Основы теории графов. Оглавление

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Основы теории графов. Оглавление"

Транскрипт

1 Основы теории графов Оглавление Введение в теорию графов... Основные понятия... Матрица смежности... 8 Матрица инциденции... 0 Операции над графами... Операции над графами... Эйлеров путь... 7

2 Основы теории графов Введение в теорию графов В результате изучения данной темы Вы будете: иметь представление о теории графов; знать основные виды графов; уметь составлять матрицы смежности и матрицы инциденции графов. Основные понятия Теория графов в последнее время широко используется в различных отраслях науки и техники, особенно в экономике и социологии. Основы теории графов разработал Л. Эйлер, решавший задачу о разработке замкнутого маршрута движения по мостам в г. Кенигсберге. При решении задачи он обозначил каждую часть суши точкой, а каждый мост линией, их соединяющей. В результате был получен граф (Рис. ). Рис. Эйлер доказал, что такая задача решения не имеет. Пусть на плоскости задано некоторое множество вершин Х и множество U соединяющих их дуг. Графом называют бинарное отношение множества

3 Х и множеств U: G = (Х; U), или, иначе Здесь f отображение инциденции. f : X Y. Граф называется ориентированным, если указано направление дуг (Рис. ) и неориентированным если такое направление не указано. Рис. Примером неориентированного графа является карта дорог. Граф называется петлей, если его начало и конец совпадают. Две вершины называются смежными, если существует соединяющая их дуга. Ребро и j называется инцидентным вершине х, если оно выходит или входит в вершину. Степенью (валентностью) вершины называется число инцидентных ей ребер. Кратностью пары вершин называется число соединяющих их ребер или дуг. Вершина графа, имеющая степень 0, называется изолированной, а если ее степень равна, то такая вершина называется висячей.

4 Подграфом G a графа G называется граф, в который входит лишь часть вершин графа G вместе с дугами их соединяющими. Частным графом G b графа называется граф, в который входит лишь часть дуг графа G вместе с вершинами их соединяющими. Карта шоссейных дорог это граф. Дороги Саратовской области это подграф, а главные дороги это частный граф, Путем в графе G называется такая последовательность дуг, в которой конец каждой последующей дуги совпадает с началом предыдущей. Длиной пути называют число входящих в этот путь дуг. Путь может быть конечным и бесконечным. Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды, называется элементарным. Контур это конечный путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Контур называется элементарным, если все его вершины различны (кроме начальной и конечной). Контур единичной дуги называется петлей. В неориентированном графе понятие дуга, путь, контур заменяются соответственно на ребро, цепь, цикл. Ребро отрезок, соединяющий две вершины, цепь последовательность ребер.

5 Цикл конечная цепь, у которой начальная и конечная вершина совпадают. Граф называется связанным, если любые его две вершины можно соединить цепью. Граф сильно связан, если для его двух любых вершин xi x j, существует путь, идущий из х i и х j. Граф, который не является связанным, может быть разбит на конечное число связных графов, называемых компонентами, или частями. Ребро графа G называется мостом, если граф, полученный из G путем удаления этого ребра, имеет больше компонент связности, чем граф G (Рис. ). Точкой сочленения графа называется вершина, удаление которой приводит к увеличению числа его компонент связности (Рис. ). k k - мост, - точка сочленения Рис. Неразделимым называется связный граф, не имеющий точек сочленения. Блоком графа называют максимальный неразделимый подграф (Рис. ). 5

6 граф G блоки графа G Рис. Дерево это конечный, связный, не ориентированный граф, не имеющий циклов. Характеристическое свойство деревьев состоит в том, что любые две вершины дерева соединены единственной цепью. Теория деревьев была, в основном, разработана Кирхгофом. Он применил ее для решения систем линейных уравнений, описывающих работу электрических цепей. Развитие теории графов (деревьев) связано с именем немецкого химика Кели, который успешно применил ее для решения задач органической химии (для изучения изомеров углеводородов с заданным числом атомов). Совокупность деревьев называется лесом. Если все вершины графа принадлежат дереву, то он называется покрывающим. Пусть дано множество вершин графа. Одну из вершин, например х примем за начальную, которую назовем корнем дерева. Из этой вершины проводим ребра к остальным вершинам x, х, и т. д. Простейшее 6

7 дерево состоит из двух вершин, соединенных ребром. Если добавить ребро, то добавляется и вершина. Таким образом, дерево с п вершинами имеет п ребро. Дерево имеет корень в вершине В j, если существует путь от х, к каждой из вершин. Ребра графа, принадлежащие дереву, называют ветвями, остальные ребра называют хордами. Граф называется планарным (плоским), если он может быть изображен на плоскости таким образом, что его ребра будут пересекаться только в планарных вершинах (Рис. 5) Рис. 5 Дерево, являющееся подграфом графа G, называется покрывающим граф G, если оно содержит все его вершины

8 Матрица смежности Пусть имеется x, x,..., xn вершин и u, u,..., um дуг, их содержащих. Матрицей смежности S порядка п называется матрица, состоящая из чисел s ij, которые s ij =, 0, если существует дуга (х i, x j ), если вершины х i, x j не связаны дугой (х i, x j ). Матрица смежности для ориентированного и неориентированного графа, вообще говоря, имеет разный вид (Рис..6). j i а) Ориентированный граф и его матрица смежности 0 б) Неориентированный граф и его матрица смежности Рис. 6 Рассмотрим процесс построения матрицы смежности представленного ориентированного графа (Рис. 6, а). Число вершин =, следовательно, матрица смежности будет размером х. Индексы i отображают строки, а индексы j столбцы матрицы. Последовательно идем по всем элементам 8

9 матрицы и проверяем наличие дуги ij. Там где она есть, выставляем, где ее нет 0. Так, например, дуга, соединяющая вершины и есть, а вот дуги, соединяющей вершины и нет. Матрица смежности неориентированного графа отличается от матрицы ориентированного своей симметричностью относительно диагонали, т.к. дуги не имеют направлений и элементы s = s. ij ji 9

10 Матрица инциденции Матрицей инциденции для неориентированного графа с n вершинами и m ребрами называется матрица T = [ t ij ], i =,,..., n, j =,,.., m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы ребрам. Элементы, если вершина х i инцидентна ребру u j, t ij = 0, если вершинf х i не инцидентна ребру u j. Матрицей инциденции для ориентированного графа с n вершинами и m дугами называется матрица T = [ t ij ], i =,,..., n, j =,,.., m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы дугам. Элементы, если дуга и j выходит из вершины х i, t ij =, если дуга и j входит в вершину х i, 0, если такой дуги нет. Запишем матрицу инциденции для ориентированного графа, изображенного на Рис. 6, а). Граф имеет вершины и 5 дуг, таким образом ее размер будет х5. Пусть столбцы соответствуют дугам, соединяющим вершины и, и, и, и, и. Теперь пройдем по всем элементам матрицы и 0

11 проверим вхождение дуг в соответствующие вершины. Так, например, дуга ½ выходит из вершины (ставим t = ), но входит в вершину (ставим t = ). В результате получилась матрица: T = Подведем итоги Граф представляет из себя совокупность множества вершин и множества соединяющих их дуг. Графы обладают различными характеристиками, такими как ориентированность, степень вершин, связанность и т.д. Любой граф можно представить в графическом виде в геометрическом изображении точек (вершин) и линий (ребер). Также любой граф можно однозначно представить в виде матрицы смежности или матрицы инцидентности. Вопросы для самоконтроля. Чем отличается ориентированный граф от

12 неориентированного?. В ориентированных графах используются понятия «дуга», «путь», «контур», какие аналогичные понятия применяются в неориентированных графах?. Каким образом можно представить граф?. Какие графы называют деревьями? Дайте основные характеристики дерева. Практические задания Постройте матрицы смежности и инцидентности для графа. Вариант. 5 Вариант. 5 Вариант. 5

13

14 Операции над графами В результате изучения данной темы Вы будете: иметь представление об операциях, возможных над графами; иметь представление о задачах, решаемых с помощью теории графов. Операции над графами Объединением двух, или более графов G G... G n называется граф, у которого множество вершин и множество дуг объединены (Рис. 7). a a b b Рис. G n G... G = ( X X...; U U...). Суммой графов G и G называется граф, определяемый как объединение графов, причем каждая вершина, не вошедшая в объединение, соединяется с другими вершинами (Рис. 8).

15 a b Рис. Произведением двух графов называется граф: G * G = {( X j; X j) G * }. G Вершина представляет собой бинарное отношение, т. е. вершин у нас будет 6 (Рис. 9). a (a, ) (a, ) (a, ) b (b, ) (b, ) (b, ) Рис. Рассмотрим подробно решение задачи о Кенигсбергских мостах. В городе Кенигсберге имеется остров Кнайпхоф, который охвачен двумя рукавами реки Пречель. Через два рукава перекинуты семь мостов: a, b, с, d, е, f, g. Можно ли спланировать прогулку таким образом, чтобы по каждому мосту пройти только один раз и вернуться в начальное положение? Поставим в соответствие каждому мосту ребро графа, а суше вершину (Рис. 0). 5

16 B B c a A d b e f g D a A b e f D C c d g C Рис. 6

17 Эйлеров путь Эйлеровым путем в графе G называется такой путь, в котором каждое ребро встречается один раз. Эйлер доказал, что такой путь существует тогда и только тогда, когда связанный граф G содержит не более двух вершин нечетной степени. В данной задаче существует четыре вершины нечетной степени (5,,, ). Таким образом, задача о Кенигсбергских мостах не содержит Эйлеров путь и не имеет решения. Если граф содержит точно две вершины нечетной степени, то в эйлеровом пути эти вершины должны быть конечными. Если вершин нечетной степени нет, то граф имеет замкнутый эйлеров путь. Ниже показан граф без замкнутого эйлерова пути (Рис., а) и граф имеющий замкнутый эйлеров путь (Рис., б). A B C а) Рис. 5 Теорема Эйлера. В любом конечном графе сумма степеней вершин равна удвоенному числу его рёбер. В XIX в. Гамильтон придумал игру, состоящую в том, что на доске располагались города в виде додекаэдра (Рис. ). б) 7

18 Рис. 6 Играющий (игрок) должен обозначить шнуром замкнутый круг, соединяющий последовательно одну вершину с другой, посетив при этом все города, зайдя в каждый только один раз. Граф G называют Гамильтоновым, если он содержит простейший путь, проходящий через его вершину. Гамильтонова задача о путешественнике нередко преобразуется в задачу о коммивояжере. Коммивояжер не праздно путешествующий турист, а деловой человек, ограниченный временными, денежными или какими-либо другими ресурсами. Каждому ребру назначается определенная характеристика, например километраж. Требуется найти такой путь коммивояжера, по которому необходимо посетить n- городов, зайдя в каждый город, вернуться домой, причем протяженность пути должна быть минимальной. Таким образом, среди всех гамильтоновых циклов графа с n вершинами нужно найти сумму длин ребер, путь по которым будет минимальным. 8

19 Подведем итоги Графы можно объединять, находить их сумму и произведение. С помощью теории графов удобно решать задачи, связанные с различными схемами маршрутов, транспортных сетей и т.д. Вопросы для самоконтроля. Какие операции допустимы над графами? Приведите соответствующие формулы.. Что такое Эйлеров путь? Какие графы им обладают?. В чем заключается теорема Эйлера?. Какие графы называют Гамильтоновыми? Практические задания Постройте матрицы смежности и инцидентности графа G: G G G Вариант. G G G

20 Вариант. G G G Вариант. G G G

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин.

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Цель работы: задание графа, вычисление степеней вершин. Содержание работы: Основные понятия. Граф G - совокупность двух множеств: вершин

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ "ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ" ПРЕДИСЛОВИЕ. В курсе лекций по высшей математике, читаемом студентам инженерных специальностей, предусматривается знакомство с основами

Подробнее

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера Содержание Введение 1. Основные понятия теории графов 2. Степень вершины 3. Маршруты, цепи, циклы 5. Ориентированные графы 6. Изоморфизм графов 7. Плоские графы 8. Операции над графами 9. Способы задания

Подробнее

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г.

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. G(V, Е, f) V,E множества, отображение инциденции f: Е V&V множества Е в V&V V={A,В,С,D,F,Н,P} множество точек, E={a,b,с,d,e,f,g,h,p,l}

Подробнее

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов.

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов. Практическая работа Тема: Графическое изображение графов. Цель: изучить основы теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов, получить практический навык задания

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Содержание курса Введение. Определения. Основные понятия. Способы задания графов. Основные типы графов. Операции над графами. Маршруты,

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Глава 1 Элементы теории графов План. Общее определение графов, вершины, ребра, граничное отображение или отображение инцидентности, инцидентные вершины и ребра, вершины, соединенные ребром, смежные вершины,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ Лекция 6 Элементы теории графов Новоселецкий Валерий Николаевич к.ф.-м.н., доц. каф. биоинженерии valery.novoseletsky@yandex.ru Сайт курса http://intbio.org/bioinf2018 2 Задача

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Тема Основные понятия теории графов

Тема Основные понятия теории графов Тема 2.1.1. Основные понятия теории графов Преимущества использования теории графов Простой и мощный инструмент моделирования систем и решения задач упорядочения объектов Методы ТГ (комбинаторные) отличаются

Подробнее

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов -

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - { основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - полный граф - смежность, инцидентность, степени - локальные

Подробнее

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Теория конечных графов. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru

Подробнее

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина ) Для графа, заданного своей матрицей инциденций e e e3 e4 e5 e6 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 требуется: ) построить граф; ) найти степень каждой из его вершин; 3) записать

Подробнее

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов Элементы теории графов Деревья, плоские графы, раскраски графов Дерево Деревом называется неориентированный связный граф, не содержащий циклов. В дереве существует один и только соединяющий каждую пару

Подробнее

Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться).

Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться). Маршруты, пути и циклы в графах 1. Маршруты, пути и циклы Маршрутом в графе G=(V, E) называется конечная последовательность смежных ребер вида: (v0,v1), (v1,v2), (v2,v3),,(vk-1,vk), или маршрутом можно

Подробнее

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Графом G называется пара множеств V и E (G =(V, E)), где V - непустое множество, а Е некоторое множество пар элементов множества V (E = {(v i, v j )}, i= 1, 2, 3,, n; j = 1, 2,

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях G.. Направленные графы Различают направленные и ненаправленные графы. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА G. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Направленным графом G называется пара G = < V, E >, где V = { v i i {,, n}} есть непустое

Подробнее

Элементы теории графов. Основные определения.

Элементы теории графов. Основные определения. Элементы теории графов. Основные определения. Ориентированный граф Задано множество X={x 1,x 2,,x n }. На множестве Х задано бинарное отношение R X X Ориентированный граф упорядоченная пара множеств (X,

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год Теория Графов Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2009-2010 учебный год Outline 1 Элементы теории графов Степени вершин О машинном представлении графов Поиск

Подробнее

эти занятия проходят в разное время и 7 студентов посещают занятия по французскому и английскому языкам? Ответ: =33 студента.

эти занятия проходят в разное время и 7 студентов посещают занятия по французскому и английскому языкам? Ответ: =33 студента. III ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ Общие правила комбинаторики Комбинаторика это раздел дискретной математики, который изучает способы подсчета числа элементов различных конечных множеств Многие правила комбинаторики

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Если мы захотим изобразить схему дорожного движения в городе

Подробнее

Лекция 1: Знакомство с графами

Лекция 1: Знакомство с графами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие графа Определение Графом называется геометрическая фигура, состоящая из точек

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лекция 2: Элементарная алгебра графов

Лекция 2: Элементарная алгебра графов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгебраическое определение графа В большинстве случаев, определение графа как геометрической

Подробнее

Y 1 X 1. Рис Рис Рис Рис. 4.32

Y 1 X 1. Рис Рис Рис Рис. 4.32 7 Алгоритмы Глава Рис Рис 0 Рис Рис З а м е ч а н и е Паросочетание на рис 8 не единственное Имеется еще одно наибольшее ( ребра) паросочетание (рис ) Множества вершин, не входящие в паросочетание, это

Подробнее

Контрольная работа Вариант 2

Контрольная работа Вариант 2 Контрольная работа Вариант 2 Задача 1 Заданы множества A, B и C Считать, что элементы этих множеств образуют универсальное множество U Найти A + B + C, P( A B C), проверить равенство ( A B) C = ( A C)

Подробнее

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям. Магистратура,

Подробнее

Метрические характеристики. Матричное представление графов

Метрические характеристики. Матричное представление графов Теория конечных графов Метрические характеристики. Матричное представление графов Лектор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна

Подробнее

Задача по теории графов с решением Характеристики графа

Задача по теории графов с решением Характеристики графа ЗАДАНИЕ. Задача по теории графов с решением Характеристики графа Считая данный граф неориентированным, обозначить его вершины и рёбра разными символами и определить. 3.1. Локальные степени и окружения

Подробнее

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann»

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Определение. Графом называется простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная совокупность объектов, между каждой парой элементов

Подробнее

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики -

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - { изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - Эйлеровы графы - Эйлеровы пути и циклы - Эйлеров путь

Подробнее

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура,

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Глава 1 Элементы теории графов План. Общее определение графов, вершины, ребра, граничное отображение, инцидентные вершины и ребра, вершины, соединенные ребром, смежные вершины, смежные ребра,петля, кратное

Подробнее

Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова. Дискретная математика Часть III Теория графов

Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова. Дискретная математика Часть III Теория графов Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова Дискретная математика Часть III Теория графов Москва Российский университет дружбы народов 0 Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова Дискретная математика Часть III Теория графов

Подробнее

Тема 10. Раскрашивание графов

Тема 10. Раскрашивание графов Тема 10. Раскрашивание графов 10.1. Хроматическое число Определение. Граф G называется k-раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из k цветов таким образом, чтобы никакие две смежные

Подробнее

Ориентированные графы

Ориентированные графы Теория конечных графов Ориентированные графы Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна zarip@mail.ru Литература. Зарипова Э.Р., Кокотчикова

Подробнее

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Эйлеров цикл Определение Цикл, содержащий все ребра графа, называется эйлеровым. Граф

Подробнее

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК Задачи на графы Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua Определения Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены

Подробнее

Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann»

Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Хитров Геннадий Михайлович СПбГУ, ПМ-ПУ Граф: определение Графомназывается простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории графов. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории графов. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории графов для студентов специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах» 2014 Содержание

Подробнее

Выполнил: Орешин Денис, 9-Г класс исследование и применение метода графов в решении различных задач школьного материала.

Выполнил: Орешин Денис, 9-Г класс исследование и применение метода графов в решении различных задач школьного материала. Выполнил: Орешин Денис, 9-Г класс исследование и применение метода графов в решении различных задач школьного материала. Цель данной работы исследование и применение метода графов в решении различных задач

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

Тема: Основные понятия теории графов. Неориентированные графы. e 1. e 4. e 5. e 2

Тема: Основные понятия теории графов. Неориентированные графы. e 1. e 4. e 5. e 2 Лабораторный практикум по дисциплине «Теория конечных графов» Тема: Основные понятия теории графов Неориентированные графы Лабораторная работа Дан граф G V, E V e e e e V e V e e Определить: ) Множества

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

Сеть конечный взвешенный связный орграф без контуров и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины I (исток, вход) к вершине S

Сеть конечный взвешенный связный орграф без контуров и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины I (исток, вход) к вершине S Сеть конечный взвешенный связный орграф без контуров и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины I (исток, вход) к вершине S (сток, выход) Потоком в сети называют задание некоторой дополнительной

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 3 ВЕ Алексеев 2014 Глава 5 Графы 51 Основные понятия теории графов С понятием графа мы уже встречались, когда рассматривали бинарные отношения Напомним, что граф отношения это

Подробнее

Тема 6. Эйлеровы графы

Тема 6. Эйлеровы графы Тема 6. Эйлеровы графы 6.1. Эйлеровы графы, необходимые и достаточные условия эйлеровости Определение. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой

Подробнее

Алгоритмы на графах ч.1. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК

Алгоритмы на графах ч.1. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК Алгоритмы на графах ч.1 Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua Определения Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой

Подробнее

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах Тема 2.2.1. Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин

Подробнее

Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов. Тема Деревья и их свойства.

Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов. Тема Деревья и их свойства. Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов Тема 2.3.1. Деревья и их свойства. Выполните задания НА ЗНАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА А) граф с семью вершинами и шестью ребрами, не имеющий циклов, Б) связный

Подробнее

Лабораторный практикум по теории графов

Лабораторный практикум по теории графов Зарипова ЭР РУДН, Физ-мат Лабораторный практикум по теории графов Тема: Основные понятия теории графов Неориентированные графы Дан граф G( VE, ) (рис ): Лабораторная работа V e V e e e V e V e e Рисунок

Подробнее

Занятие 10. Графы I. Определения, хранение

Занятие 10. Графы I. Определения, хранение Занятие 10. Графы I. Определения, хранение Задачи стр. 6 Подсказки стр. 11 Разборы стр. 12 Справочник стр. 15 Многие, совершенно различные системы реального мира, например хорошо представляются при помощи

Подробнее

Беркунский Евгений Юрьевич, старший преподаватель кафедры ИУСТ, Национальный университет кораблестроения

Беркунский Евгений Юрьевич, старший преподаватель кафедры ИУСТ, Национальный университет кораблестроения Беркунский Евгений Юрьевич, старший преподаватель кафедры ИУСТ, Национальный университет кораблестроения http://berkut.homelinux.com https://twitter.com/eugenyb Граф или неориентированный граф G это упорядоченная

Подробнее

Э.Майника АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ НА СЕТЯХ И ГРАФАХ М.: Мир, 1981, 324 стр.

Э.Майника АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ НА СЕТЯХ И ГРАФАХ М.: Мир, 1981, 324 стр. Э.Майника АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ НА СЕТЯХ И ГРАФАХ М.: Мир, 1981, 324 стр. Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Глава 1. Введение в теорию графов и сетей 9 1.1. Вводные замечания 9 1.2. Некоторые

Подробнее

Теория графов. Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ

Теория графов. Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Теория графов Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Соглашения о терминологии() Обозначение графа G = (V, E), где

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. В. Гавриков, Т-неприводимые расширения объединений некоторых типов орграфов, ПДМ, 2013, номер 4(22), 47 55 Использование Общероссийского математического

Подробнее

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ А. Н. Шилин Е. Г. Зенина О. А. Крутякова АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ Учебное пособие Волгоград 6 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕР-

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.Е. Алексеев Д.В. Захарова ТЕОРИЯ ГРАФОВ Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

Графы и топология С. К. Ландо. 18 января 2018 г.

Графы и топология С. К. Ландо. 18 января 2018 г. Графы и топология С. К. Ландо 18 января 2018 г. Графы универсальный способ кодирования информации. Они удобны для представления разнообразных сведений об объектах и связях между ними. В нашем курсе мы

Подробнее

Задачу нахождения потока максимальной мощности (максимального потока) можно записать в виде

Задачу нахождения потока максимальной мощности (максимального потока) можно записать в виде 6. Потоки в сетях В данном разделе сеть это связный ориентированный граф G = (V, E) без петель и мультидуг с одним источником s и одним стоком t, в котором каждой дуге (i, j) E приписана пропускная способность

Подробнее

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы Глава 4 Приложения теоремы Жордана. Плоские графы План. Лемма о четырех точках на замкнутой ломаной, геометрический граф в топологическом пространстве, геометрический граф без самопересечений, комбинаторный

Подробнее

http://vmk.ucoz.net/ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 7. Элементы теории графов.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 7. Элементы теории графов. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова 212 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 7. Элементы теории графов.

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Лекция 3: Маршруты и связность

Лекция 3: Маршруты и связность Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определения маршрута, цепи, цикла Определение Маршрутом в графе называется последовательность

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра высшей математики Одобрено Методическим советом ПГАТИ 29 марта 2002

Подробнее

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек.

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек. Основные понятия теории графов. Граф, или неориентированный граф G = (V, E) -- это упорядоченная пара G = (V, E), где V это непустое множество вершин, а E множество пар (в случае неориентированного графа

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Л.В. Командина ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Методические рекомендации для студентов специальности «Прикладная математика» УДК.() ББК.я К Автор: доцент кафедры прикладной математики и

Подробнее

ФизМатСервис Контрольная работа «Дискретная математика и теория графов» Вариант 20 Задание 1

ФизМатСервис Контрольная работа «Дискретная математика и теория графов» Вариант 20 Задание 1 Контрольная работа «Дискретная математика и теория графов» Вариант 20 Задание 1 Построить граф, состоящий из 5 изолированных компонент мощностью 6, 6, 7, 7, 8 и 3 изолированных вершин. Во всем графе должно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Информационная безопасность»

Подробнее

ГРАФЫ графом вершинами ребрами связным простым Задача.

ГРАФЫ графом вершинами ребрами связным простым Задача. ГРАФЫ Фигура образованная конечным набором точек плоскости и отрезков, соединяющих некоторые из этих точек, называется графом (рис. 24.1, а). Точки называются вершинами, а отрезки ребрами графа. Граф называется

Подробнее

2. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

2. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 7. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ Применение теории графов облегчает составление уравнений, описывающих схему, позволяет формально составить необходимое количество независимых уравнений.

Подробнее

вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. 2 Известная «нерешаемая» задача теории графов. Можно ли любую карту

вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. 2 Известная «нерешаемая» задача теории графов. Можно ли любую карту 183 Глава 4 Графы При необходимости проанализировать взаимосвязь между достаточно большим количеством неких однородных объектов мы, скорее всего, непроизвольно начнем рисовать на бумаге точки (кружочки),

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. ЧАСТЬ 1

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. ЧАСТЬ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Часть 1. Лекции......................................... 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи.... 4 2. Биномиальные

Подробнее

ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Тема 11 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Дискретная Математика II: Планарные графы 1 / 27 План лекции 1 Понятие планарного графа 2 Формула Эйлера 3 Теорема Куратовского

Подробнее

Решение задачи коммивояжера

Решение задачи коммивояжера Решение задачи коммивояжера Напомним формулировку задачи коммивояжера (см. гл. 1). Задан полный ориентированный граф G = (V, E) с множеством вершин V = {1,, } и множеством дуг E. Каждой дуге (,j) E приписана

Подробнее

Введение в теорию графов

Введение в теорию графов Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Кафедра высшей математики А.В. Чередникова, И.В. Землякова Введение в теорию графов Рекомендовано

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра высшей математики. Ш.Ф.Арасланов ТЕОРИЯ ГРАФОВ ЛЕКЦИИ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра высшей математики. Ш.Ф.Арасланов ТЕОРИЯ ГРАФОВ ЛЕКЦИИ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Ш.Ф.Арасланов ТЕОРИЯ ГРАФОВ ЛЕКЦИИ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Подробнее

Задачи оптимизации на графах

Задачи оптимизации на графах Лекция 5 Задачи оптимизации на графах Графы Граф G = (V,E) состоит из конечного множества вершин (или узлов) V и конечного множества ребер Е. Каждое ребро связывает (соединяет) пару вершин. Если ребро

Подробнее

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и примеры Определение Деревом называется связный граф без циклов. Примеры

Подробнее

Тема: Графическое изображение графов.

Тема: Графическое изображение графов. Практическая работа Тема: Графическое изображение графов. Цель: изучить основы теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов, получить практический навык задания

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

оглавление 158 ОГЛАВЛеНИе ВВеДеНИе... 5

оглавление 158 ОГЛАВЛеНИе ВВеДеНИе... 5 оглавление ВВеДеНИе... 5 Глава 1. КОДИфИКАТОР... 7 Глава 2. СПРАВОчНЫЙ МАТеРИАЛ РАЗДеЛА «ДИСКРеТНАя МАТеМАТИКА»... 11 2.1. Элементы теории множеств...11 Множества: основные определения...11 числовые множества...11

Подробнее

ГРАФОВЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ТЕКСТОВ GRAPH METHOD OF TEXT ANALYSIS

ГРАФОВЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ТЕКСТОВ GRAPH METHOD OF TEXT ANALYSIS А.В. Ганичева, А.В. Ганичев Тверская государственная сельскохозяйственная академия, г. Тверь Тверской государственный технический университет, г. Тверь ГРАФОВЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ТЕКСТОВ GRAPH METHOD OF TEXT

Подробнее

Графы, линейные пространства и комбинаторика

Графы, линейные пространства и комбинаторика Дмитрий Саютин 12 августа 2019 Содержание 1. 1 1.1 Векторные пространства.................................. 1 1.2 Пространство циклов.................................... 1 1.3 Пространство разрезов...................................

Подробнее

Дискретная математика (летняя сессия)

Дискретная математика (летняя сессия) Дискретная математика (летняя сессия) Экзамен состоит из 5 заданий: 1. Дать определение 2. Сформулировать и доказать теорему 3-5. Задания из раздела «Теория графов». Список определений 1) Простой граф

Подробнее

Алгоритмы и структуры данных

Алгоритмы и структуры данных Алгоритмы и структуры данных Косяков Михаил Сергеевич к.т.н., доцент кафедры ВТ Тараканов Денис Сергеевич ассистент кафедры ВТ Бабаянц Александр Амаякович https://vk.com/algoclass_2018 Содержание курса

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 4325 РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Методические указания Рязань 2010 УДК 519.17 Элементы теории графов: методические

Подробнее

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C)

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C) Теория множеств. Множество это первичное неопределяемое понятие математики (как, например, точка в геометрии). Слова «набор», «совокупность», «семейство» употребляют в качестве его синонимов. Пример 1.

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Семинар 1 Элементы теории графов 1. Проложить маршруты в заданной железнодорожной сети так, чтобы каждый отрезок пути обслуживался ровно одним маршрутом. 2. Пусть G - граф; обозначим через a(k) число вершин

Подробнее

1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями.

1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями. 1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями. Таблица истинности. Определение высказывания. Высказыванием называется некоторое повествовательное утверждение, про

Подробнее

О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ Е. О. Карманова.

О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ Е. О. Карманова. ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2011 Прикладная теория графов 2(12) УДК 512.2 О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ Е. О. Карманова Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия E-mail:

Подробнее

М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ Ижевск: НИЦ "РХД", 2001, 288 стр. Изложен ряд основных разделов

М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ Ижевск: НИЦ РХД, 2001, 288 стр. Изложен ряд основных разделов М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ Ижевск: НИЦ "РХД", 2001, 288 стр. Изложен ряд основных разделов теории графов и матроидов. Рассмотрены алгоритмы дискретной

Подробнее

2. Порядок организации и проведения конкурса Дата: 20 декабря 2015 г. Место проведения: Комсомольская пл.5, ауд.301

2. Порядок организации и проведения конкурса Дата: 20 декабря 2015 г. Место проведения: Комсомольская пл.5, ауд.301 Условия проведения первого этапа для участников Межрегиональной многопрофильной олимпиады школьников Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина Номинация «Математика» 1. Цели и задачи

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее