ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатики Кафедра теории вероятностей и прикладной математики московски# ф^и и иевао Учебно-методическое пособие по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ для студеитов-заочников 1 курса (направление ) 1 семестр Москва 2016

2 План У МД на 2016/17 уч.г. Учебно-методическое пособие по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Составитель Е.А.Скородумова, к.ф.-м.н., доцент В предлагаемом пособии даны рекомендации общего характера. Приведены рабочая программа, тематика лекций и упражнений. Даны методические указания по разделам курса. Приведены задания для контрольной работы в ста вариантах. Издание стереотипное. Утверждено на заседании кафедры. Рецензент А.Г.Кюркчан, д.ф.-м.н., профессор

3 ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое пособие относится ко второй части курса высшей математики, изучаемого студентами-заочниками МТУСИ в первом семестре. Эта часть посвящена основам математического анализа: дифференциальному исчислению и его приложениям. По указанной части курса выполняется контрольная работа 2, которая приведена в конце данных указаний. Учебно-методическое пособие не заменяет учебников, а содержит лишь разъяснения о порядке изучения программного материала, краткий обзор отдельных вопросов, а также решения некоторых типовых задач и вопросы для самоконтроля. Основная литература, по которой следует изучать курс, приведена ниже. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ 1. Самостоятельная работа с учебником Самостоятельная работа с учебником является основным видом работы етудента-заочника. В самостоятельной работе следует руководствоваться следующими положениями. Работая по основному учебнику, рекомендуемому в настоящем пособии, студент должен обращаться к указанной дополнительной литературе. Эго необходимо в тех случаях, когда основной учебник не дает полного отпета па некоторые вопросы программы. 2. Решение задач Прежде чем приступить к решению задач, после изучения очередного раздела по учебнику следует внимательно изучить примеры решения типоиих задач по данному пособию и только после этого переходить к самостоя- 1с.11ыюму решению рекомендованных задач. В тех случаях, когда это воз 3

4 можно, следует дать чертеж, поясняющим решение задачи. Решение следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа и по возможности проводиться в общем буквенно-символьном виде. В промежу точных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа к и т.д. 3. Выбор варианта Вариант выбирается в соответствии с двумя последними цифрами студенческого билета. Например, если номер билета ЗБИН017, то вариант будет иметь номер Выполнение контрольных работ V При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующим. 1. Не следует приступать к выполнению контрольных работ до решения всех задач, рекомендованных в настоящем пособии. 2. Контрольные работы выполняются по УМД одного года издания. Замена издания другим в процессе изучения курса высшей математики не допускается. 3. Контрольная работа выполняется в обычной ученической тетради в клетку. Она должна быть аккуратно и четко написана. Для замечаний преподавателей на каждой странице оставляются поля шириной 3-4 см. Все страницы нумеруются. На обложку тетради наклеивается заполненный адресный бланк, а па первую страницу тетради - титульный бланк. 4. Решения задач в контрольных работах сопровождаются исчерпывающими, но краткими объяснениями. располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи полностью выписывается ее условие а рецензию одновременно высылается не более одной работы. 4

5 6. При получении из университета прорецензированной работы студент обязан выполнить указания, сделанные рецензентом. В случае, если контрольная работа не зачтена, студент обязан в той же тетради (после заключения рецензента) внести все исправления, заново решить задачи, указанные рецензентом, и представить работу на повторную рецензию. Уничтожение записей и пометок рецензента (например, с помощью штриха или корректора) и полная замена контрольной работы не допускается. 7. Контрольная работа выполняется самостоятельно. В случае, если у рецензента возникает сомнение в самостоятельности выполнения работы, студент вызывается на консультацию для устной защиты контрольной работы. <S. В конце работы указывается использованная литература. 9. Контрольная работа подписывается с указанием даты выполнения. К). Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил или по чужому варианту, возвращаются и не засчитываются. 5. Сдача экзаменов К сдаче экзаменов допускаются студенты, имеющие на руках выполненные и зачтенные контрольные работы. Экзамены сдаются устно. При сдаче экзаменов студент должен знать все определения, формулы, теоремы и их доказательства, а также уметь решать задачи по данному курсу. 6. Очная учеба студентов <'туденты, успешно выполняющие учебный план, приглашаются в унииереп те т для проведения лабораторных работ, сдачи экзаменов и очной рабо- ы е преподавателями. В это время для студентов читаются обзорные лекции п проводя тся упражнения в объеме учебного плана. 5

6 Следует иметь в виду, что обзорные лекции не являются систематическим чтением курса. Они охватывают лишь узловые моменты программы. Обзорные лекции, упражнения и консультации будут полезны студентам, которые проработали курс по полной программе и выполнили контрольные задания. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Функции. Основные способы задания функции. Основные элементарные функции и их графики. 2. Пределы, основные свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. 3. Первый и второй замечательные пределы. 4. Сравнение величин. Порядок малости. Эквивалентные величины. 5. Непрерывность функции, действия с непрерывными функциями. Формулировка основных свойств непрерывных на отрезке функций. Точки разрыва функций. И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ 1., приводящие к понятию производной. Определение производной, ее механический и геометрический смысл. 2. Свойства производной и основные правила ее нахождения. 3. Дифференциал функции, его механический и геометрический смысл. Свойства дифференциала, инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. 4. Производные и дифференциалы высших порядков. 5. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 6. Дифференцирование неявных функций. 7. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. 8. Правило Лопиталя. 9. Формула Тейлора. 6

7 III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА 1. Монотонность функции, признаки монотонности. Экстремумы функции. 2. Выпуклость функции, точки перетиба. Асимптоты графика. 3. Схема исследования функции и построения ее графика. IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Функции двух переменных и способы их задания, геометрический смысл, линии уровня. Функции нескольких переменных. 2. Непрерывность функции нескольких переменных. Формулировка основных свойств непрерывной функции. Точки, линии разрыва. 3. Частные производные. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Частные производные сложных функций. Частные производные высших порядков. 4. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Формулировка достаточных условий. Понятие об условном экстремуме. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2. М.: Интеграл-пресс, Шевченко Ю.А., Федин С.Н., Скопинцев О.Д. Высшая математика (м. 1,2). Конспект лекций / МТУСИ. - М., Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. / Под рсд. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, Дополнительная I. 1Ысьменный Д/Г. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис I Ipecc, Сборник задач по высшей математике. С контрольными работами / 11од рсд. (ML Федина. Курс 1. - М.: Айрис-Прссс,

8 i 6. Бронштейн 14.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Любое издание. В дальнейшем при ссылках на литературу указанные пособия обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами по атому списку. Например, [1] означает учебник II. С. Пискунова и т.п. ТЕМАТИКА ЛЕКЦИЙ 1. Введение в математический анализ. Предел функции. Основные теоремы о пределах. 2. Замечательные пределы. Непрерывность функций. Классификация точек разрыва. 3. Производная и дифференциал, их геометрический и физический смысл. Основные правила вычисления производной. Таблица производных основных элементарных функций. 4. Производная сложной функции. Производная функций, заданных параметрически, неявно. Производные высших порядков. 5. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. 6. Признак монотонности функции. Экстремум функции. Выпуклость и точки перегиба кривой. Асимптоты. Построение графика функций. 7. Функции нескольких переменных. Частные производные. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. ТЕМАТИКА УПРАЖНЕНИЙ 1. Нахождение пределов функции. 2. Замечательные пределы. Точки разрыва функции. 3. Производная функции. Табличная производная. Производная сложной функции. 8

9 4. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически, неявно. 5. Исследование функции и построение ее графика. 6. Функции двух переменных (частные производные, условия экстремума). МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1.1. Функции. Основные способы задания функции [1, гл. I, 6-9, упр. 1-45J [2, гл. 4, 1] [3, гл. 5, 1-2] [4, гл. 5, 13-14] [5, гл. 6, 1] Основным понятием математического анализа является понятие функции. Приведем определение функции. Если каждому элементу х множества Е поставлен в соответствие единственный элемент у множества D, то говорят, что на множестве Е определена функция /( *), и пишут: У = 11ри этом множество Е - область определения функции, множество D область значений функции. Для функции одного переменного область Е пре тс I лвляст собой или некоторое подмножество, или все множество точек пн лоиоп оси (прямой). Функция необязательно задается одним аналитическим выражением (формулой) во всей области ее определения. Очень часто бывают случаи, ко- i.i функцию на разных участках изменения независимой переменной задают 1>л 1ЛИЧ11ЫМП формулами. Например, 9

10 ч Гх + 1, При X < 1 /М = о. [х~ + 1, при X > I. Это значит, что для всех значений х < 1 данная функция определяется выражением у = х +1, а для х > 1 - выражением у = х1 + I. Заметим, что при х = 1 функция не определена Теория пределов. Непрерывность [1, гл. 2, 1-2, упр. 1-63] [2, гл. 4, 2-15] [3, гл. 5, 4] [4, гл. 5, 16-19] [5, гл. 6, 4-5] Теория пределов составляет фундамент математического анализа. Определение. Пусть функция у = / ( х ) определена в некоторой окрестности точки а. Говорят, что функция./ (х) имеет пределом число А, когда х стремится к а (или в точке а), если для любого сколь угодно малого числа с >0 найдется такое <5 > Q, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х - а < 8, выполняется неравенство: Обозначают это так: / ( х ) - Л <. lim /(x ) = А. X->1 Графически это означает, что точки графика функции у - / ( х ) (см. рис. 1) лежат внутри полосы шириной 2 для всех х (х ф а), отстоящих от точки х = а на оси ОХ не более чем на 8. 10

11 5 а S а + о х Для раскрытия неопределенности типа О О часто используется первый.. sin л:, имечательныи предел: п т = 1, а для неопределенности типа д-> х Рис. 1 Основные свойства пределов отражены в основных теоремах о пределах. о пределе суммы, о пределе произведения, о пределе частного нескольких функций. Теорема о пределе частного имеет исключение для случая, когда предел знаменателя равен нулю. Указанные теоремы имеют важное пракшческое значение, так как позволяют вычислять пределы в конкретных задачах. втором замечательный предел: Нш 1+ х - е, который может быть записан и в ikoii ( )орме: lim(l + у)у = е. I г >0 iадача 1. I laiii н lim X Решение: П )юп задаче предел основания равен 1, а показатель степени стремит- 13 I (нгкопечпости. Имеем неопределенность вида 11ргооразуем данное выражение: 11

12 f \ Ч + iy " (* -!) + 2. С 2 V 1 lim = lim -lim 1+ = lim 1+.V л~чх ~ 1) л_>х х 1 Л~ Ч х-\. >, х 1 I 2 ) Обозначим: y = x 1 Tогда 2у = х - 1,.г = 2у +1. Очевидно, что у > ос при л- > со, Поэтому имеем: f \ 2-l +l (! \2y f l i m l ^ - l = lim = lim + ->Ч х -1 У ) V У) v % = lim fi+l) V >0 lim I -KcV + 3;. Далее используем свойство предела: lim и2=( lim//), r->x \ Г->СС а также тот факт, что lim 1+ = 1. '-'Ч V В результате имеем: limн+[т- lim 4 1 U - i J V - >эс 1 У) Используя второ/! замечательный предел, в итоге получаем: х + lim х - \ = е. Напомним основные положения о непрерывной функции. Функция / ( ; с) называется непрерывной в точке х = х{), если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности, а также если в этой точке х = х0 существует предел функции, и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е.: у 12

13 lim /(x ) = / ( x ()). л t.\y В случае односторонней окрестности под пределом в левой части равенства надо понимать левый или правый предел. В случае двусторонней окрестности из этого определения вытекают три условия непрерывности функции / ( х ) в точке х = х0: а) функция должна быть определена в самой точке х0; б) должны существовать конечные пределы при стремлении х к х0 слева lim fix] и справа lim /'(х);.г >.vn 0 v ',v->.vii+0' 4 ' в) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции и предельной точке х0, т.е.: lim / (.г) lim / (х )= /'(х 0)..V >.v0 0 V.v->.v0+O V ' V 07 Если хотя бы одно из этих трех условий не выполнено, то функция в очке х0 называется разрывной, а сама точка х0 называется точкой разрыва. Определение непрерывности функции / ( х ) в точке х0 можно сформулировать иначе: функция у = / ( jc) называется непрерывной в точке х0, если в ной точке бесконечно малому приращению аргумента Дх = х - х0 соответ- I пуст бесконечно малое приращение функции Ду - у - у0, т.е. Если точка х0 - точка разрыва, то: lim Av = 0. Дг >0 I) точка х0 называется точкой разрыва первого рода в случае, когда I у шествуют конечные односторонние пределы l i m /( x ) (обозначается / ( у, 0)) и lim f i x ) (обозначается / ( х 0 + 0)). В частности, если 1( ()) / (л0 + 0), то разрыв в точке х0 называется устранимым. I a m o d ь / ( х ) - / ( х 0-0 ) называется скачком функции в точке м i ii.ina первого рода; 13

14 2) точка х называется точкой разрыва второго рода во всех остальных случаях. Если хотя бы один из пределов / ( х 0-0 ) или / ( х 0 +0) бесконечен, то х0 называется точкой бесконечного разрыва (например, точка х0=0 для функции / ( х ) = Inx). Основные элементарные функции х", а \ log((x, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx непрерывны во всех точках, где они определены. Функции, записанные в виде одной формулы у = /(х) и образованные конечным числом алгебраических действий и взятий функции от функции из основных элементарных функций, являются непрерывными во всех точках, где они определены. Если функция задана различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы еще и в точках, где меняется ее аналитическое выражение. Рассмотрим задачу па исследование непрерывности функции, нахождение точек разрыва и установление характера этого разрыва. Задача 2. Для функции /(* )= < 2х, при со < х < 1 4-2х, при 1< х < , при 3 < х < -ко 3 найти точки разрыва, если они существуют; найти скачок функции в каждой точке разрыва и построить график. Решение: Функция / ( х ) задана на трех промежутках различными аналитическими выражениями. Каждое из этих выражений представляет собой элемен 14

15 тарную функцию, которая является непрерывной. Поэтому функция может иметь разрывы лишь в точках, где меняется ее аналитическое выражение. Исследуем функцию на непрерывность в каждой из этих точек. 1) х = 1. Находим односторонние пределы / ( х ) при стремлении.г к 1 слева и справа. При х<1 функция / ( х ) задана выражением / (х) - 2.x, следовательно, При 1 < л:<3 функция / ( х ) задана выражением / ( х ) = 4-2 х, следонагельно, lim / (х) = lim 2x = 2..V > л- >1 0 lim fix) = lim (4 2jc) = 2..v-)h-0 v 7,v->l+()v 7 Таким образом, односторонние пределы в точке х = 1 равны между со- ooii. Кроме того, согласно условию задачи значение функции в точке х = 1 ыдаио выражением / ( х ) = 2х, откуда /(1 ) = 2. Следовательно, в точке х = 1 выполнены все условия непрерывности функции: lim / (х) = lim / ( х ) = / (1) = 2..v-И-О V 7 л-и+0 V 7 V 7 1иачп г, в точке х = 1 функция непрерывна. 2) х = 3. 11рп 1< х < 3 имеем / (х) = 4-2х, следовательно, lim fix') = lim (4-2 х ) = -2 ; v-kv O v 7,т->3-0 ' 7 3 при \ 3 имеем / ( х ) = ^ - + 2, следовательно, lim / (х) = lim ^ + 2 ч.з = 5. Мы получили, что в точке х = 3 левый и правый пределы функции ' (») конечны, но не одинаковы, значит, в точке х = 3 имеет место разрыв " ржи о рода. Скачок в точке разрыва 15

16 hi3)= lim fix)- lim f(x) = 5 - ( - 2 ) = 7. v 7 л-*3+0 v 7.v >3-0 v 7 v 7 График этой функции приведен на рис. 2. Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции? 2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры. 3. Какая функция называется периодической? Приведите примеры. 4. Какая функция называется сложной? Приведите примеры. 5. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры. 6. Сформулируйте определения предела функции при х >а и при Л' > Как связаны понятия предела функции с понятиями ее пределов слева и справа? 8. Сформулируйте определение ограниченной функции. 9. Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства? 10. Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой? 11. Докажите основные теоремы о пределах функций. 12. Докажите, что lim S-U1A- = 1 («первый замечательный предел»)..v >0 X 13. Сформулируйте определение числа е. 14. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции? 15. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных па отрезке. 16

17 ] 6. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой. 17. Покажите, что при х >0 бесконечно малые sinx, arcsinx, Igx, arctg x попарно эквивалентны. 18. Пусть х -» 0. При каком значении а бесконечно малые <7sin2x и (1 - cosx) будут эквивалентными? После изучения этого раздела следует решить первые две задачи в кон- рольной работе 2. II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 2.1. Производная [ 1, гл. III, 1-20, 22, 24, 25, упр , J [3, гл. 6, I] [4, гл. 5, 20-23] [5, гл. 7, 1] Теоретический материал по технике дифференцирования достаточно hi пробно изложен в рекомендованном учебнике, поэтому здесь мы ограии- 'шмся юлько рассмотрением ряда примеров и остановимся на вопросах, коюрым часто уделяют недостаточное внимание. Для того чтобы не испытывать затруднений при дифференцировании, ' \ юш должен выучить наизусть таблицу производных основных элемен- ipin.ix функций, которая приведена во всех справочниках (см., например, 14) и учебниках по высшей математике, и знать основные правила дифференцирования: (С) 0; (UV)' =U'V + U V; (I/ У)' =U' + V ; (СИ) ( V ; 17

18 где С - постоянная, a U и V некоторые функции л\ имеющие производные. Однако данные правила и указанная таблица производных позволяют вычислять производные от функций лишь в самых простых случаях. Для дифференцирования функций более сложного вида, например, таких, как y = cos22.v, у = е; ГС'в2л и т.д., их недостаточно. В подобных случаях пользуются более общими формулами дифференцирования, основанными на теореме о производной функции от функции. Пусть у = /[^ (з с )] - сложная функция, т.е. у - f(u), а и = (р(х). Если при соответствующих друг другу значениях х и и существуют производные У ~ f '{11) и 11' ~ (Р'{Х) >то существует и производная от у по х : Тогда таблица производных от сложных функций может быть записана так: y' = f'(v)-<p'(x). Если обозначить функции как у = у(и), где и = н(дг), то у\ = у'и и[.. К ) - а и а 1- и '; (ctgw)' = i sin2 и t и = а" \па и' ; (arcsinu) > 1 л/ l - (<?") = е" и' ; t^ V 1 1 ' (l g*«) = т 11 > и In а (sinг/) c o sh и' ; (cosи) = sinг/ г/ ; / у 1 arccosn =, s it-,,1 ( у 1 (arctgw) =, -и ; 1+1Г, V 1 arcctgn) = 2 -г 1+ гг (tgn) = -и ; cos и (shn) = chw-«'; О I СЛ Данные правила дифференцирования можно распространить па случай дифференцирования сложных функций, состоящих из нескольких звеньев. 18

19 Задача 1. у = sin arctg3 л[х. Найти у. Решение: В данном случае задана сложная функция, для которой требуется выполнить ряд операций: Г х, arctgvx, (arctgvx), sin ^arctgvx) Последней в этом ряду является операция взятия синуса. Обозначая к = ^arctg>/xj, записываем исходную функцию следующим образом: г =sin а. Используя формулу дифференцирования сложной функции у\ - у'и а \, получаем: у[. = (sin и) н и[. = cos и и[. = cos (arclgvx j (arctgvx j (1) Мы вновь пришли к необходимости дифференцирования сложной функции. Обозначая и = arctgvx, получаем f arctgvx) =и' и поэтому arclgvxj = (г/3) ' и\ =3н2-и\ = 3^arctg>/xj ^arctgv^j J X 11одставляя это выражение в формулу (1), получаем: Ух = cos (arctgvx) -3 (arctgvxj ^arctgvx j. (2) ( )бозпачая и = Гх, получаем: ( " ' H'.n/.v) = (arctg «)' = (arctg ы / -и, = '-т-н'х = (Jx) = U - ' ' " 1 + г/ 1+ x ' ' 1+x 2Vx 11одс тавляя последнее выражение в (2), окончательно получаем: v' = cos ^arctgvxj -3^arctg\/xj -- * ~J- I lyvkiio освоить следующую, более короткую форму записи решения: / = (sin arctg3vx) = cosarctg3vx -(arctg3vx) = 19

20 Итак, для правильного дифференцирования сложной функции нужно уметь представить ее в виде цепочки более простых зависимостей и применить нужное число раз правило дифференцирования сложной функции. Задача 2. Найти производную функции: л/ 2л: 1-ЦЗх + 2 Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования, который заключается в том, что заданное выражение сначала логарифмируют, затем определяют производную от этого логарифма и уже из получившегося выражения отыскивают производную от заданной функции. Легко видеть, что логарифм написанного выражения дифференцировать будет удобнее. Поэтому прологарифмируем обе части равенства: после чего продифференцируем обе части равенства, учитывая, что в его левой части стоит логарифм от функции. Имеем: отсюда у = у + 2х-\ Зх

21 или, если упростить выражение в скобках в правой части и подставить выражение у, Задача 3. \у = 1-coscp [дг = sin (р. dy d 2y Наити и dx dx" Решение:, _ l x 2, - х2 х 1 (x2-\)2yj2x-\tj(3x + 2)2 В данном случае зависимость у от х задана в параметрической форме. 11аходим первую производную: dy y'v (1-cos^y <р _ Slll^ Т. (р (р 2 sin cosdx С (p - s in p ), 1 C0SP 2siiT Отметим, что первая производная получилась зависящей от параметра При определении второй производной многие делают ошибку, ограничип гь дн( )( )еренцироваиием первой производной по параметру, забывая о м, что при ее нахождении следует исходить из равенств dy (р = ctg dx 6 2 х (р sin (р миг I yiкп ь так же, как при нахождении первой производной, т.е. d 'y ( ^ sin <Р)\ 1 Г <р sin 2 <р_ U _2 1-COS (р Sin' <р п 2(р 2sin ]_ 2 1 4sinJ (р cosec

22 Таким образом, cl2 у г ---- cosec dx2 4 x = (p - sin (p. A<P_ Задача 4. Найти производную функции, заданной неявно уравнением: dx Решение: X2-2ху + у 3 = 1. Дифференцируем обе части равенства, помня, что у есть функция от х : 2х -2 у- 2ху' + Зу2у' = 0. Отсюда, решая уравнение относительно у ', находим, что _ 2(у~х) Характерно, что производная неявной функции получилась выраженной через х и у Приложения дифференциального исчисления. Геометрические приложения [ 1, гл. III, 26, упр ,207, ] [3, гл. 6, 1] [4, гл. 5, 20,23] При решении задач следует исходить из того, что угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке, являющейся абсциссой точки касания. Задача. Написать уравнение касательной к кривой х2-2 х у + у 3 = 1 в точке, где

23 Решение: Производная функции была вычислена в предыдущем примере:, 2(у-х) У = 4 - Зу2-2х Отсюда видно, что для вычисления углового коэффициента надо знать координаты точки касания. Нам известно, что для нее х = 0. Подставляя эго значение в уравнение кривой, находим, что у = 1. Таким образом, точка касания имеет координаты х = 0 и у = 1. Подставив их в выражение производной, получаем, что угловой коэффициент /с =. По точке и угловому коэффициенту составляем уравнение касательной: Су - 7 о) = Ф - * о); 2 у - 1 = (jc- 0) или 2х- 3у + 3 = Правило Лониталя 1,гл. IV, 4,5] 3, гл. 6, 3] 4, гл. 5, 25] 5, гл. 7, 3] Правило Лониталя позволяет раскрывать неопределенности типа. а также неопределенности других типов, например, [0-оо], [оо-оо], I и 1.д., которые предварительно путем алгебраичееких преобразований Го! в I in инея к указанным видам _или Правило Лониталя основано на теореме Лониталя, которая сводит вы оо 23

24 числение предела отношения двух функций / ( х ) и g(.v) к пределу отношения их производных / '(. v) и g'(.v),t.e. v>ii g(*) v >" g'(-v) согласно названной теореме при некоторых условиях, что во многих случаях оказывается более простой задачей. Это же правило может быть распространено па случай, когда х > ±оо. Задача 1. 2 Найти предел Пт. -у>+» е " Решение: Данное выражение представляет собой неопределенность типа Тогда в соответствии с правилом Лопиталя непосредственно получаем И., ; * lim = lim - - lim..v >+к p x.v >+x / \ ' x- д ->+х е ' и К полученному выражению еще раз применяем правило Лопиталя, так как оно тоже является неопределенностью типа Задача 2.,im^ =limm = ima = 0..V ~> + Х (У д > + х Найти предел lim (V-.г2)..V»+эо' ' Решение: Г >+ЭО И ' В данном случае имеем неопределенность типа [со-сю], которую предварительно переведем в неопределенность типа путем тождественных алгебраических преобразований: 24

25 По теоремам о пределах lim (ex - л-2) = lim ex X >+C0 ' '.v >+00 V e*у lim ех Л* >+оо 1 - = lime" lim = lim ех I - lim Л >+% л >+С Л - > - Х е Х Очевидно, что lim ех = +оо, a lim = 0 (ем. задачу 1).,V -> + C C Л '- > + Х Q X Таким образом, и т е л->+оо ( X-' \ е = +оо Дифференциал 11, гл. III, 20,21,23, упр ] [3,гл. 6, 2] 4, гл. 5, 24] б, гл. 7, 2] Как известно, функция у = f(x) называется дифференцируемой в точ- 11 геми в отой точке она имеет производную у. По определению Дия дифференцируемой функции у = /(. r ) справедливо следующее pain ж I но:, Ау v - lim. Дд- ^ = У + гг(дт), Ат и Nмножив обе части равенства на Ах, получим, что приращение функции ( \ \ ) зависит от т и Ах и ^ (Д г) >0 при Д х-»0. Д v = У Ах + s (Ах) Ат. (1) 25

26 При Av >0 первое слагаемое представляет собой произведение бесконечно малой величины Av на конечную величину у', второй - произведение той же бесконечно малой Av на бесконечно малую &'(Av). Величина у'ах, составляющая главную линейную часть приращения функции, называется дифференциалом функции и обозначается через dy. Таким образом, dv = у'а х. Очевидно, что при у - х имеем dx = Ax. Поэтому дифференциал функции dy можно представить в виде: dy = y'dx = f'{x)dx. Из выражения для приращения (1) следует, что Ay&dy при у Ф 0, т.е. при достаточно малом Av приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, что используется в приближенных вычислениях. Для полного понимания этой темы очень важно иметь ясное представление о различии между понятиями непрерывной и дифференцируемой функции. Такое различие усматривается, например, на графике функции у = Ы + 1 (рис. 3). \ у Эта функция непрерывна в точке т = 0, но не имеет в этой точки производной. у - Ы +1 Этот пример показывает, что функция может быть непрерывной в некоторой точке, но не иметь произ- 0 х водной в этой точке. ^ ис' ^ С другой стороны, если функция имеет производную к некоторой точ ке, то она обязательно будет непрерывной в этой точке. Следовательно, мпо жество непрерывных функций шире множества дифференцируемых функций; последнее образует только часть множества непрерывных функций. 26

27 2.5. Свойства дифференцируемых функций 5, 50, 52] [1, гл. IV, 1-5, упр. 1, 5, 7-10, 12, 17, 19, 20, 23, 28, 30, 33, 35, 38, 42, 2.6. Формула Тейлора [1, гл. IV, 6,7, упр. 54, 56, 57, 59, 62, 67] [3, гл. 6, 3] [4, гл. 5, 26] [5, гл. 7, 3] Формула Тейлора / ( * ) = / И + / '( я )(* - а ) ~ ау + К 1,0 / ("+0/ Г\ R = ---- Ц-ч jc -а)" 1,х < < а или х > <%> а " (/7 + 1)! V чеиь важна как для теории, так и для практических приложений. В частности, с ее помощью можно вычислить приближенные значения 'MIKIMHI / ( * ), если известны значения этой функции и ее производных до прядка /7 в «начальной» точке х = а. Формула Маклорена представляет собой частный случай формулы <имора при с/ = 0, т.е. дает представление функции в окрестности нуля: / м = / (о )+т х+ 2! /" '(О ) х" + /7! Вопросы дли самопроверки ( ( )ормулируйте определение производной. Каков ее механический и I сометрический смысл? Какой класс функций шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в гонке? Приведите примеры. 27

28 3. Выведите формулы производных: суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры. 4. Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры. 5. Выведите формулы дифференцирования основных тригонометрических и логарифмических функций. 6. Выведите формулы дифференцирования степенной функции, показательной функции, сложной показательной функции. 7. Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций. 8. Сформулируйте правило дифференцирования неявных функций. Приведите примеры. 9. Как дифференцируют функции, заданные параметрически? Приведите примеры Сформулируйте определение дифференциала функции. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков Каков механический смысл второй производной? Как находится вторая производная функций, заданных параметрически? 14. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл? 15. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл? 16. Выведите правило Лопнталя для раскрытия неопределенности вида 0 0. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя. Приведи те примеры. 28

29 17. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. В каком случае эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид она принимает в этом случае? 18. Напишите формулы Маклорена для функций ех, sin л:, cos.y, ln(l-f-jc). После изучения этого раздела студенту следует решить задачу 3 из контрольной работы 2. III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ [1, гл. V, 1 11, упр ] [3, гл. 6, 4] [4, гл. 5, 25] [5, гл. 7, 4] В математическом анализе функцию графиком не задают, но часто пользуются графической иллюстрацией функции. Методы математического анализа позволяют выбрать из бесчисленного множества точек графика так называемые характерные точки, г.е. точки, характерные именно для данного графика. Особенно внимательно следует отнестись к определению точек экстремума функции. Напомним необходимое условие экстремума: если х0 - точка экстремума функции, то либо производная равна нулю в этой точке (/ '(. v0) = 0), либо производная в этой точке не существует. Точка х0, входящая в область определения функции / ( х ), в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой функции./(л ). 11о пому точки экстремума явняюия кртичсскимп ючками (по но наоборот пс всякая крп I unci lorn ючка оу in ючкоп жсфсмума). )то сразу с ужас I мшима I во ючо I pi щ миормч Moiyi находиться точки экстремума,

30 м чудача отыскания экстремумом функции сводится к исследованию критических точек. При этом наличие 'жпремума и его тип (максимум или минимум) устанавливается с номощмо достаточных условий. Первое достаточное усните экстремума (основанное на первой производной). Пусть функция / ( \ ) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой ючки \ ). Если при переходе через эту точку производная меняет знак е никн у на минус, то х0 - точка максимума. Если же при таком переходе знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 точка минимума. Заметим, что если знак upon людной не меняется при переходе через критическую точку \, ю на iочна пс является точкой экстремума. Второе достаточное усните экстремума (основанное па второй производной). Пусть вторая производная /"( \ ) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и, кроме юго, первая производная в этой точке равна пулю / '( х 0). Если /" ( х 0) <0, го \() tочка максимума; если /" ( х 0)> 0, го \(1 точка минимума. Ианомипм, что точка М0(х, у0), отделяющая выпуклую вверх часть I piiiioli г /( О от выпуклой вниз части, называется точкой перегиба этой крнвон I очка nepei пба находится с помощью следующей теоремы. Теорема. Мус и. функция / ( х ) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой точки х0. Пусть, кроме того, в этой точке вторая производная равна пулю /" (х н) = 0 или не существует. Если при переходе через точку х0 (II

31 вторая производная /" (* ) меняет знак, то точка М0 с координатами (лг0, / ( х 0)) есть точка перегиба кривой v = /(.v ). Дадим общие указания к построению графиков функций при помощи дифференциального исчисления. План исследования 1. Определить область существования функции и выяснить, имеет ли функция точки разрыва. 2. Выяснить, имеет ли место симметрия кривой относительно оси ординат или начала координат, связанная с четностью или нечетностью функции. 3. Определить точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. 4. Определить поведение функции в окрестности конечных граничных точек области определения, а также при дг»+оо, для чего найти пределы функции при стремлении х к указанным точкам и при.г» ±ос. Найти вертикальные и наклонные асимптоты. 5. Найти интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения функции. 6. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз кривой и точки перегиба. Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить еще несколько точек кривой. Координаты этих точек можно вычислить, пользуясь уравнением кривой. Конечно, не всегда нужно строго педантично следовать этому плану. Можно для удобства переставить пункты исследования. Удобнее всего исследование вести так: сначала провести исследование по тем пунктам, которые не требуют нахождения пределов. Задача 1. 2 Исследовать функцию /(.т ) = и построить ее график. 31

32 Решение: 1. Функция определена на всей оси ОХ за исключением точки х = - 1. = ( оо, l)u(-l,+ ). 2. Функция не является четной, тле Функция не является нечетной, т.к. / ( - х)ш Т Г х * Т Г х = т - Таким образом, данная функция есть функция общего вида, и поэтому ее график не имеет симметрии. 3. Функция не является периодической. 4. Очевидно, что, если х = 0, то > = 0, и наоборот, если у = 0, то х = (). Поэтому начало координат <9(0,0) есть единственная точка пересечения графика с осями координат. / ( - * ) = х 5. Находим интервалы знакопостоянства функции. Функция может изменить знак лишь при переходе через точки, в которых она равна нулю или терпит разрыв. Поэтому данная функция может изменить знак лишь при переходе через точки х, = -1 и х, = 0. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Знак функции в каждом интервале устанавливают методом контрольных точек. Например,. ч (-2 )' 4 / ( 2) = = - <0. v Значит, в интервале (-оо,-1) функция отрицательна. Таким же образом устанавливаем знаки функции и в остальных интервалах. Результаты сводим в таблицу. X (-00,-1) -1 (-1.0) 0 (0,+ос) не сущ

33 Следовательно, прямая y = kx + b, т.е. у = x -1 есть наклонная асимптота. 7. Определяем интервалы монотонности функции, а также точки экстремума: 6. Вертикальной асимптотой графика является прямая х = -1, т.к. X X Inn = +оо; Пт = -оо. -V X -V > д ; Находим наклонную асимптоту. Для этого находим коэффициенты: / Ы _ к -- lim - = lim = lim = lim--- = 1 ; x + лг) ' >* 1 + x + < X2 ^ b = Iim (/(x ) - kx) = lim X.T >oc ' v ' '.V > x lim v-»*v 1 + x = lim.v»» X f V 1 ^ 1+ - x J v_ 2 х (1 + х) - х2 1 _ 2 х + х2 _ х ( 2 + х) (1 + л-)2 " ( 1 -ьх)2 - (1 + х ) 2 Производная может изменить знак лишь при переходе через точки, в которых она равна пулю или терпит разрыв. Очевидно, что / '( х ) = 0 при х,= 0 и х2 = -2. Кроме того, производная не существует при х3 = - 1. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Знак производной в каждом интервале устанавливаем методом контрольных точек. По знаку производной определяем, возрастает или убывает функция. Результаты сводим в таблицу. X (-оо,-2 ) _ 2 ( ) -1 ( - 1, 0 ) 0 ( 0,+со) т не сущ / «Z 1-4 \ не сущ. \ При переходе через критическую точку х2= -2 производная меняет знак с «+» на «-». Значит, точка х2 = -2 - точка максимума. При этом 33

