Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов"

Транскрипт

1 Элементы теории графов Деревья, плоские графы, раскраски графов

2 Дерево Деревом называется неориентированный связный граф, не содержащий циклов. В дереве существует один и только соединяющий каждую пару вершин. один путь, Дерево с n вершинами имеет n- ребро. Листьями называются вершины дерева, имеющие степень n=7 7 вершин, ребер Листья {,,,7} 7

3 Свойства дерева. Добавление ребра При добавлении к дереву любого нового ребра образуется цикл. Дерево 7 При добавлении ребра (,) образуется цикл (,,,) При добавлении ребра (,) образуется цикл (,,,,) 7

4 Свойства дерева. Удаление ребра При удалении из дерева любого ребра граф перестает быть связным (число компонент связности увеличивается). Любое ребро дерева является мостом. Дерево 7 7 При удалении ребра (,) граф разбивается на компоненты связности: ({,}, {(,)}) и {,,,,7}, {(,),(,)(,),(,7)}

5 Свойства дерева. Центр дерева Центр дерева состоит из вершины или -х смежных вершин. Матрица расстояний: 7 7 ecc Радиус дерева равен. Центр дерева вершины {,}

6 Каркас Из любого связного неориентированного графа с n вершинами и m ребрами можно получить дерево путем удаления m-n+ ребер. Такое дерево называется каркасом графа. Каркасов может быть несколько. Исходный граф n=, m=8 m-n+= Каркас Удалены ребра: (,), (,), (,) Каркас Удалены ребра: (,), (,), (,) Радиус равен Радиус равен

7 Плоский граф Плоским графом называется связный неориентированный граф, который можно изобразить на плоскости так, что никакие два его ребра геометрически не пересекаются нигде, кроме инцидентной им обоим вершины. Изображение графа, в котором никакие два его ребра не пересекаются, если не считать точками пересечения общие вершины, называют плоским представлением графа Этот граф является плоским. Плоское представление

8 Грани плоского графа Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов. Всегда имеется одна неограниченная внешняя грань, все остальные грани называются внутренними. C А B Граф содержит грани: внешнюю и внутренних (A, B, C) У дерева имеется только одна (внешняя) грань

9 Формула Эйлера Количество граней в плоском представлении плоского графа, имеющего n вершин и m ребер, равно m-n+ n =, m = 8 C А количество граней k = 8-+ = B n =, m = количество граней k = -+ =

10 Следствия формулы Эйлера Пусть в плоском графе n вершин (n ) и m ребер.. m *(n-) граф является плоским n =, m = 7 7 *(-) = 9. Если в графе нет циклов длины, то m *(n-) Граф является плоским, в нем нет циклов длины n =, m = 7 7 *(-) = 8 Следствия задают необходимые, но не достаточные условия проверки того, что граф является плоским.

11 Примеры неплоских графов Полный граф с вершинами не является плоским n =, m = 0 -е следствие не выполняется: 0 *(-) = 9 неверно Граф не является плоским и не содержит циклов длины n =, m = 9 -е следствие выполняется: 9 *(-) = верно -е следствие не выполняется: 9 *(-) = 8 неверно

12 Эйлеров путь. Эйлеров граф Эйлеровым путем в графе называется путь, в котором каждое ребро графа встречается ровно раз. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, в котором каждое ребро графа встречается ровно раз. Связный граф называется эйлеровым графом, если в нем существует эйлеров цикл. не эйлеров граф эйлеров граф; эйлеров цикл (,,,,,,)

13 Свойство эйлерова графа Для того, чтобы граф являлся эйлеровым графом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными. не эйлеров граф; степень вершины равна эйлеров граф; степени всех вершин равны

14 Пример эйлерова цикла Все степени эйлеровым. вершин четные, Степени вершин: P() = P() = P() = P() = P() = P() = поэтому граф является Эйлеров цикл: (,,,,,,,,,) Этот цикл не является простым, поскольку в нем встречаются одинаковые вершины.

15 Раскраска вершин графа. Правильная раскраска вершин. Раскраской вершин неориентированного связного графа называется функция, определенная на множестве вершин графа и принимающая значения на множестве цветов. Раскраску можно также рассматривать как разбиение множества вершин на непересекающиеся подмножества вершин одинакового цвета (такие подмножества называют цветными классами). Раскраска вершин называется правильной, если любые две смежные вершины имеют разные цвета. Множество вершин графа {,,,,} Множество цветов {A,B} Правильная раскраска: {(,A), (,B), (,A), (,B), (,A)} Цветные классы: {,,} и {,}

16 Хроматическое число Задача о раскраске вершин состоит в нахождении правильной раскраски вершин графа G в наименьшее число цветов. Это число называется хроматическим числом графа G (обозначается X(G)). Общего решения задачи о раскраске вершин не найдено, установлены только верхние границы. Если наибольшая из степеней вершин графа G равна p (p ), то X(G) (p+) Для полного графа хроматическое число равно количеству вершин Степени всех вершин равны X=

17 Теорема о хроматическом числе Если G - связный граф, не являющийся полным, и наибольшая из степеней его вершин равна p (p ), то X(G) p Степени вершин графа P()=; P()=; P()=; P()=; P()= p=, X= Степени вершин графа P()=; P()=; P()=; P()=; P()= p=, X=

18 Раскраска ребер графа. Правильная раскраска ребер. Раскраской ребер неориентированного связного графа называется функция, определенная на множестве ребер графа и принимающая значения на множестве цветов. Раскраску можно также рассматривать как разбиение множества ребер на непересекающиеся подмножества ребер одинакового цвета. Раскраска ребер называется правильной, если любые два смежных ребра имеют разные цвета. Множество цветов {A,B,C} Правильная раскраска: {(,), (,)} {(,), (,)} {(,), (,)}

19 Хроматический индекс Хроматический индекс графа G (обозначается XI(G)) наименьшее число цветов, которые необходимы для правильной раскраски этого графа. Если наибольшая из степеней вершин графа G равна p (p ), то p XI(G) (p+) p=, XI= p=, XI=

Тема 10. Раскрашивание графов

Тема 10. Раскрашивание графов Тема 10. Раскрашивание графов 10.1. Хроматическое число Определение. Граф G называется k-раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из k цветов таким образом, чтобы никакие две смежные

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы Глава 4 Приложения теоремы Жордана. Плоские графы План. Лемма о четырех точках на замкнутой ломаной, геометрический граф в топологическом пространстве, геометрический граф без самопересечений, комбинаторный

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики -

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - { изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - Эйлеровы графы - Эйлеровы пути и циклы - Эйлеров путь

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ Существуют два классических понятия, связанных с обходами графов: эйлеров цикл и гамильтонов цикл. Определение 1: Эйлеров цикл (в графе) цикл, который содержит все ребра этого графа.

Подробнее

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах Тема 2.2.1. Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин

Подробнее

Лекция 10: Критерии планарности

Лекция 10: Критерии планарности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Теорема Эйлера о плоских графах На этой лекции мы продолжаем изучение свойств плоских

Подробнее

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера Содержание Введение 1. Основные понятия теории графов 2. Степень вершины 3. Маршруты, цепи, циклы 5. Ориентированные графы 6. Изоморфизм графов 7. Плоские графы 8. Операции над графами 9. Способы задания

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n

Подробнее

Основы теории графов. Оглавление

Основы теории графов. Оглавление Основы теории графов Оглавление Введение в теорию графов... Основные понятия... Матрица смежности... 8 Матрица инциденции... 0 Операции над графами... Операции над графами... Эйлеров путь... 7 Основы теории

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях G.. Направленные графы Различают направленные и ненаправленные графы. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА G. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Направленным графом G называется пара G = < V, E >, где V = { v i i {,, n}} есть непустое

Подробнее

Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться).

Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться). Маршруты, пути и циклы в графах 1. Маршруты, пути и циклы Маршрутом в графе G=(V, E) называется конечная последовательность смежных ребер вида: (v0,v1), (v1,v2), (v2,v3),,(vk-1,vk), или маршрутом можно

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ Лекция 6 Элементы теории графов Новоселецкий Валерий Николаевич к.ф.-м.н., доц. каф. биоинженерии valery.novoseletsky@yandex.ru Сайт курса http://intbio.org/bioinf2018 2 Задача

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО "АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Факультет математики и информационных технологий Кафедра алгебры и математической логики ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ Составитель:

Подробнее

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа.

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям.

Подробнее

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и примеры Определение Деревом называется связный граф без циклов. Примеры

Подробнее

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа.

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su Лекции

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Глава 1 Элементы теории графов План. Общее определение графов, вершины, ребра, граничное отображение или отображение инцидентности, инцидентные вершины и ребра, вершины, соединенные ребром, смежные вершины,

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

Определение. Из определения не следует, что все вершина из доли X должна быть смежна с вершиной из доли Y.

Определение. Из определения не следует, что все вершина из доли X должна быть смежна с вершиной из доли Y. Определение Определение Граф G = (V, E) называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два непересекающихся непустых подмножества (доли) X и Y так, что любые две вершины из одной доли

Подробнее

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов.

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов. Практическая работа Тема: Графическое изображение графов. Цель: изучить основы теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов, получить практический навык задания

Подробнее

После промежуточного финиша.

После промежуточного финиша. CIS-ГРАФЫ Напомним основные определения. Пусть дан граф G. Подграфом графа G на вершинах v 1, v 2,...,v n (где v 1, v 2,...,v n часть вершин графа G) называется граф, вершинами которого являются вершины

Подробнее

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности;

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности; Занятие 4 Деревом называется связный граф без простых циклов длины более двух. Теорема 1 (Эквивалентные определения дерева). Для любого графа G, имеющего ровно n вершин и m ребер, следующие условия эквивалентны:

Подробнее

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина ) Для графа, заданного своей матрицей инциденций e e e3 e4 e5 e6 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 требуется: ) построить граф; ) найти степень каждой из его вершин; 3) записать

Подробнее

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год Теория Графов Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2009-2010 учебный год Outline 1 Элементы теории графов Степени вершин О машинном представлении графов Поиск

Подробнее

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгоритм последовательной раскраски В

Подробнее

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Графом G называется пара множеств V и E (G =(V, E)), где V - непустое множество, а Е некоторое множество пар элементов множества V (E = {(v i, v j )}, i= 1, 2, 3,, n; j = 1, 2,

Подробнее

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой).

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой). 1. ГРАФЫ Графы можно рассматривать как простейшие геометрические объекты. Принято считать, что начало теории графов положил Л. Эйлер, предложив строгое решение широко известной в то время задачи о семи

Подробнее

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой).

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой). 1. ГРАФЫ Графы можно рассматривать как простейшие геометрические объекты. Принято считать, что начало теории графов положил Л. Эйлер, предложив строгое решение широко известной в то время задачи о семи

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ "ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ" ПРЕДИСЛОВИЕ. В курсе лекций по высшей математике, читаемом студентам инженерных специальностей, предусматривается знакомство с основами

Подробнее

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г.

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. G(V, Е, f) V,E множества, отображение инциденции f: Е V&V множества Е в V&V V={A,В,С,D,F,Н,P} множество точек, E={a,b,с,d,e,f,g,h,p,l}

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 3 ВЕ Алексеев 2014 Глава 5 Графы 51 Основные понятия теории графов С понятием графа мы уже встречались, когда рассматривали бинарные отношения Напомним, что граф отношения это

Подробнее

лекции 2 4 Лекция. Матроиды

лекции 2 4 Лекция. Матроиды Матроиды пересечение матроидов лекции 2 4 1 Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество E вместе с семейством I подмножеств множества E, замкнутым относительно включения, т.е. если

Подробнее

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин.

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Цель работы: задание графа, вычисление степеней вершин. Содержание работы: Основные понятия. Граф G - совокупность двух множеств: вершин

Подробнее

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек.

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек. Основные понятия теории графов. Граф, или неориентированный граф G = (V, E) -- это упорядоченная пара G = (V, E), где V это непустое множество вершин, а E множество пар (в случае неориентированного графа

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Содержание курса Введение. Определения. Основные понятия. Способы задания графов. Основные типы графов. Операции над графами. Маршруты,

Подробнее

Дискретная математика (летняя сессия)

Дискретная математика (летняя сессия) Дискретная математика (летняя сессия) Экзамен состоит из 5 заданий: 1. Дать определение 2. Сформулировать и доказать теорему 3-5. Задания из раздела «Теория графов». Список определений 1) Простой граф

Подробнее

Лекция 11: Раскраска графа

Лекция 11: Раскраска графа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Происхождение понятия раскраски графа В приложениях теории графов нередко возникают задачи,

Подробнее

Оптимизация на графах

Оптимизация на графах М Е Т О Д Ы И А Л Г О Р И Т М Ы Т Е О Р И И Г Р А Ф О В Оптимизация на графах Понятие экстремального числа графа Цикломатическое число графа Число внутренней устойчивости графа Алгоритмы поиска наибольших

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над

Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над графами Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

Подробнее

Алгоритм плоской укладки графов

Алгоритм плоской укладки графов Алгоритм плоской укладки графов Иринёв Антон, Каширин Виктор Оглавление 1. Введение.... Основные определения.... Задача о плоской укладке.... Теорема (Понтрягин-Куратовский).... Гамма-алгоритм.... Корректность

Подробнее

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Обычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение многогранника. Определение.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Обычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение многогранника. Определение. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Обычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Семинар 1 Элементы теории графов 1. Проложить маршруты в заданной железнодорожной сети так, чтобы каждый отрезок пути обслуживался ровно одним маршрутом. 2. Пусть G - граф; обозначим через a(k) число вершин

Подробнее

http://vmk.ucoz.net/ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Подробнее

Лекция 1: Знакомство с графами

Лекция 1: Знакомство с графами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие графа Определение Графом называется геометрическая фигура, состоящая из точек

Подробнее

Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов. Тема Деревья и их свойства.

Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов. Тема Деревья и их свойства. Тема 2.3. Деревья. Характеристики графов Тема 2.3.1. Деревья и их свойства. Выполните задания НА ЗНАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА А) граф с семью вершинами и шестью ребрами, не имеющий циклов, Б) связный

Подробнее

Элементы геометрической теории графов

Элементы геометрической теории графов Лекция 1 Элементы геометрической теории графов План лекции. Задача Л. Эйлера о кёнигсбергских мостах, граф, вершины, ребра, кратность ребра и кратные ребра, петли, комбинаторные графы, букет окружностей,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 24 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ

ЛЕКЦИЯ 24 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ ЛЕКЦИЯ 24 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ 1. Формула Эйлера для плоских графов Определение 44: Плоским графом называется изображение графа на плоскости без самопересечений. Замечание Граф не есть то же самое, что плоский

Подробнее

Степенные множества графов. АВТОРЕФЕРАТ дипломной работы

Степенные множества графов. АВТОРЕФЕРАТ дипломной работы Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 3: Маршруты и связность

Лекция 3: Маршруты и связность Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определения маршрута, цепи, цикла Определение Маршрутом в графе называется последовательность

Подробнее

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Теория конечных графов. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru

Подробнее

Контрольная работа Вариант 2

Контрольная работа Вариант 2 Контрольная работа Вариант 2 Задача 1 Заданы множества A, B и C Считать, что элементы этих множеств образуют универсальное множество U Найти A + B + C, P( A B C), проверить равенство ( A B) C = ( A C)

Подробнее

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи, сводимые к задаче о раскраске Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные

Подробнее

ГРАФЫ графом вершинами ребрами связным простым Задача.

ГРАФЫ графом вершинами ребрами связным простым Задача. ГРАФЫ Фигура образованная конечным набором точек плоскости и отрезков, соединяющих некоторые из этих точек, называется графом (рис. 24.1, а). Точки называются вершинами, а отрезки ребрами графа. Граф называется

Подробнее

Метрические характеристики. Матричное представление графов

Метрические характеристики. Матричное представление графов Теория конечных графов Метрические характеристики. Матричное представление графов Лектор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 7. Задача выбора маршрутов и ее частный случай задача распределения рейсов по дням. Графовая модель для задачи распределения рейсов. Хроматическое число графа. Критерий двураскрашиваемости графа.

Подробнее

Решение. 1 = 10 ребер и 6 вершин (по числу m ребер графа G).

Решение. 1 = 10 ребер и 6 вершин (по числу m ребер графа G). Неориентированные графы Раздел... Пример. Построить реберный граф для графа на рис., c. 0. Решение Задачу решим графически, с помощью прямого построения реберного графа по определению. В центре каждого

Подробнее

1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями.

1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями. 1.Высказывания, предикаты. Правила построения отрицаний. Операции над высказываниями. Таблица истинности. Определение высказывания. Высказыванием называется некоторое повествовательное утверждение, про

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 4. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим

Подробнее

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям. Магистратура,

Подробнее

Лабораторный практикум по теории графов

Лабораторный практикум по теории графов Зарипова ЭР РУДН, Физ-мат Лабораторный практикум по теории графов Тема: Основные понятия теории графов Неориентированные графы Дан граф G( VE, ) (рис ): Лабораторная работа V e V e e e V e V e e Рисунок

Подробнее

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.Е. Алексеев Д.В. Захарова ТЕОРИЯ ГРАФОВ Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ РЁБЕР УНИЦИКЛИЧЕСКИХ ГРАФОВ ) А. В. Пяткин

О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ РЁБЕР УНИЦИКЛИЧЕСКИХ ГРАФОВ ) А. В. Пяткин УДК 519.2+621.391 ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Май июнь 2014. Том 21, 3. C. 76 81 О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ РЁБЕР УНИЦИКЛИЧЕСКИХ ГРАФОВ ) А. В. Пяткин Аннотация. Мультираскраской рёберно взвешенного

Подробнее

Лекция 7: графы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук. (Осень 2014 весна 2015)

Лекция 7: графы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук. (Осень 2014 весна 2015) Лекция 7: графы Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Какие бывают графы Неформально граф это набор точек и линий, соединяющих эти точки. Формальных определений

Подробнее

3-раскрашиваемые графы с запретами на рёбрах

3-раскрашиваемые графы с запретами на рёбрах 3-раскрашиваемые графы с запретами на рёбрах И.А.Павлов 1), К.А.Хадаев 2) 1) Гимназия 6, ул. Вяземская, 4, 630117, Новосибирск; jediananas@yandex.ru 2) Гимназия 1, Красный пр., 48, 630091, Новосибирск;

Подробнее

Разложение расстановок чисел в кубе

Разложение расстановок чисел в кубе Разложение расстановок чисел в кубе И. Решетников arxiv:1412.8078v1 [math.co] 27 Dec 2014 Аннотация Подмножество M R 3 называется базисным, если для любой функции f: M R существуют такие функции f 1 ;f

Подробнее

Лекция 4. Матроиды -1-

Лекция 4. Матроиды -1- Матроиды Лекция 4. Матроиды -1- E I подмножеств множества E, замкнутым A I и A' A, то A ' I. Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество вместе с семейством относительно включения,

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

Программа "зимнего"коллоквиума по дискретной математике(основной поток)

Программа зимнегоколлоквиума по дискретной математике(основной поток) Программа "зимнего"коллоквиума по дискретной математике(основной поток) В начале коллоквиума Вы получите билет, в котором будет три вопроса: контрольный вопрос на понимание определения, задача на понимание

Подробнее

Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток)

Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток) Программа коллоквиума по дискретной математике (основной поток) В начале коллоквиума Вы получите билет, в котором будет три вопроса: вопрос на знание определений, задача, вопрос на знание доказательств.

Подробнее

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Если мы захотим изобразить схему дорожного движения в городе

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Практическая работа 13 «Построения остовного дерева» Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий. 1.

Практическая работа 13 «Построения остовного дерева» Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий. 1. Практическая работа «Построения остовного дерева» Цели занятия: - закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений; - научиться строить графы; - научиться строить остовное

Подробнее

А. А. Вахтин. Воронежский государственный университет

А. А. Вахтин. Воронежский государственный университет УДК 519.642:539.3:624.044:624.15 Интерактивные Методы построения пространственной гранично-элементной сетки А. А. Вахтин Воронежский государственный университет Рассматриваются алгоритмы построения пространственной

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 5. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Задача по теории графов с решением Характеристики графа

Задача по теории графов с решением Характеристики графа ЗАДАНИЕ. Задача по теории графов с решением Характеристики графа Считая данный граф неориентированным, обозначить его вершины и рёбра разными символами и определить. 3.1. Локальные степени и окружения

Подробнее

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея.

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su Наследственное

Подробнее

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Эйлеров цикл Определение Цикл, содержащий все ребра графа, называется эйлеровым. Граф

Подробнее

III САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. Задача 1. Определители

III САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. Задача 1. Определители III САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ Задача 1. Определители Напомним, что на множестве квадратных матриц размера n есть функция, сопоставляющая матрице некоторое число, которое называется определителем

Подробнее

Лекция по алгоритмам #10 Тема: DFS

Лекция по алгоритмам #10 Тема: DFS Лекция по алгоритмам #10 Тема: DFS 11 ноября Собрано 1 января 2015 г. в 19:55 1 Компоненты рёберной двусвязности и мосты 1.1 Основные понятия Рассматриваем связный неориентированный граф G. Определение.

Подробнее

Лекция 9: Плоские и планарные графы

Лекция 9: Плоские и планарные графы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Происхождение понятий плоского и планарного графа Все задачи о графах, рассмотренные

Подробнее

2. Порядок организации и проведения конкурса Дата: 20 декабря 2015 г. Место проведения: Комсомольская пл.5, ауд.301

2. Порядок организации и проведения конкурса Дата: 20 декабря 2015 г. Место проведения: Комсомольская пл.5, ауд.301 Условия проведения первого этапа для участников Межрегиональной многопрофильной олимпиады школьников Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина Номинация «Математика» 1. Цели и задачи

Подробнее

Лекция 7: Двудольные графы

Лекция 7: Двудольные графы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и пример Определение Граф G = V,E называется двудольным, если существуют

Подробнее

Программа "зимнего"коллоквиума по дискретной математике(основной поток)

Программа зимнегоколлоквиума по дискретной математике(основной поток) Программа "зимнего"коллоквиума по дискретной математике(основной поток) В начале коллоквиума Вы получите билет, в котором будет три вопроса: контрольный вопрос на понимание определения, задача на понимание

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов -

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - { основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - полный граф - смежность, инцидентность, степени - локальные

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Глава 1 Элементы теории графов План. Общее определение графов, вершины, ребра, граничное отображение, инцидентные вершины и ребра, вершины, соединенные ребром, смежные вершины, смежные ребра,петля, кратное

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Г. Визинг, Дистрибутивная раскраска вершин графа, Дискретн. анализ и исслед. опер., 1995, том 2, номер 4, 3 12 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Графы, линейные пространства и комбинаторика

Графы, линейные пространства и комбинаторика Дмитрий Саютин 12 августа 2019 Содержание 1. 1 1.1 Векторные пространства.................................. 1 1.2 Пространство циклов.................................... 1 1.3 Пространство разрезов...................................

Подробнее

Задачи на решётках. В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов

Задачи на решётках. В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов Задачи на решётках В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов 1 Базисы решёток 1. Пара векторов a = me 1 + ne 2 и b = ke 1 + le 2, где m, n, k, l целые числа, тогда и только тогда порождает ту же решетку,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Г. Визинг, Полухроматическое число графа, Дискретн. анализ и исслед. опер., 2013, том 20, номер 1, 3 11 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Многогранники. Глава Многоугольники

Многогранники. Глава Многоугольники Глава 5 Многогранники План. Многоугольник, ограниченным замкнутой ломаной без самопересечений, внутренность, внешность и граница многоугольника, пространственный многоугольник, плоскость многоугольника,

Подробнее