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, то эта плоскость параллельна соответствующей оси координат. Например, By+Cz+D = 0 общее ур-ие плоскости, параллельной оси Ox. Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то эта плоскость параллельна координатной плоскости. Например, Cz+D = 0 или z = D C = z 0 = const уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxy. В частности, z = 0 уравнение самой плоскости Oxy. В уравнении плоскости отсутствует свободный член тогда и только тогда, когда эта плоскость проходит через начало координат. Расстояние от точки M 0 (x 0, y 0, z 0 ) до плоскости π : Ax +. Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в уравнение плоскости, взять модуль и разделить на длину вектора нормали. Точно также находится расстояние от точки до прямой на плоскости. Задача 0.. Найти угол между прямыми l и l : a) l : x + y + = 0, l : y x + = 0; b) l : 3x + y = 0, l : 5x y + 4 = 0. a) Находим нормальные векторы к данным прямым: n = (; ) и n = (; ). Пусть ϕ = ( n, n ). Тогда cos ϕ = ( n, n ) n n. Находим ( n, n ) = 0, n = 5, n = 5. Отсюда cos ϕ = 0, ϕ = π. 83 By + Cz + D = 0 равно d = Ax 0+By 0 +Cz 0 +D A +B +C

12 Ответ: a) π ; b) π 4. Задача 0.. Найти угол между плоскостями π и π : a) π : x y + z + 5 = 0, π : 3x + 4z 7 = 0; b) π : x + y z + 5 = 0, π : x + 3y + z = 0. a) Находим нормальные векторы к данным плоскостям: n = (; ; ) и n = (3; 0; 4). Пусть ϕ = ( n, n ). Тогда cos ϕ = ( n, n ) n n. Находим ( n, n ) = 0, n = 3, n = 5. Отсюда cos ϕ = 0 5 = 3, ϕ = arccos 3. Ответ: a) arccos 3 или π arccos 3 ; b) arccos 4. Задача 0.3. Опеределить при каких значениях p следующие две плоскости π и π перпендикулярны: a) π : 3x 5y + pz 3 = 0, π : x + 3y + z + 5 = 0; b) π : px 5y + 4z 3 = 0, π : x + py + z + 5 = 0. a) Находим нормальные векторы к данным плоскостям: n = (3; 5; p) и n = (; 3; ). Условие перпендикулярности плоскостей: ( n ; n ) = 0. Находим ( n ; n ) = + p и решаем уравнение + p = 0; получаем p = 6. Ответ: a) p = 6; b) p =. Задача 0.4. Построить плоскости, заданные уравнениями: a) x + z = 0; b) 3y + 4z = 0; c) y + 5 = 0; d) 3x 7 = 0. Задача 0.5. a) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P (; ; 3) и ось OZ. b) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки P (; ; 3) и Q(3; ; 5) параллельно оси OX. a) Плоскость, проходящая через ось OZ, параллельна вектору k = (0; 0; ) и проходит через начало координат. Общее уравнение такой плоскости Ax + By = 0. Мы должны подобрать A и B так, чтобы плоскость проходила через точку P. Подставляя координаты точки P в уравнение, получаем: A+B = 0, A = B. Отсюда уравнение плоскости Bx + By = 0, B 0 любое. Разделив обе части уравнения на B, получаем x + y = 0. Ответ: a) x + y = 0; b) y + z 7 = 0. 84

13 Задача 0.6. a) Найти расстояние от точки P (; 3; 4) до плоскости x + y + z + 3 = 0. b) Пользуясь формулой для расстояния от точки до прямой, найти длину высоты AH в треугольнике ABC, A(; ), B(7; 0), C(0; 6). a) Из уравнения плоскости получаем координаты нормального вектора: n = (; ; ). Подставляем координаты точки в уравнение плоскости, берем модуль и делим на модуль нормального вектора: d = = Ответ: a) 9 3 ; b) 85. Задача 0.7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости π и удаленной от точки M на расстоянии d: a) π : x y + z + 5 = 0, M(3; 4; ), d = 5; b) π : x + y z + 5 = 0, M( ; 3; 4), d =. a) Уравнение искомой плоскости ищем в виде π : x y+z + D = 0. Найдем значение D. Так как точка M удалена удалена от плоскости π на расстоянии d = 5, то 3 4+ ( )+D +4+4, т.е. D 9 = 5. Отсюда находим D = 4 или D = 6. Ответ: a) x y + z + 4 = 0 или x y + z 6 = 0; b) x + y z + 6 = 0 или x + y z + = 0. Задача 0.8. Найти расстояние между параллельными плоскостями: a) π : x + y z = 0, π : x + y z + 5 = 0; b) π : x 3y + 6z 4 = 0, π : x 3y + 6z + 4 = 0. a) Возьмем любую точку M в плоскости π и найдем расстояние от этой точки до плоскости π. Положим в уравнении π x = y = 0. Тогда получим z = 0, z =, M(0; 0; ). Вычисляем расстояние d от точки M до плоскости π : d = 0+ 0 ( ) , d = 9 = Ответ: a) 3 3 ; b) 8. Задача 0.9. Дана пирамида с вершинами A(; ; 3), B(3; ; ), C( ; 0; 5), D(4; ; 3). Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC. Ответ: 4. 85

14 Контрольные вопросы. Как найти угол между двумя прямыми (плоскостями)?. Что такое неполное уравнение плоскости? Как сказывается равенство нулю коэффициентов уравнения на расположение плоскости относительно системы координат? 3. Как найти расстояние от точки до плоскости? Дополнительные вопросы и задачи D. Вывести условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами: l l k = k. D. Доказать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях 8x 4y + 5z 7 = 0, 3x + y 4z + 3 = 0, x + 47y + 0z + = 0, является прямоугольным. D3. Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и составляющей с плоскостью x + 6y z 3 = 0 угол 60. Ответ: x z = 0. D4. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x y 65 = 0 и 5x y + 6 = 0. Найти площадь квадрата. Ответ: 49. D5. Пользуясь формулой для расстояния от точки до прямой, составить уравнение биссектрисы внешнего угла A в треугольнике ABC, A(; ), B( ; 6), C(3; 7). Указание: Пусть M(x, y) точка биссектрисы внешнего угла A. Тогда расстояния от точки M до прямой AB и до прямой AC должны быть равны. Составив уравнения AB и AC, можно записать это условие в виде уравнения, связывающего переменные x и y. Раскрывая модуль, получим уравнения прямых биссектрисы внутреннего и биссектрисы внешнего угла A. Нужное уравнение выбирается из условия, что точки B и C лежат по одну сторону от биссектрисы внешнего угла A. Ответ: 3x + y 5 = 0. D6. Составить уравнение сферы с центром в точке M 0 ( 5; 3; ) и касающейся плоскости x y + z 4 = 0. Ответ: (x + 5) + (y 3) + (z ) =

15 Занятие Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнения прямой. Канонические и параметрические уравнения прямой. Прямая l определяется двумя точками. Вместо двух точек можно задать одну точку M 0 l и направление, которое задается вектором a l. Вектор a l называется направляющим вектором прямой l. Уравнения прямой, проходящей через данную точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ) и имеющей данный направляющий вектор (канонические уравнения прямой) x x 0 a = y y 0 a = z z 0 a 3. () Эти уравнения выражают условие параллельности векторов M 0 M и a, M l. Замечание. Запись () считается допустимой и в случае, когда одна или две координаты вектора a равны 0. Например, уравнения x 3 = y = z 4

16 равносильны следующей системе из двух уравнений с тремя неизвестными: { x 3 = z 4, y 3 = 0. Обозначим r 0 = OM 0 и r = OM радиус-векторы точек M 0 и M. Условие параллельности векторов M 0 M = t a переписывается в виде r = r 0 +t a. Записывая это равенство в координатах, получаем параметрические уравнения прямой x = x 0 + a t, y = y 0 + a t, z = z 0 + a 3 t.. Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую l в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, l = π π. Точка M(x, y, z) l тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих плоскостей. Получаем задание прямой в виде системы уравнений { A x + B y + C z + D = 0, (3) A x + B y + C z + D = 0. Уравнения (3) называются общими уравнениями прямой в пространстве. 3. Переход от уравнений (3) к уравнениям (). Для того, чтобы написать канонические уравнения, мы должны знать точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ) l и направляющий вектор a l. ) Чтобы найти точку M 0, нужно найти одно из решений системы (3). Мы можем одной из координат придать некоторое значение, например положить z = z 0, и найти две остальные координаты x 0 и y 0 из системы (3) (геометрически это означает, что мы ищем точку пересечения прямой l с плоскостью z = z 0 ). ) В качестве направляющего вектора можно взять вектор a = [ n, n ]. Вместо направляющего вектора можно найти таким же способом как и M 0 вторую точку M l. 88 ()

17 4. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Вычисление углов мы сводим к вычислению углов между векторами. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Угол ϕ = (l, π) между прямой l и плоскостью π это один из смежных углов, образованных этой прямой и ее проекцией на плоскость. Ясно, что один из этих углов равен ϕ = π ( a, n) и поэтому ( a, n) sin ϕ = ± cos( ( a, n)) = ± a n Отсюда, в частности, получаем: ) условие параллельности прямой и плоскости: l π a n, т.е. ( a, n) = 0. ) условие перпендикулярности прямой и плоскости: l π a n, т.е. n = λ a. Задача.. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку M и параллельно либо i) данному вектору a, либо ii) данной прямой l : a) M (; 3; 4), i) a = ( ; 5; 7), ii) l : x 5 b) M (; ; 3), i) a = (4; 3; 6), ii) l : x 4 3 Ответ: a) i) x b) i) x = y + 7 = y + 8 = y 3 5 = z = y 3 = z+3 x 6 ; b) ii) 3 = y 8 = z+3. ; a) ii) x 5 = y 3 = z 4 = z 8 ; = z ; Задача.. Дана точка M 0 и плоскость π. Составить параметрические уравнения прямой l, проходящей через точку M 0 перпендикулярно плоскости π: a) M 0 (; ; ), π : 3x + 4y z + 3 = 0; b) M 0 (3; 4; 7), π : x y z + = 0. a) Из уравнения π определяем нормальный вектор n = (3; 4; ). Поскольку прямая перпендикулярна к плоскости, мы можем взять направляющий вектор a прямой равным n. По точке и направляющему вектору записываем параметрические уравнения l ;

18 Ответ: x = + 3t, a) y = + 4t, z = t. x = 3 + t, b) y = 4 t, z = 7 t. Задача.3. Даны общие уравнения прямой l. Составить канонические уравнения l: a) { x + y + z = 0, x + 3y + 4z + = 0; b) { x + y 5 = 0, x + z + 6 = 0. a) Первый способ: геометрическое решение. Прямая l задана как пересечение плоскостей π : x + y + z = 0 и π : x + 3y + 4z + = 0. Находим нормальные векторы n и n к плоскостям π и π : n = (; ; ), n = (; 3; 4). Тогда направляющий вектор a прямой l перпендикулярен n и n. Таким образом, мы можем взять a = [ n ; n ]. Вычисляем a = [ n ; n ] = (; ; ). Для нахождения начальной точки M 0 прямой l положим z = 0 в уравнениях l. Получим: { x + y = 0, x + 3y + = 0. Решая систему, находим x = 4, y = 3. Таким образом, M 0 = (4; 3; 0). По точке M 0 и направляющему вектору a составляем канонические уравнения l : x 4 = y+3 = z. Второй способ: алгебраическое решение. Перепишем систему уравнений, определяющую l, в виде { x + y + z =, x + 3y + 4z =. Решим систему методом Гаусса. Приведем систему к ступенчатому виду. Используем преобразование s s. Получим: 90

19 { x + y + z =, y + z = 3. z является свободной переменной, а x и y базисными. Пусть z = t, t произвольное. Тогда y = 3 t, x = 4 + t и мы получаем общее решение системы: x = 4 + t, y = 3 t, z = t. Это параметрические уравнения искомой прямой. Переходя к каноническим уравнениям, получаем: l : x 4 = y+3 = z. Ответ: a) x 4 = y+3 = z ; b) x = y 5 = z+6. Задача.4. Найти угол между прямыми l и l : a) l : x = y + = z 8 b) l : x 4 3 = y + = z 5, l : 7, l : x 4 = y 7 = z + 8 ; { x y + z 8 = 0, x + y z + 43 = 0. a) Находим направляющие векторы a и a прямых l и l : a = (; 8; 7), a = (7; ; 8). Находим косинус угла между векторами a и a по формуле cos α = ( a ; a ) a a. Находим ( a ; a ) = 7, a = 34, a = 7 7. Отсюда cos α = 34 7 =, α = π 4. Ответ: a) π 4 ; b) arccos Задача.5. Доказать, что прямая l : x = +3t, y = 4t, z = 5 + 4t параллельна плоскости π : 4x 3y 6z 5 = 0. Задача.6. Найти угол между прямой l и плоскостью π: a) l : x 3 = y 6 b) l : x = y 4 Ответ: a) π 4 ; b) π. 9 = z + 7, π : 4x y z 3 = 0; = z +, π : 3x 4y z 3 = 0;

20 . Разные задачи на прямую и плоскость в пространстве Задача.7. Найти точку M пересечения прямой l и плоскости π: x 4 a) l : = y + 3 = z, π : x + y z + = 0. b) l : x + = y = z + 3, π : x y z + = 0. a) Составим параметрические уравнения l: x = 4 + t, y = 3 t, z = t. Подставим выражения x = x(t), y = y(t), y = z(t) в уравнение плоскости π. Получим уравнение (4+t) +( 3 t) t+ = 0, t = 0, откуда t =. Отсюда получаем, для точки пересечения M: x = 5, y = 5, z =. Ответ: a) M(5; -5; ); b) M(-3; 0; -). Задача.8. Дана точка M 0 и прямая l. Составить уравнение плоскости π, проходящей через точку M 0 перпендикулярно к прямой l: a) M 0 ( ; 3; ), l : x+ = y = z ; b) M 0 (; ; ), l : x+3 a) Плоскость π перпендикулярна к прямой l, значит, нормальный вектор n к плоскости π параллелен направляющему вектору a прямой l. Мы можем взять n = a. Из уравнений l находим направляющий вектор a = (; ; ). Используя начальную точку M 0 = ( ; 3; ) и нормальный вектор n = (; ; ), составляем уравнение плоскости: π : (x + ) + (y 3) + (z ) = 0, π : x + y + z 5 = 0. Ответ: a) x + y + z 5 = 0; b) x 9y + 7z 8 = 0. Задача.9. Дана точка M 0 и прямая l. Составить уравнение плоскости π, проходящей через точку M 0 и прямую l: 9 = y 3 9 = z+4 7.

21 a) M 0 ( ; 3; ), l : x+ = y = z ; b) M 0 (; ; ), l : x+3 = y 3 0 = z+4 0. a) Чтобы составить уравнение плоскости, достаточно найти точку, лежащую в этой плоскости, и два вектора, которым параллельна эта плоскость. Начальная точка M 0 известна из условия. Один из двух искомых векторов направляющий вектор a прямой l. В качестве другого можно взять вектор, соединяющий некоторую точку на прямой l с данной точкой M 0. Из уравнений l находим a = (; ; ) и точку M, лежащую на прямой l: M = ( ; 0; ). Находим вектор M M 0 = ( ; 3; 0). Составляем уравнение плоскости π, проходящей через точку M 0 параллельно векторам a и M M 0 : x + y 3 z 3 0 = 0. Раскладывая определитель по первой строке, получаем 3(x + ) (y 3) + 5(z ) = 0, откуда 3x y + 5z 8 = 0. Ответ: a) 3x y + 5z 8 = 0; b) 5y + 4z + = 0. Контрольные вопросы. Напишите канонические (параметрические) уравнения прямой в пространстве. Какой смысл имеют входящие в них коэффициенты?. Как от общих уравнений прямой перейти к параметрическим уравнениям прямой? 3. Как найти угол между двумя прямыми? 4. Как найти угол между прямой и плоскостью? Дополнительные вопросы и задачи D. Найти точку Q, симметричную точке P (; 3; 4) относительно плоскости π : 3x + y z = 0. Ответ: Q( 5; ; 0). D. Найти точку Q, симметричную точке P (; ; 3) относительно прямой l : x = 3t, y = 7 + 5t, z = + t. 93

22 Ответ: Q(3; 9; 6). x D3. Доказать, что прямые l : = y+ 3 = z 5 4 и l : x = 3t + 7, y = + t, z = t лежат в одной плоскости, и найти уравнение этой плоскости. Ответ: x + 6y + 3z 3 = 0. D4. Показать, что расстояние от точки M до прямой l : r = r 0 + at равно d = [ M 0 M, a]. Найти расстояние от точки M (; 3; ) до прямой l : x 5 3 a = y = z Ответ: D5. Показать, что расстояние между прямыми l : r = r + a t и l : r = r + a t равно d = < a, a, M M >. Найти [ a, a ] расстояние между прямыми l : x = y + 3 = z 7 и l : x + 5 = y 3 3 = z + 3. Ответ: 7 7. D6. По аналогии с понятием пучка прямых на плоскости дать определение пучка плоскостей. Вывести уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую пересечения двух плоскостей π π. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей π : 3x y + z 3 = 0 и π : x z = 0 перпендикулярно плоскости π 3 : x y +z +5 = 0. Ответ: x y 5z 3 = 0. 94

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов

А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов А.В. Браилов, Л.В. Липагина, А.А.Рылов МАТЕМАТИКА для ЭКОНОМИСТОВ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЧАСТЬ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Настоящее пособие создано на основе раздела «Элементы аналитической геометрии»

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее