1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения"

Транскрипт

1 . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a b] его делят на равные частичные отрезки [ ] где b a 0 0 a b 0... Используя формулу первой разностной производной уравнение (5.40) можно представить в виде ( ) f. (6.) Тогда значения искомой функции a b находят по формуле (6.). При этом начальный шаг устанавливают с помощью неравенства < Δ на отрезке [ ] где Δ -заданная предельная абсолютная погрешность. Заданная точность Δ достигается если для всех выполняется неравенство ( ) < Δ (6.3) 3 где ( ) и ( ) значения искомой функции полученные по методу Эйлера (6.) при шагах вычисления и соответственно. После вычисления значений искомой функции с шагом и их сравнивают по формуле (6.3). Вычисления заканчивают когда неравенство (6.3) выполняется для всех. Решением задачи является функция ( { ) }. 0 уравнение Пример. Решить методом Эйлера на отрезке [ 0.3]

2 с начальным условием ( 0 ) 0 при Δ Исходя из неравенства < Δ выберем начальный шаг вычислений Тогда 5. Проводя вычисления с 0.06 одним запасным знаком находим по формуле (6.) значения [ 0 0 ] 0 [ ] [ ] 0. 0 [ ] 0. 0 [ ] Уменьшим шаг в два раза т.е так что теперь 0. Вычисления повторим а результаты поместим в таблицу. Расчетная таблица [ ] ( 0.06 ) ( 0.03) ( 0.06) ( 0.03) Таблица

3 Из таблицы видно что левая часть неравенства (6.3) не превосходит Поэтому ( 0.03 ) с точностью до 0.00 представляют искомую функцию т.е. все найденные знаки верные.. Метод Рунге-Кутта По методу Рунге-Кутта значения искомой функции отрезке [ a b] последовательно находят по формулам где Δ 0... ( [ ) q q q q ] Δ f ( ) q на () q q f () q q 3 f ( ( f ) q ) q 4 3 b a 0 a b. Начальный шаг устанавливают с помощью неравенства < 4 Δ где Δ -заданная предельная абсолютная погрешность. Заданная точность Δ достигается если для всех выполняется неравенство 5 ( ) < Δ. 3. Метод итераций

4 В предыдущих параграфах были рассмотрены разностные методы решения дифференциальных уравнений. Здесь мы изложим метод последовательных приближений (метод итераций). Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения f ( ) (6.4) удовлетворяющее начальному условию на заданном отрезке. Интегрируя уравнение (6.4) в пределах от до с учетом начального условия представим его в интегральной форме Если выбрать в качестве нулевого приближения то -ое приближение можно найти по формуле f ( ) d 0. (6.5) 0 Метод итераций основывается на теореме. Теорема. Если непрерывны в замкнутой области D то в некотором интервале существует единственное решение уравнения (6.4) удовлетворяющее начальному условию. Погрешность при замене решения его -м приближением дается формулой (6.6) где. Пример. Найдем второе приближение уравнения удовлетворяющее начальному условию на отрезке и найдем погрешность при замене решения его -м приближением. Согласно формуле (6.5)

5 . Пусть. Тогда. По формуле (6.6) получим. 4. Метод прогонки Метод используется для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Найдем на отрезке [ a b] решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка удовлетворяющее граничным условиям B C f A (6.7) ( a) α ( b) β. Построим на отрезке [ a b] равномерную сетку b a a Перепишем уравнение (6.7) для соотношением заменив вторую производную ( ) ( ) ( ) а первую производную одной из разностных формул ( ) ( ) ( )

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Тогда получим систему разностных уравнений 0 α β a j j b j j c j j g j (6.8) где приближенное значение решения в точке j.... Если j для аппроксимации первой производной воспользоваться разностной формулой ( ) ( ) то коэффициенты и правые части системы (6.8) определяются по формулам a j A j j ( j ) B( j ) A( j ) ( j ) B( j ) ( ) b j C c j A g j f j. В методе прогонки решение системы (6.8) ищем в виде где L K (6.9) L K прогоночные коэффициенты Сравнивая (6.9) при 0 a α b получим краевые условия β L 0 0 K0 α. и Рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов получим если в j ое уравнение системы (6.8) L K a j j b j j c j j g j

7 подставим вместо j правую часть выражения (6.9) L K и затем полученное выражение приведем к виду (6.9). Тогда формулы прямой прогонки для L K будут иметь вид L j c j g j a jk j K j a jl j b j a jl j b j L 0 0 K0 α j...(6.0) После нахождения прогоночных коэффициентов L j K j по формулам (6.0) решение уравнения (6.7) находится по формуле обратной прогонки L K α β 0 где уже.... Замечание. Методы применяемые в предыдущих параграфах для численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка без всяких изменений могут быть использованы для интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка. С точки зрения метода вычислений в каждом из уравнений системы можно считать «лишние» функции известными функциями. Это позволяет воспользоваться методами построенными для интегрирования одного уравнения. С другой стороны для того чтобы действительно знать значения указанных «лишних» функций в нужных точках приходится все уравнения системы интегрировать одновременно. 5. Метод сеток решения уравнения в частных производных Постановка задачи Пусть в области D ограниченной контуром Γ поставлена задача математической физики т.е. задано линейное дифференциальное уравнение в частных производных L ( ) f (6.) и дополнительные условия (граничные и начальные условия). Так как задача нахождения решения уравнения (6.) в D трудно разрешима то ставится задача приближенно найти решения на

8 некотором множестве точек из D. Это множество точек называется сеткой. Его берут конечным и достаточно густым чтобы оно приближенно заменяло область D. При этом расположение узлов сетки может быть любым. Обозначим через D множество точек сетки. Пусть D. Очевидно что значений ( ) конечное число и эти значения определяются дифференциальным уравнением начальными и граничными условиями присоединенными к этому уравнению областью D и контуром Γ. Суть метода сеток состоит в том что на основе этой информации составляется соответствующим образом система алгебраических уравнений отражающая свойства дифференциального уравнения начальных и граничных условий и позволяющая приближенно вычислить значения ( ). Рассмотрим пример выбора прямоугольной сетки. Проведем на плоскости XOY совокупность прямых 0 0 где 0 0 координаты точки M лежащая внутри D шаг сетки по направлению шаг сетки по направлению ( > 0; > 0). Точки пересечения называются узлами. B A M D Γ 0 Рис. Два узла называются соседними если они удалены друг от друга в направлении оси OX или OY на расстояние равное шагу сетки или соответственно. Будем рассматривать только те узлы которые принадлежат замкнутой области D D Γ. Точка ( ) называется внутренним узлом если четыре ее принадлежат D соседние точки ( ) ( ) ( ) ( ) Множество внутренних узлов будем обозначать через * D.

9 Те узлы у которых хотя бы один соседний узел не принадлежит замкнутой области D называются граничными узлами. * Множество граничных узлов обозначается через Γ. На рисунке точки A и M внутренние узлы (обозначено ) B граничный узел (обозначено ). Множество внутренних и граничных узлов образует прямоугольную сеточную область D. Ясно что при замене области D на сеточную область D происходит искажение области D особенно если шаги и большие. Мы не останавливаемся на рассмотрении других сеток таких как треугольная сетка сетка параллелограммов и других. Замена производных конечно-разностными отношениями Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка заданное в D A B C D Ε G f ( ) L. (6.) Задача: представить дифференциальное уравнение (6) в точке ( ) D через значение искомой функции в узлах сетки. Такую замену можно выполнить путем выражения каждой производной входящей в уравнение через значения функции в узлах сетки. Для этой цели запишем разложение функции ( ) в окрестности точки ( ) по формулам Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа и подсчитаем значения ( ) и ( ). Имеем ( ) ( )! где 0 < Θ < ( )! ( )!! ( ) ( Θ ).. (6.3)

10 !!..!! Θ (6.4) где 0 < Θ <. Здесь мы предполагаем что функция в области D имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно. Из (6.3) и (64) положив получаем Θ (6.5) Θ (6.6) где 0 < Θ < 0 < Θ <. При Θ (6.7) где 3 < Θ <. Точно так же можно получить выражение частной производной в точке через значения функции в узлах сетки τ (6.8) τ (6.9) где τ 0 < < τ 0 < <.

11 6 τ (6.0) где τ 3 < <. Складывая равенства (6.33) и (6.4) записанные при 3 нетрудно получить выражение через и 4 4 / Θ (6.) где Θ / < < и аналогично / τ 4 4 (6.) где τ / < <. Укажем замену и для производной. 4 o o o o (6.3)

12 Выражения (6.5) (6.3) для замены частных производных разностными отношениями не является единственными. Если брать дополнительные значения функции в других узлах сетки то можно получить более точные выражения но будут и более сложными. Теперь можно непосредственно перейти к решению задачи: заменить дифференциальное уравнение (6.) в точке ( ) так называемым сеточным уравнением. f f. Подставляя формулы (6.7) Обозначим ( ) (6.0) (6.3) в уравнение (6.) получим сеточное уравнение заменяющее дифференциальное уравнение в точке ( ) f L где под понимается приближенное значение функции ( ) в точке ( ). Например для уравнения Пуассона f ( ) сеточное уравнение имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o( ) f. (6.4) Если решение уравнения (6.) имеет в области D непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно то в равенстве (6.4) величиной ( ) o при достаточно малых и можно пренебречь. Окончательно получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f. (6.5)

13 Заметим что сеточное уравнение (6.5) имеет особенно простой вид когда шаги и равны между собой. Член ( ) o имеет смысл погрешности с которой сеточный оператор L ( ) заменяет дифференциальный оператор L ( ) во внутренней точке сеточной области. Для замены дифференциального оператора сеточным привлекается схема точек получившая название «крест». ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Отметим что сеточное уравнение (6.5) имеет место для всех * внутренних узлов сеточной области т.е. для точек множества D. Заменой в каждом узле сетки дифференциального уравнения сеточным сводим решение дифференциального уравнения к системе разностных уравнений. Погрешность замены дифференциального уравнения разностным оценивается неравенством R 4 где 6 M M 4 ma D Рассмотрим метод сеток решения краевых задач для основных уравнений математической физики (волнового уравнения уравнения теплопроводности уравнения Пуассона). I. Метод сеток для уравнений эллиптического типа

14 Ставится задача Дирихле для уравнения Пуассона т.е. требуется которая в области D удовлетворяет уравнению найти функцию f ( ) (6.6) а на контуре Γ этой области граничному условию ϕ( M ) Γ где ϕ заданная непрерывная функция на Γ M точка принадлежащая контуру Γ. Заменяя в каждом внутреннем узле сетки уравнение (6.6) сеточным уравнением (6.5) получим совокупность линейных алгебраических уравнений относительно значений в узлах ( ) функции. Теперь необходимо граничные условия заменить сеточными уравнениями M B δ γ A Γ M Γ B граничный узел A внутренний узел 0 Рис. Требуется определить каким следует брать сеточное значение функции в точке B. Здесь возможны несколько способов. Простейшие из них: Способ. В качестве значения ( B) дерут значение функции ϕ в точке контура ближайшей к точке B т.е. полагают ( B) ϕ( M ). Такая o. замена выполняется с погрешностью Способ. Для вычисления значения функции ( B) используют значения функции в точках M ( ) и A ( γ ) где γ δ (см. Рис. ). Воспользуемся разложениями Тейлора. Имеем:

15 / Откуда исключая ( M ) δ! / // ( B) ϕ ( M ) ( M ) ( M ) L δ! / // ( A) ( M ) ( M ) ( M ) L γ γ ϕ.! ( γ δ) γ δ δ γ γ ( B) δ( A) ϕ( M ) // ( M ) L! ( M ) δ ( A) B ϕ o( ). δ Если достаточно мало то членом ( ) получим! o можно пренебречь и мы B ϕ ( M ) δ ( A) δ. (6.7) Формула (6.7) называется формулой Коллатца. Замечание. Для уменьшения погрешности при замене криволинейной области D на сеточную область D иногда к области D кроме * граничных узлов Γ добавляют узлы лежащие за пределами D но удаленных от узлов лежащих на Γ и ближайших внутренних узлов по направлению осей OX и OY не более чем на и соответственно. Такие узлы будем называть также граничными узлами. Для них составляются сеточные уравнения следующего вида (например для узла C см. Рис. 3)

16 Γ A δ M C 0 Рис. 3 C δ ( A) ϕ( M ) δ. (6.8) Записав для каждого узла уравнение (6.7) и (6.8) присоединяем их к системе сеточных уравнений для внутренних узлов. Полученную систему алгебраических уравнений относительно значений решаем любым известным методом например методам Гаусса. Погрешность приближенного решения полученного разностным методом складывается из трех погрешностей: ) погрешности замены дифференциального уравнения разностным; ) погрешности аппроксимации краевых условий; 3) погрешности получаемой в результате того что система разностных уравнений решается приближенным методом. Задача. Применяя метод сеток с шагом 4 найти решение 0;0 0; C ; уравнения Лапласа в квадрате с вершинами A B D ( ;0 ) при условиях: AB BC Решение. Строим сетку с шагом 4 в квадрате ABCD. Отметим индексы узлов (см. Рис. 4). CD AD

17 (04) (4) (4) (34) (44) (03) (3) (3) (33) (43) (0) () () (3) (4) (0) () () (3) (4) (0) (0) (30) (40) Рис.4 В каждом внутреннем узле (в этой задаче 9 внутренних узлов) уравнение Лапласа 0 заменяем сеточным уравнением. в силу равенства (6) будем иметь: Например для узла и так далее для всех узлов. Получим систему сеточных уравнений

18 (6.9) Учитывая граничные условия найдем численные значения функции в граничных узлах В остальных узлах краевые условия не используются. Перепишем систему (6.9) Решая эту систему методом Гаусса получим

19 Мы получили приближенное решение уравнения Лапласа 0 в квадрате ABCD при заданных краевых условиях. II. Метод сеток для уравнений параболического типа Для уравнений параболического типа метод сеток имеет многие общие черты с методом сеток в случае уравнений эллиптического типа но в силу того что задачи для уравнений параболического типа имеют иную природу по сравнению с задачами для эллиптических уравнений после замены дифференциальных уравнений и граничных условий сеточные уравнения в случае параболического типа допускают решение их по шагам в направлении оси времени. Рассмотрим смешанную задачу для одномерного уравнения теплопроводности (к ней в частности приводит задача о распространении тепла в однородном стержне). t G a < < b t > 0 Найти функцию ( ) которая в области { } удовлетворяет ( 0) ϕ уравнению начальному условию t a b и граничным условиям: β γ β γ b a Ψ Ψ () t () t t 0. Построим прямоугольную сетку точек ( a ) где b a 0 m. Будем считать a 0 b. Узлы лежащие на прямых 0 t 0 считаются граничными узлами все другие внутренними. Для внутренних узлов выписываем сеточные уравнения аппроксимирующие

20 дифференциальные уравнения т.е. производную заменяем разностным отношением в узле ( ) а производную t одним из трех разностных отношений. В соответствии с этими способами замены производной t получим три типа сеточных уравнений заменяющих дифференциальное уравнение. t Если ввести обозначение α то будем иметь ( α) α( ) ( α) α( ) α( ) (6.30) (6.3). (6.3) Для узлов лежащих на прямой t 0 из начальных условий имеем 0 ϕ. (6.33) Для граничных узлов лежащих на прямых 0 запишем соотношения 0 β γ 0 Ψ

21 β γ Ψ. Сеточное уравнение (6.30) в совокупности с начальными условиями (6.33) называется разностной схемой I уравнение (6.3) с условиями (6.33) разностной схемой II уравнение (6.3) с условиями (6.33) разностной схемой III. Разностная схема I является рекурсивным правилом так как по формуле (6.33) можно вычислить значение функции на нулевом слое при 0 а по формуле (6.30) затем последовательно полагая 0 L можно вычислить значение сеточной функции на первом втором и других слоях. Разностную схему I по этой причине называют явной. Явной также будет схема III так как по ней можно вести вычисления как и по схеме I если значения сеточной функции на первом слое уже вычислены по какому-либо способу. При вычислениях по разностной схеме II уже для определения значений сеточной функции на первом слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. Схема II называется неявной. Доказано что при 0 < α схема I устойчива схема III неустойчива. Схема II устойчива при любом α. При α уравнение (6.30) принимает наиболее удобный вид а при α 6 (достигается наилучшая точность) (6.34) ( ) 4. 6 Отметим что сеточные уравнения (6.30) и (6.3) заменяют дифференциальное уравнение с погрешностью o ( ) (6.3) с погрешностью ( ) а уравнение o в предположении что решение уравнения ( t) имеет в полуплоскости t > 0 непрерывные производные по t до 3-го порядка а по до 4-го порядка включительно.

22 Оценки погрешностей приближенных решений полученных из разностных схем I II III в области a b 0 t T соответственно имеют вид: ~ T M 3 ~ T M ~ T 4 M 35 где ~ точное решение задачи ( 4 ma{ ϕ ) Ψ () t Ψ () t } ( 6 ) ( 4 ) () ( 4 M t ) ma Ψ Ψ () t M { } ϕ. Замечание. Разностная схема называется сходящейся при заданном способе стремления и к нулю если решения системы сеточных уравнений стремится при этом к точному решению задачи для дифференциального уравнения. Те сходящиеся разностные схемы для которых малые погрешности допускаемые в процессе решения сеточных уравнений не могут привести к большим отклонениям от точного решения системы называются устойчивыми схемами. Задача. Найти приближенное решение уравнения t удовлетворяющее условиям ( 0) [..] s( π ) [ 0; ] ( 0 t) ( t) 0 t [ 0;0.0] взяв по аргументу шаг 0.. Для решения будем использовать уравнение (6.34). При выводе уравнения (6.34) предполагалось что α α. Положив 0. получим шаг

23 Используя начальные условия найдем значения функции на нулевом слое t ( 0.;0 ) [. 0..] s( 0.π) ( 0.;0) ( 0.3;0) ( 0.4;0) Далее значения функции на первом слое находим по формуле (6.34) используя значения на нулевом слое и краевые условия при 0 t Тогда получим: ( 0 00) ( ) ( 30 0) ( ) Аналогично значения функции на втором слое вычисляем по формуле (6.34) при. И так далее на всех слоях т.е. при t 0. 0(второй слой) t 0.05(третий слой) и t 0. 0 (четвертый слой). Результаты вычислений представим в виде таблицы: Таблица

24 Расчетная таблица t III. Метод сеток для уравнений гиперболического типа Дифференциальные уравнения гиперболического типа часто встречаются в физических задачах связанных с переносом энергии и с процессами колебаний. Применим метод сеток для решения смешанной задачи колебания струны которая состоит в отыскании дважды непрерывно удовлетворяющей в области дифференцируемой функции D { > 0 a < < b} уравнению 0 а на границе области при 0 начальным условиям ( 0) ( 0) ϕ ψ ( a b) и при a bкраевым условиям ( a ) Φ ( b ) Φ Выберем прямоугольную сетку положив a b. > 0 > Множество внутренних узлов обозначим через D а множество граничных узлов -Γ. Используя формулы замены производных разностным отношением и схему точек «крест» заменим заданное дифференциальное уравнение сеточным

25 0. Обозначим α тогда уравнение запишется в виде [ ] 0 α (6.35) Доказано что при α это уравнение устойчиво. В частности при α оно имеет простой вид:. Из формулы (6.35) видно что если сетка достаточно мала то зная значения решения в узлах и -го слоев можно найти решение во всех узлах -го слоя. Таким образом для решения задачи необходимо знать значения решения на двух начальных слоях 0 и. Их можно найти из начальных условий одним из двух следующих способов. Первый способ. В начальных условиях задачи заменим производную ( 0) 0. Тогда для определения значений в узлах первых двух горизонтальных рядов будем иметь ϕ ψ 0 0 или 0 0 ψ ϕ. Второй способ. Привлечем еще один горизонтальный ряд и заменим производную по формуле

26 ( 0) Тогда из начальных условий будем иметь. 0 ϕ ψ. Значения исключим используя сеточное уравнение (6.35) для узла ( 0) считая что заданное дифференциальное уравнение 0 удовлетворяется и на начальной прямой. Тогда получим или [ ] 0 0 α [ 0] α ψ. Итак значения решения на первых двух рядах будут определяться следующим образом 0 ϕ [ ψ α { ϕ ϕ ϕ }] ϕ (6.36) Второй способ в некоторых случаях предпочтительнее так как в этом случае мы имеем лучшую аппроксимацию начальных условий. Чтобы получить методом сеток решение сколь угодно близкое к точному решению задачи для гиперболического уравнения нельзя произвольно выбирать соотношения шагов сетки по осям OX и OY. Выше было замечено что сеточное уравнение (6.35) устойчиво при α. При α соотношения (6.36) особенно просты 0 ϕ [ { ϕ }] ψ ϕ. (6.37)

27 Задача 3. Найти приближенное решение уравнения 0 ( 0; ) ( 0;0.5) удовлетворяющее начальным условиям ( 0) [..] s( π ) ( 0) 0 и граничным условиям ( 0 ) 0 ( ) 0 для взяв по аргументу шаг 0.. Решение. Наиболее простой вид сеточное уравнение для дифференциального уравнения гиперболического типа принимает при α 0. на двух начальных слоях найдем вторым. Значения способом. Так как в нашей задаче ψ 0 то согласно (6.37) [{ ϕ }] ϕ. Последовательные вычисления значений функции ( ) соответствующие 0(нулевой уровень) дают Теперь вычислим значения функции ( ) на первом слое

28 Последующие значения функции на следующих слоях вычислим по формуле Для второго слоя ( 0.) имеем Значения 0 0 известны из граничных условий задачи: ( ) 0 ( ) Аналогично вычисляются значения ( ) Так на третьем слое и т.д. на всех остальных слоях Расчетная таблица Таблица 3

29 X Y Здесь во втором и последнем столбце граничные условия.

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Глава 9. Численные методы. Лекция 4. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.. Дифференциальная и разностная задачи Эйлера. Определение. Дифференциальной задачей Эйлера

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши Численные методы позволяют найти только частное решение ДУ (СДУ) в виде сеточной функции. Несмотря на этот недостаток, эти методы применимы к очень

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Решение вопросов организации эффективной добычи полезных ископаемых требует изучения закономерностей движения воды, тепла, распределен

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 3 Обыкновенные дифференциальные уравнения Численное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей Рассмотрим

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения»

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

2. Разностные схемы Разностные схемы

2. Разностные схемы Разностные схемы 2. Разностные схемы 1 2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Дирихле для уравнения Пуассона Уравнение Пуассона Чаще всего на практике уравнения эллиптического типа представлены

Подробнее

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ]

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ] Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков)

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков) ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков) Слайд 1: Классификация РС по типам устойчивости. По типам устойчивости выделяют следующие РС: абсолютно

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Существуют различные методы и технологии моделирования физических объектов, явлений и процессов:

Существуют различные методы и технологии моделирования физических объектов, явлений и процессов: Существуют различные методы и технологии моделирования физических объектов, явлений и процессов: аналитический метод; численный метод создание дискретного аналога математической модели и дальнейшее решение

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных Введение Пособие посвящено изложению численных методов решения двухточечных задач, которые встречаются во всех областях науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются в двух точках, а дифференциальные

Подробнее

1) Схема переменных направлений

1) Схема переменных направлений 4. Экономичные разностные схемы Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная разностная схема: )является безусловно

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши Задача Коши для ОДУ Дано обыкновенное дифференциальное уравнение 1го порядка и начальное условие

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве [ ] точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\sue.kdu.edu.u 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Численные методы и моделирование на ЭВМ

Численные методы и моделирование на ЭВМ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Построение ММ статики технологических объектов

Построение ММ статики технологических объектов Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем (рис : О с одной входной х и одной

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения 8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения Постановка задачи Решение уравнений движения является классической задачей механики. В общем случае это система дифференциальных уравнений

Подробнее

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее