Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто"

Транскрипт

1 Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09

2 Содержание. Программа курса для второго семестра. Примеры решения заданий для самостоятельной подготовки к контрольной работе.. Задания для самостоятельного решения. 4. Литература

3 ПРОГ РАММ А К УРС А ДЛЯ II С ЕМЕС ТРА Раздел 5. Функции нескол ьких переме нных. Функции двух и трех переменных как функции точки.. Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.. Предел функции. Непрерывность в точке и в области. 4. Частные производные функции нескольких переменных; геометрический смысл частных производных функции двух переменных. 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных. 6. Частные производные высших порядков. 7. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. 8. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. 9. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области. 0. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.. Производная по направлению.. Градиент скалярного поля; его свойства. Раздел 6. Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл.. Таблица основных интегралов.. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 5. Метод интегрирования по частям. 6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. 7. Рациональные дроби. Интегрирование элементарных рациональных дробей. 8. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших. 9. Интегрирование функций m r m r вида R, n,..., s a b n a b s, R,,...,. c d c d 0. Интегрирование тригонометрических функций.. Вычисление интегралов вида R, a d, R, a d, R, a d.. Интегрирование дифференциальных биномов.. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

4 Раздел 7. Определенный интеграл. Задачи геометрического и физического содержания, приводящие к понятию определенного интеграла.. Определение определенного интеграла. Основные свойства.. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. 4. Формула Ньютона-Лейбница. 5. Замена переменной в определенном интеграле. 6. Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. 7. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах. 8. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах. 9. Вычисление длины дуги плоской кривой. 0. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.. Объем тела вращения.. Площадь поверхности тела вращения.. Правило применения определенного интеграла в конкретных задачах. 4. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 5. Интегралы от разрывных функций. 6. Признаки сходимости несобственных интегралов. Раздел 8. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 4. Дифференциальные уравнения с однородными функциями. 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 7. Линейные однородные уравнения n-го порядка; свойства его решений. 8. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. 0. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 4

5 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Задание. Для функции ) dz (; ) 0,0 y0,0 ) экстремумы. ; z y y найти: Решение. ) Полный дифференциал функции определяется формулой z z dz d dy. y Найдем частные производные: z z y, ( ) 6, (; ) z y, y z y (; ) ( ) 0. Так как d 0,0, dy у 0,0, получим dz (; ) 0,0 y0,0 6 ( 0,0) 00,0 0,06 0 0,06. ) Определим стационарные точки функции. Для этого требуется решить систему z 0, z 0. y z z Так как y, y, то система будет иметь вид y y 0, y 0. 5

6 Решим данную систему. y 0, y 0, y, y 0, y 4, 0, y, ( ) 0, ( ) 0: 0 или. Система имеет два решения 0, y 0, и, y. Таким образом, функция имеет две стационарные точки M (0;0) и M (;). Для проверки наличия и характера экстремума функции в точке требуется определить знак определителя z z y z y. z y Если 0 экстремума нет, если 0, то в случае имеется максимум, z 0 минимум. Вычислим частные производные второго порядка: z 0 в точке z 6, z y, y z 6 y. 6

7 Тогда 6 6y 9. 6y В точке M (0;0) : экстремума нет. M В точке (;) : есть экстремум. Так как M M функции и z M 6 6 0, то точка M (;) является точкой минимума zmin z(;). Ответ: ) 0,06 ; ) z min (;). Задание. Дана функция u y z и точки M(;;), M (;;4). Найти: ) производную этой функции в точке M по направлению вектора MM ; ) угол между градиентом функции u в точке M и вектором MM. Решение. ) Производная функции u u(, y, z) по направлению вектора s определяется формулой дu дu дu дu cos cos cos. дs д дy дz Найдем частные производные функции в точке M (; ; ) : дu д (; ; ) ( z ), (; ; ) дu дy (; ; ) y, (; ; ) дu дz (; ; ) z. (; ; ) Вектор s MM ( ; ; 4 ) (;;). 7

8 Найдем направляющие косинусы вектора s : s s y cos, s cos s, cos. s Тогда, cos, cos, cos Следовательно, дu 5. дs (;;) ) Градиент функции u u(, y, z) определяется формулой дu дu дu gradu ; ; д дy дz. Воспользуемся промежуточными расчетами при вычислении gradu ;;. производной по направлению: Так как угол между векторами a и b можно определить с помощью формулы ( a, b) cos a, b, a b М s z то 5 5 cos gradu, MM M 4 77 Тогда 5 gradu, MM arccos. M 77. Ответ: ) 5 4 ; ) 5 arccos 77. Задание. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z y в точке М (;;). 0 Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной явно функцией z f (, y), в точке М 0( х0, у0, z0) определяется формулой 8

9 f (, y )( ) f (, y )( y y ) ( z z ) 0. х у Найдем частные производные функции дf д (; ; ), (;; ) дf дy z y 8 в точке (;;) 0 (; ; ) y 6. (; ; ) М : Тогда, ( ) 6( y ) ( z ) 0, 6y z 0, 6y z Уравнения нормали найдем по формуле y y z z f (, y ) f (, y ) х 0 0 у 0 0 : y z 6 или y z. 6 Ответ: 6y z 0, y z. 6 Задание 4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности y 4z 0 в точке М (;;). 0 Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявно уравнением F(, y, z) 0, в точке М 0( х0, у0, z0) определяется формулой F(, y, z )( ) F(, y, z )( y y ) F(, y, z )( z z ) 0. х у z Найдем частные производные функции y 4z 0 в точке М (;;) : 0 дf дf дf 6 6, (;; y, ) (;; 8z 6. ) (;; ) д дy дz (;; ) (;; ) (;; ) Тогда 6( ) ( y ) 6( z ) 0, 9

10 6 y 6z 40 0, y 8z 0 0. Уравнения нормали найдем по формуле 0 y y0 z z0 : F(, y, z ) F(, y, z ) F(, y, z ) х у z y z или 6 6 y z. 8 Ответ: y 8z 0 0, y z. 8 Задание 5. Найти интегралы: ) arctg e d ; ) cos5 d ; ) sin5 d ; ln 4) sin d ; 5) ln d ; 6) d 4 ; 7) 4 8 d 5. Решение. ) ) e arctg arctg arctg t t arctg d e d( e ) e dt e C e C. cos5 cos5 5d d(sin 5 ) dt d ln t C ln sin 5 C sin5 5 sin5 5 sin5 t 5. ) d d d(х ) ln ln ln 0

11 d ln( ) dt t t dt C C C ln t t 4ln ( ). 4) u v cos sin d cos cos d du d dv sin d cos sin C. Использована формула интегрирования по частям: или udv uv vdu. u( ) v( ) d u( ) v( ) v( ) u( ) d 5) u ln v ln ln d d udv uv vdu d d du dv n n t ln t dt C C (ln ) C. n 6) 4 d d d d d d d ( 4 ) 8 d ( ) 9

12 d( ) dt t ln 4 8 arctg C ( ) t a a a 8 ln 4 arctg C. х х 4 7 ) d 5 d d ln х d d d d d ln ln arctg C ln 5 ln arctg C ln 5 arctg C. 4 4 Ответ: ) arctg e C ; ) ln sin5 5 C ; ) C ; 4ln ( ) 4) cos sin C ; 5) (ln ) C ;

13 6) 7) 8 ln 4 arctg C ; 0 ln 5 arctg C. 4 4 Задание 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y. Решение. Изобразим фигуру, рис.. y и Найдем точки пересечения данных кривых: y, y, y,. у О 4 х Рис. 0, Решая последнюю систему, получаем y 0, Заметим, что при [0;4]. Поэтому, и y 4, 4.

14 4 4 S ( ( )) d (4 ) d Ответ: Задание 7. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, получающегося вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной линиями y 4 х и х 0. Решение. Выполним в плоскости Оху чертеж области, ограниченной указанными линиями, рис.. Формула для вычисления объема тела, полученного вращением кривой y f ( ) на отрезке [ a, b ] относительно оси Ох, имеет вид b V f ( ) d ; для вычисления объема тела, полученного вращением a кривой х g( y) на отрезке [ c, d ] относительно оси Оy : d V g ( y) dy. с у О 4 х - Рис.. При х 0: при у [ ;]. Получаем, y 4 0, y 4, у и y, т.е. имеем х 4 у 4

15 5 4 8 y V (4 y ) dy (6 8 y y ) dy 6 y ( ) 6 6 ( ) ( ) ,. 5 5 Ответ: 07,. Задание 8. Решить дифференциальное уравнение: ) ) y dy d 0, y y, у(0) 0, ) y sin, у(0), у(0). 4) y y y e ( ). ) Решение. y dy d 0, y dy d уравнение с разделяющимися переменными. y dy d уравнение с разделенными переменными. y dy ( ) d C *, y ( d ) C * ln, 5

16 y C *, ln ln y ln C *, y C. Ответ: y C. ) y y, у(0) 0. Преобразуем исходное уравнение к виду: y y. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Будем искать решение в виде y u( ) v( ), тогда y( ) u( ) v( ) u( ) v( ). После подстановки y u( ) v( ) и выражения для производной в уравнение получим Получаем систему: u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ), u( ) v( ) u( )( v( ) v( )). v( ) v( ) 0, u ( ) v( ). Решим уравнение v( ) v( ) 0. Получаем, v( ) v( ), откуда при C 0 : ln v( ) v( ) e. v( ), v( ) dv d, v ln v( ) C, v( ) d d, v( ) и искомая функция будет иметь вид После подстановки функции v( ) во второе уравнение, получим u( ) e. Решим последнее уравнение: u( ) e, u( ) d e d, 6

17 u v e u( ) e d e e d du d dv e d Тогда u v e e ( e e d) du d dv e d e e e C e ( ) C. y( ) ( e ( ) C) e Ce общее решение исходного уравнения. Получим частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) С е 0, С 0, С. Ответ: y e. ) y sin, у(0), у(0). Последовательно проинтегрируем два раза исходное уравнение. Получим y sin d cos C, y C d C C 4 уравнения. Воспользуемся начальными условиями: у(0), у(0). cos sin общее решение исходного Получим, sin 0 C 0 C, 4 cos0 C, C C,,5. Ответ: y sin,5. 4 4) Получим общее решение уравнения y y y e ( ). 7

18 Для решения однородного уравнения y y y 0 составим характеристическое уравнение k k 0. Получаем, D 9 8 0, k, k. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:. y C e C e Получим частное решение неоднородного уравнения. Так как D 0, тригонометрические функции в правой части исходного уравнения отсутствуют ( b 0), k a (коэффициент при функции a e ), то n. Общий вид частного решения: y e ( A B). Найдем производные ( y ) и ( y ) частного решения и подставим в исходное уравнение. ( y ) ( ) e ( A B) ( e ) ( A B) e ( A B) e ( A B) e ( A B) e A e ( A A B B), ( y ) ( e ) ( A A B B) e ( A A B B) e ( A A B B) e (A A B) e ( A 4A B A B). e ( A 4A B A B) e ( A A B B) e ( A B) e ( ). После преобразований получим e ( A A B) e ( ). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях, это приведет к системе линейных уравнений: A, A B, откуда A, B. Таким образом, частное решение принимает вид y e ( ) e ( ). Следовательно, общее решение исходного уравнения: Ответ: y Ce C e e ( ). y Ce C e e ( ). 8

19 . Для функции dz ) (; ) 0,0 y0,0 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ) экстремумы. ; z y y 9 6y найти:. Для функции ) dz ( ;) 0,0 y0,0 ) экстремумы. ; z y y 5 найти:. Дана.) функция u(, y, z) y z yz yz и точки (;0;), M M (6; ;) ; 5z.) функция u(, y, z) yz и точки M( ;;), M(; ;). y Найти: ) производную этой функции в точке M по направлению вектора MM ; ) угол между градиентом функции u в точке M и вектором MM. 4. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности z y в точке 0 М (;;4). 5. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности yz y yz 4 0 в точке М 0 (0;; ). 6. Найти интегралы: ) 5 e d; ) arctg e d ; ) 4 d ; ( 4) ln ( 4) 4) ln 4 d ; 5) (4 9)cos d 4 8 ; 6) (5 ) е d 9

20 7) ln( 8) d; 8) 6 d ; 0) d Сделать чертеж и вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: y, y. 8. Сделать чертеж и вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: 4 y, y Сделать чертеж и вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, получающегося вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной кривой y, осью O и прямой. 0. Сделать чертеж и вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, получающегося вращением вокруг оси O площади, ограниченной прямой y и параболой y 6.. Решить дифференциальное уравнение: ) y y y e ln ; ) yln y y ln ; y ) y, y() ; 4) 5 y y, y() 0; 5) у 6, у() 0, у(), y () 0 ; х 6) у cos, у 0, у ; 7) 4 y 6y 8 y ( 4) e ; 8) y 4y y (8 4) e. 0

21 ЛИТЕРАТУРА. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.]; под общ. ред. Микулик Н.А. Мн.: Элайда, 004. т.. Гусак, А.А. Высшая математика: В т. Учеб. для студентов вузов./ А.А. Гусак. 5-е изд. Мн.: ТетраСистемс, 004. т.. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. / А.П. Рябушко [и др.]; под общ. ред. А.П. Рябушко. -е изд., испр. Минск: Выш.шк., 007. ч. 4. Капусто А.В. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных: учебно методическое пособие/ Минск: БНТУ, 06. с. 5. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов. В т./ Н.С. Пискунов. М.: Наука, 985. т. 6. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В ч./ Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Мн.: Выш. шк., 99. ч. 7. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. 8-е изд. М.: Айрис-пресс, с. 8. Сборник задач по математике для втузов. В. ч. /, ч под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича, ч. под ред А.В. Ефимова. -е изд., перераб. и доп. М.: Наука, ч. 9. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов / В.С. Шипачев. Под ред. Акад. А.Н. Тихонова. -е изд., стер. М.: Высш. Шк., с.

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Е.И. Федорако

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Е.И. Федорако Методические указания к самостоятельной подготовке за третий семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Е.И. Федорако

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Раздел 2. Интегрирование функции одной переменной Вариант Вариант Раздел 3. Диференциальные уравнения...

Раздел 2. Интегрирование функции одной переменной Вариант Вариант Раздел 3. Диференциальные уравнения... Оглавление Правила оформления и сдачи контрольных работ по курсу «Математика» Вопросы к экзамену по дисциплине "Математика" ( курс, семестр) Раздел Функции многих переменных 5 Вариант 5 Вариант 5 Вариант

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за первый семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 018 018

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Методические указания и задания по высшей математике для

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Информационные системы и технологии» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 70800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ математика ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ математика ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ математика ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 160903. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная. 1. Щипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2005. 2. Письменный Д.Т.

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система.

Содержание. Балльно - рейтинговая система. Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление 80700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа «Неопределенный

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию.

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию. Вопросы и задания для студентов -го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию Теоретические вопросы Функции Способы задания функций Классификация функций Основные элементарные

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена.

2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена. 2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена. Модуль 1 Таблица 5.1 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения выполнения, недели

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 090302 ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Содержание дисциплины В первом семестре 18 лекций по 2 часа каждая РАЗДЕЛ 1. Пределы и

Подробнее

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 2 семестр МИНОБРНАУКИ РОССИИ Бугульминский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический

Подробнее

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики,

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 160505 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная. 1. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2004-2005г.г. 2. Пискунов

Подробнее

Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр.

Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. В.С.Куликов, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова Оглавление I Неопределенный интеграл 9 1

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

урока Наименование разделов, тем и уроков

урока Наименование разделов, тем и уроков Министерство образования и науки Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Краснодарский информационно-технологический техникум» урока

Подробнее

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2.

I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2 ) 2. / 3. ( 4. ) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Подробнее

Fx + C. (1.1) dx = ( ) f x g x dx f x dx g x dx.

Fx + C. (1.1) dx = ( ) f x g x dx f x dx g x dx. ВВЕДЕНИЕ Методическое пособие предназначено для оказания помощи студентам-заочникам первого курса для выполнения контрольных работ по высшей математике В пособии приведены основные теоретические сведения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть)

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) Задания билета,, 4 5 Разделы, 4, 5, 6, 7, 0,,,, 8, 9,, 6, 7, 8, 0 4, 5, 9 Количество баллов 5 б 0 б 5 б Содержание Раздел Производная,

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Материалы для подготовки

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление

МАТЕМАТИКА 1. Методические указания и задания по выполнению расчетно графических работ для студентов специальности 5В Автоматизация и управление Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра Математики и математического моделирования МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно графических

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л.

Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л. Программа дисциплины «Математика» Автор: доцент Рыбников А.К., ст. преподаватель Шарапова М.Л. Цели освоения дисциплины. Целями освоения дисциплины "Математика" являются: формирование математической культуры

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 13-е изд. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. ОГЛАВЛЕНИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 3 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Дисциплина «Высшая математика» предназначена для обеспечения базовой математической подготовки по специальностям «Медицинская экология», «Медико-биологическое дело». Целью

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ТИПОВАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Mat 1202 Математика 5В073200 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) 4 кредита Караганда 2014 Предисловие

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С.

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. ПЛЮСНИНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методическое пособие для студентов

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические рекомендации

Подробнее

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию

Курсовая работа по интегралам выполнена в МатБюро   МатБюро. Студенческие работы по математике, экономике, программированию Курсовая работа на тему «Неопределенные и определенные интегралы» Часть Вычисление интегралов Найти неопределённые интегралы 5 + d ; + = + = + = + + = 5 5 5 /5 d d d d /5+ 6/5 ( + ) ( + ) 5 6 5 = + C =

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 3 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике будущие экологи, инженеры нуждаются в серьезной математической подготовке. Изучение математики развивает

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к экзамену и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный горный университет

Санкт-Петербургский государственный горный университет Санкт-Петербургский государственный горный университет Утверждаю Кафедра высшей математики проф. А.П. Господариков Заведующий кафедрой ПЛАН ЗАНЯТИЙ НА 20 /20 УЧЕБНЫЙ ГОД По учебной дисциплине «Математика»

Подробнее

Дисциплина: Высшая математика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл.

Дисциплина: Высшая математика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл. 2. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными

Подробнее

Рекомендовано для использования в учебном процессе

Рекомендовано для использования в учебном процессе Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации»

Подробнее

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии» 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Математический анализ в агроинженерии»

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). 1. Кафедра Общие сведения 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) 4. Количество этапов формирования

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях.

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях. Математика 2 Билет 1 Лектор Конев В.В. 1. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, основные понятия (определение, решение уравнения, общее и

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Оглавление Правила оформления и сдачи контрольных работ по курсу «Математика»... 2 Вопросы к экзамену по дисциплине "Математика" (1 курс, 2

Оглавление Правила оформления и сдачи контрольных работ по курсу «Математика»... 2 Вопросы к экзамену по дисциплине Математика (1 курс, 2 Оглавление Правила оформления и сдачи контрольных работ по курсу «Математика»... 2 Вопросы к экзамену по дисциплине "Математика" (1 курс, 2 семестр)... 3 Раздел 1. Интегрирование функции одной переменной...

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ВО ВТОРОМ СЕМЕСТРЕ ВЫПИСКА ИЗ ПРОГРАММЫ по высшей математике для специальности -6 Менеджмент Специализация -6-5 Менеджмент (международный) Специализация -6-8 Менеджмент (инновационный) семестр -4 учебного года СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика».

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика». - уч. год Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математическому анализу семестр для студентов заочной формы обучения

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических дисциплин Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» Специальности «Информационные системы и технологии» заочной формы получения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА».

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА». Приложение 3 к рабочей учебной программе дисциплины МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА». Практическое занятие 1 Тема: «Установки. Инструктажи по пожарной безопасности и по технике

Подробнее

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы Расчетно-графическая работа Интегралы Задания -8. Найти неопределенные интегралы: Сделать проверку дифференцированием в трех из шести задач. ) Решение. arccos d Применяем метод подстановки: t = arccos,

Подробнее

урока Наименование разделов, тем и уроков

урока Наименование разделов, тем и уроков Министерство образования и науки Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Краснодарский информационно-технологический техникум» урока

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов,

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки Экономика направленность (профиль) "Бухгалтерский учет, анализ и аудит"

Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки Экономика направленность (профиль) Бухгалтерский учет, анализ и аудит Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки 38.03.01Экономика направленность (профиль) "Бухгалтерский учет, анализ и аудит" Дисциплина: Б1.Б.09Математический анализ Цели освоения дисциплины:

Подробнее

Кафедра «Экология» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине. «Б Математика» направления подготовки « Экология и природопользование»

Кафедра «Экология» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине. «Б Математика» направления подготовки « Экология и природопользование» Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Кафедра «Экология» форма обучения очная курс

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy.

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy. Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /( 5) 1 z arcsin( ) 1 z 1 z ln( ) 15 z /(6 ) 16 z 5 17 z arccos( ) 18 z /( ) 19 z 9 11 z ln(

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 2»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 2» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельным работам по высшей математике для студентов

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z Идз- ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Найти область определения указанных функций / arcsin ln / 7 arccos 8 / ln / arcsin / ln / 7 arccos 8 arcsin ln / / / / ln 7 / 7 8 e / / Найти частные производные и частные

Подробнее