Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Аналитическая геометрия. Лекция 1.5"

Транскрипт

1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 к.ф.-м.н. Меньшова И.В.

2 Векторное произведение векторов АГ, Модуль 1, Лекция / 42

3 Векторное произведение векторов Определение Три некомпланарных вектора a, b, c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

4 Векторное произведение векторов Определение Так как три некомпланарных вектора образуют базис в V 3, то также говорят о правых и левых базисах. Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е. все базисы в V 3 разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, называется его ориентацией. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

5 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет условиям: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

6 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет условиям: 1) перпендикулярен векторам a и b, т.е. c a и c b; АГ, Модуль 1, Лекция / 42

7 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет условиям: 2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, т.е. c = a b sin( a, b); АГ, Модуль 1, Лекция / 42

8 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет условиям: 3) векторы a, b и c образуют правую тройку. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

9 Векторное произведение векторов Определение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет условиям: 3) векторы a, b и c образуют правую тройку. Обозначение: a b или [ a, b]. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

10 Векторное произведение векторов Свойства векторного АГ, Модуль 1, Лекция / 42

11 Векторное произведение векторов Свойства векторного 1. При перестановке множителей векторное произведение меняет знак на противоположный, то есть a b = ( b a). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

12 Векторное произведение векторов Свойства векторного 1. При перестановке множителей векторное произведение меняет знак на противоположный, то есть a b = ( b a). 2. λ( a b) = (λ a) b = a ( λ b ), где λ R. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

13 Векторное произведение векторов Свойства векторного 3. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0, то есть a b a b = 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

14 Векторное произведение векторов Свойства векторного 3. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0, то есть a b a b = a ( b + c) = a b + a c. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

15 Выражение векторного через координаты векторов АГ, Модуль 1, Лекция / 42

16 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

17 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

18 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Тогда, используя свойства векторного, перемножая эти векторы как многочлены, найдем, что АГ, Модуль 1, Лекция / 42

19 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Тогда, используя свойства векторного, перемножая эти векторы как многочлены, найдем, что a b АГ, Модуль 1, Лекция / 42

20 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Тогда, используя свойства векторного, перемножая эти векторы как многочлены, найдем, что a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) АГ, Модуль 1, Лекция / 42

21 Выражение векторного через координаты векторов Пусть векторы a и b разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Тогда, используя свойства векторного, перемножая эти векторы как многочлены, найдем, что a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = = a y a z i a x a z j + a x a y k. b y b z b x b z b x b y АГ, Модуль 1, Лекция / 42

22 Векторное произведение векторов Или полученную формулу записывают короче в виде: a i j k b = a x a y a z. b x b y b z (раскладывать можно только по первой строке!). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

23 Некоторые приложения векторного АГ, Модуль 1, Лекция / 42

24 Некоторые приложения векторного 1. Установление коллинеарности векторов. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

25 Некоторые приложения векторного 1. Установление коллинеарности векторов. Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

26 Некоторые приложения векторного 1. Установление коллинеарности векторов. Пример. Выяснить, лежат ли точки A (4; 2; 6), B (1; 8; 2), C ( 4; 3; 2) на одной прямой? АГ, Модуль 1, Лекция / 42

27 Некоторые приложения векторного Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

28 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Составим векторы AB и AC : АГ, Модуль 1, Лекция / 42

29 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Составим векторы AB и AC : AB = (1 4; 8 ( 2); 2 6) = ( 3; 10; 8), AC = ( 4 4; 3 ( 2); 2 6) = ( 8; 5; 4). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

30 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Составим векторы AB и AC : AB = (1 4; 8 ( 2); 2 6) = ( 3; 10; 8), AC = ( 4 4; 3 ( 2); 2 6) = ( 8; 5; 4). 2. Найдем векторное произведение этих векторов: AB i j k AC = = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

31 Некоторые приложения векторного = i j k = = 0 i + 52 j + 65 k 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

32 Некоторые приложения векторного = i j k = = 0 i + 52 j + 65 k 0. Это значит, что векторы AB и AC - неколлинеарны и, следовательно, точки A, B и C не могут лежать на одной прямой. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

33 Некоторые приложения векторного = i j k = = 0 i + 52 j + 65 k 0. Это значит, что векторы AB и AC - неколлинеарны и, следовательно, точки A, B и C не могут лежать на одной прямой. Ответ: не лежат. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

34 Некоторые приложения векторного 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

35 Некоторые приложения векторного 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. По определению векторного a b = a b sin( a, b). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

36 Некоторые приложения векторного 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. По определению векторного a b = a b sin( a, b). Эту формулу можно использовать для нахождения площади параллелограмма и треугольника, АГ, Модуль 1, Лекция / 42

37 Некоторые приложения векторного 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. По определению векторного a b = a b sin( a, b). Эту формулу можно использовать для нахождения площади параллелограмма и треугольника, т.е. Sпар = a b АГ, Модуль 1, Лекция / 42

38 Некоторые приложения векторного 2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника. По определению векторного a b = a b sin( a, b). Эту формулу можно использовать для нахождения площади параллелограмма и треугольника, т.е. Sпар = a b и, значит, S = 1 2 a b. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

39 Некоторые приложения векторного Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

40 Некоторые приложения векторного Пример. Найти площадь треугольника с вершинами A (5; 2; 1), B (3; 1; 2), C (4; 2; 2). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

41 Некоторые приложения векторного Пример. Найти площадь треугольника с вершинами A (5; 2; 1), B (3; 1; 2), C (4; 2; 2). Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

42 Некоторые приложения векторного Пример. Найти площадь треугольника с вершинами A (5; 2; 1), B (3; 1; 2), C (4; 2; 2). Решение. 1. Найдем векторы AB и AC : АГ, Модуль 1, Лекция / 42

43 Некоторые приложения векторного Пример. Найти площадь треугольника с вершинами A (5; 2; 1), B (3; 1; 2), C (4; 2; 2). Решение. 1. Найдем векторы AB и AC : AB = (3 5; 1 2; 2 ( 1)) = ( 2; 1; 1), AC = (4 5; 2 2; 2 ( 1)) = ( 1; 4; 3). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

44 Некоторые приложения векторного 2. Вычислим векторное произведение: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

45 Некоторые приложения векторного 2. Вычислим векторное произведение: AB AC АГ, Модуль 1, Лекция / 42

46 Некоторые приложения векторного 2. Вычислим векторное произведение: AB i j k AC = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

47 Некоторые приложения векторного 2. Вычислим векторное произведение: AB i j k AC = = i j k АГ, Модуль 1, Лекция / 42

48 Некоторые приложения векторного 2. Вычислим векторное произведение: AB i j k AC = = i j k = = 7 i + 7 j + 7 k. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

49 Некоторые приложения векторного 3. S = 1 2 AB AC = = 7 3(кв.ед). 2 Ответ: S = 2 7 3(кв.ед). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

50 Некоторые приложения векторного Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

51 Некоторые приложения векторного Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = m + 2 n и b = 2 m + n, где m и n - единичные векторы, образующие угол 30. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

52 Некоторые приложения векторного Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

53 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

54 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b АГ, Модуль 1, Лекция / 42

55 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) АГ, Модуль 1, Лекция / 42

56 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) АГ, Модуль 1, Лекция / 42

57 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) АГ, Модуль 1, Лекция / 42

58 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

59 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). 2. Вычислим модуль векторного : АГ, Модуль 1, Лекция / 42

60 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). 2. Вычислим модуль векторного : a b АГ, Модуль 1, Лекция / 42

61 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). 2. Вычислим модуль векторного : a b = 3( m n) АГ, Модуль 1, Лекция / 42

62 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). 2. Вычислим модуль векторного : a b = 3( m n) = 3 m n sin 30 = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

63 Некоторые приложения векторного Решение. 1. Найдем векторное произведение: a b = ( m + 2 n) (2 m + n) = = 2( m m) + m n + 4( n m) + 2( n n) = = m n 4( m n) = 3( m n). 2. Вычислим модуль векторного : a b = 3( m n) = 3 m n sin 30 = = /2 = 1, 5. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

64 Некоторые приложения векторного 3. Sпар = a b = 1, 5. Ответ: Sпар = 1, 5. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

65 Некоторые приложения векторного 3. Определение момента силы относительно точки. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

66 Некоторые приложения векторного 3. Определение момента силы относительно точки. Пусть в точке A приложена сила F = AB и пусть O некоторая точка пространства. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

67 Некоторые приложения векторного 3. Определение момента силы относительно точки. Пусть в точке A приложена сила F = AB и пусть O некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки O называется вектор m, который проходит через точку O и: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

68 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; АГ, Модуль 1, Лекция / 42

69 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо АГ, Модуль 1, Лекция / 42

70 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m АГ, Модуль 1, Лекция / 42

71 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m = F ON АГ, Модуль 1, Лекция / 42

72 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m = F ON = F r sin ϕ АГ, Модуль 1, Лекция / 42

73 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m = F ON = F r sin ϕ = = F OA sin( F, OA); АГ, Модуль 1, Лекция / 42

74 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m = F ON = F r sin ϕ = = F OA sin( F, OA); в) образует правую тройку с векторами OA и AB. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

75 Некоторые приложения векторного а) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; б) численно равен произведению силы на плечо m = F ON = F r sin ϕ = = F OA sin( F, OA); в) образует правую тройку с векторами OA и AB. Следовательно, m = OA F. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

76 Некоторые приложения векторного Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

77 Некоторые приложения векторного Пример. Сила F = (2, 4, 5) приложена к точке A(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки O(3, 2, 1). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

78 Некоторые приложения векторного Пример. Сила F = (2, 4, 5) приложена к точке A(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки O(3, 2, 1). Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

79 Некоторые приложения векторного Пример. Сила F = (2, 4, 5) приложена к точке A(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки O(3, 2, 1). Решение. Найдем вектор OA АГ, Модуль 1, Лекция / 42

80 Некоторые приложения векторного Пример. Сила F = (2, 4, 5) приложена к точке A(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки O(3, 2, 1). Решение. Найдем вектор OA = (4 3; 2 2; 1 3) = (1; 4; 4). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

81 Некоторые приложения векторного Пример. Сила F = (2, 4, 5) приложена к точке A(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки O(3, 2, 1). Решение. Найдем вектор OA = (4 3; 2 2; 1 3) = (1; 4; 4). Тогда момент m силы F относительно точки O равен: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

82 Некоторые приложения векторного m = OA F АГ, Модуль 1, Лекция / 42

83 Некоторые приложения векторного m = OA F = i j k АГ, Модуль 1, Лекция / 42

84 Некоторые приложения векторного m = OA i j k F = = = i j k АГ, Модуль 1, Лекция / 42

85 Некоторые приложения векторного m = OA i j k F = = = i j k = = 36 i 13 j + 4 k АГ, Модуль 1, Лекция / 42

86 Некоторые приложения векторного m = OA i j k F = = = i j k = = 36 i 13 j + 4 k = ( 36; 13; 4). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

87 Некоторые приложения векторного m = OA i j k F = = = i j k = = 36 i 13 j + 4 k = ( 36; 13; 4). Ответ: m = ( 36; 13; 4). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

88 Смешанное произведение векторов АГ, Модуль 1, Лекция / 42

89 Смешанное произведение векторов Определение Смешанным произведением трех векторов ( a, b и c называется число, равное a ) b c - скалярному произведению векторного первых двух векторов и третьего вектора. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

90 Смешанное произведение векторов Определение Смешанным произведением трех векторов ( a, b и c называется число, равное a ) b c - скалярному произведению векторного первых двух векторов и третьего вектора. Обозначение: a b c. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

91 Смешанное произведение векторов Геометрическая интерпретация смешанного АГ, Модуль 1, Лекция / 42

92 Смешанное произведение векторов Геометрическая интерпретация смешанного На трех некомпланарных векторах a, b и c построим параллелепипед как на ребрах, выходящих из одной вершины. Тогда объем построенного параллелепипеда будет численно равен значению смешанного векторов a, b, c и взятому со знаком «плюс», если тройка векторов правая, со знаком «минус», если тройка левая. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

93 Смешанное произведение векторов Свойства смешанного. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

94 Смешанное произведение векторов Свойства смешанного. 1. ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b (циклическая перестановка). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

95 Смешанное произведение векторов Свойства смешанного. 1. ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b (циклическая перестановка). 2. ( a b) c = a ( b c) (перестановка местами знаков векторного и скалярного ). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

96 Смешанное произведение векторов Свойства смешанного. 1. ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b (циклическая перестановка). 2. ( a b) c = a ( b c) (перестановка местами знаков векторного и скалярного ). 3. a b c = a c b; a b c = b a c; a b c = c b a (перестановка двух векторов). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

97 Смешанное произведение векторов Свойства смешанного. 1. ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b (циклическая перестановка). 2. ( a b) c = a ( b c) (перестановка местами знаков векторного и скалярного ). 3. a b c = a c b; a b c = b a c; a b c = c b a (перестановка двух векторов). 4. ( a b) c = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b и c компланарны. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

98 Выражение смешанного через координаты Пусть векторы a, b, c разложены по базису i, j, k: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

99 Выражение смешанного через координаты Пусть векторы a, b, c разложены по базису i, j, k: a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k, c = c x i + c y j + c z k. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

100 Смешанное произведение векторов Тогда, используя свойства смешанного, найдем, что a b c АГ, Модуль 1, Лекция / 42

101 Смешанное произведение векторов Тогда, используя свойства смешанного, найдем, что a ( b c = a ) b c АГ, Модуль 1, Лекция / 42

102 Смешанное произведение векторов Тогда, используя свойства смешанного, найдем, что a ( b c = a ) b c = i j k = a x a y a z (c x i + c y j + c z k) b x b y b z АГ, Модуль 1, Лекция / 42

103 Смешанное произведение векторов Тогда, используя свойства смешанного, найдем, что a ( b c = a ) b c = i j k = a x a y a z (c x i + c y j + c z k) = b x b y b z ( a = y a z i a x a z j + a ) x a y k b y b z b x b z b x b y (c x i + c y j + c z k) = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

104 Смешанное произведение векторов = a y b y a z b z c x a x b x a z b z c y + a x b x a y b y c z АГ, Модуль 1, Лекция / 42

105 Смешанное произведение векторов = = a y a z b y b z c x a x b x a x a y a z b x b y b z c x c y c z. a z b z c y + a x b x a y b y c z = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

106 Смешанное произведение векторов Тогда a a x a y a z b c = b x b y b z c x c y c z. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

107 Некоторые приложения смешанного АГ, Модуль 1, Лекция / 42

108 Некоторые приложения смешанного 1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

109 Некоторые приложения смешанного 1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Если a b c > 0, то тройка a, b, c - правая, если a b c < 0, то тройка a, b, c - левая. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

110 Смешанное произведение векторов 2. Установление компланарности векторов. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

111 Смешанное произведение векторов 2. Установление компланарности векторов. a b c = 0 векторы a, b, c - компланарны. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

112 Смешанное произведение векторов Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

113 Смешанное произведение векторов Пример. Выяснить, лежат ли точки M 1 (2; 5; 3), M 2 (3; 7; 4), M 3 ( 5; 5; 1), M 4 ( 4; 3; 0) в одной плоскости? АГ, Модуль 1, Лекция / 42

114 Смешанное произведение векторов Решение: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

115 Смешанное произведение векторов Решение: 1. Найдем векторы M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

116 Смешанное произведение векторов Решение: 1. Найдем векторы M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M 4. M 1 M 2 = (3 2; 7 5; 4 3) = (1; 2; 1), M 1 M 3 = ( 5 2; 5 5; 1 3) = ( 7; 0; 4), M 1 M 4 = ( 4 2; 3 5; 0 3) = ( 6; 8; 3). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

117 Смешанное произведение векторов 2. Вычислим смешанное произведение векторов M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

118 Смешанное произведение векторов 2. Вычислим смешанное произведение векторов M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M M 1 M 2 M 1 M 3 M 1 M 4 = = АГ, Модуль 1, Лекция / 42

119 Смешанное произведение векторов Отсюда, на основании свойства 4 смешанного делаем вывод, что векторы M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M 4 не лежат в одной плоскости, а значит, и точки M 1, M 2, M 3, M 4 не лежат в одной плоскости. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

120 Смешанное произведение векторов 3. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды АГ, Модуль 1, Лекция / 42

121 Смешанное произведение векторов 3. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Согласно геометрическому смыслу смешанного векторов a, b, c объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен V = a b c. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

122 Смешанное произведение векторов 3. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Согласно геометрическому смыслу смешанного векторов a, b, c объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен V = a b c. А объем треугольной пирамиды, построенной на этих же вектораv 1 = 1 6 V = 1 6 a b c. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

123 Смешанное произведение векторов 3. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Согласно геометрическому смыслу смешанного векторов a, b, c объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен V = a b c. А объем треугольной пирамиды, построенной на этих же вектораv 1 = 1 6 V = 1 6 a b c. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

124 Смешанное произведение векторов Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

125 Смешанное произведение векторов Пример. Найти объем пирамиды, если заданы ее вершины: A (1; 1; 1), B (0; 5; 4), C (2; 3; 4), D (5; 4; 6). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

126 Смешанное произведение векторов Решение: АГ, Модуль 1, Лекция / 42

127 Смешанное произведение векторов Решение: 1. Найдем координаты векторов AB, AC, AD. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

128 Смешанное произведение векторов Решение: 1. Найдем координаты векторов AB, AC, AD. AB = ( 1; 6; 5), AC = (1; 2; 3), AD = (4; 3; 5). АГ, Модуль 1, Лекция / 42

129 Смешанное произведение векторов 2. Вычислим смешанное произведение векторов AB, AC, AD. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

130 Смешанное произведение векторов 2. Вычислим смешанное произведение векторов AB, AC, AD. AB AC AD = = 18. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

131 Смешанное произведение векторов Тогда объем параллелепипеда, построенного на трех рассматриваемых векторах, равен V = 18 = 18 куб. ед., а искомый объем треугольной пирамиды ABCD равен V 1 = 1 18 = 3 куб. ед. 6 Ответ: Vпир = 3 куб.ед. АГ, Модуль 1, Лекция / 42

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Найдем выражение для смешанного произведения векторов через их координаты: ш зв

Найдем выражение для смешанного произведения векторов через их координаты: ш зв Смешанное произведение. -2 Определение.Смешанным произведением трех х векторов век, и называется число, равное с, т.е. скалярному рн век вк, произведению векторного произведения первых ы двух векторов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее