Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости."

Транскрипт

1 Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии является метод координат. Метод координат позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие пару чисел их координат и каждой точке пространства тройку чисел. С помощью координат можно учесть все точки плоскости и пространства, что позволяет соединить в единое целое геометрию и анализ. Аналитическая геометрия решает две основные задачи: ) Известно уравнение некоторого геометрического места точек в определенной системе координат. Требуется установить каким свойством обладают точки этого геометрического места. ) Обратная задача: задано некоторое геометрическое место точек, обладающих определенным свойством. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты этого геометрического места точек относительно какой-либо системы координат. Прежде чем рассматривать примеры задач, рассмотрим способы задания линии на плоскости.. Способы задания линии на плоскости. Уравнение линии в декартовой системе координат Опр. Уравнение F(,)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии, а координаты любой точки, не принадлежащей линии, уравнению не удовлетворяют. Из этого определения следует решение простой задачи: выяснить, лежит ли данная точка на заданной линии. Если при подстановке координат точки в уравнение линии получается числовое равенство (тождество), то точка лежит на данной линии; если тождество не получается, то точка линии не принадлежит. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат (рис. ). Для того, чтобы составить уравнение некоторого геометрического места точек (линии L), нужно взять любую точку М (х, у) этого геометрического места и, используя свойства геометрического места точек, получить уравнение F (х, у) = 0. Точки пересечения двух линий F (х, у) = 0 и F (х, у) = 0 находят из системы уравнений F(, ) 0, (.) F (, ) 0. Если система (.) имеет действительное решение, то линии пересекаются. Число точек пересечения равно числу решений системы. Если действительных решений нет, то линии общих точек не имеют. Рис.

2 Параметрическое уравнение линии Будем рассматривать линию L, как след движущейся точки M(,) (Рис.). Рис. Тогда координаты этой точки можно рассматривать, как функции некоторого аргумента (t): t t (.) При изменении t величины и будут меняться, следовательно точка будет перемещаться. Уравнения (.) называются параметрическими уравнениями линии на плоскости, аргумент t называется параметром. Роль параметра может играть время, угол между осью ОХ и радиус-вектором точки M(,) (Рис.), длина дуги, отсчитываемой от фиксированной точки линии L и т. д. Существует два способа построения линий, заданных параметрически. Можно задавать значения параметра t с каким-то шагом и для каждого значения t находить координаты х и у точек на плоскости. Соединяя полученные точки плавной кривой, получаем график функции. Второй способ состоит в получении непосредственной зависимости между х и у, и он может быть реализован только в том случае, если удается из параметрических уравнений исключить параметр t. Линия в полярной системе координат Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОР, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Положение любой точки М на плоскости в полярной системе координат задается двумя числами r и φ (полярными координатами), т. е. любой паре чисел r и φ ставится в соответствие точка М на плоскости по следующему закону: ) Под углом φ к полярной оси проводится луч через полюс, при этом, если угол отсчитывается против часовой стрелки, то он считается положительным (φ>0), если он отсчитывается по часовой стрелке, то φ<0. ) На полярном луче от полюса откладывается отрезок длины равной модулю r, при этом, если r>0, отрезок откладывается в направлении луча; если r<0, то на его продолжении. Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид: F (r, φ) = 0. Переход от полярных координат точки к декартовым, и обратно

3 Пусть точка M(r,φ) задана в полярной системе координат. Рис.3 Совместим полярную и декартову системы координат так, чтобы ось полярной системы совпала с осью ОХ, а полюс с началом координат (Рис.3). Тогда каждой точке M(r,φ) в полярной системе координат будет соответствовать единственная точка M(,), координаты которой, как видно из Рис.3, вычисляются по формулам: r cos r sin (.3) Это и есть формулы перехода от полярных координат точки к декартовым. Формулы перехода от декартовых координат точки к полярным следуют из формул (.3): r, sin, (.4) cos.. Примеры решения задач. В полярной системе координат построить точки A(,0), B(3, ), C(, ), D(,0), G( 3, ), K(, ), L(4, ) 4 4 Рассмотрим примеры решения задач -го типа: Какие линии заданы следующими уравнениями?. 0 - ось ОХ. - биссектриса -го и 3-го коорд. угла две прямые R -окружность с С(0,0) 0 С(0,0) не имеет геометрического образа на пл-ти 7. acos - ур-ие окружности a 3 a a 0 a 3 a

4 . Прямая линия на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой системе координат На прямой берем произвольную точку M(,) и, используя свойства этой прямой, составляем уравнение, которому должны удовлетворять координаты этой точки. При составлении уравнения используем аппарат векторной алгебры. Опр. Любой вектор n =(A,B), перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором данной прямой. Опр. Любой вектор S =(m,n), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Существует два способа задания прямой линии на плоскости. Способ. На прямой задана точка M 0 ( 0, 0 ) и известен нормальный вектор прямой n =(A,B). (Рис.) Рис.0 Пусть M(,) произвольная точка прямой. Векторы M 0 M и n ортогональны и следовательно их скалярное произведение равно нулю. Уравнение прямой в векторной форме имеет вид: ( M 0M, n) 0 ().В координатной: A(- 0 )+B(- 0 )=0 () Уравнение (), записанное в виде: A+B+C=0 (3), где C= -A 0 -B 0 называется общим уравнением прямой. Заметим, что коэффициенты при и в общем уравнении прямой определяют координаты нормального вектора прямой. Способ. На прямой задана точка M 0 ( 0, 0 ) и известен направляющий вектор прямой S (m,n). Рис. Возьмем на прямой произвольную точку M(,). Условие коллинеарности векторов M M 0 =(- 0,- 0 ) и S =(m,n) и будет уравнением прямой:

5 0 0 m n (4) Уравнение(4) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Все задачи на составление уравнения прямой на плоскости сводятся к получению и (или) использованию уравнений (,4). Рассмотрим некоторые примеры: а) Составить параметрические уравнения прямой. 0 0 Используем уравнение (4). Введем параметр = t. Из каждого равенства m n m t 0 выразим и : (5). Полученные уравнения и есть параметрические n t 0 уравнения прямой на плоскости. б) Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(, ) и B(, ). Рис. Вектор AB =( -, - ) - направляющий вектор прямой. На прямой возьмем произвольную точку М (х, у). Векторы AM и AB коллинеарны, и следовательно их соответствующие координаты пропорциональны: (6) Это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. в) Составить уравнение прямой, если известна точка M 0 ( 0, 0 ) на прямой и угол α между прямой и осью ОХ? Возьмем на прямой произвольную точку M(,) (Рис.3). Рис.3 Из рисунка видно, что 0 0 = tg - тангенс угла между прямой и осью ОХ.

6 Обратимся к уравнению прямой () A(- 0 )+B(- 0 )=0, где А и В координаты 0 A нормального вектора прямой. Из уравнения следует, что 0 B A tg называют угловым коэффициентом прямой. Из уравнения прямой () B получаем: - 0 =k(- 0 ) (7) уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М 0. Уравнение (7) можно преобразовать к виду =k+b (8), где b= 0 -k 0. Уравнение (8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. г) Записать уравнение прямой в отрезках: Вернемся к уравнению (30 и перенесем свободный член вправо A+B =-C Разделим обе части уравнения на -С: A B C C или C C A B Введем обозначения C C a, b A B Получим - уравнение прямой в отрезках, где а, в величины отрезков, которые a b прямая отсекает на координатных осях. Задача. Заданы координаты вершины треугольника А(,-),В(3,-),С(0,). Составить уравнения: ) стороны АС ) высоты ВД 3) медианы ВЕ AC ) S - направляющий вектор AC (,3) М(х,у) прямой CM (, ) CM AC - каноническое ур-ие прямой 3 3х +у - =0 общее ур-ие прямой ) BD AC P(, ) BD BP AC BP, AC 0 BP ( 3, ) 3 ( ) 3( )

7 3)( BE) E, E, F(, ) BE BF BE BF 3, BE (, ) Построение прямой Для построения прямой нужно из ур-ния прямой найти две точки и через них провести прямую. ) A B C 0 a b ) A B 0 3) A C 0 Взаимное расположение прямых на плоскости а) Если прямые параллельны, то их нормальные или направляющие вектора коллинеарны: A B n A, B n ( A, B ) : (8) A B m n (9) S ( m, n ) S ( m, n ) : m n а угловые коэффициенты равны: k =k (0) б) Если прямые перпендикулярны, то будут ортогональны их нормальные или направляющие векторы, т. е. будут выполняться равенства: A A +B B =0 () m m +n n =0 () Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением: k (3) k в) Если прямые пересекаются, то угол между ними будет равен углу между направляющими или нормальными векторами: ( n; n ) A A B B cos( n, n ) (4) n n A B A B

8 Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k и k, то угол между k k ними находится по формуле: tg (5), причем поворот на угол α происходит k k против часовой стрелки от прямой с угловым коэффициентом k к прямой с угловым коэффициентом k. Эта формула очевидно следует из тригонометрической формулы: tg tg tg tg tg Пересечение прямых Точка пересечения прямых есть точка обоих прямых. Она, следовательно, должна удовлетворять системе : A B C 0 A B C 0 Расстояние от точки до прямой Пусть дана точка М (, ) и прямая A+B+C=0. Найдем расстояние от точки М до прямой. Возьмем на прямой т.м 0 (х 0, у 0 ). Векторы N( A, B ) и MM 0 коллинеарны, рассмотрим их скалярное произведение и учтем, что M 0M прямой. 0 N, M 0M N M 0M cos0 N d d N M M A B N A B, 0 ( 0) ( 0) d расстояние от т.м до т.к. т. M 0 прямой, то ее координаты удовлетворяют ур-ию прямой A0 B0 C 0. A B A B A B ( A B C) C A B C. Следовательно A B C d (6) A B Заметим, что числитель получается подстановкой координат точки М в ур-ие прямой. Пример. Убедиться, что данные прямые параллельны и найти расстояние между ними: 6 8 0, N (6, 8) , N (3, 4) т.к. координаты нормальных векторов пропорциональны 6 8, то прямые 3 4 параллельны. Возьмем любую т. на одной прямой M(0, ) L и найдем расстояние от 8 этой точки до другой прямой по формуле (6): 3*0 4* d

9 3. Плоскость в пространстве. Существуют два способа однозначного определения плоскости в пространстве. Способ. Пусть в некоторой системе координат задана точка М 0 ( 0, 0,z 0 ) и вектор n (A,B,C). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору n. Решение. Пусть М(,) произвольная точка плоскости (Рис.9). Рис. 9 Вектор M 0 M =(- 0 ; - 0 ; z-z 0 ) перпендикулярен вектору n, т.е. ( n, M 0 M )=0. Запишем это уравнение в координатной форме: A(- 0 )+B(- 0 )+C(z-z 0 )=0 (7) (7) уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ;z 0 ) перпендикулярно вектору n (A,B,C). Уравнение () можно привести к виду: A+B+Cz+D=0 (8), где D= -(A 0 +B 0 +Cz 0 ). Уравнение (8) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при,, z в этом уравнении координаты нормального вектора плоскости. Опр. Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором. Способ. Пусть в некоторой системе координат дана точка M 0 ( 0 ; 0 ;z 0 ) и два неколлинеарных вектора S (m ;n ;p ) и S (m ;n ;p ). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам S и S. Решение. Возьмем на плоскости произвольную точку M(,,z) (Рис. 0). По условию задачи вектор Рис. 0 M 0 M =(- 0 ; - 0 ; z-z 0 ) и векторы S и S компланарны. Условие компланарности и является уравнением искомой плоскости: ( M 0 M, S, S )=0 или в координатной форме:

10 0 0 z z z z 0 0 Раскрывая определитель и приводя подобные, получим уравнение вида: A+B+Cz=0. Все задачи на составление уравнения плоскости решаются либо первым либо вторым способом. Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M (,`,z ), M (,`,z ), M 3 ( 3,`3,z 3 )? Через три точки на плоскости можно провести два некомпланарных вектора, например: S = и M M =( -, -,z -z ) S = M M 3 =( 3 -, 3 -,z 3 -z ). (Рис.). Рис. Любая из трех точек может быть использована в качестве точки М 0, пусть это будет точка М. Т. о. Плоскость задана вторым способом. Пусть M(,,z) произвольная точка плоскости. Векторы M M, M M и M M 3 компланарны. Следовательно, смешанное произведение векторов равно нулю: ( M M, M M, M M 3 )=0. Или, переходя к координатам векторов, будем иметь: z z 3 3 z 3 z z z 0 Задача. Даны три точки M(,,), M(3,0,), M3(,0,). Составить ур-ие плоскости, проходящей через т.м перпендикулярно вектору MM 3 MM 3 нормальный вектор плоскости. M M 3 M M (,, z ) MM 3 M M (, 0,) 3 M M, M M 0 - векторное ур-ие плоскости. ( ) z 0 z 3 0. ) Составить ур-ие плоскости, проходящей через 3 данные точки

11 MM MM 3,,0,, M M,, z Векторы, 3, M M M M M M компланарны, следовательно 3 Построение плоскости Взаимное расположение плоскостей в пространстве M M, M M, M M 0 Пусть даны две плоскости: A +B +C z+d =0 () A +B +C z+d =0 () φ- угол между этими плоскостями, равный углу между нормальными векторами этих плоскостей n (A,B,C ) и n (A,B,C ) и может быть найден средствами векторной алгебры: ( n, n ) cos n n A B A A C B B C C A B C Если плоскости () и () перпендикулярны, то cosφ=0, т.е. A A +B B +C C =0 - условие перпендикулярности плоскостей. A B C Если плоскости () и () параллельны, то n n => - условие A B C параллельности плоскостей. Расстояние от точки M ( ; ;z ) до плоскости A+B+Cz+D=0 Расстояние (d) находится по формуле: A d A B Cz D B C. Построить плоскости: ) 3+6-4z= ) +-=0 3) -=0 4) -3=0 5) -+z=0 Примеры решения задач.

12 Рис. ) 3) Рис.3 Рис.4

13 4) Рис.5 Плоскость z 0 проходит через начало координат и оставляет следы и z в координатных плоскостях соответственно XOY и YOZ.(Рис. 6) Рис.6 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M (,3-), M (,5,3) и перпендикулярной плоскости 3 3z 5 0. Решение. Векторы M M, 3, z ), M M (,,4 ) и нормальный вектор n ( 3,,3 ) ( компланарны. Поэтому ( M M, MM, n) 0. Из этого условия получаем уравнение искомой плоскости 3 z 4 0, или 3 z Найти угол между плоскостями z 8 0, z 6 0. Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами n (,,) и n (,0, ) и находится по формуле

14 ( n, n ) cos, n n cos Заданы плоскости 3 4 5z z 0 Убедиться, что плоскости параллельны и найти расстояние между ними. Решение плоскости параллельны Выберем на первой плоскости произвольную точку, координаты которой удовлетворяли бы уравнению плоскости, например M (0,0,4). Найдем расстояние от точки до второй плоскости по формуле A B Cz D d ; A B C d Прямая линия в пространстве. Прямую в пространстве можно задавать двумя способами: способ. На прямой задана точка M 0 ( 0, 0,z 0 ) и известен направляющий вектор прямой S ( m; n; p). Опр. Любой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Составим уравнение прямой. Рис.3 Возьмем на прямой произвольную точку M(,,z) (Рис.3). По условию векторы M 0M ( 0 0 z0 0 0 z z0,, z ) и S коллинеарны, следовательно их координаты пропорциональны : (7). m n p Уравнения (7) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. Способ. Прямая может быть задана, как линия пересечения двух плоскостей в пространстве. Систему из двух непараллельных плоскостей

15 A B Cz D 0 (8) A B Cz D 0 называют общим уравнением прямой в пространстве. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая задана общими уравнениями (8). Чтобы записать канонические уравнения этой прямой, нужно знать ее направляющий вектор S и какую-нибудь точку М 0, принадлежащую прямой (п. 4..). В качестве вектора S можно взять векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей n (A,B,C ) и (A,B,C ). n Рис. 3 Вектор S по определению перпендикулярен обоим векторам n и n (Рис.3), а следовательно, параллелен прямой (Рис.3) S n, n. Для нахождения точки М 0 на прямой, надо решить систему (8) и взять любое ее решение. Переход от канонических уравнений прямой к общим Пусть прямая задана каноническими уравнениями 0 0 z z0 m n p Чтобы перейти к общему уравнению прямой достаточно записать канонические уравнения в следующем виде: 0 0 m n 0 z z0 n p Здесь прямая определена с помощью уравнений двух плоскостей, из которых первая параллельна оси ОZ и вторая оси ОХ. Переход от канонических уравнений прямой к параметрическим 0 0 z z0 t m n p 0 mt 0 nt z z0 pt

16 Пример.. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки M (,,z ) и M (,,z ). Решение: Пример. Записать канонические и параметрические ур-ия прямой: Решение. Для решения задачи нужно найти произвольную фиксированную точку, принадлежащую прямой и направляющий вектор, параллельный прямой, В качестве направляющего вектора можно взять вектор S, перпендикулярный к нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. 0 z 3 0, N (,0, ) 6 z 9 0, N (, 6, ) , z 0 M0(3,, 0) i j k S 0 i j 4k 6 3 z 4 Чтобы перейти к параметрическим уравнениям, приравняем каждое из отношений в последнем уравнении к параметру t и выразим соответственно, и z. 3 z t, t, t 4 t3 Отсюда: t z 4. t Расстояние от точки М 0 ( 0, 0,z 0 ) до прямой в пространстве Пусть прямая задана уравнением: z z. m n p Рис. 33 Построим параллелограмм на векторах S (m,n,p) и M0M ( 0, 0,z z0) (Рис.33). Его высота d и есть искомое расстояние. Площадь параллелограмма равна S d S, M 0 M =>

17 d S,M 0 S M Взаимное расположение прямых в пространстве Пусть заданы две прямые в пространстве: z z () m n p z z () m n p ) Если прямые параллельны, их направляющие векторы S (m,n,p) и S (m,n,p ) колинеарны: m n p - условие параллельности прямых в пространстве. m n p ) Если S и S не колинеарны, то прямые пересекаются или скрещиваются. Прямые пересекаются, если они лежат в одной плоскости. При этом векторы S,S,MM компланарны: z z ( S,S,MM )=0, m n p m n p 0 Здесь MM (,,z z) Если прямые принадлежат одной плоскости, то они либо параллельны, либо пересекаются Угол между пересекающимися прямыми находится по формуле: (S,S ) m m n n p p cos ; S S m n p m n p условие перпендикулярности прямых в пространстве: mm nn pp 0 Если прямые скрещиваются, то представляет интерес задача нахождения кратчайшего расстояния между ними. Для этого нужно найти расстояние между параллельными плоскостями, проведенными через прямые () и ().Для этого построим параллелепипед на векторах MM, S, S и найдем высоту этого параллелепипеда. Причем основание этого параллелепипеда построено на векторах S, S. So S, S V M M, S, S V H S 0

18 Задача Выяснить взаимное положение прямых в пространстве. Даны прямые z 3, M(,0, 3), S (,,) и z, M (,,0), S (3,,). 3 Решение. Векторы S, S - векторы неколлинеарны, следовательно, прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые лежат в одной плоскости (пересекаются), то векторы S, S, M M - компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю, ( S, S, M M M, S, S 3 6 0, следовательно прямые скрещиваются. 3 Скрещивающиеся прямые не пересекаются и их всегда можно расположить в параллельных плоскостях. Построим параллелепипед на векторах S, S,и M M (Рис. 38), где S, S, - направляющие векторы данных прямых, а М и М это фиксированные точки, принадлежащие соответственно первой и второй прямой. Тогда искомое расстояние равно высоте параллелепипеда. Найдем i j k S, S i j k. 3 Рис. 38 Sосн S, S 3 Отсюда V 6 d 3. S 3 Задача. Доказать, что прямые пересекаются. Найти точку их пересечения. z и z 6.

19 9 6 M M, S, S 0 t t z t t t t 6 t 3, 3, z 5. Прямая и плоскость в пространстве. Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая n m z z p Рис. 40 и плоскость A B Cz D 0 пересекаются под углом (Рис. 40). Совместим начало направляющего вектора прямой S m,n,p и нормального вектора плоскости n (A, B,C) с точкой пересечения прямой и плоскости (Рис.40) и найдем угол по формуле: (n,s) cos( ) sin или в координатной форме: n S Am Bn Cp sin ; A B C m n p условие перпендикулярности прямой и плоскости

20 Рис. 4 Из рисунка 4 ясно, что в этом случае направляющий вектор прямой S (m,n,p) колинеарен нормальному вектору плоскости n (A, B,C), следовательно, условие перпендикулярности имеет вид: A B C. m n p условие параллельности прямой и плоскости Рис. 4 Из Рис. 4 видно, что в этом случае векторы n и S перпендикулярны, условие перпендикулярности векторов и есть условие параллельности прямой и плоскости: S,n 0 или в координатной форме: Am Bn Cp 0. Если при этом координаты точки М 0 ( 0, 0,z 0 ) удовлетворяют уравнению плоскости, то прямая принадлежит этой плоскости. Примеры решения задач. z Задача Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3 5 z 3 5 Решение. Координаты точки пересечения прямой с плоскостью находятся из совместного решения уравнений прямой и плоскости, т.е. из системы: 5 z 3 3z 5 Запишем уравнения прямой в параметрической форме 3t, 5 t, z t. Подставим эти выражения в уравнение плоскости 3(3t ) 5*5t t. Отсюда t, а из параметрических уравнений прямой получим 5 9 координаты точки пересечения,, z Задача. Составить уравнений прямой, проходящей через точку М 0 (,,-6) перпендикулярно плоскости 5 4 3z.

21 Решение. Рис. 43 Возьмем на прямой произвольную точку M(,,z).(Рис. 43) Векторы M0 M (,, z 6) и n (5, 4,3) параллельны. Здесь n - нормальный вектор плоскости. По условию параллельности векторов z Получены канонические уравнения искомой прямой. M 0 M и n Задача Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (5,,-6) 3 z перпендикулярно прямой 4 3. Решение. Рис. 44 Выберем на плоскости произвольную точку М(,,z).(Рис. 44) Тогда вектор M0M 5,, z 6, лежащий в искомой плоскости, перпендикулярен к направляющему вектору a (,4, 3) данной прямой. Отсюда,M M 0 a 0, ( 5) 4( ) 3( z 6) 0, 4 6z 0. Получено уравнение искомой плоскости. Задача. Найти проекцию точки А(4,-3,) на прямую Решение. 3 z. Рис. 45

22 Проекцию точки A на прямую можно рассматривать как точку пересечения данной прямой с проектирующей плоскостью (), содержащей точку A и перпендикулярной к данной прямой.(рис. 45) Запишем уравнение проектирующей плоскости, выбрав на ней текущую точку M(,,z) и, используя условие ортогональности векторов AM(,,z ) и a(3; ; ), где a - направляющий вектор данной прямой. Векторной уравнение плоскости () имеет вид: ( a,am) 0. Раскрывая скалярное произведение, получим общее уравнение проектирующей плоскости: 3( ) ( ) (z ) 0 или 3 z 3 0. Далее найдем точку B(,,) как точку пересечения прямой с плоскостью (см. задачу 3). Это и будет проекция точки А на прямую. Задача Найти проекцию точки А(4,-3,) на плоскость z z t4 t 3 z t z 3 0 t, P(5,,0) 6. Кривые второго порядка. Определение. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовой системе координат на плоскости уравнением второй степени: A B C D E F 0, (6.) где коэффициенты A, B, C не равны нулю одновременно. Существуют всего три типа линий второго порядка:. эллипс (и его частный вид окружность),. гипербола, 3. парабола, либо их вырожденные варианты. Случаи вырождения кривых второго порядка в прямую, пару прямых, точку или «мнимую» линию мы рассматривать не будем. Определить тип кривой можно сразу по коэффициентам квадратичной формы A B C : если AC B 0 эллиптический, если AC B 0 гиперболический, если AC B 0 параболический тип. Для построения кривой необходимо сначала упростить уравнение (), привести его к каноническому виду. Рассмотрим свойства и канонические уравнения перечисленных кривых. Окружность Определение. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки центра на данное расстояние радиус.

23 Окружность определена, если заданы её центр и радиус. Каноническое уравнение окружности с центром в точке C ( 0 ; 0) и радиусом R имеет вид: ( ) ( R. 0 0) Полагая 0 0, 0 0, получим уравнение окружности с центром в начале координат: R. Эллипс Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её принято обозначать a ). Для того, чтобы получить ур-ие эллипса в простом виде ось ОХ направим через фокусы, а начало координат поместим в середине отрезка, соединяющего фокусы. Пусть М(х,у) любая точка эллипса. По определению эллипса FM FM a Обозначим расстояние между фокусами через c. Тогда фокусы будут иметь координаты F( c,0) и F ( c,0). F M c Длина первого вектора F M c, т.о. и второго c c a Возведем в квадрат c a c и получим a c a c Еще раз возведем его в квадрат и получим a c a a a c По свойству сторон треугольника a c a c 0 Обозначим a c через b и разделим обе части последнего равенства на a a c и получим Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b b a Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 47. Точка O (0;0) называется центром эллипса, точки A ( a;0), A ( a;0), B (0; b), B (0; b) называются вершинами эллипса, F ( c;0) и B (0;b) M малой осями эллипса, а числа a и b F ( c;0) фокусами эллипса. Отрезки A A и B B, а также их длины a и b A (-a;0) F (-c;0) O называются соответственно большой и F (c;0) A (a;0) B (0;-b) Рис. 47.

24 соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F F, равная c, называется фокусным расстоянием, а c полуфокусным расстоянием. Величины a и b связаны соотношением b a c. Если a b, то уравнение определяет эллипс, большая ось которого b b a лежит на оси O, а малая a на оси O, фокусы такого эллипса находятся на оси O в точках F (0; c) и F (0; c), а c b a. Каноническое уравнение эллипса со смещенным центром имеет вид: 0 0, a b центр эллипса находится в точке с координатами 0; 0 рис. 48. Чтобы построить эллипс по его уравнению, надо: b a. найти a и b,. на оси O в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины a, 3. на оси O в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины b, 4. через концы всех четырех отрезков провести прямые, параллельные осям координат (получили основной прямоугольник эллипса), 5. в полученный прямоугольник вписать эллипс. (Если требуется более точный чертеж, можно найти из уравнения еще несколько точек эллипса.) 0 0 Для построения эллипса, заданного уравнением, a b ' необходимо сначала нанести положение центра O ; ) на координатную плоскость, провести через центр эллипса оси симметрии ( 0 0 ' ' O и O ' ', построить основной прямоугольник с центром в точке O ( 0; 0) со сторонами a и b, вписать в него эллипс (рис. 48). c Определение. Отношение называется эксцентриситетом эллипса и a характеризует форму (степень сжатия) эллипса. Для эллипса 0, так как 0 c a. С учетом b a c можно записать b. a Чем больше эксцентриситет, тем больше эллипс отличается от окружности (более «сплющен»). ' 0 O O 0 Рис. 48. b a

25 Определение. Директрисами эллипса называются прямые a, где a большая полуось (рис. 49). Свойство директрис состоит в следующем. Если r расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то r отношение d есть величина постоянная, равная = -a/ M r F O F d = a/ эксцентриситету эллипса r d. Рис. 49. Гипербола Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, взятая по абсолютной величине, постоянна. Абсолютную величину этой разности принято обозначать a. Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями действительной a и мнимой b записывается в виде:. b a Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 50. Точка O (0;0) называется центром гиперболы, точки A ( a;0), A ( a;0) называются вершинами гиперболы, F ( c;0) и F ( c;0) фокусами гиперболы. Отрезки A A и B B, а также их длины a и b называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Длина отрезка F F, равная c, называется фокусным расстоянием, а c полуфокусным расстоянием. Величины a и b связаны Рис. 50. соотношением c a b. Гипербола кривая, симметричная относительно начала координат и координатных осей. В отличие от эллипса гипербола незамкнутая кривая, имеющая асимптоты прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются, не пересекая их и не касаясь. Уравнения асимптот b b и. a a = -b/a =b/a B F A O A F B

26 Каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром: 0 0. a b Центр гиперболы находится в точке с координатами 0; 0. Рассмотрим другие варианты уравнений гиперболы. Уравнение a b является каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат и полуосями действительной b и мнимой a. Т.е. в этом случае вершины гиперболы B ( 0; b), B (0; b) находятся на оси O. Гиперболы и b a a b имеют общие асимптоты (рис. 5). Такие гиперболы называются сопряженными. На рис. 5 гипербола изображена a b 0 пунктирной линией. Уравнение определяет гиперболу с центром a b в точке с координатами 0; 0 и полуосями действительной b и мнимой a. Определить какая ось действительная, а какая мнимая, легко по уравнению гиперболы, знак «+» перед квадратом переменной указывает на действительную ось, знак указывает на мнимую ось. Если в уравнении гиперболы a b, гипербола называется равнобочной или равносторонней. Чтобы построить гиперболу по её уравнению или, надо: b a a b найти a и b, на оси O в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины a, 3 на оси O в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины b, 4 построить основной прямоугольник, проведя через концы всех четырех отрезков прямые, параллельные осям координат, 5 построить асимптоты гиперболы, для этого в полученном основном прямоугольнике провести прямые, содержащие диагонали прямоугольника, 6 отметить вершины гиперболы точки пересечения основного прямоугольника с действительной осью гиперболы, 7 построить гиперболу. (Если требуется более точный чертеж, можно найти из уравнения еще несколько точек гиперболы) B A O A B Рис. 5.

27 Для построения гиперболы, заданной уравнением 0 0 или a b 0 0, необходимо a b сначала нанести положение центра ' O ; ) на координатную плоскость, ( 0 0 провести через центр оси симметрии O ' ' и O ' '. Построить основной прямоугольник с центром в точке ' O ( 0; 0) и сторонами a и b, провести диагонали прямоугольника, отметить вершины гиперболы на действительной оси и провести кривую (рис. 5). 0 O ' O ' 0 Рис. 5. ' Определение. Эксцентриситетом гиперболы, так же как и эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси: c, a здесь c полуфокусное расстояние, a действительная полуось. Для гиперболы, так как c a. С учетом c a b можно записать b. a Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение больше вытянут её основной прямоугольник. b, и тем a = -a/ =a/ d M r O F F r d M Рис. 53. Определение. Директрисами a гиперболы называются прямые, где a действительная полуось (рис. 53). Директрисы гиперболы имеют то же свойство, что и директрисы эллипса. Если r расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, d расстояние от этой же точки до соответствующей этому r фокусу директрисы, то отношение d есть величина постоянная, равная r эксцентриситету гиперболы. d

28 Парабола = -p/ = -p O M F(p/; 0) Рис. 54. O O Рис. 55. =p =p = -p Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p ( p 0). Каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси O с вершиной в начале координат: p. Т.к. p 0, 0 ветви параболы направлены вправо (рис. 54). Директриса параболы p определяется уравнением, фокус p находится в точке F ;0. Параметр p характеризует ширину параболы. Рассмотрим другие варианты уравнений параболы, и особенности расположения кривых на координатной плоскости. Парабола p также симметрична относительно оси O, вершина её находится в начале координат, но ветви ( p 0, 0 ) направлены влево (рис. 55). Уравнения p задают параболу симметричную относительно оси O с вершиной в начале координат. Знак «плюс» соответствует параболе с ветвями, направленными вверх. Знак «минус» соответствует параболе с ветвями, направленными вниз (рис. 55). Уравнения 0 p 0 0 p 0 и определяют параболы со смещенной вершиной. Вершина находится в точке с координатами 0; 0. Ось симметрии параллельна той координатной оси, координата которой входит в уравнение в первой степени, знак указывает направление ветвей параболы (вправо или влево, вверх или вниз).

29 Чтобы построить параболу необходимо:. определить координаты вершины,. определить ось симметрии, 3. определить направление ветвей, 4. для более точного построения графика из уравнения параболы найти несколько точек кривой. Иногда для уточнения графика бывает удобно использовать параметр p (рис. 56). 0 O ' O ' 0 p/ p p (- 0 ) =p(- 0 ) ' Рис. 56. Примеры решения задач.. Привести к каноническому виду уравнение Решение. Сгруппируем члены уравнения, содержащие и содержащие, вынесем за скобки постоянные множители при a 6 0 и 5. Выражения в скобках дополним до полного квадрата, имея в виду формулу a ab b b : , , , Уравнение 5 77 есть каноническое уравнение окружности с 4 6 центром в точке с координатами 5 ; 4 и радиусом 4. Построить кривую. Решение. Проведем несложные преобразования: ( ) 4, 4( ) 4, ( ) 4

30 0 -. Уравнение определяет окружность с центром в точке C (;0) и радиусом 3. Построить кривую, заданную уравнением Решение. Сгруппируем члены уравнения, содержащие и содержащие, вынесем за скобки постоянные множители при и, а выражения в скобках дополним до полного квадрата: 4( 0 5 5) 9( 4 4 4) 00 0, 4( 5) 00 9( ) , 4( 5) 9( ) 36, Рис. 57. R (рис. 57.) ( 5) ( ). Рис Получили уравнение эллипса с центром в точке O ( 5; ) и полуосями a 3 и b (рис. 58) ' O ' ' ' O ' ' Рис Построить линию, заданную уравнением Решение. Сгруппируем члены уравнения, содержащие и содержащие, вынесем за скобки постоянные множители при и, а выражения в скобках дополним до полного квадрата: 9( 6 9 9) 6( 4 4 4) 7 0, 9( 3) 86( ) , 9( 3) 6( ) 44,

31 ( 3) ( ). Получили уравнение гиперболы с центром в точке O ( 3; ) и 6 9 полуосями a 4 и b 3 (рис.59). ' O ' 8 6 (-) =4(+3) Рис. 60. ' 7. Построить линию, заданную уравнением 3. Решение. Преобразуем исходное уравнение 3, ( ) 4( 3). Вершина параболы находится в точке O (3;). В данном уравнении переменная входит в уравнение в первой степени, т. е. ось симметрии параллельна O. Ветви параболы направлены вправо. Параметр p. Построение параболы приведено на рисунке Построить кривую, заданную уравнением Решение. Сгруппируем члены уравнения, содержащие, выражение в скобках дополним до полного квадрата: ( 6 9 9) 6 3 0, ( 3) 6 6 0, ( 3) 6( ) получили уравнение параболы с вершиной в точке O ( 3; ), ось симметрии, которой параллельна оси O, а ветви направлены вниз. Параметр p 3, точка пересечения с осью O. ( 0;,5),(рис.6). 4 ' O ' ' -4-6 (-3) = -6(+) Рис.6.

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

Линии второго порядка

Линии второго порядка Линии второго порядка Ю. Л. Калиновский Кафедра высшей математики Университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии второго порядка: геометрическое место точек, декартовы координаты которого удовлетворяют уравнению

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия МЛ Каган, ТС Кузина, ТА Мацеевич Аналитическая геометрия Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее