Метрические характеристики. Матричное представление графов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Метрические характеристики. Матричное представление графов"

Транскрипт

1 Теория конечных графов Метрические характеристики. Матричное представление графов Лектор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна

2 Литература. Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г. Лекции по дискретной математике: Теория графов. Учебное пособие. М., изд-во: РУДН, 203, 62 с. 2. Харари Ф. «Теория графов», М.: КомКнига, с. 3. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. «Элементы дискретной математики». Учебник. М.: Инфра-М; Новосибирск: НГТУ, с. 4. Шапорев С.Д. «Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий». СПб.: БХВ-Петербург, с.: ил. 5. Сайт кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН (информационный ресурс). Режим доступа: свободный. 6. Учебный портал кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН (информационный ресурс) Режим доступа: для зарегистрированных пользователей. 7. Учебный портал РУДН, раздел «Теория конечных графов» 2

3 Метрические характеристики Рассмотрим связный невзвешенный неорграф G ( E, ),,,. k Пусть d(, ) длина (количество ребер) кратчайшей простой цепи между и, и положим, что d(, ), если и находятся в разных компонентах связности. Такое расстояние будет удовлетворять следующим аксиомам метрики: ) d(, ) 0, 2) d(, ) 0, 3) d(, ) d(, ), 4) d(, ) d(, ) d(, ). k k 3

4 Метрические характеристики Эксцентриситетом фиксированной вершины величина e( ) max d(, ). называется Диаметром графа G ( E, ) называется величина d( G) max e( ). Вершина называется периферийной, если e( ) d( G). Радиусом графа G ( E, ) называется величина r( G) mn e( ). Вершина называется центральной, если e( ) r( G). Множество всех центральных вершин графа называется его центром. 4

5 Матрица инцидентности для неорграфа Пусть G ( E, ) неорграф, имеющий n вершин ( n ) и m ребер ( E m ), т.е.,,..., 2 n, E e, e,..., e 2 m. Матрицей инцидентности для графа G ( E, ) будет называться матрица: A e e... e 2 A a a [ ],, n,, m 2,... n m 5

6 Матрица инцидентности для неорграфа где a, 0, если ребро e не инцидентно вершине ;, если ребро e инцидентно вершине ; 2, если ребро e - петля в вершине. и, n,, m. Свойство : a n m a 2, a a,, ( ). В каждом столбце ровно по две единицы, кроме столбцов, соответствующих петлям. В столбцах, соответствующих петлям, только одна цифра 2. Свойство 2: В случае, когда граф можно разбить на два или более несвязных компоненты, то матрица инцидентности будет иметь блочнодиагональную структуру при условии, что вершины первой компоненты пронумерованы первыми, второй компоненты вторыми, и т.д. (то есть по возрастанию). 6

7 Матрица инцидентности для неорграфа e 5 e 2 4 e 3 e 2 e e 4 Пример. Составить для неорграфа матрицу инцидентности. Заметим, что граф не является связным, вершины и ребра пронумерованы последовательно по компонентам 7

8 Матрица инцидентности для примера в блочно-диагональном виде Так как ребро e соединяет вершины и, то в первом 2 столбце первой строке ставим единицу и в первом столбце и второй строке ставим единицу, так как ребро e является петлей в 5 вершине, то в пятом столбце и четвертой строки ставим цифру 4 2, и так далее: e 2 e 2 3 e 4 e e 6 e 5 A A e e e e e e

9 Матрица смежности для неорграфов Пусть G ( E, ) неорграф, имеющий n вершин ( n,,,..., ). Матрицей смежности для неорграфа G ( E, ) 2 n будет называться матрица B : B... 2 n B[ b ] b,,, n 2,... n b { число ребер одновременно инцидентных вершинам и,,,, n.} Свойство. Матрица смежности для неорграфов всегда является симметричной матрицей относительно главной диагонали. 9

10 Матрица смежности для неорграфа e 5 e 2 4 e 3 e 2 e e 4 Пример 2. Составить для неорграфа матрицу смежности. Заметим, что граф не является связным, вершины и ребра пронумерованы последовательно по компонентам 0

11 Матрица смежности для примера 2 e 2 e 2 3 e 4 e e 6 e 5 B B Вершины и соединены одним ребром, следовательно, в 2 первой строке и втором столбце стоит единица, и во второй строке и первом столбце тоже единица. Обратите внимание, хотя есть петли, в матрице смежности они обозначатся цифрой, т.к. одна петля. Матрица является симметричной относительно главной диагонали.

12 Матрица инцидентности для орграфа Пусть G E, орграф, имеющий n вершин ( n ) и m дуг ( E m ):,,..., 2 n, E e, e,..., e 2 m. Матрицей инцидентности для орграфа G E, будет называться матрица A : A e e... e 2 m A[ a ] a, n,, m,, n,, m 2,... n 0, если дуга e не инцидентна вершине ; где, если дуга e положительно инцидентна вершине (т.е. выходит из вершины ); a,, если дуга отрицательно инцидентна вершине (т.е. входит в вершину ); 2, если дуга e - петля в вершине, 2

13 Матрица инцидентности для орграфа e 2 5 e 2 e e 4 Пример 3. Составить для орграфа матрицу инцидентности. Заметим, что граф не является связным, вершины и ребра пронумерованы последовательно по компонентам 3

14 Матрица инцидентности для примера 3 e 2 3 e 2 e 4 4 e 3 5 Так как дуга e направлена из вершины в, то в первой 2 строке первого столбца стоит, а во второй строке первого столбца стоит -. Петля в вершине дает в четвертой строке и 4 четвертом столбце цифру 2, и так далее. A e e e e A

15 Матрица смежности для орграфа Пусть G E, орграф, имеющий n вершин ( n,,,..., ). Матрицей смежности для орграфа G E, 2 n будет называться квадратная матрица B : B... 2 B b b [ ],,, n 2,... n n где b число дуг, направленных от вершины,,, n. к вершине, 5

16 Матрица смежности для орграфа e 2 5 e 2 e e 4 Пример 4. Составить для орграфа матрицу смежности. Заметим, что граф не является связным, вершины и ребра пронумерованы последовательно по компонентам 6

17 Матрица смежности для примера 4 e 2 e 2 3 e 4 4 e 3 5 B B Отметим, что граф G E, является несвязным, и это отражено в блочно-диагональной структуре матрицы инцидентности и смежности. 7

18 Список смежности для слабосвязных графов Списком смежности вершины называется множество вершин, смежных с ней. u( ) :(, ) E (для неорграфа) и u( ) :, E (для орграфов). 8

19 Список смежности для слабосвязных графов Пример 5. Составить для орграфа список смежности. 9

20 Список смежности для примера u( ) {, }, 3 4 u( ) { }, 2 3 u( ) { }, 3 u( ) { }

21 Теорема о числе ормаршрутов между двумя вершинами орграфа n Матрица B дает число ориентированных маршрутов длины n между любыми двумя вершинами ориентированного графа. 2

22 Теорема о числе ормаршрутов между двумя вершинами орграфа Доказательство. (доказательство проводится методом математической индукции) ) Рассмотрим граф G E,. Пусть m. Введем обозначения: b число дуг, соединяющих вершину с вершиной, k, k b число дуг, соединяющих вершину с вершиной, k, k (2) b число различных ориентированных маршрутов, длины 2 (то есть маршрут состоит из двух дуг) от вершины вершине и проходящих через вершину, k, m. k Тогда m k b b b (2), k k,,. Теорема очевидна для 2 B. к 22

23 Теорема о числе ормаршрутов между двумя вершинами орграфа n 2) Пусть теорема верна для матрицы. Покажем, что она верна n n для матрицы B B B. ( n ) Если b число всех ормаршрутов длины ( n ) от к, k k, B b число дуг от вершины к, то k, k b ( n) b число всех ормаршрутов от к, k k, через. k Тогда, проходящих m ( n) ( n) b b b число всех ормаршрутов длины n, k k,, k ( n) направленных от к и, Замечание : Если существует, b элемент матрицы n B. n l n l : B 0, то в графе нет циклов. Замечание 2: Теорема верна и для неориентированных графов. 23

24 Псевдограф Псевдографом называется граф, в котором допускаются петли и кратные параллельные ребра. 3 2 Пример 6. 24

25 Мультиграф Мультиграфом называется граф, в котором допускаются параллельные ребра и нет петель. 3 2 Пример 7. 25

26 Простой неорграф Неорграф называется простым, если он не содержит петель и кратных параллельных ребер. 3 2 Пример 8. 26

27 Планарные и плоские графы Граф называется плоским, если он изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются его вершинами. Граф называется планарным, если он изоморфен плоскому графу. G 5 G Пример 9. Планарный и плоский графы 27

28 Планарные и плоские графы G 3 5 G Пример 0. Планарный и плоский графы 28

29 Упражнение: определить, является ли граф плоским? планарным? G Пример. Объясните свои суждения при выполнении упражнения 29

30 Планарные и плоские графы G 6 5 G Пример. Планарный и плоский графы 30

31 Матрица весов Для графа G ( E, ), где определяется следующим образом: W... n... w, n, матрица весов W n,, n минимальный вес ребра от вершины до вершины, w 0, если,,, если ребра (, ) не существует. 3

32 Тема следующей лекции: «Алгоритм Краскала» 32

Ориентированные графы

Ориентированные графы Теория конечных графов Ориентированные графы Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна zarip@mail.ru Литература. Зарипова Э.Р., Кокотчикова

Подробнее

Теория конечных графов. Алгоритм Дейкстры

Теория конечных графов. Алгоритм Дейкстры Теория конечных графов Алгоритм Дейкстры Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Литература 1. Зарипова Э.Р., Кокотчикова

Подробнее

Теория конечных графов. Алгоритм почтальона

Теория конечных графов. Алгоритм почтальона Теория конечных графов Алгоритм почтальона Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarp@mal.ru Литература 1. Зарипова Э.Р., Кокотчикова

Подробнее

Теория конечных графов. Алгоритм Краскала

Теория конечных графов. Алгоритм Краскала Теория конечных графов Алгоритм Краскала Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Литература. Зарипова Э.Р., Кокотчикова

Подробнее

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы

1. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Теория конечных графов. Организация учебного процесса 2. Неориентированные графы Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru

Подробнее

Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова. Дискретная математика Часть III Теория графов

Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова. Дискретная математика Часть III Теория графов Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова Дискретная математика Часть III Теория графов Москва Российский университет дружбы народов 0 Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова Дискретная математика Часть III Теория графов

Подробнее

Лабораторный практикум по теории графов

Лабораторный практикум по теории графов Зарипова ЭР РУДН, Физ-мат Лабораторный практикум по теории графов Тема: Основные понятия теории графов Неориентированные графы Дан граф G( VE, ) (рис ): Лабораторная работа V e V e e e V e V e e Рисунок

Подробнее

Тема: Основные понятия теории графов. Неориентированные графы. e 1. e 4. e 5. e 2

Тема: Основные понятия теории графов. Неориентированные графы. e 1. e 4. e 5. e 2 Лабораторный практикум по дисциплине «Теория конечных графов» Тема: Основные понятия теории графов Неориентированные графы Лабораторная работа Дан граф G V, E V e e e e V e V e e Определить: ) Множества

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин.

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Цель работы: задание графа, вычисление степеней вершин. Содержание работы: Основные понятия. Граф G - совокупность двух множеств: вершин

Подробнее

Задача по теории графов с решением Характеристики графа

Задача по теории графов с решением Характеристики графа ЗАДАНИЕ. Задача по теории графов с решением Характеристики графа Считая данный граф неориентированным, обозначить его вершины и рёбра разными символами и определить. 3.1. Локальные степени и окружения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ "ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ" ПРЕДИСЛОВИЕ. В курсе лекций по высшей математике, читаемом студентам инженерных специальностей, предусматривается знакомство с основами

Подробнее

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики -

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - { изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - Эйлеровы графы - Эйлеровы пути и циклы - Эйлеров путь

Подробнее

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина

e i (в случае неориентированного графа ребро v j - начало ребра e i. Если в матрице v j - инцидентная ей вершина. Если в матрице указан 0, то вершина ) Для графа, заданного своей матрицей инциденций e e e3 e4 e5 e6 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 требуется: ) построить граф; ) найти степень каждой из его вершин; 3) записать

Подробнее

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура,

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа

Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах. Тема Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния. Задачи об обходах Тема 2.2.1. Маршруты, циклы, связность, расстояния, диаметр и центр графа Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

эти занятия проходят в разное время и 7 студентов посещают занятия по французскому и английскому языкам? Ответ: =33 студента.

эти занятия проходят в разное время и 7 студентов посещают занятия по французскому и английскому языкам? Ответ: =33 студента. III ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ Общие правила комбинаторики Комбинаторика это раздел дискретной математики, который изучает способы подсчета числа элементов различных конечных множеств Многие правила комбинаторики

Подробнее

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов -

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - { основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - полный граф - смежность, инцидентность, степени - локальные

Подробнее

Теория графов. Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ

Теория графов. Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Теория графов Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель департамента программной инженерии факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Соглашения о терминологии() Обозначение графа G = (V, E), где

Подробнее

Контрольная работа Вариант 2

Контрольная работа Вариант 2 Контрольная работа Вариант 2 Задача 1 Заданы множества A, B и C Считать, что элементы этих множеств образуют универсальное множество U Найти A + B + C, P( A B C), проверить равенство ( A B) C = ( A C)

Подробнее

Графы. Алексей Владыкин. 29 апреля СПбГУ ИТМО. Алексей Владыкин (СПбГУ ИТМО) Графы 29 апреля / 15

Графы. Алексей Владыкин. 29 апреля СПбГУ ИТМО. Алексей Владыкин (СПбГУ ИТМО) Графы 29 апреля / 15 Графы Алексей Владыкин СПбГУ ИТМО 29 апреля 2011 Алексей Владыкин (СПбГУ ИТМО) Графы 29 апреля 2011 1 / 15 План лекции 1 Исторический экскурс 2 3 Представление графов 4 Базовые алгоритмы Алексей Владыкин

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Элементы теории графов. Основные определения.

Элементы теории графов. Основные определения. Элементы теории графов. Основные определения. Ориентированный граф Задано множество X={x 1,x 2,,x n }. На множестве Х задано бинарное отношение R X X Ориентированный граф упорядоченная пара множеств (X,

Подробнее

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям. Магистратура,

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера

Транспортные схемы (сети ЭВМ) Модели процессов Планирование (Сетевой график) Алгоритмизация Модели органической химии. Моделирование задача Эйлера Содержание Введение 1. Основные понятия теории графов 2. Степень вершины 3. Маршруты, цепи, циклы 5. Ориентированные графы 6. Изоморфизм графов 7. Плоские графы 8. Операции над графами 9. Способы задания

Подробнее

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов.

Практическая работа 1. Тема: Графическое изображение графов. Практическая работа Тема: Графическое изображение графов. Цель: изучить основы теоретико-множественного и графического представлений графов, простейших свойств графов, получить практический навык задания

Подробнее

СВОЙСТВА ПУТЕЙ В ГРАФАХ И МУЛЬТИГРАФАХ В. М. Фомичев.

СВОЙСТВА ПУТЕЙ В ГРАФАХ И МУЛЬТИГРАФАХ В. М. Фомичев. ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2010 Прикладная теория графов 1(7) УДК 519.6 СВОЙСТВА ПУТЕЙ В ГРАФАХ И МУЛЬТИГРАФАХ В. М. Фомичев Институт проблем информатики РАН, г. Москва, Россия E-mail: fomichev@nm.ru

Подробнее

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann»

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Определение. Графом называется простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная совокупность объектов, между каждой парой элементов

Подробнее

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II 1 Петрова Л.П. Конспект лекций с упражнениями по дисциплине Дискретная математика, математическая логика и их приложения в компьютерных науках часть II для студентов 2 курса математического факультета

Подробнее

Лекция 3: Маршруты и связность

Лекция 3: Маршруты и связность Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определения маршрута, цепи, цикла Определение Маршрутом в графе называется последовательность

Подробнее

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II 1 Петрова Л.П. Конспект лекций с упражнениями по дисциплине Дискретная математика, математическая логика и их приложения в компьютерных науках часть II для студентов 2 курса математического факультета

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ ВВЕДЕНИЕ В БИОИНФОРМАТИКУ Лекция 6 Элементы теории графов Новоселецкий Валерий Николаевич к.ф.-м.н., доц. каф. биоинженерии valery.novoseletsky@yandex.ru Сайт курса http://intbio.org/bioinf2018 2 Задача

Подробнее

Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann»

Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Введение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Хитров Геннадий Михайлович СПбГУ, ПМ-ПУ Граф: определение Графомназывается простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Екатерина Юрьевна Титаренко старший преподаватель Институт кибернетики Содержание курса Введение. Определения. Основные понятия. Способы задания графов. Основные типы графов. Операции над графами. Маршруты,

Подробнее

ТР по дискретной математике для ЗРП.

ТР по дискретной математике для ЗРП. ТР по дискретной математике для ЗРП. ОМГТУ 2009г. 1 Содержание Задача 1. Операции над множествами 3 Задача 2. Эквивалентные множества. Мощность 4 Задача 3. Группы, подгруппы 5 Задача 4. Кольца, поля 7

Подробнее

Y 1 X 1. Рис Рис Рис Рис. 4.32

Y 1 X 1. Рис Рис Рис Рис. 4.32 7 Алгоритмы Глава Рис Рис 0 Рис Рис З а м е ч а н и е Паросочетание на рис 8 не единственное Имеется еще одно наибольшее ( ребра) паросочетание (рис ) Множества вершин, не входящие в паросочетание, это

Подробнее

Основы теории графов. Оглавление

Основы теории графов. Оглавление Основы теории графов Оглавление Введение в теорию графов... Основные понятия... Матрица смежности... 8 Матрица инциденции... 0 Операции над графами... Операции над графами... Эйлеров путь... 7 Основы теории

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

Степенные множества графов. АВТОРЕФЕРАТ дипломной работы

Степенные множества графов. АВТОРЕФЕРАТ дипломной работы Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II 1 Петрова Л.П. Конспект лекций с упражнениями по дисциплине Дискретная математика, математическая логика и их приложения в компьютерных науках часть II для студентов 2 курса математического факультета

Подробнее

Учебно-методический комплекс ДПП.Ф.12 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс ДПП.Ф.12 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Учебно-методический комплекс ДПП.Ф. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ (специальностям)

Подробнее

http://vmk.ucoz.net/ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Подробнее

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Если мы захотим изобразить схему дорожного движения в городе

Подробнее

Введение в теорию графов

Введение в теорию графов Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Кафедра высшей математики А.В. Чередникова, И.В. Землякова Введение в теорию графов Рекомендовано

Подробнее

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Графом G называется пара множеств V и E (G =(V, E)), где V - непустое множество, а Е некоторое множество пар элементов множества V (E = {(v i, v j )}, i= 1, 2, 3,, n; j = 1, 2,

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для контрольных работ по курсам Математическая логика и ТА «Дискретная математика»

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для контрольных работ по курсам Математическая логика и ТА «Дискретная математика» ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для контрольных работ по курсам Математическая логика и ТА «Дискретная математика» Волгоград 26 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Сборник содержит 3 вариантов заданий по 4 задач

Подробнее

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов Элементы теории графов Деревья, плоские графы, раскраски графов Дерево Деревом называется неориентированный связный граф, не содержащий циклов. В дереве существует один и только соединяющий каждую пару

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. В. Гавриков, Т-неприводимые расширения объединений некоторых типов орграфов, ПДМ, 2013, номер 4(22), 47 55 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи, сводимые к задаче о раскраске Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные

Подробнее

Лекция 4. Матроиды -1-

Лекция 4. Матроиды -1- Матроиды Лекция 4. Матроиды -1- E I подмножеств множества E, замкнутым A I и A' A, то A ' I. Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество вместе с семейством относительно включения,

Подробнее

Дискретная математика (летняя сессия)

Дискретная математика (летняя сессия) Дискретная математика (летняя сессия) Экзамен состоит из 5 заданий: 1. Дать определение 2. Сформулировать и доказать теорему 3-5. Задания из раздела «Теория графов». Список определений 1) Простой граф

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 3 ВЕ Алексеев 2014 Глава 5 Графы 51 Основные понятия теории графов С понятием графа мы уже встречались, когда рассматривали бинарные отношения Напомним, что граф отношения это

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.Е. Алексеев Д.В. Захарова ТЕОРИЯ ГРАФОВ Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2008 Прикладная теория графов 1(1) ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ УДК 519.17 СЕМЕЙСТВА ТОЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ ТУРНИРОВ М.Б. Абросимов, А.А. Долгов Саратовский государственный университет

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории графов. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории графов. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории графов для студентов специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах» 2014 Содержание

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Прикладная теория графов 3(21) ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ УДК 519.17 ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОРГРАФОВ С ТРЕМЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ДУГАМИ В МИНИМАЛЬНОМ ВЕРШИННОМ 1-РАСШИРЕНИИ М. Б.

Подробнее

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК Задачи на графы Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua Определения Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены

Подробнее

Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над

Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над Практическая работа 7 Выполнение операций над графами Цель работы: закрепить умения вычислять числовые характеристики и выполнять операций над графами Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Л.В. Командина ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Методические рекомендации для студентов специальности «Прикладная математика» УДК.() ББК.я К Автор: доцент кафедры прикладной математики и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра высшей математики Одобрено Методическим советом ПГАТИ 29 марта 2002

Подробнее

Учебно-методический комплекс ДПП.10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс ДПП.10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: проректор по учебной работе Архип И.А. 00 г. Учебно-методический комплекс ДПП.0 ТЕОРИЯ ГРАФОВ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Тема 10. Раскрашивание графов

Тема 10. Раскрашивание графов Тема 10. Раскрашивание графов 10.1. Хроматическое число Определение. Граф G называется k-раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из k цветов таким образом, чтобы никакие две смежные

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях G.. Направленные графы Различают направленные и ненаправленные графы. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА G. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Направленным графом G называется пара G = < V, E >, где V = { v i i {,, n}} есть непустое

Подробнее

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ И АВТОМАТЫ

ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ И АВТОМАТЫ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Управление, вычислительная техника и информатика 3(16) ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ И АВТОМАТЫ УДК 519.7 А.Д. Закревский АЛГОРИТМ МАТРИЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ГРАФА

Подробнее

ПРИКЛАДНЫЕ АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ

ПРИКЛАДНЫЕ АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Владимирский государственный университет М.Ю. ЗВЯГИН М.С. БЕСПАЛОВ А.В. АЛЕКСАНДРОВ ПРИКЛАДНЫЕ АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ

Подробнее

Предваренная нормальная форма

Предваренная нормальная форма Математическая логика Предваренная нормальная форма Лектор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Курс математической

Подробнее

Лекция 10: Критерии планарности

Лекция 10: Критерии планарности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Теорема Эйлера о плоских графах На этой лекции мы продолжаем изучение свойств плоских

Подробнее

2. Тематическое планирование 2 семестр

2. Тематическое планирование 2 семестр . Пояснительная записка Поскольку работа и функционирование компьютера - это дискретный процесс, то роль дискретной математики, как самостоятельной дисциплины резко возросла. В настоящее время для многих

Подробнее

Лекция 1: Знакомство с графами

Лекция 1: Знакомство с графами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие графа Определение Графом называется геометрическая фигура, состоящая из точек

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО "АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Факультет математики и информационных технологий Кафедра алгебры и математической логики ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ Составитель:

Подробнее

ГРАФЫ. МОДЕЛИ ВЫЧИСЛЕНИЙ. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ

ГРАФЫ. МОДЕЛИ ВЫЧИСЛЕНИЙ. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.Е. АЛЕКСЕЕВ, В.А. ТАЛАНОВ ГРАФЫ. МОДЕЛИ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Подробнее

Скулемовская стандартная форма

Скулемовская стандартная форма Математическая логика Скулемовская стандартная форма Лектор: к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Курс математической

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Часть 1. Лекции......................................... 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи.... 4 2. Биномиальные

Подробнее

Функции алгебры логики

Функции алгебры логики Математическая логика Функции алгебры логики Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Курс математической логики Наименование

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Тема 7. Jaan Penjam, Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Тема 7. Jaan Penjam,   Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47 ТЕОРИЯ ГРАФОВ Тема 7 Jaan Penjam, email: jaan@s.io.ee Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47 План лекции 1 Определение и свойства графа 2 Пути, циклы и связность 3 Эйлеровы графы 4 Гамильтоновы

Подробнее

Теория графов. Краткий курс. Глава 1. Основные понятия. Dc/u press, All rights ignored.

Теория графов. Краткий курс. Глава 1. Основные понятия. Dc/u press, All rights ignored. Теория графов. Краткий курс. Глава. Основные понятия. Dc/u prss, 00. All rights ignord. Доброго времени суток, неизвестный друг! Перед вами краткий курс теории графов. Порождение всемогущего и многоликого

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Эйлеров цикл Определение Цикл, содержащий все ребра графа, называется эйлеровым. Граф

Подробнее

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г.

Основы теории графов. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). Л. Эйлер 1736 г. G(V, Е, f) V,E множества, отображение инциденции f: Е V&V множества Е в V&V V={A,В,С,D,F,Н,P} множество точек, E={a,b,с,d,e,f,g,h,p,l}

Подробнее

Алгоритмы на графах ч.1. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК

Алгоритмы на графах ч.1. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК Алгоритмы на графах ч.1 Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua Определения Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой

Подробнее

Тема 6. Эйлеровы графы

Тема 6. Эйлеровы графы Тема 6. Эйлеровы графы 6.1. Эйлеровы графы, необходимые и достаточные условия эйлеровости Определение. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой

Подробнее

Дискретная математика. Теория графов

Дискретная математика. Теория графов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Дискретная математика. Теория графов

Подробнее

Ю.А. Алябышева1, А.А. Веряев2

Ю.А. Алябышева1, А.А. Веряев2 216 УДК 519.85 Секция 6. ТЕОРИЯ И М ЕТОДИКА ПРОФ ЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Использование строковых матриц смежности в алгоритмах на графах Ю.А. Алябышева1, А.А. Веряев2 1 АлтГУ, Барнаул; 2АлтГПУ, Барнаул

Подробнее

Деревья. Теорема 1 (без доказательства) Теорема Кэли

Деревья. Теорема 1 (без доказательства) Теорема Кэли Графы На прошлой лекции была начата тема асимптотического анализа в дискретной математике. В данной лекции будут продемонстрированы примеры применения полученных знаний при решении конкретных задач. Прежде

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Федеральное агентство связи Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования "Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики" ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Подробнее

Задачи оптимизации на графах

Задачи оптимизации на графах Лекция 5 Задачи оптимизации на графах Графы Граф G = (V,E) состоит из конечного множества вершин (или узлов) V и конечного множества ребер Е. Каждое ребро связывает (соединяет) пару вершин. Если ребро

Подробнее

В.Н. Берцун МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ГРАФАХ

В.Н. Берцун МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ГРАФАХ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В.Н. Берцун МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ГРАФАХ Часть II Издательство

Подробнее

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год Теория Графов Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2009-2010 учебный год Outline 1 Элементы теории графов Степени вершин О машинном представлении графов Поиск

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 4325 РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Методические указания Рязань 2010 УДК 519.17 Элементы теории графов: методические

Подробнее

Графы и алгоритмы. Образовательный проект. В.Е. Алексеев. ЗАО "Нижегородская лаборатория программных технологий" Нижний Новгород

Графы и алгоритмы. Образовательный проект. В.Е. Алексеев. ЗАО Нижегородская лаборатория программных технологий Нижний Новгород ЗАО "Нижегородская лаборатория программных технологий" 636, Нижний Новгород, ГСП-9, ул. Тургенева д. 24, тел.(832) 36-75-77, 36-84-54; факс (832) 38-2-6 Образовательный проект В.Е. Алексеев Графы и алгоритмы

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n

Подробнее

Лекция 7: Двудольные графы

Лекция 7: Двудольные графы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и пример Определение Граф G = V,E называется двудольным, если существуют

Подробнее

Тема Основные понятия теории графов

Тема Основные понятия теории графов Тема 2.1.1. Основные понятия теории графов Преимущества использования теории графов Простой и мощный инструмент моделирования систем и решения задач упорядочения объектов Методы ТГ (комбинаторные) отличаются

Подробнее