34 / ( - 2) = -4. При переходе через критическую точку л',=0 производная меняет знак с «-» на «+». Значит, точка х,= 0 - точка минимума. При атом / ( 0 ) = 0. перегиба. 8. Находим интервалы выпуклости вверх и вниз кривой, а также точки Находим вторую производную: 2л- + л-2 (2 + 2.v)(l +.v)3-2л- + л-2)-2(1+ х) La+'j J 0+*)4 (2 + 2х)(1 + А') - 2(lx + х~ ) _ 2 + 2х + 2л* + 2л-2-4л*- 2х2 _ 2 ( 1+л-)3 0 + *) ( 1 + л ) Очевидно, что /"(л ')> 0, если (l +.v) > 0, т.е. х > -\. Аналогично, f"(x) < 0, если jc< - 1. По знаку второй производной судим о выпуклости вверх и вниз графика. Результаты исследования сводим в таблицу. X (-=о,-1) -1 ( - 1,+со) / ( 4 По данным строим график (см. рис. 4). Задача 2. Исследовать не сущ. + / М п не сущ. и функцию,.. In v / ( \ ). и построить ее \/ \ I И ф 1' I I *II' 1с 11 Н н I' 11«ним ф III ИМИ I I И I И II' 1 III I Рис. 4

35 вом л* > 0, т.е. Е = (0,+оо). 2. Функция не является четной или нечетной, т.е. область определения функции Е = (0,+со) нс обладает свойством симметрии. 3. Функция не является периодической. In х 4. Очевидно, что если у = 0, т.е. т=- = 0, то Inх = 0, т.е. х = 1. Поэтому v х с осью ОХ график пересекается в точке д: = 1. С осью OY график не пересекается, так как функция не определена при х Находим интервалы знакопостоянства функции. Функция может изменить знак лишь при переходе через точки, в которых она равна нулю или терпит разрыв. Поэтому данная функция может изменить знак только при переходе через точку дг0 = 1. Эта точка разбивает интервал (0,-к») на два интервала: (0,1) и ( 1,+со). Знак функции в каждом интервале определяем методом контрольных точек. Например, / I in = - у = 2 е < 0 ; е /И = ^ _ "(«, ) л > о. е Результаты сводим в таблицу. X (0,1) 1 (1,+оо) / м Замечание. В данном примере интервалы знакопостоянства можно усln.v гаповить по-! -другому. Знак выражения / ( * ) = j=- совпадает со знаком 1пх, \ х так как V* > 0. Поэтому /(,v )> 0 при 1п.т>0, т.е. при т> 1, и /(л ')< 0 при 0 <.т < Вертикальной асимптотой графика является прямая.т = 0, так как 35

36 Находим наклонные асимптоты. Для этого находим коэффициенты к и Ь. При нахождении пределов используется правило Лопиталя., f i x ) In*,. (In A'),. 2 к = lim ^ L= Inn 7== lim = lim = lim, v - > + x 'X - x\fx ( з Л J Xyfx = 0 ; v2 A' 2 h = lim ( fix ) - kx) Д ИосЛ' 4 7 ' lim f(x)= l i m - ^ = lim.y -M , Y - > + X у Д -» + Х 1 f, = lim f = 2 lim 1= = 0..Y->+30 1.Y >+X у 2 y[x Таким образом, прямая y = /a + b, т.е. y = 0, есть правая наклонная (в данном случае горизонтальная) асимптота. 7. Определим интервалы монотонности функции, а также точки экстремума. Найдем производную: /'(* ) = In х 77 i г~. I ух - In А--- у= In А ~, х 2fx _ 2 _ 2-In л- 3 Ху[х 2 а-2 Приравниваем производную к нулю: /'( х ) = 0. Тогда 2-1 па = 0; In х = 2; А', = с2. Производная может измени ть знак лишь при переходе через точки, где она равна нулю или терпит разрыв. Данная производная равна нулю при \, с2 п существует при всех.ve(0,+co). Поэтому она может изменить знак пит. при переходе через точку х,= е 2. Точка А',=е2 разбивает интервал

37 Знак производной в каждом интервале устанавливаем методом контрольных точек: \ 2 -ln e 1. 2 е2 2 е\[ё г! ( з \ ^ 2-1пе3 111 g 1 ' [ е ) ~2е34 7 ~ 2е34 г < 0. По знаку производной определяем, возрастает или убывает функция. Результаты сводим в таблицу. л (О * ) е2 (е2,+ о) /'( V) /(-V) Z 1 2 е \ Замечание. Знаки производной в данном примере можно установить по-другому. Так как в соответствии с областью определения х > 0, то ху[х > 0 и знак производной определяется знаком числителя. Поэтому / '( х ) > 0, если 2-1 п х > 0, т.е. 0 < х < е2, и / '( х ) < 0, если 2 - In х < 0, т.е. х> е2. 8. Определяем интервалы выпуклости вверх и вниз графика. 2 х 2 / М Находим вторую производную: v 2 - In.у 3 2.V2 ) I - т! 1 1 т, _ i, л-2 - ( 2-1п х ) - - х 2 - х 2 -З х 7. ^ х..72 1пх _ 1 л- v х х 2 1пх-4х2 2 2 х3 31пл-8 4л: 31пл-8 Ах-4~х ' 37

38 Приравниваем вторую производную к нулю: /" ( х ) = 0. Тогда 31nx-8 = 0; Inх = - ; х, = еф = е2v?. 3 Вторая производная может изменить знак лишь при переходе через точки, где она равна нулю или терпит разрыв. Данная производная /" ( х ) равна нулю при х2 = е8/3 и существует при всех х е ( 0,+со). Поэтому она может изменить знак лишь при переходе через точку х2 = е8/3. Эта точка разбивает интервал (0,+со) на два интервала: (0,е8/3) и (е8,/3,+оо). Знак производной /" ( х ) устанавливаем методом контрольных точек: кривой. ml 2\ 3Inе2 8 / (е )= - 4е: 4е~ m l з\ 3 Inе -! f (е Г ^ 4el3/i ж 4ет < 0 ; > 0. По знаку производной /" ( х ) определяем выпуклость вверх или вниз Результаты сводим в таблицу. X / (*) К ) еф (е'у+оо) 0 + / W п 8 U Зе4/3 Замечание. Знаки /" (х ) можно установить, учитывая, что х2^/х>0. Поэтому / " ( х ) > 0, если 3 1 п х -8 > 0, т.е. х > е83. Аналогично, /" ( х )< 0, если 0 < х < е 8/3. При переходе через точку х2 = е83, которая принадлежит области определения функции, вторая производная меняет знак. Следовательно, точка М{) есть точка перегиба кривой. По результатам исследования строим график (см. рис. 5).

39 Вопросы для самопроверки Сформулируйте определения возрастающей и убывающей функций. Выведите достаточный признак возрастания функции. Покажите, что функции у = ех и у х + cos х возрастают в любом промежутке. Сформулируйте определение экстремума функции. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции. Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным условием наличия в этой точке экстремума функции. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют? Сформулируйте определения выпуклости вверх и вниз кривой, точки перегиба. Сформулируйте определение асимптоты кривой. Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты кривой? Приведите примеры. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика. После изучения этого раздела студенту следует выполнить задачу 4 из контрольной работы 2. IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [1, гл. VIII, 1-18, упр. 1-25, 34-43, 47-50] [3, гл. 8, 1-3] [4, гл. 9, 43 46] [5, гл. 11, 1-7] 39

40 Переменная величина z называется функцией двух переменных х и у, если каждой паре значений (д%v) из данной области D соответствует определенное значение z. При этом х и у называются независимыми переменными, а область D - областью определения функции. Обозначается функция двух переменных таким образом: z = f{ x,y ) или z = z(x,y). Очевидно, что данное определение можно распространить на случай трех переменных, четырех и т.д. Обозначение при этом будет следующее: U= f(x x 2,...,х ). Геометрически каждая пара значений переменных (л',.у) определяет точку Р на координатной плоскости XOY, а значение функции f{x,y) в этой точке соответствует аппликате z точки Д/ (л', у, z) в трехмерном пространстве, в котором задана декартова система координат. Тогда геометрическое место всех точек M {x,y,z) есть поверхность, описываемая функцией f i x, у) в этом пространстве. Другими словами, эта поверхность является геометрическим изображением функции f{x,y ) (см. рис. 6 ). 40

41 Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одной из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными. Например, в случае функции двух переменных частные производные определяются так: & =,im f ( x + A x,y )-f(x,y ) _ dz ]{mf( x,y + A y ) - f( x,y ) ' дх Ах~>п Ах. ду Л>,_>0 Ду т.е. частная производная функции z = /(,v,jr) по х есть производная этой функции по х при постоянном значении у. Аналогично есть произволен ная от z = f(x,y ) по у при постоянном х. Студентам рекомендуется обратить внимание на правильные обозначения частных производных: для производных первого порядка: для производных второго порядка: dz dz 8f df, или, ; дх dy dx ду d2z _ д ( dz \ d2z _ o f & \ dx2 дх ^ дх ) dy2 dy f d y / d2z _ d dzл d2z oxdy dy dx) dydx Используются также обозначения: z',z'. - для производных первого порядка; dx fdz; pyj z"v,z".,z".,z"v- для производных второго порядка. С\2 -л2 ~ О Z О Z Смешанные производные, например, и , отличающиеся подхду дуд.г рядком дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны в данной точке Р(х,у). Задача 1. Найти все частные производные второго порядка от функции 41

42 z = sin (a Решение: Находим сначала производные первого порядка. Считая у постоянным, вычислим 4. 4 = z ~ = [sin (л- - у ) ] v = cos( a - у) ( a - v ) 'v = c o s ( a - y ). Теперь, полагая а постоянным, определим z' =-^r- = rsin(a '-^)] = cos (.v-_>») (a - j') = cos ( a _v) (0 1) = COS ( A ). dy L J y Переходим к вычислению вторых производных 2 = 1? = 1 { [ Ь [ со4 * - О ],, = - И * - О Т - Д, = - Н * - > , = Э2 = 1 * ду2 ду = у)^ y = sm (x-у )-(х -у )\у= -й п (х -у ) и, наконец, d2z d ( d z Л = [ - cos(a - v)] =sin(a - v)-(a - j ) v= sin (a - 7 ) дудх дх \ ду > d2z Вторую смешанную производную ---- можно не вычислять, гак как дхду d2z дхду v2z дудх по теореме о смешанных производных И. 12. Вопросы для самопроверки 1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое толкование этих понятий. 2. Что называется функцией трех переменных, се областью определения? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных?

43 Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции? Постройте линии уровня функции Z х2- у 2. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области? Что называется точкой разрыва функции двух переменных? Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности х2+ у 2= 4. Как определяются частные производные? Выясните геометрический смысл частных производных функций двух переменных. Когда функция z = f(x,y ) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М0. Выясните геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Выведите формулы для нахождения dz/дх и dz/ду сложной функции z = F(w,v), где и = (р{х,у), v = i//(x,y). Напишите формулу для вычисления полной производной dzfdx сложной функции z = / ( m, v), где и = и ( х ), v = v ( x ). Как записать эту формулу в случае и = х? Выведите формулу дифференцирования неявной функции у = у(.т), заданной уравнением /7 (.х,у) = 0. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выясните необходимые условия экстремума функции двух не 43

44 ременных. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных. После изучения этого раздела закончите выполнение контрольной работы 2. 44

45 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти указанные пределы. 1) lim 3 - х х + Зх 10 Вариант О 1Ч 1 Ох2 + х - 1 1) lim v-> х - 2 V * - 4 -л Я 2 ) Inn-----^ ; '-,9 *3_81 3) lim(l + tg 5x)c,g5' 20 3x4-2x +1 1) lim v^3x2-2 x V 2 2 -X 2) lim v->-3 1- V4 + x 30 х2 + х ) lim v->l х3 - х2 - X + 1 оч.. sin3x 3) lim '->'т sin 2 x 1) lim 2x" + x~ v->x x + 5 4x2-9 2) lim.v_>3 2 x -lx sin 2 x 3) limarcsinx x - x 50 1) lim v->x x + 5x' - x" +1 2x 3) lim >0 7 arcs in x 1) lim x + x + 5 x' + x - 3x 2 ) l i m f 7 1 " 2-; v~*3 y/x ) lim.r >2 3x2 + x ( x - 2 )(x 2 + x + l) x - 2 3, т з н ^! н r~>() xsin x 3 ) im 'gx-s.h.v 60 x + 5x2 y3 1) lim T, v >r 2 x3 - x' + lx 70 5x5-2 x + l 1) lim---- г x -4 x Vl +X ->J\ - x 2 ) Inn x.. x + x " - 3 x + l 2 ) lim *-> x3- l 3) l i m - ^ - v->0 sin5x sin3x 3) lim v_>0 Vx V2 45

46 -У.Г ) п т ; л^ v x sinax 3) п т '->0 sin fix.. Зх~ + 1 х ) lim г ; *-»-2 2х" + 5х cosx cosзх 3) lim , V l - x 2 2. Функция / ( х ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж , х < -3 /( * ) = * V 9 х2, -3 < х < 3 1, х> 3 / М - /(*)= /(*)= /(* )= 1,х < 0 -х +1,0 < х < 1 2х,х > 1 1,х<-2 л/ 5 - х2,- 2 < х< 0 х,х > 0 2,х<-я/2 COS X, 7г/ 2 < х < тг/2 х - я /2,х > 7г/2 х3 + 1,х < 1 2,1 < х< 2 Зх,х > х2-4x4-1 1) lim г ; '->» Эх2 + х X2 +5 1) lim, ; л" , х < -2 /( * ) = ' л/4-х2,-2 < х < 2 х -2,х > 2 И ><* х + 1,х < 0 1,0 < х < 1 2х,х > 1 0, х < -я /( * ) = ' sinx,-;r< x< 0 Я,Х> 0 л* +1, х < 0 /( * ) = (х+1)2,0 < х < 2 х 4-4,х > 2 / ( * ) - 1,х < 1 х \-1 < х < 1 х,х > 1 46

47 3. Найти производную. dx 0 0 1) у - In arctg( 2 x 4-3 ) 2 ) у = (х 2 - l)sl" 3) ch (х + у) = ху 2 0, л 1 + tg X 1) у = c tg x 2) У = (sh х Г \х = / 1п/ 3) [у =te 40 1) у = cos In ( 2 х - 1) 2 ) у = (arcsinx)1 ' 3) ch (х + у) 4- sh (х) = у 60 1) у = arcsin2 (3 x -2 ) 2 ) у = ( 1пх) /л Гх = /2-/4-1 3) \ [у = /8 5/ +3 80, ч,2х+1 1) y = xarcsin ) у = (arctg 2х)л fx = ch / 3) i [у = /-sh / 10 1) у = In л/l 4- sin 2 x 2 ) у = (arctg x)c0sa 3) sh у 4- tg x = x 4- у 30 l-i-sin3x 1) у = cos3x 50 2 ) y = (In x )shv fx = /-s in / 3) [y = te О у = V14- In2 X 2 ) у = (tgx)' 3) arcsin(xy)4- ch у = x 70 1) у = arccos3 (2x - 5) 2) у = (chx)*8' fx = t2 4-sin/ 3) U ) y = ^/l + sin3(2x) 2) у = (ch x)a fx = arcs in/ 47

48 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. 0 0,, Л-2-4.V + 5 у = е 50 2 I n х У ~ у = ех+6 2 л'+] У = а' е In х У = X У = е2х'х~ 30 у - х - arctg х х + 2 У = ]п х + 3 Гх 40 1 у = е~х+6 90 у = х - 2 arctg х 5. Найти все частные производные второго порядка функции и(х,у). 0 0 н(х,;у) = 1п(х3+ / ) 50 2/(x,_y) = cos2(x- у) 10 и{х,у) = X1 60 u(x,y) = e'f*~^ 2 0 и(х,у) = sin(xv2) 70 и(х,у) = arctg (*y) СЛ I30 w(x,<y) = ln(x + <y2) и(х,у)~ arctg X 90 u(x,y) = ]n\yfx+y[y) 48

49 В а р и а н т 1!. 11айти указанные пределы х3 - х2 + 3х- 1) lim , v->* 1 Ох" + х.. х 2 + х ) п т ; v->3 х" + 5х ) lim х х *-**>х^ + 5х3 - х 2 +1 оч1. лстт- 2 2 ) hm г- = ; >3 Vx ) lim tsx + Si v-> 2 х 1) lim 5х - х 31 >* X + X 1 2 ) lim (л/х х ); ЛГ-М-со\ / _.. c o s a x -c o s Вх 3) lim г---- л->0 3) limisf T iih f Л'->0 xsin х 5х3 - х2 +1 1) lim V-» 7х - х 2 ) lim * 4 * " 12 *->3 -х + 5х - 6 arctg 2 х 3) lim л->0 y х + 7х О lim т X-** х - х +1 2 ) lim ( х - л/х2 х + 1); Д*~>+0С\ ) л... sin2 5x 3) lim г ' 7>0 tg"3x 51 1Ч 6 х5-12 х ) lim ; v^x lx - Зх х3-2 х2 + х ) lim *-> х3 - х2 + Зх - 3 sin X 3) lim v_>o x 61 1Ч1. 5x3 - x2 +1 1) lim г *-*» - l x + x 2 ) lim 3x2 + 8 x - 3 ->-3 x + 3x 1- cos2 x 3) lim Y->0 xsinx 71 n, x lim x" - 3,. 3x" + 7x + 2,v->-2 2x2 + 5x cosx-cos3x 3) urn , '~ 1 - V l - x 2 49

50 81 % I х + х + I 1) lim ; '->х ( т - 1 ) " 91 1ЛГ х О 4-2, ; ^ «х - З х +1 2) Н т Л + X ~ U2 ; М - З х - х 2 3) l i m ( x c t g x ) 2) lim (yjx + a yfx j ; _. 2 a r c s i n x 3) lim ,v >o 2x 2. Ф у н к ц и я f ( x ) за д а е т с я р а з л и ч н ы м и а н а л и т и ч е с к и м и в ы р а ж е н и я м и д л я р а з л и ч н ы х о б л а с т е й и з м е н е н и я а р г у м е н т а. Т р е б у е т с я : а) н а й т и т о ч к и р а з р ы в а ; б) н ай ти с к а ч о к ф у н к ц и и в т о ч к е р а з р ы в а ; в) с д е л а т ь ч е р т е ж. 01 0, x < l 2, x < - 2 / ( * ) = V 9 - x 2, - 3 < x < 3 / ( * ) = yj4 - x 2, - 2 < x < 2 1, x > 3 x - 2,x > , x < 0 31 x + l, x < 0 / (x) ~ ' - x + 1,0 < x < 1 "-s 'x " II 1,0 < x < 1 2 x, x > 1 2 x, x > 1 41 l,x < ,x < n / ( * ) = л/ 5 - х 2, - 2 < х < 0 x, x > 0 s i n x, - ; r < x < 0 / ( * ) = n, x > , x < 7t/2 71 x + l, x < 0 / ( * ) =< c o s x, / r / 2 < x <rcj2 х - я / 2, х > n /2 / ( * ) = ( x + l ), 0 < x < 2 x + 4, x > 2 81 Xs + l,x < 1 91 l, x < 1 / ( * ) = 2,1 < x < 2 / ( * ) = X2, - 1 < X < 1 3x, x > 2 X, X > 1 50

51 3. о I г Mam п производную иу. с/х 01 1) у = arctg\[х -\[х 11 1) у - xarcsinх + V 1- х 2 2) у = х2/х 3) л:sin у - J COSX = ) у = sin3 2х 2 )у = х 'г- 3) ху х2+ у ) у = cos In (2 л:) 2) У = х'-' 3) (x + y f =(x-2yf 61 1) у = xarcsin ( 2 х + 3) 2 ) у = (arctg2 x)s"" \х = t5 + 2 / 3) {y = t2+ St-\ ) у-х** 3) 1п (х у )-х 2 +_у = 0 1) jp = sinvl + x2 2 ) у = xarcsinv 3) cos(x jp)-2x + 4y = 0 1) >- = Vl + ln2x 2 ) у = (sinx)c<br fx = H-cos/ 3) = /- s in / 71 1) J2 = COSlllX 2 ) v = (sin3x)^ fx = cos 2 / 3) [y = /sm 2 / 81 1) у = xarctg3(5x) 2 ) y = 3cos2v x = / + sin 2 / 3) 2 [у = cos2 ^ 91 1) у = xe~x + cos2 x 2 ) у = <JX2 + 1 fx = arcsin/ 3) [y = arccos t 51

52 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. к + н II 11 х~ 61 л2-1 X х 2 31 Д ~ 1 + х! У ~ о х У = - + х~ X 81 Л'3 ;; = Л' 41 л Л'3 Д,= 1 -л Составить лапласиан + для следующих функций. дх~ ду~ у = + 2х X 51 Вариантанты Вари 01 u { x,y ) = Inf л 3+ у 3) 51 w(x,y) = cos2(x-y) 11 ч ( х,у ) = х у 61 К 1 Си II 21 и (л, у ) = sin(xy2) 71 11(х»у ) - arctg( ху) 31 w(x,y) = ln(x + y2) 81 w(x,y) = sin2(xy) 41 и(х,у) = arctg 91 п(х,у) = In ( Л + л/у) 52

53 В а р и а н т 2 11айти указанные пределы. 02..,. х+ 5х - х 1) 1Ш = v^ x' 2 х - х2 + 1х 12 1) И т 5 х ^ 2 Ц v-»» Xя- 4 a-. V2 х ) lim т = = -----; * Vjс- 2-1 X 3 + X 2 - Зх +1 2 ) lim Л - > >i x3-1 3) lim ^ sin 5х sin 3x 3) lim yj x + 2 yp2 22 a-2 + x + 5 I) lim л- -I- Л' - 3a" 32 1Ч 5x2-4x +1 0 lim *->x 3x + x ) lim V x x j ; tg x - sin x 3) limv >0 x' 3x2 - x ) lim v->2 6 - x - x.. sm ax 3) lim sin fix 42. x +5 Olim v >xx" ) Hm 4 f 3 X 2 ; x + 5x - x +1 yjx + 2 -yfx 2) lim x2 4-7x ) lim v_>~2 x + 5x + 6, cos x cos 3x 3) lim T V1-A' 2 3) iiml ^ - f - -v >0 xsin x 62 2.v2 -I- x - 1 I) lim A I ) lim 3 - x 2 T->x 6 + x + 3x 4.Г 9 2 ) limx-л 2x - 7x + 6 Va y[e 2 ) lim v >9 x a- 3) lim v->0 7 arc sin x 3) lim(1 + tg 5x) 53

54 Вариантанты Вари 82 j. Зх4-2х »->* Зх2-2х х2 + х - Ю 2) lim ; v'- >2 2 + х - х2 3) lim Sin2v arcsinx Ч П И1,111 т 10* 4 *_ Л-+Х х 2 x - V x 2) lim т=-; Л_>0 х + у х sin3x 3 ) lim л~>'т sin 2х 2. Функция / '(лг) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. 02 х + 1,х< ,х < 1 /( * ) = < 1,0 < х < 1 2х, х > 1 / ( * ) - х 2, -1 < X < 1 х,х > ,х < 2 32 X Ч- 1?х < 1 / ( * ) = л/5 - х 2, - 2 < х < 0 х,х > 0 '-s II З х,х > , х < -тс 52 1,х < - 2 / ( * ) = * s in x,-;r < х < 0 я г,х > 0 / ( * ) - л/ 4 - х 2, - 2 < х < 2 х 2,х > ,х < , х < -3 / ( * ) = - х + 1,0 < х < 1 2 х,х > 1 / ( * ) = - л / 9 - х 2, - 3 < х < 3 1, х > ,х < - яг/2 92 х + 1,х < 0 / ( * ) = собх, яг/ 2 < х < я / 2 х -т с /2,х > n j 2 / ( * ) = (х + 1 )\0 < х < 2 -х + 4, х > 2 54

55 У 11; 11 i i n upon модную dx Вари- Вари- ;iii 1Ы анты 02 1).V = xarctg 5x 12 1) у = lnctg yfx 2) у = (sin x )cosr 2) y = ^ x 3) x c o s^ + >,sin.x: = 0 3) (x + y f =(x-2yy 22 1) jp = sin32x 32 1) у - Inctg4x 2) у (ln x )' 2) j = (sin 3 x )s/' x = t t lx = t- + It 3) 3 [y t + 8/ ) ' 1 2 y = - r + t ) y = x arcsinx + V l - x 52 1) у = arctgvx - Vx rt "Vt 1 x = 2 cos" 2/ 2) v = x 2/v 3>' у = sin3 It 62 1) у = x arctg3(5x) + ln x 72 v 2x +1 1) у = x arcsin ) у = (sin 3 x )4^ 2) у = 3C0SV 3) v In x - x In у = x + у 3) COs(xy) = x + у 82 1).; = sinv l + x 2 II II ) у = cos In2X 2) у = ( ln x ) r" 2) у = 2x^'v x = arcsin(/ - 1) 3 ). у = arccos(y+ 2) 3) {x + y f = (x-2yf 55

56 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. Вариантанты Вари 02 у = ga' _6v+<J 52 «1 с ^ II 12 1 у = e v+1 62 у б2х~х~ 22 у = х2е~х+] 72 V = l n 'v + I х у х arctg х 82 у = х - 5arctg х 42 1 У = e~x+l 92 IK и 5. Найти все частные производные второго порядка функции и (х,у ). Вариантанты Вари 0 2 и(х,у) = \п(х2 + у) 52?/(x,_v) = cos(2 x + y) 12 и(х,у) = е2х~г 62 и{х,у) = л]х2 +у2 2 2 Ч II 0 О СП' 32 11{х >у) - tg ( n ;) 1 1 ^ ^ 72 л(х,у) = 1п(5х2 - у 2-) 82 и{х,у) = cos(x2 + у2) 42 и ( х,у ) = In sin (Зх - 4у) 92 u(x,y) = tg(2x-y) 56

57 В а р и а н т 3 1. Найти указанные пределы. 03 х2 +х + 1 1) п т г- ( х - 1) 13 1ЧГ *3 + *. ]) lim 4 2 ; v-»x x -3 x +1 2 ) lim *4 * - 1 * ;.v^-i 4 - Зх - х~ 3) lim(xctgx) 23 х ) П т ^ Ц ; х~ ) lim 3а' 2 + 7х " л->-2 2.т2 + 5х + 2 cosx-cos3x 3) lim '->0 1 - V l - x х3 - х ) lim г ; '->х -7.г + х : 2) lim K/x + fl a/ x );.V >-l x>v / arcsinx 3) um v->0 3x 33 1Ч1. 6 x5-12x lim x - 3x *V x" - a 3) limsm * v~>o X 53 5x3 - x 1) lim ; r->5 X + x Зх2 + 8 х -3 2 ) lim ; v-»-3 х" + Зх.. l- c o s 2 x 3) lim л'->0 xsinx 63,... 7x3 - x x -l 73 1) 11ГП 2 > 1Ox + x Jx + h -yfx 2 ) lim ; Л-И) /, 0. tgx + sinx 3) lim v~>0 2 x 2 ) \im lyjix x ) ;.v >+oo \ / _ cos ax cos Bx 3) lim г v->0 X D lim 5 x 2 + 7* * x 4 - x 2 + l x - 3x2 2) lim г ; x 2-2 x sin2 5x 3) lim г '->0 tg"3x 57

58 niim Л'5 Л' л->= х + 5х х U l)lim,1т 5r3- _ 4 ri+ 1' л->» 7х - х ->\ г Vx ) lim г = = ; '->3 V x -2 -l оч 1- X2 + х -\2 2 ) 1''й _ д + 5, _ б 3) lim,8x- ; ini' л'->0 xsinfx 3) limarc,g2x л-и) X 2. Функция / ( х ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. 03 х,х < к 13 -х,х < 0 f ( x) = ' sin x,-# <х<тс{2 \,х >7г/2 / ( * Н х3,0 < х < 2 3,х> 2 23 х 1, х < х - 1,х < - 1 >< I х2 ~ 1,- 1 < X < 1 f ( x) = - ех, - 1 < х < 0 X + 1,х > 1 1,х> ,х < - я / , х < 0 63 / ( * ) = cos х, к/ 2 <х <71/2 х-7г/2,х > nj2-2,х < - я / 2 73 / ( * ) = -х + 1,0 < х < 1 2 х,х > 1 1, х < -1 / М - 2 s in x,-^ / 2 < x < яг/ 2 /( *) = е',-1 < х < 1 83 ~ 1,х > я / 2 93 е~ ',х > 1 1,х < - 2 / ( * Н 0,х < -1 х2 + 1,- 1 < X < 1 1,х > 1 А * Н V5 - х 2, - 2 < х < 0 х,х > 0 58

59 dy 6 I Inii I и проичводпую Mil I l>l ) у = л/l + In. l/.v2 2) y = e dx 3) ln(x + y) = xy 1) у = sin (2л: l) 2) > = 2хГх 3) x = t + In cos/ у = / - In sin/ ) y = In Ctg yfx 2) > = ( a rc tg A -r 3) (x + y f= (x -2 y f 1) у = xarctg3(5x + l) 2) y = (sm3x)'f* a ~ ctg/ 3) 1 y=- COS' t tgx 1 )7 = 1- tg x 2 ) у = xarcsinv 3) x sin y -y c o sx = ln у 1) у = e vcos2(3x + 4) 2 ) у = (sinx)u>sa 3) y ln x -x ln y = x 1) у = cos In2 x 2 ) у = x, 3) I + x 1 x = / + sin 2 / 2 у = cos3/ 53,4 1 1) y = arctg x ) у _ з cos2л 3) xy + ln(x + y) - 2 = 0 x + О У=А1 I X - \Jx 2) у = sinvt+lnx 3) arcsin x + arctg x = 1 I) y = xarcsin 2 x ) 7 = (tga-;t 3) X = In / у = In sin / 59

60 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. II 1 13 Л-2-2 у А 23 2х У = 2. л Л'3 J' % ч- II 4^ > X ут4-х> f У= х , 2 у= + Ах X 93 1 а 2 ->; = - + т г х 2 5. Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению д2и а4 + 1 >,= 03 А' 11~ х 2 - a 2,2 t 53 и = In ( а + //) + sin ( а - at) 13 и = ех~а1+ sin ( а + 67/) 63 и = tg ( А *7/ ) + In ( А + ц/) 23 и = ln(a -«/) + COs(A + a/) 73 и = sin2 [at - а ) 33 и = lg ( а + at) + ехи" 83 о x+at-2 и Зе 43 и = cos ( а at) + ех+<" 93 11= In3 2(<7/ - а ) 60

61 В а р и а н т 4 1. Найти указанные пределы х 2 1) lim т-; 6 + х + Зх Ox2 + x - 1 1) lim ; * >» X - 2 2х2 + Зх +1 2) lim г ; 2х2 + 5х + 3 3) lim (1 -н tg 5x)ttt'^' v->0 4 ' 24 l l r 3.Y4-2x + 34 *-»*3x - 2 x x 2 + x ) lim ; ' ->2 2 + x - x2 sin 2 x 3) lim----- ; f->0arcsinx x-yfx 2) lim - r ; v->() x + v x.... sin3x 3) lim sin 2x D B m 2*2: * - 1 ; - x ) lim,------; ->2 1 - V 3 - X 3) lim 2* v~>o 7 arcsin x 44 x 5 - x n lim 1) п т 4 з 2, >,v~>x x* x + 1 Vx ) lim, = ; V x t g x - s i n x 3) lim v-><) x s in 'x 54 П lim +x + 5 v >*x5+ x 4-3 x 2 ( V * N 3x + x 2 2) lim : v_+ v (x - 2)(x2+ x + l j x - 2 j 3) lim '8 * - 8 *.v >0 Y x + 5x2 - x3 1) lim г ; v-* * 2 x 3 - x x \\m 4 x 2 ' 5 x ~ 2 1-3) lim tg 2 'V л-> sin 5x 2x2-3x x5-2x + 1 \) lim з ; x' - 4 x n) pm x? + л-2-3x + 1 ~ ' ->1 x sin3x 3) lim Vx V2 61

62 .. Зх2 - х ) Inn ; л" >2 6 - х - X.... sin а х 3) шп л->0sin fix 1) l i m - ' V 1" ; X fix + 2 л/х 2 ) lim ; Л'~>+0С.,. COS х - cos Зх 3) Inn г-... V >(1 1 -V 1 -X х2-4.V + 1 1) lim т ; v- >cc Зх + х Функция / ( х ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертёж. 04 0, x < l,x < 2 f ( x) =< -л /9 -х 2,-3 < х < 3 1, x>3 / М =< fi4 - x2,-2 < x < 2 x -2,x > 2 24 l,x < 0 /М =< x +1,0 < x < 1 2x,x > 1 44 l,x < -2 /М = - fi5 - x2,-2 < x < 0 x, x > ,x <- tc/2 /М =* cos x, k{ 2<x<n{2 x - n j 2,x > n/ 2 84 x3+ l,x < 1 2,1 /(* )= < x < 2 3x,x > 2 34 x + l,x < 0 / ( A' H 1,0 < x < 1 2x,x > l 54 0,X < -7Г / w - sin x, -ж < x < 0 ^,x > 0 74 x + 1, x < 0 /( *)= (x + 1),0 < x < 2 x + 4, x > , x < -1 I x2,- l< x < l x,x > 1 62

63 \ I Lll'll II производную. dx Влрп- 04 1) у = arctgyfx - Vx / 0 \sin.x 2) у = (x + 1) 3) sinx2 + sin у ) у = sin3 (2л: + 3) 2) у = (arcsinx)'8v 3) In (л: + у) - ху = ). p = cosin2(зх-1) 34. 2х +1 1 V = л'arcs in ) И= (arctg x f x X = ctg t 2) 3)- 1 y =, cos / 44 1). ; = x arctg ' (5x 1) 2).' = (sin.v)'"' X = l\nl у = sin In/ 64 1). v e ' cos3(2x +1) 2 ). V M x = tg/-i-1 3) 1 v = - i 1 84, 1 I sin Зл' 1) cos3,v 2) у = (cli.v)' 3) I lll.v -л* In у - у 54 (х t + 2 t 3) \y = t3 + 8/ -1 1) y = \jl + In2 X 2) у = ( arctg x)3' fx = 2 /-sin 2 / 3).3 [y = Sill' t 74 1) y = tg 111 Vx 94 2), = ( c h x f x fx = arcsin/ 3) [y = arctg / +1 1) у = arctg X 2) у = (sinx)lh' 3) xv + In у - 2 In x = 0 63

64 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. 14 у = 1пХ~2 х А 1 у = In----- А 34 У = е4х~'~ у х arctg а д+2 у = а е I 44 In А А 94 1 у _ g.v+3 д2и д2и 5. Составить лапласиан для следующих функций. дх~ ду' 04 In А' у = егх у= х+\ Вариантанты Вари 04 и(а,у) = 1п(а2 +.у) 54 г/(х,у ) = cos( 2 a + у ) 14 и(х,у) - е ^ 64 и(х,у) = у/х2 + у 2 24 w(a,y) = cos(x2 - у 2) 74 г/(х,у ) = 1п(5х2 - у 2) 34 и(х,у) = щ(ху) 84 i/( x,y ) = cos(xy) 44 и (а,у ) = In sin (За - 4 у) 94 i/(x,y) = sin(y 2 - А2) 64

65 В а р и а н т 5 1. Найти указанные пределы. 65

66 85 1) Пт 6x5-1 2.r а - Зх.. yjx-b -J a -b 2) lim I---- I-----" а - а 3) l i m ^ - ^ А 5 х3 - х2+ 1 1) Пт х 7 а + А.. 3х2+ 8 х -3 2) П т - г *-+-> а 2 + З а.. l-c o s2 x 3) П т v > a sin А 2. Функция / ( а ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. 05-2, А < 71/2 15 -А, А < 0 / М = < 2 sin а, - яг/2 < х < /г /2 1, А > дг/2 / М = < А3,0 < А < 2 3, а > , А < 1 35 А, А <~Ж / О Н ех,-1< х < 1 е л,а > 1 f ( x ) = ' sin А, - ж х<ж/2 1, А >ж/ 2 45 А - 1, А < , А < 1 / ( * ) = А2-1,-1 < А < 1 А + 1, А > 1 f ( x )=- А2, - 1 < А < 1 А, А > , А < А - 1, А < - 1 / ( х ) = - А" + 1, 15s А < 1 1,х > 1 /( > )= ех, 1 < А < 0 1, А > 0 85 / ( * ) = 2, а < ж/ 2 c o s x,;r /2 < х < ж/ 2 х -ж /2,х > ж/2 95 / м - 1,х < 0 -А + 1,0 < А < 1 2 А, А > 1 66

67 I I.ill I II П Н)1Г$ИОДНуЮ dy dx 0;i >n Hill l.l OS 1) у = lnarctg(2x + 3) / 0 \sin.v 2 ) y = ( *! + l) 3) cli ( x + у ) = Xу tg л: 1) y = 1 t l - ctg X 2) y = (shx)c0sv Гх = (Inf 3) [y = te' 15 ) у - In Vl + sin2x 2) y = (arctgx)c0s' 3) sh у + tg x = xy 35 l + sin3x ^ = 1 - cos3a 2) у = ( 111a)s,) f x t sin t 3) [y = te 45 1) у = cosln(2x-l) 2) у = (arcsinx)'"' 3) ch (x + у ) + sh (л-) = 1 55 "" \ 65 1) у = arcsin2(3 x -l) Г z ) 2) y = ( l n x f \x = t2- t + \ 3) 4 y / 5/ v i 1 1) 1 \ aiv sm 3 2) у (n rc lg 2.v) f.v ch / 3) [y = t sh / 95 1) y = yl\ + [n2x 2) y = (tgx)' 3) arcsin(x y ) + xy = x 1) у = a rc c o s3 (2x) 2) у = (c h x ) sh ' fx = / sin t 3) y = / ( g / 1 ) y v/l i s i n '( 2 x ) 2) у (ch x)' (x = sh / 3) y = c h / + / 67

68 4. Провести полное исследование функции и построить ее график , у = 1 х~ Л' 2 15? X } ~ 3 - х 2 1 Вари- 1анты 55 Зх 3 2 г\ х II ^ч а\ J * '"х с~'х 1 1 гг II (л' +! ) 2 у - L х 2 75 X3 3; = х 85 3 X У=, х х4 +1 v = г 95 + I X X II ч 5. Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению '* <2 с\2 О и _ ^2 9 и 05 X II,? 9 х" - at 55 и = In (х + at) + sin (х - at) 15 и -е х~с" + sin(x + at) 65 и = tg (х at) + In (х + at) 25 и = ln (x -a f) + cos(x + atf^ и = tg (х + at) + ех~а' 3 ) 35 и = tg(x + at) + ехн" 85 и - arctg(x + at) + sin (x - at) 45 и = co s(x -n /) + ev+"' 95 и = sin(x - at) + cos(x -I- at) 68

69 В а р и а н т айти указанные пределы. V 5 -X -2 V 2 -X sin Зх 3) hm =====---- = А' >() л/дг + 2 v 2 26 х ' + 5 1) lim г---- X ) lim -Jx V >+00 v.. cosx-cos3x 3) lim V l- x 2 06 Л 5х*-2х + \ 1) lim ; х - 4х х2-4х + 1 1) Urn ; Зх + х - 4 Зх2- х 10 2) hm 2 ; v->2 6 х - X.... sinax 3) lim д-> sin /Зх х 2 + х hm ; х + х -З х ( 9 > Зх + х 2 2) lim т ^ ; т->2ц х -2 )(х ~ +х + 1 х - 2 J 3) lim.y-x),ga X3 7 inx 46 х + 5х2- х 3 1) lim г ; v-»* 2х3- х 2 + 1х ТЛ, л/1+ X - V l-x..v->0 х 3) lim,g2a v'->0 sin5x 66 1Ч Зх4-2х +1 l ) 1^ 2 ; 2х2 + х -1 0,->2 2 + х - X2.. sin2х 3) lim л'->0 arcsin х 56 П х 2 0 hm 2 > 6 + х + Зх 2) lim 2д'!+ 3х+ 1. х->-\ 2х2+ 5х + 3 3) lim(l + tg 5x)u v' 76 Л 2х2 + х -1 1) hm----- г ; v->x -х + 5,. л/х ) lim------, ; >2 1 -л /З -х 3) lim 2л д-> 7 arcsin х 69

70 1) ши lim IOx + 'X_1, -v->* х -2 2) limх ; Л- >0 sjx.. sin3x 3) lim sin 2x si x ) lim ; six ) lim 18 v->0 x sin 'x 2. Функция / ( х ) задается различными аналитическими выражениям для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж n lim x5-a: 1) lira 4 з 2, > л >x % 4. 5x x x + l,x < 0 16 / М = < /( * )= / W = - /(* )= < (x + l),0 < x <2 -x + 4,x > 2 2,x < -тс/ 2 cosx,;r/2 < x < k/2 x-7c/2,x > n/2 l,x < -2 si Л- x2,-2< x <2 x 2,x > 2 0, x < -3 -sl9-x\-3<x<3 1, x> 3 l,x < 0 / М =< x + 1,0 < x' l 2x,x > ,x < -;r f ( x) = < sinx,-# < x < 0 яг,х> 0 l,x < -2 / ( * ) = ' sj5-x2 2 < x < 0 x,x > 0 /(* )= I J-4 /(* )= l,x < 1 x2,- l < x < 1 x,x > 1 x3+ l, x d 2,1 < x < 2 3x,x > 2 x + l,x < 0 1,0 < x < 1 2x,x > 1 70

71 . dy 3. Найти производную. dx Вари- 1111ГЫ 06 1) у - arctgvx yfx 2) y = xsinv 3 ) x s h y -y c h x = y 26 1) у = sin1 (2л:- l ) 2 ) y = x 'r* 3) x y - x 2 + chx = ) y = chln2x 2) y = (sinx)' x = / + sin 2/ 3) 2 [y = cos ) у = x arcsin (2 x + 3) 2) y = (arctg2x) na fx = t + 2t 3) y = /3+ 8 / - l 86 1) у = xarctg3(5 x -l) 2) у = 3cos2v [x = tsh t 3) 2, [y-t - c h t 16 1) у = s x arcsin x + л/ i - x2 2) у = (chx)1"' 3) In(x + y) + sin xy = x 36 1) у = sin V l + x2 56 2) у = xarcsinv 3 ) c h ( x -y ) + 2 x - 4 y = 0 1) у = л/l + In2X 2) y = (shx)chv fx = / + cos/ 3) [y - t -sm t 76 1) у = ch In x 2) у = (arcsinx)4^ Гx = cos It 3) [y = /tg2f 96 1) у = xe~x + co s' (3x) 2) у = tjx2+1 fx = arcsin/ 3) i [y = ch/ + tg/ 71

72 4. Провести полное исследование функции и построить се график. Вариантанты Вари 06 у = е': 2л' у = ех+а У-е**-* 66 In X у= У = х2е~х х + 3 у = In Л у - х - arctg х е~х У=, А' у _ g - v I ю X 5. Дана функция и(х,у). Убедиться, что = Зхду дудх Вариантанты Вари 06 и(х,д/) = 1п(дс3+У) 56 к(х,у) = cos2(a - у) К 116 и(х,у) = ху66 II 26 2/(A,j) = sin(a7 2) 76 г/(л%3;) = arctg(xy) 36 -К 'Х +i-i 86 сл II & 46 и(х,у) = arctg ^ 96 u(x,y) = \n(jx + у[} ^ 72

73 В а р и а н т 7 1. Найти указанные пределы. 2) lim (yjx + a - vx);,r~>+oc \ /... 2arcsinx 3) lim v^ 3x 07 X* + X 1) lim., ; 17 X2+X + 1 1) lim r-; (x-1),. X2 +X-12 2) lim ^ v^ З х - х 2 3) lim(xctgx) 27 П lim 5x2+lx *->*> x - x + 7 2) lim (x - yjx2 - x + 1);,V->+00\ /.... sin25x 3) lim r----- tg 3x 37 i\ i:_7x3 -X 2+3X-1 г->гл 1Ox" + x Ч1. x2 + x ) Umtgx + Sinx v-> 2x 47 6x x 2 +3 l) 5 ; a-** 7x-3x ni lim2*3-2 *4 * «' a3 - a2 + 3a x2 +5 1) lim ; x-»*x -3 ол iim Vx + 2 -л/х. ^ у iim ^.v >-k Y 3) lim Sin!-V A->0 *.. cosx-cos3x 3) lim------, 1 - V l - x 2 67 H lim *S" X *-+» x + 5x - x +1 i j l i m 4 з 2 i? 77 n iim 5 r ~ x I J 1I I X + X - 1, 4 4a2 + 7a - 2 2) lim г ; л'->-2 x + 5x + 6 3) lim,gjc- * inx л'->0 xsin x L i 2) lim {ylx xj; cos a x- cos fix 3) lim ; A >«X 73

74 .. Зх + 8x 3 2) lim ; x + Зх l-co s2 x 3) lim '-> xsinx 1 П ) lim 1НТ1 5*3 4*4 1 ' v~>:c lx - X ол г ^Jlx ) lim, ; V x ) lim arctg2x,v->0 x 2. Функция / ( х ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. ai 1ты Вари- 87 5х3- х Ч r-t з 5 t-** -lx +x 07 / О ) - l,x < , х < -3 x2, - l < X < 1 /( * ) = - - л/ 9 - х2, - 3 < х <3 x,x > 1 1, х > 3 27 /( * ) = x + l,x < 0 (x + l)~,0 < x <2 - x + 4,x> 2 37 / м = - х + 1, х <0 1,0 < х < 1 2х,х> 1 47 /( *)= x 3+ 1, X < 1 2, 1 < x < 2 3x, x > 2 57 й 1,х < -2 V 5 - х2, - 2 < х < 0 х,х > /(* )= /( * ) = - 2,x < -n jl cos x, rcjl< x <nj2 x 7t/ 2, X > njl \,x < 0 x + 1,0 < x < 1 2x,x > , х < к sinx,-;r < х < 0 тс,х > ,х< -2 / w = - л/4- х2,-2 < х <2 х - 2,х > 2 74

75 1 I l.nt i ii upon шодную. dx 1Inpil Вари-.III 1M анты 07 1). у = xarctg3(5 x -l) 17 1) у - tg In Vx 2) у = ( * Ь х Г 2) y = eshv 3) x ch v + arcsin л* = у 3) (x + _y)2 = ( x - 2_y)3 27 1) jy = sin (3-2 x ) 37 1) у = ln ctg (4 x -l) 2) у = (sh jc)'n x 2) y = (sin3x)' ' x t~ t + 1 f x = ch 51 3) 1 3 ) [y = sh 3/ y = - f t 47 1) у = xarcsinx 57 1) у - arctgvx - л/х 2) v = { * + \) 2) 3; = x2/'v 3 ) ' x = 2 cos 4 / = sin3(2/) 67 n 2jc + 1 1) у = л'arcsin чг-*'"*-4 и и u> f>) D T = 1 + g x 1 - Ctg X 2) у = (съх)шх 2) у = (sin x)d" 3) In(x + 7 ) = tgx 3) (x + 2 y f = (x - y f 1).2= sin V1 + x ) y = cos In2X 2) ; = (lnx)c"v 2) y = 2 x r ' 1, \ arcsin (/ -h 1) г arccos(/ 2) Гх = 1п/-И 3). 1 1 v = sh? - - /*>

76 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. Вариантанты Вари 07 х х4 +1 у - х - 2 ' = г х 2 4 х > = х 27 I 1 к 77 1 Т 2 У = + Зх X 37 2х У= 2, х х3 У 4 - х 2 87 X2 у= 1 х I Составить лапласиан + для следующих функций. дх ду Вариантанты Вари 07 w(x,j;) = cos2(ху) 57»(х,у) = arctg 17 и(х,у) = \п(у-х) 67 и{х,у)~ у-x 27 и(х,у) = ех'~у* 77 и{х,у) = arccos(xp) 37 п(х,у) = с os 87 и(х,у) = lncos(xy) 47 и{х^у) ~ In sin ( х - у ) 97 ta I 5-Г 76

77 В а р и а н т 8 1. Найти указанные пределы. х + х 2 2) lim- >' х3- х 2 -х + \ 2 sin3x 3) lim sin2x 28 5x" 2x + l 1) lim---- т ,v->x x' -4x л /5 -х ) lim r V 2 - x - l sin3x 3) lim v->ov x + I-V т2+ х 1 1) п т л->0= х х 1) lim 6 + х + Зх 2) v->9 х c(g 5.v 3) lim(l + tg 5x) 38 x + 5x2 - x3 1) lim j л->х 2x' - x + 7x 4x2-5x ) lim ->3 2x - 3x 9 3) l i m - ^ - T-» sin5x 48 2x2+ x -1 1) lim,v->x _x x2-9 2) lim 2 2x - l x n Зх4-2x + 1 1) lim *-**> 3x2-2x V 2 2 -X 2) lim------, ;,v->-3 1-^/4 + x 2x 3) lim >0 7 arcs in x.. sin2x 3) lim- v-> arcsin x 68 5x2-4x +1 1) lim v->x 3x2+ x ) lim x~ + x n 2 x + x - 3x 3x2 - x -10 2) lim * >2 6 - X - X 2-4 sin ax 3) lim T~>0 sin fix 2) lim v a +1 - x ;.. tg x -s in x 3) lim V >0 X 3 77

78 П lim Л ~ л *->*x4 + 5x3- x 2 + \, ) П ]\тх 111Т1 2 + ^ 5?- х + 3 2) lim 4 ';4 7 1 ' " 2 ; -v >-2 х~ + 5х j x y f x 2) lim ; X 3) lim,g x - f X a sin Л'.. cos a -co s За 3) lim , \ - y J \ - x 2 2. Функция / ( а ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. 08 -А', X < , а < - я / 2 / М = а!,0 < х < 2 3,а > 2 / ( * ) = ' 2&тх,-я/2 < х < я/2 1, А > я/ , А < 1 38 А, А < - Я /(* )= А - 2,- 1 < А < 3-1, А > 3 /М = < sin А,- я - < А < я /2 1,А > я/ А 1, А < X 1, А < 1 А х ) = ' е\ - [ < а < 0 /(* )= А2-1,-1 < А < , А > 0 0, А < 1 1, А > 1 А + 1, А > , а < -я / 2 / W =< - А 2 + 1,-1 < А < 1 /( * ) = COS А, я/2 < А < я/2 А - я/2, А > я/2 1, А < -1 / «= ел, 1 < а < 1 е \ х > 1 98 Г1,А < 0 - А + 1, 0 < А < 1 2 а, А > 1 78

79 3. Найти производную. dx Вари- Вари- анты анты 08 1) у = yj\ + \n2 X 18 1) y = InctgVx 2) у = (shx),g' 2) у - (arctgx)4'" 3) ln(x + y) = arcsinx 3) (x + j>)2 = (x -2 y f 28 1) у = sin3(2л: 1) 38 1) y = xarctg3(5x + l) 48 2) у = 2х^ 2) у = (sh3x)" х = Н- In ctg t fx = ctg t 3)Jч у t In sin t 3) 1 \У = 2 L cos t п, = ; т l - t g x 2) у = (arcsinx)u" 58 ~ 1 1) y = arctg-t= dx CnT II W) 3) xsin>>-ycosx = 4 3) yx + sin(x + y ) - 2 = ) у = е~х cos2(зх + 4) 2) y = (sinx)d" 78 Ч-* II X X I + 3) arcsin (x j)-ln x = l 2) v = shvt+lnx 3) arcsin x + arctgx = у 88 1) у = ch ln2x г у x + 1 1) у = x arcsin - 2 )у - % +, 2) y = ( t g x p f x = ch t 3)- x = t + 2 sin2f 3) 2 u [y = r -s h / у = cos31 79

80 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. Ч - j II съ 1 18 ln.v уш ; у = х - arctg хл-к 68 у - ]п Л ' у = е2х~х 78 In X X 38 у = х2е~х+~ 88 1 у = е~х* у g. v е~х У~ х-2 5. Дана функция и(х, у ). Убедиться, что - =. у ' 7 дхду дудх 1 к м(х,у) = cos(2x + j') 18 и(х,у) = е2х~г 68 u(x,y) = ylx2+y2 28 u(x,y) = cos(x2 - у 2) 78 и[х,у) = 1п(5х2 - у2) 38 u(x,y) = tg(xy) 88 ч Ч; о осл I >Г 48 и(х,у) = lnsin(3x - 4 у ) 98 С II СЛ ч- 1 80

81 В а р и а н т 9. I lain п указанные пределы. 09 _ 29 1) lim X + X х4 - Зх2+1 2) lim [yjx + a - v x ) ;,Y -> + 3 C \ /.. 2arcsinx 3) lim '-»0 Зх 19 1) lim 6х5-1 2х >» 7х - Зх5 2х3-2х2 + х -1 2) lim ->' х3 - х2 + Зх - 3 sin2x 3) lim л >0 % 1Ч1. 5х3- х ) lim г ; т->* -7 х + х Зх2+ 8х - 3 2) lim---- г v->-3 х2 + Зх.. l-c o s2 x 3) lim----- ; '-*0 xsinx, X" + X -Ь 1 1) lim (х-1), ч г V 1+ Зх2-1 2) lim х" + х 3) lim(xctgx) 49 х2+5 _ 1) lim.y >00 ->* х x - x 1) lim,v-4x x4 + 5X3 _ x2 + l Зх -ь 7х + 2 2) lim.v >-7 '->-2 2х2 + 5х + 2 Лr vx ) lim r= ; w 4 x cosx-cos3x 3) lim i -V T T tg x -s in x 3) lim T->0 xsin x 69 5x' + 7x 1) lim >* x4 - x I4 5x3 - x ) lim j *-*» l x X 2) lim x -> /x 2 - x + 1 j;.. sin2 5x 3) lim г v-> tg"3x. x + x 12 2) lim x~*3 -x + 5x - 6 3) *->0 X 81

82 х2+ х-12 2> й ;_ д + 5, _ 6 ; 3) limtgx + s i a x '->о 2х 1'l lim ~*Л ~ Х л'-* X" + х - 1 2) П т л/х x j ; _... c o s <t x - c o s /?x 3 ) l im v-> x2 2. функция /(х ) задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента. Требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в точке разрыва; в) сделать чертеж. / М = " / М = 1 /(*)= /(* )= /(*)= l,x < 1 x -2,-1 <x<3 -l,x > 3 0,x < -l -x 2+ 1,-1 <x< 1 1, X > 1 1, x < 1 e'\-\ < x < 1 e~x,x > 1 X,X < ~ K sinx,-# <x<nf2 \,x >k/2 x l,x < -1 Л'2-1,-1 < X < 1 X+ l,x > х3- х 2+ З х ) 11Ш 2? I Ох + х H II /(*)= /(* )= / М - /(*)= < l,x < 0 -X + 1,0 <x< 1 2x,x > 1-2,x< -rcj2 2 sin x, - ж/2 < x < к/2 \,x> tc/2 x,x < 0 x3,0 < x < 2 3,x > 2 "-X-1,X<-1 ex,-l <x<0 l,x > 0 2,x <-7t/2 С08Х,д/2 <x<7lj2 x-n/2,x > nj2 82

83 i Iлiii i[ производную. dx 3) sh Л'2 + ch у = ). p = cosin2 ( - l + 3x) 2) V = (arctg x)blm 11 x ctg^ COS t 49 1). p = xarctg?(5 x -l) 2). v = (sh.x)u,sy x = t In / 3 ) у = sin In t 69 1). p = e_*cos3(2x + l) 2). p = (shx)3' ' x = tg/ ) у = sin3(2x + 5) 3)- 1 v = t [ / 89 l + sin3x 1) y = l-co s3 x 2) у = (chx)'-' 3) y ln x -x y = lny 09 1) у = arctgvx - Vx / 0 \sin.v 2) ;' = 0! + i) 2) у = (arcsinx)cl" 3) In (x + у) - лу = x +1 1) у - x arcs in ) y = ( J 7 r f 3 3) fx = t~ + 21 [У = Г3+ 8/ ) у = V 1 + ln2x 2) у = (arctg x)3' fx = 2f - s i n 2/ 3).3 [y = sm t 79 1) у = tglnvx 2) y = (chx)sinv 3) fx = arcs in t [y = arctg/ ) у = arctg 2) j-= (*»+*) 3) tgxy-21nx = y 83

84 4. Провести полное исследование функции и построить ее график. 69 J н н II х 2 У=4-.г 79 у = + 2х2 X 39 у = (Х+У х X3 49 х X3 У= л х 5. Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению д2и _ 2 д2и dt2 дх х2 у х 2 19 > у=, 1 - X 59 X У = 2 1 X X «=, х -а Г 59 и = ln(x + at) + sin (x a/) 19 и с + sin (х + at) 69 it = tg(x -at) + In (x + at) 29 it = In (x - at) + cos(x + at) 79 U - tg (x + //) +?' 39 it = tg [x + at) + exu" 89 it = arctg (x + at) + s i n (x - at) 49 и = cos(x - at) + e'+ " 99 и = sin (x - at) + cos (x + at) Подписано в печать г. Формат 60x90 1/16. Объем 5,3 усл.п.л. Тираж 200 экз. Заказ 51. ООО «TP-принт». Москва, ул. Правды, д. 24, стр (499)


Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Контрольная работа 2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Контрольная работа Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной З а д а ч и 1-10 Необходимо найти производные первого порядка функций одной переменной, используя правила дифференцирования

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр МИНОБРНАУКИ РОССИИ Бугульминский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и контрольные задания по высшей математике

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Э.Н. Подскребко, Н.Ф. Пестова, Л.А. Кан. Высшая математика

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Э.Н. Подскребко, Н.Ф. Пестова, Л.А. Кан. Высшая математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков»

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : arcsi Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или Из

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

Исследование функций и построение графиков с помощью производной ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Решение задач на тему "Производная"

Решение задач на тему Производная МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Математика. Программа, методические указания и задания контрольной и самостоятельной работы 2 для студентов заочной формы обучения направления:

Математика. Программа, методические указания и задания контрольной и самостоятельной работы 2 для студентов заочной формы обучения направления: Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Г.В.ПЛЕХАНОВА НОВОСИБИРСКИЙ

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x> Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее