4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами"

Транскрипт

1 4 Векторная алгебра Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы которого упорядочены называется направленным отрезком или вектором Первый из его концов называется началом вектора второй - концом вектора На чертеже вектор изображается стрелочкой (рис 41) Из определения 41 следует что векторные A Рис 41 B величины дают нам новый математический объект который характеризуется числовой мерой (скаляром) и направлением В векторной алгебре скаляры и векторы будем рассматривать как особого рода алгебраические величины над которыми мы можем производить алгебраические операции Эти операции отражают характерные зависимости существующие между скалярными и векторными величинами в геометрии и физике Изучение этих операций и составляет предмет векторной алгебры Условимся в дальнейшем обозначать скаляры буквами и цифрами: ; ; ; б; в;175; Векторы в отличие от скаляров будем обозначать буквами полужирного шрифта или писать стрелочку над букой: ; ; R; ω; AB; f ; ; ; ; Определение 4 Отрезок концы которого совпадают будем называть нулевым вектором и обозначать как O Направление нулевого вектора будем считать неопределённым В векторной алгебре выбирается определённая единица измерения длин всех векторов независимо от их направлений Поэтому длина

2 74 каждого ненулевого вектора выражается вполне определенным положительным числом которое мы будем называть длиной вектора или его модулем Определение 43 Модулем вектора называется его длина при условии что выбрана определённая единица измерения длин Модуль вектора обозначается той же буквой поставленной между двумя двойными вертикальными чёрточками или той же буквой простого шрифта: AB AB ; Векторы AB и BA имеют один и тот же модуль который мы и обозначаем как соответствующий ненаправленный отрезок AB или BA Определение 44 Два вектора и равны если они параллельны некоторой прямой (коллинеарны) одинаково направлены и Над векторами как алгебраическими объектами можно установить линейные операции Под линейными операциями над векторами будем понимать операции сложения векторов и умножения вектора на число Определение 45 Пусть нам даны два вектора и Построим равные им векторы AB и BC Тогда вектор AC (рис4) будет их суммой те AB BC AC или (41) B A Рис 4 C

3 Определение 46 Произведением вектора на вещественное число λ R называется вектор удовлетворяющий следующим условиям: а) λ ; б) векторы и коллинеарны (параллельны некоторой прямой); в) и направлены одинаково если λ > 0 противоположно если λ < 0 и если λ 0 то O Свойства линейных операций над векторами Предложение 41 Для любых векторов и из некоторого множества L и любых чисел α и β из поля K o 1 o ( ) ( ) o 3 O o 4 Вектор ( 1) - противоположен вектору и обозначается как (рис 43) ( 1 ) O o 5 ( αβ ) α( β) Рис 43 o 6 ( α β) α β o 7 α ( ) α α o 8 1 Определение 47 Разностью двух векторов и называется (рис44) сумма векторов ( ) Если то Рис 44 Рис 44 75

4 76 Предложение 4 Если O то любой вектор коллинеарный вектору представим в виде: ± (4) знак () берётся если векторы и направлены одинаково а знак (- ) - если векторы и направлены противоположно Обозначив λ (4) можно записать так: ±λ (43) С помощью линейных операций можно составить линейную комбинацию векторов принадлежащих некоторому множеству L : α 1 1 α α где α1 α α K коэффициенты Предложение 41 даёт нам полный набор свойств позволяющих производить любые вычисления в линейных комбинациях векторов Предложение 43 Если все векторы 1 коллинеарны (параллельны некоторой прямой) то любая их линейная комбинация им коллинеарна а если векторы 1 компланарны (лежат в одной плоскости) то любая их линейная комбинация им компланарна Определение 48 Множество элементов будем считать замкнутым относительно некоторой операции если для любых элементов этого множества результат применения данной операции снова принадлежит этому множеству те если L то и L Определение 49 Множество L замкнутое относительно линейных

5 o o операций с учётом аксиом 1 8 называется векторным пространством Если одно векторное пространство является подмножеством другого то оно называется его подпространством Пример Множество векторов коллинеарных данной прямой (одномерное пространство L 1) и множество векторов компланарных данной плоскости (двумерное пространство L ) являются примерами векторных пространств являющихся подпространствами трехмерного пространства L 3 Введём в рассмотрение нульмерное пространство L 0 состоящее из одного нулевого вектора O тогда L 0 L1 L L3 4 Линейная зависимость векторов Будем говорить что вектор раскладывается в линейную комбинацию векторов 1 если его можно представить в виде линейной комбинации α1 1 α α (43) Нулевой вектор раскладывается очевидно по любой системе векторов Мы получим нулевой вектор O если в (43) положим все α 0 Такая линейная комбинация называется тривиальной Определение 410 Систему векторов 1 будем называть линейно независимой если нулевой вектор раскладывается по ней единственным способом - тривиальным те α1 1 α α O (44) при α1 α α 0 Система векторов 1 линейно зависима если (44) получается из неё не единственным способом те если хотя бы один из 77

6 78 α отличается от нуля или α1 α α 0 Свойства линейно-зависимых и линейно-независимых векторов 1 Если среди векторов 1 есть нулевой вектор то вся эта система векторов линейно зависима Система содержащая один вектор линейно зависима если это вектор нулевой 3 Если система векторов линейно зависима то линейно зависима и любая её часть 4 Любая часть линейно независимой системы векторов - линейно независима Предложение 44 Пусть 1 линейно независимая система векторов Если α1 1 α α то это разложение единственно Пусть β1 1 β β другое разложение тогда ( α1 β1) 1 ( α β) ( α β ) O Так как система векторов 1 линейно независима по определению мы должны положить α1 β1 α β α β 0 или α β что доказывает единственность разложения Предложение 45 Система из > 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда когда один из векторов раскладывается по остальным векторам Пусть 1 линейно зависимая система векторов тогда α11 α α O и один из коэффициентов отличен от нуля Пусть это будет например α 1 тогда α α 1 α α 1 1 Геометрический смысл линейной зависимости

7 79 ТЕОРЕМА 41 1 Система из одного вектора линейно зависима если он нулевой Система из двух векторов линейно зависима если эти векторы коллинеарны 3 Система из трёх векторов линейно зависима тогда и только тогда когда эти векторы компланарны 43 Базис Определение 411 Базисом в векторном пространстве L называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая что любой вектор этого пространства по ней раскладывается Из теоремы 41 сразу следует что: 1 В нулевом пространстве базиса нет В одномерном пространстве (прямая линия) базис состоит из одного ненулевого вектора 3 В двухмерном пространстве (плоскость) базис состоит из двух упорядоченных неколлинеарных векторов 4 В трёхмерном пространстве базис состоит из трёх упорядоченных некомпланарных векторов Смысл упорядоченности заключается в том что например и разные базисы Так как векторы базиса линейно независимы то коэффициенты разложения вектора по базису в силу предложения 44 однозначны Эти коэффициенты называют компонентами или координатами вектора в данном базисе Пример Пусть e1 e e3 - базис в пространстве L 3 Тогда вектор L 3 можно представить как линейную комбинацию базисных векторов:

8 80 α1e1 αe α3e3 Числа α 1 α α3 и есть коэффициенты разложения вектора по базису e1 e e3 и это разложение единственно Теперь вектор при заданном базисе e1 e e3 можно записать как ( α1 α α3) Из коэффициентов разложения вектора по данному базису мы можем составить строку ( α α ) или столбец ( ) T 1 α3 α 1 α α3 Таким об- разом мы можем установить взаимно однозначное соответствие между векторами и матрицами состоящими из строк (столбцов) соответствующей длины и линейные комбинации векторов мы теперь можем рассматривать как линейные комбинации строк (столбцов) изученные нами ранее Предложение 46 При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число а при сложении векторов складываются соответствующие координаты Это является прямым следствием представления векторов в виде строк (столбцов) соответствующей длины 44 Системы координат 441 Декартова (аффинная) система координат Зафиксируем в пространстве L 3 точку O и рассмотрим произвольную точку M Определение 41 Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор OM Если в пространстве L 3 выбран базис e1 e e3 то точке M может быть сопоставлена упорядоченная тройка чисел α 1 α α3 - компоненты радиус-вектора OM Определение 413 Декартовой (аффинной) системой координат в

9 пространстве называется совокупность точки O и базиса e1 e e3 Точка O носит название начала координат Прямые прохо-одящие через начало координат в направлении базисных векторов называются осями координат Ось соответствующая базисному вектору e 1 называется осью абсцисс e - осью ординат e 3 - осью аппликат Плоскости проходящие через оси координат называются координатными плоскостями Определение 414 Пусть дана декартова система координат O e1 e e3 Компоненты радиус-вектора OM точки M называются координатами точки M в данной системе координат (рис45) и обозначаются как : OM e e M 1 e3 Здесь - абсцисса - ордината а - аппликата Координаты точки M мы будем обозначать как M ( ) Рассмотрим (рис46) две точки M ( ) и ( ) M в декартовой си- стеме координат O e1 e e3 и найдём компоненты вектора M 1M e 3 M 1 1 O e e 1 Рис 46 M или OM M 1 M1M OM 1M OM OM1 81 В соответствии с предложением 46 мы можем записать: M ( ) 1 M 1 1 e 3 O e e 1 (45) Предложение 47 Чтобы найти координаты вектора надо из коорди- 6 АА Кирсанов 1 Рис 45 1 M 1

10 8 нат его конца вычесть координаты его начала 44 Деление отрезка в данном отношении Найдём координаты точки M которая (рис47) делит отрезок AB в отношении λ µ те AM MB λ µ > 0 λ µ > 0 (46) Так как λ > 0 и µ > 0 векторы AM и MB направлены в одну сторону и мы можем (46) переписать так: µ AM λmb (47) Пусть A ( ) и ( ) а M ( ) B координаты концов отрезка AB координаты точки M в базисе O e1 e e3 Используя формулу (45) разложим равенство (47) по B базису O e1 e e3 : µ M µ ( 1 ) λ( ) λ µ ( 1 ) λ( ) (48) e A 3 µ ( 1 ) λ( ) Учитывая что λ µ 0 приведём систему уравнений (48) к виду: e e O 1 Рис 47 µ λ 1 µ λ 1 λ µ λ µ µ λ 1 (49) λ µ Если одно из чисел λ или µ меньше нуля тогда точка M будет

11 83 находится вне отрезка AB деля его в отношении 443 Декартова прямоугольная система координат Среди множества декартовых (аффинных) систем координат можно выбрать такую систему координат (рис 48) у которой все базисные векторы попарно перпендикулярны и их модули равны единице те e e e 1 e e 1 3 ; 1 e3 λ µ Такой базис называется ортонормированным а система координат - декартовой прямоугольной системой координат (ПСК) В этом случае для ортов принято специальное обозначение: e 1 e e3 (410) а базис O e1 e e3 запишется как O в L 3 теперь можно записать так: (411) Радиус-вектор произвольной точки M ( ) Декартовы (аффинные) системы координат не являются единственными системами координат В зависимости от характера задачи могут быть применены и другие системы координат Рассмотрим наиболее часто употребляемые системы координат 444 Полярная система координат Рис 48 Выделим на плоскости некоторую точку O и назовём её полюсом исходящий из точки O луч OA назовём полярной осью Выберем масштаб для измерения длины Поворот совершаемый около точки O против часовой стрелки будем считать положительным и будем измерять его в радианах 6* O

12 84 M Положение произвольной точки M на плоскости (рис49) можно теперь зафиксировать двумя числами: радиус-вектором OM и углом ϕ между поляр- ϕ O 1 l Рис 49 ной осью и вектором OM Угол ϕ будем называть полярным углом У полюса O а угол ϕ не определён Остальные точки плоскости характеризуются значением > 0 и углом ϕ определённым с точностью до слагаемого кратного π Это означает что пары чисел ( ϕ) и ( ϕ π) где - произвольное целое число представляют собой полярные координаты одной и той же точки Ограничим значения полярного угла в пределах π < ϕ π Выберем на плоскости ПСК поместив её начало в полюс O ось абсцисс совместим с полярной осью и установим соотноше- M ния связывающие полярные координаты с декартовыми Как лег- ϕ ко видеть из рис410 декартовы прямоугольные координаты точки M ( ) выражаются через её O Рис 410 полярные координаты формулами: Здесь os ϕ sn ϕ (41) (413) sn ϕ os ϕ tg ϕ (414)

13 445 Цилиндрическая и сферическая системы координат 85 В пространстве обобщением полярной системы координат являются цилиндрические (рис 411) и сферические (рис 413) системы координат И для тех и для других фигура относительно которой определяется положение точки состоит из полюса O луча OA исхо- h M дящего из O и единичного вектора n перпендикулярного к лучу n n Через точку O проведём плоскость p р M ϕ перпендикулярную вектору n Луч OA будет лежать в этой плоскости Рассмотрим произвольную точку M Опустим из этой точки перпендикуляр M M на плоскость p Цилиндрические координаты точки M - три числа ϕ h Числа ϕ - полярные координаты точки M по отношению к полюсу O и полярной оси OA а h - компонента вектора M M по вектору n Она определена в силу коллинеарности этих векторов (рис 411) Установим соотношения связывающие цилиндрические координаты с ПСК Для этого совместим (рис 41) начало ПСК с полюсом O ось OX совместим с лучом OA плоскость XOY совместитсяся с плоскостью p Из рис 41 видно что точка M ( h) ϕ будет иметь в ПСК координаты: os ϕ sn ϕ (415) h O Рис 411 А l Рис 41

14 86 Замечание Так как первые две цилиндрические координаты и ϕ являются полярными координатами проекции M точки M на плоскость p то к этим двум координатам относятся замечания и выводы сделанные в предыдущем пункте Сферические координаты точки - три числа ( ϕθ) Они определяются (рис 413) так: OM А ϕ θ Рис 413 M ( ϕθ) в ПСК будут выглядеть так: Как и для цилиндрических координат ϕ - угол вектора O M с лучом OA (долгота) а θ - угол вектора os θos ϕ OM (широта) с плоскостью p Координаты произвольной точки os θsn ϕ (416) sn θ 45 Преобразование координат 451 Параллельный перенос ПСК на плоскости До сих пор мы пользовались конкретно выбранным базисом Однако ничто не мешает нам выбрать другой базис и в связи с этим нас заинтересует вопрос о переходе от одного базиса к другому Рассмотрим для начала наиболее простой случай параллельного переноса (рис414) начала ПСК в некоторую точку O ( α β) Пусть M ( ) - координаты точки M в ПСК O а M ( ) - координаты этой же точки в ПСК O Из рис414 сразу видно что OM OO O M

15 или α β (417) Равенства (417) позволяют нам вычислить координаты точки в ПСК O если известны её координаты в ПСК O Попробуем записать систему (417) в матричной форме Для этого надо посмотреть на (417) как на систему линейных уравнений имея в виду что α и β - коэффициенты при единице Итак: 1 0 α β Последнее уравнение есть просто числовое равенство 1 1 которое нам нужно лишь для составления матрицы A перехода от O к O Полученную систему из трёх уравнений мы теперь можем записать в матричной форме: β O α β (418) 1 1 O α Рис 414 M 87 где 1 0 α A 0 1 β - матрица перехода от O к O Обратные формулы очевидны: α β (419)

16 88 Формулы (417) и (419) легко распространить на случай трёхмерного пространства Рассмотрим теперь как ведёт себя отрезок M 1M при переходе от одной ПСК к другой Пусть M 1 ( 1 1 ) и ( ) концов заданного отрезка в ПСК O а M ( ) и M ( ) координаты того же отрезка в новой ПСК M - координаты O Так как отрезок M 1M в обоих ПСК один и тот же мы можем записать: или в координатах M 1M M1M ( α) ( 1 α) 1 ( β) ( 1 β) Мы видим что разность координат вектора M 1M при параллельном переносе ПСК не меняются Это говорит о том что вектор является инвариантной величиной те величиной не зависящей от выбора СК что собственно и позволяет нам его изучать 45 Поворот ПСК в плоскости Рассмотрим поворот ПСК O вокруг точки O (рис 415) на угол ϕ против часовой стрелки в результате которого старая ПСК перейдёт в новую ПСК O Выясним сначала как будут преобразовываться орты Из рис 415 ясно: os ϕ sn ϕ sn ϕ os ϕ В матричной форме это можно записать так: os ϕ sn ϕ (40) sn ϕ os ϕ или

17 89 где e A e (41) e e столбцы составленные из базисных векторов а os ϕ sn ϕ A (4) sn ϕ os ϕ матрица преобразования базисных векторов при повороте ПСК на угол ϕ Из (41) сразу можно получить выражение старых базисных векторов через новые: или e A 1 e (43) os ϕ sn ϕ Рис 415 sn ϕ ϕ os (44) 1 T Замечание Сравнивая (40) и (44) мы видим что A A Такие матрицы называются ортогональными Их изучением мы займёмся позже Рассмотрим теперь как ведёт себя радиус-вектор OM при по-

18 90 M Рис 416 вороте ПСК на угол ϕ (рис 416) В силу инвариантности вектора имеем: ( os ϕ sn ϕ ) ( sn ϕ os ϕ ) os ϕ sn ϕ sn ϕ os ϕ или ( ) ( ) Сравнивая коэффициенты при базисных векторах получим: os ϕ sn ϕ sn ϕ os ϕ (45) В матричной форме эти равенства запишутся так: Здесь и os ϕ sn ϕ sn ϕ os ϕ T A (46) координаты радиус-вектора OM до и после поворота ПСК на угол ϕ Объединяя параллельный перенос и поворот мы можем из формул (417) и (46) составить общую формулу: os ϕ sn ϕ α sn ϕ os ϕ β (47) Уравнения (47) с учётом (418) можно переписать в матричной форме:

19 os ϕ sn ϕ 1 0 sn ϕ os ϕ 0 91 α β (48) Произведения векторов Операция перемножения двух векторов с одной стороны должна подчиняться в основном тем же законам что и операция умножения чисел с другой стороны она должна обобщать распространённые в геометрии и физике конкретные операции Оказывается что и стой и с другой точек зрения должны существовать две операции умножения двух векторов Одна даёт в результате число - скаляр и поэтому называется скалярным умножением Другая даёт в результате вектор и потому называется векторным умножением двух векторов В качестве примеров мы можем рассмотреть понятие работы как произведения двух векторных величин - силы F и перемещения s в результате чего получается скалярная величина - работа A В физике известна и другая физическая величина - момент силы L которая является вектором и получается как результат умножения двух векторных величин: силы F и плеча силы R 461 Скалярное произведение векторов Под углом между векторами и будем понимать угол между этими векторами приведёнными в общее начало (рис 417) Если угол прямой будем считать векторы и перпендикулярными (ортогональными) друг к другу и обозначать это как Так как ( π ϕ) os ϕ os

20 9 мы можем составить выражение Рис 417 определяющее некоторое число ( ) Определение 415 Число ( ) ( ) os ϕ (49) где а однозначно определяемое формулой (49) называется скалярным произведением векторов и В различной литературе можно встретить такие обозначения скалярного произведения: ( ) Мы будем придерживаться третьего варианта Равенство скалярного произведения нулю По определению скалярного произведения равенство ( ) 0 равносильно равенству os ϕ 0 А это означает что либо 0 либо 0 либо os ϕ 0 те либо O либо O либо Если считать что нулевой вектор перпендикулярен любому ненулевому вектору равенство нулю скалярного произведения мы можем сформулировать так: Предложение 48 Условием ортогональности двух векторов и является равенство нулю их скалярного произведения: ( ) 0 (430) Мы видим что скалярное произведение двух векторов в алгебраическом отношении существенно отличается от произведения двух

21 чисел: из равенства скалярного произведения нулю уже не вытекает равенство нулю одного из сомножителей Тем не менее алгебраические законы умножения чисел полностью переносятся на скалярное умножение векторов Законы скалярного умножения Из определения скалярного произведения (49) следует что: 1 ( ) ( ) - закон переместительности (коммутативности); ( ( ) ( ) ( ) - распределительный закон; 3 λ ( ) ( λ ) ( λ ) - закон сочетательности относительно скалярных множителей; 4 ( ) os 0 o для любых ; 5 ( ) > 0 если O Скалярное произведение имеет смысл если выбрана единица измерения длин векторов удовлетворяют равенствам: Векторы ортонормированного базиса ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 93 Предложение 9 Если базисные векторы попарно ортогональны то компоненты любого вектора находятся по формуле: α1e1 αe α3e3 (431) где ( e1 ) ( e ) ( e3 ) α1 α e α e 3 e (43) 1 В частности если базис ортонормирован то: ; ( ) ( ) ( ) 3

22 94 ( ) ( ) ( ) (433) или (434) ТЕОРЕМА 4 Если базис ортонормированный то для любых векторов ( ) и ( ) имеет место равенство: (435) ( ) Действительно подставляя в (435) вместо векторов и их разложения (434) получим: ( ) ( ) Теорема 4 позволяет написать выражение длины вектора через его компоненты в ПСК: ( ) или (436) а также выражение для косинуса угла между векторами ( ) os ϕ (437) Используя формулу (436) можно получить формулу для вычисления расстояния между двумя точками M ( ) и ( ) M ( ) ( ) ( ) 1M M : (438) 46 Проекция вектора на произвольную прямую Скалярное произведение тесно связано с понятием проекции вектора Пусть нам задан вектор AB и некоторая прямая l Опу-

23 стим из точек A и B перпендикуляры на прямую и обозначим их основания A и B (рис 418) Вектор 95 A B будем называть век- торной проекцией вектора AB на прямую l и будем обозначать как: A B Пр AB Из определения сразу следует что проекции равных векторов на параллельные прямы равны между собой Зададим на l ненулевой вектор e тогда l A B A B αe (439) Представим вектор AB как AB A B B B α e где вектор B B e Тогда AB e αe e α e e e α e e α e или ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α ( AB e ) e Подставляя найденное значение α в (439) получим ( AB e) Прl AB e (440) e Приведём без доказательств несколько свойств векторных проекций: а) проекция вектора на прямую l равна произведению модуля вектора косинус угла ϕ между вектором и прямой те Пр l os ϕ ; (441) б) равные векторы имеют равные проекции на одну и туже пря- Рис 418 B

24 96 мую; в) проекции двух взаимно противоположных векторов на одну и ту же прямую отличаются только знаком: Прl ( ) Прl ( ) ; г) проекция суммы векторов на какую-либо прямую равна сумме проекций слагаемых векторов на эту прямую; д) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же прямую; е) проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации их проекций Пример Найти проекцию вектора 3 на вектор ( ) 3 1 ( ) 1 Пр 1 ( ) Ориентация прямой плоскости и пространства Выберем (рис 419) на прямой l ненулевой вектор e 1 который мы можем принять в качестве базисного вектора Прямую линию l в этом случае будем считать направленной прямой (осью) Все базисы на прямой очевидно разделятся на два класса: базисные векторы из одного класса направлены e O Рис 419 (рис 40) одинаково а из другого - противоположно Если из двух классов базисов выбран один то говорят что прямая l ориентирована Базисы выбранно- e го класса назовём положительно ориентированными или положительными Два базиса на плоскости одинаково ориентированы если в обеих базисах (рис O e Рис 40 O

25 41) кратчайший поворот от e 1 к e производится в одну сторону: e 1 e и e 1 e - (рис 41) ориентированы одинаково а e 1 e и e 1 e - (рис 4) ориентированы противоположно Плоскость будет ориентирована если из двух классов базисов выбран один Ориентацию базиса на плоскости принято считать положительной если кратчайший поворот от e 1 к e произво-одится против часовой стрелки (рис 41) 97 Базис e1 e e3 в пространстве (рис 43) будем называть правым если с конца вектора e 3 кратчайший поворот от e 1 к e совершается против часовой стрелки В противном случае (рис 44) базис e1 e e3 будем называть левым Пространство называется ориентированным если из двух классов базисов выбран один Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными Мы будем всегда придерживаться правой ориентации пространства считая положительными правые базисы и будем всегда помнить о том что ничто не мешает нам 7 АА Кирсанов

26 98 выбрать левый базис и его ориентацию считать положительно ориентированной - всё это относительно Если пространство ориентировано то ориентацию любой плоскости (рис 45) в нём можно задать указав ориентацию прямой При этом положительным базисом на плоскости будем считать такой который вместе с положительным базисом n на прямой составляет положительный базис пространства n В этом случае говорят что ориентация плоскости определена нормальным вектором n В ориентированном пространстве аналогично можно задать ориентацию прямой линии Для этого нужно задать ориентацию плоскости перпендикулярной к этой прямой Тогда положительным базисом на прямой (рис 46) будет такой базис который вместе с базисными векторами n плоскости составляет положительный базис пространства 464 Площадь ориентированного параллелограмма объём ориентированного параллелепипеда Пусть на прямой линии выбран базисный вектор те прямая ориентирована Тогда длине любого ненулевого вектора на данной прямой может быть приписан знак () если направление вектора совпадает с направлением базисного вектора и знак (-) в противном случае Рассмотрим параллелограмм на плоскости (рис 47) образованный упорядоченной парой векторов e 1 e приведённых к общему началу Если векторы образуют правый базис на плоскости мы

27 будем приписывать площади параллелограмма знак () если нет - (- ) Рассмотрим теперь параллелепипед (рис 48) построенный на упорядоченных векторах e 1 e e 3 приведённых к общему началу Если ориентация векторов 99 e 1 e e 3 образующих параллелепипед образует правый базис - припишем объему параллелепипеда знак () если нет - (-) 465 Векторное произведение двух векторов Как скалярное произведение возникает из понятия работы так векторное произведение двух векторов возникает из понятия например момента силы Определение 416 Векторным произведением двух векторов и называется вектор N который: а) имеет модуль N численно равный площади ориентированного параллелограмма построенного на векторах и ; б) направлен перпендикулярно к перемножаемым векторам в ту 7*

28 100 сторону откуда наименьший совмещающий их поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки Векторное произведение двух векторов и обозначается од- ним из следующих способов: [ ] [ ] (44) Мы будем придерживаться третьего варианта Из геометрии известно (рис 49) что площадь параллелограмма численно равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними Поэтому мы можем составить формулу для модуля векторного произведения: N sn ϕ (443) Условие равенства нулю векторного произведения Равенство нулю векторного произведения те [ ] O равносильно равенству нулю его модуля: sn ϕ 0 Это равносильно тому что либо o либо 0 либо sn ϕ 0 те либо O либо O либо они параллельны Имея в виду что нулевой вектор O коллинеарен любому вектору мы можем сформулировать условие равенства нулю векторного произведения так: Определение 417 Векторное произведение двух векторов равно нулю если эти векторы коллинеарны Замечание Векторное произведение вектора самого на себя всегда равно нулевому вектору: [ ] O

29 101 Законы векторного умножения Из определения 416 векторного произведения сразу следует что 1 [ ] [ ] те векторное умножение антикоммутативно [( ) ] [ ] [ ] - распределительный закон 3 [ λ ] λ[ ] - сочетательный закон относительно скалярных множителей Векторные произведения базисных векторов в ПСК Из свойств векторного произведения сразу следует что: [ ] O [ ] O [ ] O (444) При рассмотрении векторных произведений разноимённых ортов существенным является ориентация базиса в пространстве Предположим что нам задана правая (рис 430) ПСК Учитывая что базисные векторы нормированы (их модули равны единице) получим (рис 431): [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (445) Рис 430 Векторное произведение двух векторов в координатной форме

30 10 Пусть два вектора в ПСК имеют вид: Составим векторное произведение [ ] в координатной форме: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] или [ ] ( ) ( ) ( ) Нетрудно увидеть что коэффициенты при ортах есть определители второго порядка: [ ] Последнее равенство есть разложение определителя третьего порядка по первой строке элементами которой являются орты те: [ ] (446) 47 Произведения трёх векторов 471 Простейшее произведение трёх векторов Простейшее произведение трёх векторов получается Рис 431

31 103 если умножить два вектора скалярно и результат умножить на третий вектор те ( ) λ где ( λ ) Ясно что в результате мы получим вектор коллинеарный с вектором Ясно так же что ( ) ( ) если векторы и не коллинеарны 47 Векторно-векторное произведение трёх векторов Векторно-векторное произведение трёх векторов получается век- торным умножением векторного произведения двух векторов [ ] на третий вектор при этом мы очевидно получим снова вектор который обозначим как R : R [ ] ] Так как вектор R есть векторное произведение векторов N [ ] и вектора он будет перпендикулярен (рис 43) как век- N так и вектору тору [ ] Из перпендикулярности вектора R к векторному произведению N [ ] следует что он лежит в плоскости векторов и и разлагается по нам в линейную комбинацию вида: R λ µ (447) Так как R - их скалярное произведение равно нулю: ( R ) ( λ µ ) ) λ( ) µ ( ) 0 или

32 104 N [ ] R [ ] [ ] Рис 43 или µ λ ( ) ( ) Обозначив эти равные отношения через σ получим: µ λ ( ) ( ) σ ( µ σ ) ( σ ) λ Подставляя эти выражения в (447) получим: R σ (448) { ( ) ( )} Определим число σ Для этого введём ПСК совместив ось OX с вектором Ось OY перпендикулярна оси OX и лежит в плоско-о- сти векторов и (рис 43) Разложим векторы и по ортам выбранной нами ПСК: (449) Вычислим теперь R [ ] ] [ N ] Так как

33 105 [ ] N то [ ] [ ] [ ] N R 0 0 (450) Вычислим теперь R по формуле (448) Здесь в соответствии с (449) имеем: ( ) ( ) Тогда ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } σ σ R { } σ { } σ (451) Сравнивая (450) и (451) получим: 1 σ Окончательно уравнение (448) запишется так: ( ) ( ) R или [ ] [ ] ( ) ( ) (45 Рассмотрим теперь произведение [ ] [ ] Из свойств векторного умножения следует что: [ ] [ ] [ ] [ ]

34 106 или с учётом (*) или [ [ ] { ( ) ( ) } [ [ ] ( ) ( ) (453) Последнее уравнение хорошо запоминается как абцбац-цаб Заметим что [ ] ] [ [ ] (454) 473 Векторно-скалярное (смешанное) произведение трёх векторов Векторно-скалярное (смешанное) произведение трёх векторов есть произведение вида ([ ] ) которое мы будем в дальнейшем обозначать как ( ) Очевидно что смешанное произведение трёх векторов представляет собой скаляр Выясним геометрический смысл смешанного произведения Для этого (рис 433) построим на данных векторах и параллелепипед Из рисунка видно что площадь ориентированного параллелограмма построенного на векторах и есть: S sn [ ] ψ Тогда объём ориентированного параллелепипеда построенного на данных векторах есть: V Sh S os ϕ S или ( )

35 V ( ) (455) Определение 418 Векторноскалярное произведение трёх векторов образующих правую систему равно объёму параллелепипеда построенного на этих векторах S [ ] h Рис Свойства смешанного произведения векторов 1 Смешанное произведение трёх векторов не зависит от группировки множителей: ([ ] ) ( [ ] ) - свойство сочетательности При перестановке множителей не нарушающей порядка их следования (рис 434) смешанное произведение не меняется Если порядок следования множителей нарушается - смешанное произведение меняет свой знак ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - свойство круговой переместительности 3 Скалярный множитель можно выносить за знак смешанного произведения: ( λ ) λ( ) - свойство сочетательности относительно скалярных множителей Равенство нулю смешанного произведения Исходя из геометрического смысла смешанного произведения можно сразу сказать что смешанное произведение трёх векторов равно нулю если равен нулю объём построенного на этих векторах парал-

36 108 лелепипеда Это возможно если векторы компланарны или имеются два одинаковых вектора те ( ) 0 Определение 419 Условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения Смешанное произведение трёх векторов в ПСК Рассмотрим векторы и в ПСК: (456) Вычислим смешанное произведение [ ] ( ) с учётом (455): [ ] [ ] ( ) Последнее равенство есть не что иное как разложение определителя по первой строке то смешанное произведение в ПСК имеет вид: Рис 434

37 109 ( ) (457) Из уравнения (457) сразу можем написать условие компланарности трёх векторов в ПСК: 0 (458)

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее